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高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式知识巧解学案

3.1.1 两角差的余弦公式 疱工巧解牛 知识?巧学 一、两角差的余弦公式 1.推导方法 1(向量法): 把 cos(α -β )看成是两个向量夹角的余弦, 可以考虑利用两个向量的 数 量 积 来 研 究 . 如 图 3-1-2 , 设 α 、 β 的 终 边 分 别 与 单 位 圆 交 于 点 P1(cosα ,sinα ),P2(cosβ ,sinβ ), 由于余弦函数是周期为 2π 的偶函数, 所以我们只需考虑 0≤α -β <π 的情况. 图 3-1-2 设 向 量 a= OP 1 =(cosα ,sinα ) , b= OP2 =(cosβ ,sinβ ) , 则 ab=|a|·|b|·cos(α -β )=cos(α -β ); 另 一 方 面 , 由 向 量 数 量 积 的 坐 标 表 示 有 a·b=cosα cosβ +sinα sinβ ,所以 cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ . 于是对于任意的 α 、β 都有上述式子成立. 图 3-1-3 推导方法 2(三角函数线法):设 α 、β 、α -β 都是锐角,如图 3-1-3,角 α 的终边与单 位圆的交点为 P1,∠POP1=β ,则∠POx=α -β ;过点 P 作 PM⊥x 轴于 M,则 OM 即为 α -β 的余弦 线.在这里, 我们想法用 α 、 β 的三角函数线来表示 OM; 过点 P 作 PA⊥OP1 于 A, 过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B,过点 P 作 PC⊥AB 于点 C,则 OA 表示 cosβ ,AP 表示 sinβ ,并且∠PAC=∠P1Ox=α , 于 是 OM=OB+BM=OB+CP=OAcosα +APsinα =cosβ cosα +sinβ sinα , 即 cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ . 2.公式的结构特征 记忆要诀 公式右端的两部分为同名三角函数之积,连接符号与左边的连接符号相反. 3.两角差的余弦公式 Cα -β 的应用 1 (1)若所求角能表示成两个特殊角的差的形式,则所求角的三角函数值可用两个特殊角的三角 函数值表示出来. (2)已知角 α 、β 的弦函数值,求 cos(α -β )的值. 由 cos(α -β )的展开式可知要求 cos(α -β )的值, 只需求得 α 、 β 的正弦值与余弦值即 可.其中 sinα 、cosα ,sinβ 、cosβ 都是同角的三角函数关系. (3)利用两角差的余弦公式证明三角恒等式. (4)利用两角差的余弦公式化简三角函数式. 学法一得 公式使用时不仅要会正用, 还要能够逆用, 在很多时候, 逆用更能简洁地处理问题. 如 由 cos50°cos20°+sin50°sin20° 能 迅 速 地 想 到 cos50°cos20°+sin50°sin20°=cos(50°-20°)=cos 30°= 1 . 2 误区警示 和差角的余弦公式不能按分配律展开,即 cos(α ±β )≠cosα ±cosβ . 典题?热题 知识点一 已知角 α 、β 的三角函数值,求 cos(α -β )的值 例 1 已知 sinα = 思路分析:由于 ? ? 是特殊角,根据 cos( -α )的展开式,只需求出 cosα 的值即可. 3 3 15 ? ? ,α ∈( ,π ),求 cos( -α )的值. 17 2 3 解:∵sinα = 15 ? 15 2 8 2 ,α ∈( ,π ),∴cosα = ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? ( ) ? ? . 17 2 17 17 ∴cos( ? ? ? 1 8 3 15 15 3 ? 8 -α )=cos cosα +sin sinα = ? (? ) ? . ? ? 3 3 3 2 17 2 17 34 12 3 ,cosβ = ? ,α 、β 均为第二象限角,求 cos(α -β ). 13 5 例 2 已知 sinα = 思路分析:由 cos(α -β )的展开式可知要求 cos(α -β )的值,还需求出 cosα 、sinβ . 解:由 sinα = 又由 cosβ = ? 12 12 2 5 2 ,α 为第二象限角,∴cosα = ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? ( ) ? ? . 13 13 13 3 ,β 为第二象限角, 5 2 ∴sinβ = 1 ? cos ? ? 1 ? (? ) 2 ? . 5 3 12 4 63 ) ? (? ) ? ? ? . 13 5 13 5 65 3 5 4 5 ∴cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ = (? 方法归纳 若所求角能用已知角表示出来, 则所求角的三角函数值可用已知角的三角函数值表 示出来,因此合理进行角的变换是解题的关键. 例 3 求函数 y=cosx+ 3 sinx 的周期、最值及取得最值时 x 的集合. 思路分析:利用三角恒等变换,先把函数式化简,再求相应的值. 解:y=cosx+ 3 sinx=2( 1 ? ? ? 3 cosx+ sinx)=2(cosxcos +sinxsin )=2cos(x- ). 2 3 3 3 2 2 所以所求周期为 2π . ? ? =2kπ ,k∈Z,即{x|x= +2kπ ,k∈Z}时,ymax=2; 3 3 2? 同理,可知当{x|x=+2kπ ,k∈Z}时,ymin=-2. 3 3 4 例 4 已知 cosα +cosβ = ,sinα +sinβ = ,求 cos(α -β )的值. 5 5 当 x思路分析:由于两角和、差的余弦公式与同名的两个三角函数的积有关,根据条件,将其平方 后即可构造出同名的三角函数之积的形式. 3 4 ,sinα +sinβ = 的两边分别平方并整理,得 5 5 9 16 2 2 2 2 cos α +cos β

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