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高中数学必修四 两角和差倍角的三角函数第5讲

第五讲
【开心自测】

两角和差倍角的三角函数

1 1. 已知 cos(α+β)cos(α-β)= ,则 cos2α-sin2β 的值为( ) 3 1 1 C. 3 3 C 2.在△ABC 中,若 sinAsinB=cos2 2 ,则△ABC 是( )
A.- B.- A.等边三角形 C.不等边三角形 3. 已知 sin ? ? B.等腰三角形 D.直角三角形

2 3

D.

2 3

5 ? , ? ? ( , ?) ,求 sin2?,cos2?,tan2?的值。 13 2 【教学重难点及考点占比】重点:以已有公式为依据,以推导半角公式,积化和差、和差化积公式
作为基本训练,学习三角变换的内容、思路和方法,体会三角变换的特点,提高推理、运算能力。难点: 公式的灵活运用 。难点:认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提 高从整体上把握变换过程的能力。

【知识梳理】
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?
cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

tan( ? ? ) ? ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? ? tan ?

1 sin ? ? cos ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2 1 cos ? ? sin ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2 1 cos ? ? cos ? ? [cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )] 2 1 sin ? ? sin ? ? ? [cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )] 2

sin ? ? sin ? ? 2 sin

? ?? ? ??
2

? cos

? ?? ? ??
2

? ? ? ??
? ?? ??

sin ? ? sin ? ? 2 cos

? sin 2 2 ? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? 2 cos ? cos 2 2 ? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? ?2 sin ? sin 2 2

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin 2? ? 2 sin ? cos ? 2 tan ? tan 2? ? 1 ? tan 2 ?
3.注意公式的逆用或变形应用

2 2 c o 2? ? c o 2 ? ? s i n ? ? 1 ? 2 s i n ? ? 2 c o 2 ? ? 1 s s s

1

2 cos ? ?

1? c o s ? 2 2

2 si n? ?

2 1? c o s ? 2c o s ?

?
2

1? c o s ? 2 2

2 1? c o s ? 2s i n ?

?
2

s i n ?co s ? ? ?

1? t a n ? ? ? t an ( ??) 1? t a n ? 4

1 sin? 2 2

t an ? 1 ? t an ? 2 2 1? t a n x 2 1? t a n ? ? ? t an ( ??) 1? t a n ? 4

tan? ? tan ? ? tan( ? ? )(1 ? t a n ? t a n ) ? ? ?

tan? ? tan? ? tan( ? ? )(1 ? t a n ? t a n ) ? ? ?
4.在公式的应用中,还要注意角的常见变形 如: 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? )

? ? (? ? ? ) ? ?
5.三倍角的正弦、余弦公式

??

? ??
2

?

? ??
2

sin 3? ? 3sin ? ? 4 sin 3 ?
6.二倍角三角函数公式的主要功能

cos3? ? 4 cos3 ? ? 3 cos?

(1)并项功能:并项功能的主要表现形式是:

1 ? sin 2? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? cos? ? (sin? ? cos? ) 2
(2)升次功能:升次功能的主要表现形式是:

cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ?
(3)降次功能:降次功能的主要表现形式是:

1 ? cos ? 2 【金题精讲】 cos 2 ? ?
例 1.不查表求下列各式的值. (1) sin 555 ?

sin 2 ? ?

1 ? cos 2? 2

(2) cot( ?

5? ) 12

(3) cos 75 ;

?

(4) cos195 ;

?

(5) cos 80? cos 35? ? cos 10? cos 55?
2

(6) sin

?
12

? 3 cos

?
12

(7) cos54 cos36 ? sin 54 sin 36 .
? ? ? ?

(8) tan 12? ? tan 33? ? tan 12? tan 33?

例 2.把已知 2 sin x ? 3 cos x 化成 A sin(x ? ? ) 的形式.

例 3.已知 sin ? ?

2 ? 3 3? ,? ? ( , ? ) , cos ? ? ? , ? ? (? , ) ,求 sin(? ? ? ) , cos(? ? ? ), tan(? ? ? ) . 3 2 4 2

例 4.求值

sin 7? ? cos 15 ? sin 8? cos 7? ? sin 15 ? sin 8?

例 5. 已知 sin ? ?

5 ? , ? ? ( , ?) ,求 sin 2? , cos 2? , tan 2? 的值。 13 2
3

例 6. 已知

?
2

? ? ?? ?

3? 12 3 , cos( ? ? ? ) ? , sin(? ? ? ) ? ? ,求 sin 2? 的值. 4 13 5

【达标训练】 ? ? 1. cot ? tan 可化简为( 2 2
A、 2 cot ? 2.

) B、 2 sec ? C、

1 ? tan 20 ? 等于( 1 ? tan 20 ?
A、 tan 65 ?

1 sin ? 2

D、

1 cos ? 2

) B、 tan 25 ? C、 ? tan 65 ? D、 ? tan 25 ?

3.若 tan( ? ?

?

3 ? ) ? ? ,则 tan( ? ? ) ? 4 5 4

.

4. tan20? ? tan40? ? 3 tan20? ? tan40? =

5.求值: (1) sin 22 30? ? cos 22 30? ?
? ?

. . .

(2) 2 cos (3) sin
2

2

? ?1 ? 8

? ? ? cos 2 ? 8 8

(4) 8sin

?
48

cos

?
48

cos

?
24

cos

?
12

?

.

4

6.已知 tan(? ? ? ) ?

2 ? 1 ? , tan( ? ? ) ? ,求 tan(? ? ) 的值。 5 4 4 4

7.利用三角公式化简: sin 50? (1 ? 3 tan10? ) .

5


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