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2014高三数学一轮高考单元辅导与训练单元检测:推理与证明


推理与证明 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 一项是符合题目要求的) 1.求形如 y = f ( x)
g ( x)

共 60 分)

一、选 择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有

的函数的导数,我们常采用以下做法:先两边同取自然对数得:

ln y = g ( x) ln f ( x) ,再两边同时求导得

1 ' 1 y ? g ' ( x) ln f ( x) ? g ( x) f ' ( x) ,于是得 y f ( x)
1

到: y = f ( x)[ g ( x) ln f ( x) + g ( x) 递增区间是( A.(e,4) ) B.(3,6)

'

'

1 f ' ( x)] ,运用此方法求得函数 y = x x 的一个单调 f ( x)
C.(0,e) D.(2,3) )

【答案】C 2 2.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n an(n≥2),而 a1=1,通过计算 a2,a3,a4,猜想 an 等于( 2 2 2 2 A. B. C. n D. 2 (n+1) n(n+1) 2 -1 2n-1 【答案】B 3.下面叙述正确的是( ) A.综合法、分析法 是直接证明的方法 B.综合法是直接证法、分析法是间接证法 C.综合法、分析法所用语气都是肯定的 D.综合法、分析法所用语气都是假定的 【答 案】A
[来源:Zxxk.Com]

4.用反证法证明命题: “三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时,反设正确的是( A.假设三内角都不大于 60 度 C.假设三内角至多有一个大于 60 度 【答案】B 三个面的面积之和大于第四个面的面积” ; ②由“若数列 ?a n ?为等差数列,则有 B.假设三内角都大于 60 度 D.假设三内角至多有两个大于 60 度

)

5.现有两个推理:①在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意

a6 ? a7 ? ? ? a10 a1 ? a2 ? ? ? a15 成立”类比“若数 ? 5 15
)

列 ?bn ? 为等比数列,则有 5 b6b7 ? ? ? b10 ? 15 b1b2 ? ? ? b15 成立” ,则得出的两个结 论( A. 只有①正确 C. 都正确 【答案】C 6.我们常用以下方法求形如 y ? f ( x)
g ( x)

B. 只有②正确 D. 都不正确

的函数的导数:先两边同取自然对数得:

1 1 ? f ' ( x) , ln y ? g ( x) ln f ( x) ,再两边同时求导得到: ? y ' ? g ' ( x) ln f ( x) ? g ( x) ? y f ( x)

1

于是得到: y ' ? f ( x)
1

g ( x)

[ g ' ( x) ln f ( x) ? g ( x) ?

1 ? f ' ( x)] ,运用此方法求得函数 f ( x)

y ? x x 的一个单调递增区间是(
A. e ,4) ( 【答案】C B. (3, 6)

) C.(0, e ) D. (2,3)

7.在等差数列 ?an ? 中,若 an ? 0 ,公差 d ? 0 ,则有 a4 a6 ? a3 a7 ,类经上述性质,在等比数列 · ·

?bn ? 中,若 bn ? 0,q ? 1 ,则 b4,b5,b7,b8 的一个不等关系是(
A. b4 ? b8 ? b5 ? b7 C. b4 ? b7 ? b5 ? b8 【答案】B B. b5 ? b7 ? b4 ? b8 D. b4 ? b5 ? b7 ? b8

)

8.观察下列等式, 1 ? 2 ? 3 , 1 ? 2 ? 3 ? 6 , 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 10 根据上述规律,
3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 3 2

13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 53 ? 63 ? (
A. 19 【答案】C
2

)
2

B. 20

C. 21

2

D. 22

2

9. “金导电、银导电、铜导电、铁导电,所以一切金属都导电” ,此推理方法是( A.类比推理 【答案】B 10.在等差数列 ? an ? 中,若 an ? 0 ,公差 d B.归纳推理 C.演绎推理 D.分析法

)

? 0 ,则有 a 4 a6 ? a3 a7 ,类比上述性质,在等比
)

数列 ?bn ? 中,若 bn ? 0 ,公比 q ? 1 ,则 b4 , b5 , b7 , b8 的一个不等关系是( A. b4 ? b8 ? b5 ? b7 C. b4 ? b7 ? b5 ? b8 【答案】A B. b4 ? b8 ? b5 ? b7 D. b4 ? b7 ? b5 ? b8

11.我们把 1,4,9,16,25,?这些数称为正方形数,这是因为这些数目的点可以排成正方形, 则第 n 个正方形数是( )

A. n(n-1) 【答案】C

B.n(n+1)

C.n

2

D.(n+1)

2

12.设 n 为正整数, f (n) ? 1 ?

1 1 1 3 5 ? ? ... ? ,经计算得 f (2) ? , f (4) ? 2, f (8) ? , 2 3 n 2 2
2

7 ) f (16) ? 3, f (32) ? , 观察上述结果,可推测出一般结论 ( 2 2n ? 1 n?2 n?2 n 2 A. f (2n) ? B. f (2 ) ? C. f ( n ) ? 2 2 2
D.以上都不对 【答案】B 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题 (本大题 共 4 个 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.用半径相同的小球,堆在一起,成一个 “正三棱锥” 型,第一层 1 个 ,第二层 3 个, 则第三层有____________个,第 n 层有____________个。 (设 n > 1 ,小球不滚动) 【答案】9, 3
n ?1

14.在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是 1 颗珠宝,第二件首饰是 由 6 颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图 1 所示的正六边形,第三件首饰如图 2,第四件 首饰如图 3,第五件首饰如图 4,以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量 的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第 7 件首饰上应有____________颗珠宝。

【答案】91 15 .设函数 f ( x) ?
*

x ( x ? 0) ,定义 f n ( x) , n ? N* 如下:当 n ? 1时, f1 ( x) ? f ( x) ; x?2

当 n ? N 且 n ? 2 时, f n ( x) ? f ( f n ?1 ( x)) .观察:

f1 ( x) ? f ( x) ?

x , x?2

x , 3x ? 4 x f3 ( x) ? f ( f 2 ( x)) ? , 7x ? 8 x f 4 ( x) ? f ( f3 ( x)) ? , 15 x ? 16 ?? f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)) ?
根据以上事实,由归纳推理可得: 当 n ? N 时, f n ( x ) ?
*

.

【答案】

x (2 ? 1) x ? 2 n
n

3

16.若等差数列 {a n } 的首项为 a 1 ,公差为 d ,前 n 项的和为 Sn,则数列 { 项为

Sn } 为等差数列,且通 n

Sn d ? a1 ? (n ? 1) ? .类似地,请完成下列命题:若各项均为正数的等比数列 {b n } 的首 n 2 项为 b1 ,公比为 q ,前 n 项的积为 Tn,则 .
【答案】 n Tn = b1 n q 三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知: sin 30 ? sin 90 ? sin 150 ?
2 ? 2 ? 2 ?

3 2

sin 2 5? ? sin 2 65 ? ? sin 2 125 ? ?

3 2
? 2

通过观察上述两等式的规律,请你 写出一般性的命题,并给出的证明。 【答案】一般性的命题为 sin (? ? 60 ) ? sin
2

? ? sin 2 (? ? 60? ) ?

3 2

证明:左边 ?

1 ? cos(2? ? 1200 ) 1 ? cos 2? 1 ? cos(2? ? 1200 ) ? ? 2 2 2

3 ? [cos(2? ? 1200 ) ? cos 2? ? cos(2? ? 1200 )] 2 3 ? 2 ?
所以左边等于右边 18.已知 ?、? ? (0,

?
2

) ,且 ? ? ? ?

?
2

, f ( x) ? (

cos ? x cos ? x ) ?( ) . sin ? sin ?

求证:对于 x

? 0 ,有 f ( x) ? 2 .

【答案】? ? ? ? ?

?
?
2

,? ? ?

?

? ? ; ? ?、? ? (0, ) ,? ? ? ? (0, ) ; 2 2 2 2

?

?

?

? y ? sin x 在 (0, ) 上为增函数, y ? cos x 在 (0, ) 上为减函数, 2 2

?

? sin ? ? sin( ? ? ) ? cos ? , cos? ? cos( ? ? ) ? sin ? , 2 2
又 sin ? ? 0, sin ? ? 0 ? 0 ?

?

?

cos? cos ? ? 1,0 ? ? 1, sin ? sin ? cos? x cos ? x ) ? 1, ( ) ? 1, sin ? sin ?

? y ? a x (0 ? a ? 1) 在 R 上为减函数,且 x ? 0 ? (

从而 f ( x) ? (

cos? x cos ? x ) ?( ) ?2 sin ? sin ?

4

19.已知△ABC 的三边长为 a、b、c,若 , , 成等差数列.求证:B 不可能是钝角.

1 a

1 1 b c

【答案】 (用反证法证明 1)∵ ac-b ≥0.
2

2 1 1 1 1 1 1 2 , , 成等差数列,∴ ? ? ? 2 , ∴b ≤ac 即 b a c ac a b c

a 2 ? c2 ? b2 假设 B 是钝角,则 cosB<0,由余弦定理可得, cos B ? 2ac 2ac ? b 2 ac ? b 2 ? ? ? 0. 2ac 2ac
这与 co sB<0 矛盾,故假设不成立.∴B 不可能是钝角. (用反证法证明 2)∵
[来源:Z,xx,k.Com]

[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

1 1 1 2 1 1 , , 成等差数列,∴ ? ? , a b c b a c ? 假设 B 是钝角,则 B ? ,则 B 是△ABC 的最大内角,所以 b>a,b>c, 2 1 1 1 1 2 2 1 1 (在三角形中,大角对大边),从而 ? ? ? ? ,这与 ? ? 矛盾, a c b b b b a c
故假设不成立,因此 B 不可能是钝角. (用综合法证明) ∵

2 1 1 1 1 1 1 , , 成等差数列,∴ ? ? ? 2 , b a c ac a b c

证明:∵

1 1 1 2 1 1 , , 成等差数列,∴ ? ? ,即 2ac=b(a+c), a b c b a c

由余弦定理和基本不等式可得, cos B ?

a 2 ? c2 ? b 2 2ac ? b 2 ? 2ac 2ac

? 1?
∴1 ?

b2 b2 b ,∵a,b,c 为△ABC 三边,∴a+c>b, ? 1? ? 1? 2ac b(a + c) a +c
b ? 0 ,∴cosB>0,∴∠B<900,因此 B 不可能是钝角. a +c

[来源:学科网 ZXXK]

20.如图,已知 PA ? 矩形 ABCD 所在平面, M,N 分别是 AB,PC 的中点. 求证: (1) MN ∥平面 PAD ; (2) MN ? CD .

【答案】 (1)取 PD 的中点 E ,连结 AE,NE .

∵ N,E 分别为 PC,PD 的中点.

5

∴ EN 为 △PCD 的中位线,

1 1 ∴ EN ∥ CD , AM ? AB ,而 ABCD 为矩形, 2 2 ∴CD ∥ AB ,且 CD ? AB .
∴ EN ∥ AM ,且 EN ? AM . ∴ AENM 为平行四边形, MN ∥ AE ,而 MN ? 平面 PAC , AE ? 平面 PAD , ∴ MN ∥平面 PAD . (2)∵PA ? 矩形 ABCD 所在平面, ∴CD ? PA ,而 CD ? AD , PA 与 AD 是平面 PAD 内的两条直交直线, ∴CD ? 平面 PAD ,而 AE ? 平面 PAD , ∴ AE ? CD .
又∵MN ∥ AE ,∴MN ? CD .

a x ? a? x a x ? a? x , g ( x) ? (其中 a ? 0 ,且 a ? 1) . 2 2 (1) 5 ? 2 ? 3 请你推测 g (5) 能否用 f (2),f (3),g (2),g (3) 来表示;
21.设 f ( x) ? (2)如果(1)中获得了一个结论,请你推测能否将其推广. 【答案】 (1)由 f (3) g (2) ? g (3) f (2) ? 又 g (5) ?

a3 ? a ?3 a3 ? a ?2 a3 ? a ?3 a 2 ? a ?2 a5 ? a ?5 , · ? · ? 2 2 2 2 1

a5 ? a ?5 , 2 因此 g (5) ? f (3) g (2) ? g (3) f (2) . (2)由 g (5) ? f (3) g (2) ? g (3) f (2) ,即 g (2 ? 3) ? f (3) g (2) ? g (3) f (2) , 于是推测 g ( x ? y) ? f ( x) g ( y) ? g ( x) f ( y) .
证明:因为 f ( x) ? 所以 g ( x ? y) ?

a x ? a? x a x ? a? x , g ( x) ? (大前提) . 2 2

a x? y ? a?( x ? y ) a y ? a? y a y ? a? y , g ( y) ? , f ( y) ? , (小前提及结论) 2 2 2 a x ? a? x a y ? a? y a x ? a? x a y ? a ? y a x ? y ? a ?( x ? y ) · ? · ? ? g ( x ? y) . 2 2 2 2 2

所以 f ( x) g ( y) ? g ( x) f ( y) ?
2

22.设函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 中, a, b, c 均为整数,且 f (0), f (1) 均为奇数.求证:

f ( x) ? 0 无整数根.
【答案】假设 f ( x) ? 0 有整数根 n ,则 an ? bn ? c ? 0, (n ? Z ) 因为 f (0), f (1) 均为奇 ;
2

数,所以 c 为奇数, a ? b 为偶数,即

a, b, c 同时为奇数 或 a, b 为偶数 c 为奇数,
(1)当 n 为奇数时, an ? bn 为偶数;
2 2
[来源:学_科_网]

(2)当 n 为偶数时, an ? bn 也为偶数, 即 an ? bn ? c 为奇数与 an ? bn ? c ? 0 矛盾.
2 2

所以假设不成立。

? f ( x) ? 0 无整数根.

6

7


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