当前位置:首页 >> 数学 >>

2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 椭圆的简单性质(二)讲义 北师大版选修2-1_图文

章圆锥曲线与方程
1.2 椭圆的简单性质(二)

第三章 圆锥曲线与方程

学习导航

1.理解直线与椭圆的位置关系.(重点)

学习 目标

2.掌握解决与椭圆有关的简单综合问题的方法.(难

点)

1.用直线和椭圆的方程研究直线和椭圆的位置关系,

学法 指导

将图形之间的关系问题转化为方程组解的问题.

2.体会转化思想、数形结合思想的应用.

1.点与椭圆的位置关系 点 P(x0,y0)与椭圆xa22+yb22=1(a>b>0)的位置关系: 点 P 在椭圆上?xa202+yb202=1; 点 P 在椭圆内部?xa202+yb202<1; 点 P 在椭圆外部?ax220+yb202>1.

2.直线与椭圆的位置关系

直线 y=kx+m 与椭圆xa22+yb22=1(a>b>0)的位置关系判断方法:

??y=kx+m,

联立?x2 ??a2

+by22=

1.

消 y 得一个一元二次方程

位置关系 相交 相切 相离

解的个数 ____两_____解 ___一_____解 ___无____解

Δ的取值 Δ__>___0 Δ__=____0 Δ___<___0

3.弦长公式 设直线方程为 y=kx+m(k≠0),椭圆方程为xa22+yb22 =1(a>b>0) 或ya22+xb22=1(a>b>0),直线与椭圆的两个交点为 A(x1,y1),B(x2, y2), 则|AB|= (x1-x2)2+(y1-y2)2, ∴|AB|= (x1-x2)2+(kx1-kx2)2 = 1+k2· (x1-x2)2
= 1+k2· (x1+x2)2-4x1x2,

或|AB|=

??1ky1-1ky2

?2 ?

+(

y1-

y2)

2

= 1+k12· (y1-y2)2

= 1+k12× (y1+y2)2-4y1y2 .

其中,x1+x2,x1x2 或 y1+y2,y1y2 的值,可通过由直线方程与 椭圆方程联立消去 y 或 x 后得到关于 x 或 y 的一元二次方程得

到.

1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在椭圆上的所有点中,长轴的端点到椭圆中心的距离最大, 短轴的端点到椭圆中心的距离最小(√ ) (2)在椭圆上的所有点中,长轴的端点到近焦点的距离最小,到 远焦点的距离最大( √ ) (3)在椭圆的焦点弦中,当弦与长轴垂直时,弦最短,长轴最长
(√ ) (4)设A是椭圆内一点,以A为中点的弦是唯一的( × )

2.已知直线 l:x+y-1=0,椭圆x2+y2=1,则直线与椭圆的 4

位置关系是( A )

A.相交

B.相切

C.相离

D.相切或相交

解析:法一:画出简图(图略)易知选 A.

??x+y-1=0 法二:由???x42+y2=1 消

y



5x2-8x=0,∴x=0



x=8,故 5

选 A.

3.过椭圆x2+y2=1 的一个焦点 F 作垂直于长轴的椭圆的弦, 43

则此弦长为( B )
A.3 4

B. 3

C.2 3

D.8 3 3

解析:不妨设

F(1,0),P(1,y0)为一

个交点,代入x2+y2= 43

1



1+y20= 43

1,

y0=

±3. 2

∴弦长为 3,选 B.

4.(2014·天津市五区县高二检测)已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆

x2 a2



y2 b2



1(a>b>0)的



























离心





2

__2______.

解析:由题意知 1=bc,∴b=c,

∴e2=ca22=b2c+2 c2=12,∴e=

2. 2

直线与椭圆的位置关系

k为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两

个公共点?有一个公共点?没有公共点?

[解]

由???y=kx+2, 得 ??2x2+3y2=6,

2x2+3(kx+2)2=6,

即(2+3k2)x2+12kx+6=0,

Δ =144k2-24(2+3k2)=72k2-48.

当 Δ=72k2-48>0,即 k> 6或 k<- 6时,直线和曲线有两个

3

3

公共点;

当 Δ=72k2-48=0,即 k= 6或 k=- 6时,直线和曲线有一

3

3

个公共点;

当 Δ=72k2-48<0,即-

6 <k<

6时,直线和曲线没有公共点.

33

方法归纳 (1)解析法:转化为判断方程组解的个数或消去x(或y)转化为 关于y(或x)的一元二次方程,利用判别式求解. (2)几何法:对于过定点的直线,若定点在椭圆上,直线与椭 圆有公共点(相交或相切);若定点在椭圆内,直线与椭圆必 相交.

1.已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m.当直线和椭圆有公共 点时,求实数m的取值范围.

??4x2 + y2= 1,

解:由?



??y=x+m,

5x2+ 2m x+m 2- 1= 0.

∵直线与椭圆有公共点,

∴Δ =4m2-20(m2-1)≥0,解得- 5≤m≤ 5.

2

2

椭圆弦长问题

(2014·汝





二检



)椭

圆xa22+

y2 b2



1(a>b>0)的









3,椭圆与直线 x+2y+8=0 相交于点 P,Q,且|PQ|= 10, 2 求椭圆的方程.

[解] 设点 P,Q 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).



e=ca=

3,得 2

c=

3a. 2

由 c2=a2-b2,得 a2=4b2.

由???4xb22+yb22=1, 消去 x, ??x+ 2y+ 8= 0,

得 2y2+8y+16-b2=0.

由根与系数的关系,得 y1+y2=-4,

y1y2=16-2

b2 .

|PQ|2= (x2- x1)2+ (y2- y1)2= 5(y1- y2)2= 5[(y1+ y2)2- 4y1y2]=
10,即 5[16-2(16-b2)]=10,解得 b2=9,则 a2=36. 所以椭圆的方程为x2 +y2=1.
36 9

方法归纳 (1)求交点坐标,再用两点距离公式. (2)利用弦长公式.结合根与系数的关系整体代入.

2.已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆x2+y2=1 的右焦点,交椭圆于

8

4

A、B 两点,则|AB|=___5_____.

解析:∵a2=4,b2=1,∴c= a2-b2= 3,

∴右焦点 F( 3,0),∴直线 l 方程 y=x- 3.
??y=x- 3, 由???x42+y2=1,消去 y 并整理,得 5x2-8 3x+8=0.

设直线 l 与椭圆的交点 A(x1,y1),B(x2,y2),

则 x1+x2=85 3,x1x2=85,

∴|AB|= (x1-x2)2+(y1-y2)2

= (x1-x2)2+(x1- 3-x2+ 3)2 = 2(x1-x2)2= 2[(x1+x2)2-4x1x2]

= 2[(8 3)2-4×8]=8,即弦 AB 的长为8.

5

55

5

椭圆中的对称与中点弦问题

已知椭圆x2+y2=1,试确定 m 的取值范围,使得对于 43
直线 y=4x+m,椭圆上总有不同的两点关于该直线对称.

[解] 法一:设椭圆 C 上关于直线 l 对称的两点为 P(x1,y1),

Q(x2, y2 ),其所在直线方程为

y=-1x+ b,代入椭圆方程,得 4

13x2- 8bx+ 16b2 - 48= 0.

∵x1≠x2,∴Δ =-192(4b2-13)>0,

解得- 13<b< 13.①

2

2

又x1+ x2=4b,y1+ y2=-1·x1+ x2+ b=12b,

2 13 2

42

13

而点??x1

+ 2

x2,y1+ 2

y2? ?

又在直线

y= 4x+m

上,

∴m=y1 + y2- 4·x1+ x2=-4b.②

2

2

13

把①代入②,得 m 的取值范围是-2 13<m<2 13,

13

13

即 m∈??-21313,21313??.

法二:设 P1(x1,y1),P2(x2,y2)为椭圆上关于直线 y=4x+m 的 对称两点,P(x,y)为弦 P1P2 的中点,则 3x21 + 4y21 = 12, 3x22+ 4y22= 12, 两式相减得, 3(x21- x22)+ 4(y21 - y22)= 0, 即 3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0. ∵ x1+ x2 = 2x, y1+ y2= 2y,yx11--yx22=-14, ∴y=3x,这就是弦 P1P2 中点 P 的轨迹方程.

它与直线 y=4x+m 的交点必须在椭圆内,

联立???y= 3x,

??x=-m, 解得?

??y=4x+m, ??y=-3m,

则必须满足:y2<3-3x2, 4

即(3m)2<3-3m2,解得-2 13<m<2 13.

4

13

13

方法归纳

轴对称 问题:一是把对 称点所在直线代 入椭圆方程, 再利用判

别式和根与系数的关系求解.

二是弦中点问题的 常用方法 ——“点差法”.

三是求点 P(x1,y1)关于直线 y=kx+b 的对称点 P′(x0,y0).可

? y0- y1=-1,

? 用解方程组法,即 x0-x1

k

y0+ y1= k·x0 + x1+ b.

?2

2

数学思想 函数思想在椭圆最值(或范围) 问题 中的应用
中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆上有 M(1,4 2), 3
N(-3 2, 2)两点. 2
(1)求椭 圆的标准方程; (2)在椭圆上是否存在点 P(x,y)到定点 A(a,0)(其中 0<a<3)的 距离的最小值为 1?若存在,求 P 点的坐标;若不存在,请说 明理由.

[解] (1)设椭圆的方程为

m x2+ny2= 1(m >0, n>0,m≠ n).

m+32n=1 m=1,

? ? 9

9

? ? ∵椭圆过 M,N 两点,∴

?

? ? 9m+2n=1 n=1,

2

4

∴椭圆方程为x2 +y2= 1. 94

(2)假设存在点 P(x,y)满足题设条件,

∴ |AP|2= (x- a)2+ y2.

又∵x2+y2 = 1,∴ y2= 4(1-x2 ),

94

9

∴ |AP|2= (x- a)2+ 4(1-x2 ) 9

=5(x-9a)2+ 4-4a2.

95

5

∵ |x|≤ 3, 0<a<3,若9a≤ 3, 5

即当 0<a≤5时,|AP|2 的最小值为 4-4a2.

3

5

由题意得 4-4a2=1? a=± 15?(0,5];

5

2

3

若9a>3,即5<a<3,当 x=3 时,|AP|2 取得最小值为(3-a)2,依

5

3

题意(3-a)2=1,解得 a=4 或 a=2,

∵4?(5,3),2∈(5,3),∴a=2.

3

3

此时 P 点的坐标是(3,0),

故当 a=2 时,存在这样的点 P 满足条件,P 点坐标为(3,0).

[感悟提高] 椭圆的最值、范围问题密切相关,有两种基本 思路: (1)通过分析几何性质或特征,数形结合解决; (2)化为函数求最值(值域)或解不等式问题加以解决,但都必 须注意椭圆变量的范围.

规范解答

椭圆中的定值问题

(本题满分 12 分)(2014·天津市五区县高二检测)已知椭 圆 C 的方程为xa22+yb22=1(a>b>0),其右顶点 A(2,0),离心率 e



3 .

2

(1)求椭圆 C 的方程;

(2)若直线 l:y=kx+m(k≠0)与椭圆 C 交于不同的两点 M,N (M,N 不与左、右顶点重合),且M→A·N→A=0.求证:直线 l 过

定点,并求出定点的坐标.

[解]

a= 2,

??? (1)由题意可知:

e=ac=

3, 2

2



??a2= b2+ c2,

解得:a=2,b=1,c= 3.

所以椭圆的方程为:x2+y2=1.①4 分 4

(2)证明

??x2+ :由方程组? 4

y2=

1 得

(1+

4k2)x2+

8km

x+

4m

2-

4=

0,

?? y= kx+m

5分 Δ =(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4)>0, 整理得 4k2-m2+1>0.②6 分

设 M(x1,y1),N(x2,y2), 则 x1+x2=-18+km4k2,x1x2=41m+2-4k42 ,7 分 y1y2=(kx1+m )(kx2+m )= k2x1x2+ km(x1+ x2)+m2, 由已知,AM⊥AN 且椭圆的右顶点为 A(2,0),
∴(x1-2)(x2-2)+y1y2=0,8 分 即 (1+ k2)x1x2+(km- 2)(x1+ x2)+m2+ 4= 0, 也即 (1+ k2)·41m+2-4k42+(km- 2)·-1+8k4mk2+m2+ 4= 0,整理得:5m 2 +16mk+12k2=0,10 分

解得 m=-2k 或 m=-6k均满足 4k2-m2+1>0.③ 5

当 m=-2k 时,直线 l 的方程为 y=kx-2k,过定点(2,0)与题

意矛盾舍去;11 分

当 m=-6k时,直线 l 的方程为 y=k(x-6),过定点(6,0).④

5

5

5

故直线 l 过定点,且定点的坐标为(6,0).12 分 5


相关文章:
2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 ....doc
2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 椭圆的简单性质(二)课时作业 - 3.1.2 椭圆的简单性质 [基础达标] 1.直线 y=x+1 x2 y2 被椭...
2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 ....doc
2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 椭圆的简单性质(一)课时作业 - 大道之行也,天下为公,选贤与能,讲信修睦。故人不独亲其亲,不独子...
2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 ....doc
2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 椭圆的简单性质(二)课时作业 师大版选修2-1 - 3.1.2 椭圆的简单性质 [基础达标] 1.直线 y=x+1 ...
2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 ....doc
2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 椭圆的简单性质(一)课时作业 师大版选修2-1 - 3.1.2 椭圆的简单性质 [基础达标] 1.椭圆 x +8y ...
2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 ....doc
2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 椭圆的简单性质(一)训练案 师大版选修2-1 - 最新中小学教案、试题、试卷 3.1.2 椭圆的简单性质 [A...
2018_2019学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1.2椭圆....ppt
2018_2019学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1.2椭圆的简单性质二课件师大版选修2_120181016441 - 第三章 圆锥曲线与方程 1.2 椭圆的简单性质(二) 第三...
...第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 椭圆的简单性质(二)课....doc
【推荐精选】2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 椭圆的简单性质(二)课时作业 师大版_其它课程_高中教育_教育专区。推荐精选 K12 资料 3.1....
2018_2019学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1.2椭圆....ppt
2018_2019学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1.2椭圆的简单性质(二)课件师大版选修2_ - 第三章 圆锥曲线与方程 1.2 椭圆的简单性质(二) 第三章 圆锥...
2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 ....doc
2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 椭圆的简单性质(二)训练案 师大版选修2-1 - 最新中小学教案、试题、试卷 3.1.2 椭圆的简单性质 [A...
2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 ....doc
2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 椭圆的简单性质(二)课时作业 师大版选修2-1_数学_高中教育_教育专区。拜年拜年 拜年拜 年拜年 3.1.2...
2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 ....doc
2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 椭圆的简单性质(一)课时作业 师大版选修2-1 - 3.1.2 椭圆的简单性质 [基础达标] 1.椭圆 x2+8y2...
2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 ....doc
2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 椭圆的简单性质(一)课时作业 师大版选修2-1 - 规划很好 卡卡看 法 3.1.2 椭圆的简单性质 [基础达标...
2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 ....doc
2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 椭圆的简单性质(一)课时作业 师大版选修2-1 - 爱你一万 年 3.1.2 椭圆的简单性质 [基础达标] 1....
2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 ....doc
2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 椭圆的简单性质(一)课时作业 师大版选修2-1 - 江山如此 多娇啊 3.1.2 椭圆的简单性质 [基础达标] ...
2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 ....doc
2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 椭圆的简单性质(一)课时作业 师大版选修2-1 - 春眠不觉 晓 3.1.2 椭圆的简单性质 [基础达标] 1....
2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 ....doc
2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 椭圆的简单性质(一)课时作业 师大版选修2-1 - 就看了哦 哦有意 发发发 发 3.1.2 椭圆的简单性质...
2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 ....doc
2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 椭圆的简单性质(一)训练案 师大版选修2-1 - 啊啊啊啊 啊啊啊 啊啊啊 啊 3.1.2 椭圆的简单性质 ...
2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 ....doc
2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 椭圆的简单性质(一)训练案 师大版选修2-1 - 拜年拜年 拜年拜 年拜年 3.1.2 椭圆的简单性质 [A....
2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 ....doc
2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 椭圆的简单性质(一)训练案 师大版选修2-1 - 噼噼啪啪 噼噼啪 啪 3.1.2 椭圆的简单性质 [A.基础...
2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 ....doc
2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 椭圆的简单性质(一)训练案 师大版选修2-1 - 看看看看 你能你 们 3.1.2 椭圆的简单性质 [A.基础...