当前位置:首页 >> 数学 >>

2016届《创新设计》数学一轮(理科)人教A版配套精品课件 7-3基本不等式及其应用


第3讲
最新考纲

基本不等式及其应用

1.了解基本不等式的证明过程;2.会用基本不等

式解决简单的最大(小)值问题.

基础诊断

考点突破

课堂总结

知 识 梳 理
a+b 1.基本不等式: ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.

(2)等号成立的条件:当且仅当______ a=b 时取等号. a+b ab 称为正 (3)其中______ 2 称为正数a,b的算术平均数,____ 数a,b的几何平均数.

基础诊断

考点突破

课堂总结

2.几个重要的不等式 2ab (a,b∈R).当且仅当a=b (1)重要不等式:a2+b2≥_____ 时取等号.
?a+b? ?2 (2)ab≤? ? 2 ? (a,b∈R),当且仅当 a=b 时取等号. ? ? ? a2+b2 ? ?a+b?2 (3) ≥? ? (a,b∈R),当且仅当 a=b 时取等号. 2 ? 2 ?

b a 2 (a,b 同号),当且仅当 a=b 时取等号. (4)a+b≥___

基础诊断

考点突破

课堂总结

3.利用基本不等式求最值

已知x>0,y>0,则
x=y 时,x+y有最 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当______
2 p 简记:积定和最小). 小 值是_____( ___

x=y 时,xy有最 (2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当______
s2 大 值是____( ___ 4 简记:和定积最大).

基础诊断

考点突破

课堂总结

诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩 PPT 展示 a+b (1)当 a≥0,b≥0 时, ≥ ab. ( √) 2 a+b 2 2 (2)两个不等式 a +b ≥2ab 与 ≥ ab成立的条件是相 2 同的. (× ) 1 (3)函数 y=x+ 的最小值是 2. (×) x x y (4)x>0 且 y>0 是 y +x≥2 的充要条件. (× )

基础诊断

考点突破

课堂总结

2.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是 (
A.a2+b2>2ab 1 1 2 C. + > a b ab B.a+b≥2 ab b a D. + ≥2 a b

)

解析 ∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0, ∴A 错误. 对于 B, C, 当 a<0,b<0 时,明显错误. 对于 D,∵ab>0, b a b a ∴a+b≥2 a·b=2.

答案

D

基础诊断

考点突破

课堂总结

1 1 3.(2015· 郑州模拟)设 a>0,b>0.若 a+b=1,则a+b的最小 值是 A.2 C.4 1 B. 4 D.8 ( )

1 1 a+b a+b b a b a 解析 由题意 + = + =2+ + ≥2+2 × a b a b a b a b b a 1 =4,当且仅当a=b,即 a=b= 时,取等号,所以最小值 2 为 4.

答案

C

基础诊断

考点突破

课堂总结

4.(2014· 上海卷)若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值 为________.
解析 ∵x2+2y2≥2 x2·2y2=2 2xy=2 2,当且仅当 x

= 2y 时取“=”,∴x2+2y2 的最小值为 2 2.

答案

2 2

基础诊断

考点突破

课堂总结

5.(人教A必修5P100A2改编)一段长为30 m的篱笆围成一个
一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m,则这个矩形的长为 ________m,宽为________m时菜园面积最大.
解析 设矩形的长为 x m,宽为 y m.则 x+2y=30,所以 ? 1 1? ?x+2y?2 225 S=xy= x·(2y)≤ ? = ,当且仅当 x=2y,即 2 2? 2 ? 2 ? 15 x=15,y= 时取等号. 2

答案

15 15 2

基础诊断

考点突破

课堂总结

考点一

利用基本不等式证明简单不等式

【例1】 已知x>0,y>0,z>0.
?y z ??x z ??x y? 求证:?x+x??y +y?? z +z ?≥8. ? ?? ?? ?

证明 ∵x>0,y>0,z>0, y z 2 yz x z 2 xz ∴x+x≥ x >0, y+y≥ y >0, x y 2 xy z + z ≥ z > 0, ?y z ??x z ??x y? 8 yz· xz· xy ∴?x+x??y +y?? z +z ?≥ =8,当且仅当 x=y xyz ? ?? ?? ? =z 时等号成立.
基础诊断 考点突破 课堂总结

规律方法

利用基本不等式证明新的不等式的基本思路是:

利用基本不等式对所证明的不等式中的某些部分放大或者缩 小,在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性.

基础诊断

考点突破

课堂总结

【训练 1】 已知 a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1. 1 1 1 求证:a+b+c ≥9.

证明 ∵a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1, 1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c ∴ + + = + + a b c a b c b c a c a b =3+a+a+b+b+ c+c ?b a? ?c a? ?c b? =3+?a+b?+?a+c ?+?b+c ? ? ? ? ? ? ? 1 ≥3+2+2+2=9,当且仅当 a=b=c= 时,取等号. 3

基础诊断

考点突破

课堂总结

考点二

利用基本不等式求最值

【例2】 解答下列问题: (1)已知a>0,b>0,且4a+b=1,求ab的最大值; (2)若正数x,y满足x+3y=5xy,求3x+4y的最小值; 5 1 (3)已知 x< ,求 f(x)=4x-2+ 的最大值; 4 4x-5 a (4)已知函数 f(x)=4x+ (x>0, a>0)在 x=3 时取得最小值, x 求 a 的值.

深度思考

解决与基本不等式有关的最值问题,你学会

“配凑”了吗? (利用基本不等式求解最值问题,要根据代数式或函数解析 式的特征灵活变形,凑积或和为常数的形式;条件最值问 题要注意常数的代换,凑成基本不等式的形式求解最值)
基础诊断 考点突破 课堂总结



(1)法一

∵a>0,b>0,4a+b=1,

∴1=4a+b≥2 4ab=4 ab, 1 1 1 当且仅当 4a=b= ,即 a= ,b= 时,等号成立. 2 8 2 1 1 1 ∴ ab≤ ,∴ab≤ .所以 ab 的最大值为 . 4 16 16 法二 ∵a>0,b>0,4a+b=1, ? 1 1? 1 ?4a+b?2 ∴ab= ·4a·b≤ ? = , 4 4? 2 ? 16 ? 1 1 1 当且仅当 4a=b= ,即 a= ,b= 时,等号成立.所以 ab 的 2 8 2 1 最大值为 . 16

基础诊断

考点突破

课堂总结

3 1 (2)由 x+3y=5xy,得x+ y=5(x>0,y>0), ?3 1? 1 则 3x+4y= (3x+4y)?x+ y ? 5 ? ? 12y 3x? 1? 1? 12y 3x? = ?13+ x + y ?≥ ?13+2 · ? 5? x y? ? 5? 1 = (13+12)=5, 5 12y 3x 当且仅当 x = y ,即 x=2y 时,等号成立, x=1, ? ? ? x = 2 y , ? 此时由? 解得? 1 ? y= . ?x+3y=5xy, ? ? 2

基础诊断

考点突破

课堂总结

5 1 (3)因为 x< ,所以 5-4x>0,则 f(x)=4x-2+ =-(5 4 4x-5 1 1 - 4x + )+3≤-2+3=1.当且仅当 5-4x= ,即 x= 5-4x 5-4x 1 1 时,等号成立.故 f(x)=4x-2+ 的最大值为 1. 4x-5 a a (4)∵f(x)=4x+x≥2 4x·x=4 a, a 当且仅当 4x=x,即 4x2=a 时 f(x)取得最小值. 又∵x=3,∴a=4×32=36.

基础诊断

考点突破

课堂总结

规律方法

(1)利用基本不等式解决条件最值的关键是构造

和为定值或乘积为定值,主要有两种思路:①对条件使用基 本不等式,建立所求目标函数的不等式求解.②条件变形,

进行“1”的代换求目标函数最值.
(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件, 但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不 等式.常用的方法还有:拆项法、变系数法、凑因子法、分 离常数法、换元法、整体代换法等.

基础诊断

考点突破

课堂总结

【训练 2】 (1)(2014· 闽南四校联考)设 a>0,若关于 x 的不等式 a x+x≥4 在 x∈(0,+∞)上恒成立,则 a 的最小值为( ) A.4 B.2 C.16 D.1 5 (2)设 0<x< ,则函数 y=4x(5-2x)的最大值为______. 2 (x+5)(x+2) (3)设 x>-1,则函数 y= 的最小值为 x+ 1 ________.

基础诊断

考点突破

课堂总结

解析

a a (1)因为 x>0, a>0, 所以 x+ ≥2 a, 要使 x+ ≥ x x

4 在 x∈(0,+∞)上恒成立,则需 2 a≥4,所以 a≥4, 从而 a 的最小值为 4,故选 A. 5 (2)因为 0<x< ,所以 5-2x>0, 2 所以 y=4x(5-2x)=2×2x(5-2x) ?2x+5-2x? 5 ? ?2 25 ≤2? ? = 2 ,当且仅当 2x=5-2x,即 x=4时等号成 2 ? ? 25 立,故函数 y=4x(5-2x)的最大值为 . 2

基础诊断

考点突破

课堂总结

(3)因为 x>-1,所以 x+1>0, (x+5)(x+2) x2+7x+10 所以 y= = x+1 x+1 (x+1)2+5(x+1)+4 4 = =x+1+ +5 x+1 x+1 ≥2 4 4 (x+1)× +5=9,当且仅当 x+1= , x+1 x+ 1

(x+5)(x+2) 即 x=1 时等号成立,故函数 y= 的最小 x+1 值为 9.

答案

25 (1)A (2) 2

(3)9

基础诊断

考点突破

课堂总结

考点三 基本不等式的实际应用 【例 3】 (2014· 银川模拟)运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速 行驶 130 千米,按交通法规限制 50≤x≤100(单位:千米/ 时).假设汽油的价格是每升 2 元,而汽车每小时耗油 ? x2 ? ?2+ ?升,司机的工资是每小时 14 元. 360? ? (1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式; (2)当 x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费 用的值.

基础诊断

考点突破

课堂总结

130 解 (1)设所用时间为 t= (h), x ? x2 ? 130 130 y= x ×2×?2+360?+14× x ,x∈[50,100]. ? ? 130×18 所以,这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是 y= + x 2×130 x,x∈[50,100]. 360 2 340 13 (或 y= x + x,x∈[50,100]). 18

基础诊断

考点突破

课堂总结

130×18 2×130 (2)y= x + x≥26 10, 360 130×18 2×130 当且仅当 x = x, 360 即 x=18 10时,等号成立. 故当 x=18 10千米/时,这次行车的总费用最低,最低费用的 值为 26 10元.

基础诊断

考点突破

课堂总结

规律方法

有关函数最值的实际问题的解题技巧

(1)根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式 求得函数的最值;(2)设变量时一般要把求最大值或最小值 的变量定义为函数;(3)解应用题时,一定要注意变量的实 际意义及其取值范围;(4)在应用基本不等式求函数最值 时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解.

基础诊断

考点突破

课堂总结

【训练 3】 首届世界低碳经济大会在南昌召开,本届大会以 “节能减排,绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门 的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转 化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最 少为 400 吨,最多为 600 吨,月处理成本 y(元)与月处理量 1 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为 y= x2-200x+ 2 80 000, 且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值 为 100 元.

(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处 理成本最低? (2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如 果不获利,则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不 亏损?
基础诊断 考点突破 课堂总结

y 1 解 (1)由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为x= x+ 2 80 000 1 80 000 x -200≥2 2x· x -200=200, 1 80 000 当且仅当 x= ,即 x=400 时等号成立, x 2 故该单位月处理量为 400 吨时,才能使每吨的平均处理成本最 低,最低成本为 200 元.

(2)不获利.设该单位每月获利为 S 元,则 S=100x-y=100x- ?1 2 ? 1 1 ? x -200x+80 000?=- x2+300x-80 000=- (x-300)2- 2 2 ?2 ? 35 000,因为 x∈[400,600],所以 S∈[-80 000,-40 000]. 故该单位每月不获利,需要国家每月至少补贴 40 000 元才能不 亏损.
基础诊断 考点突破 课堂总结

[思想方法]
1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化 为“和式”的放缩功能,常常用于比较数(式)的大小或证明 不等式,解决问题的关键是分析不等式两边的结构特 点,选择好利用基本不等式的切入点.
2.对于基本不等式,不仅要记住原始形式,而且还要掌握它 ?a+b? ? ?2 的几种变形形式及公式的逆用等,例如:ab≤? ? ≤ 2 ? ? a2+b2 a+b a2+b2 , ab≤ ≤ (a>0,b>0)等,同时还要 2 2 2 注意不等式成立的条件和等号成立的条件.
基础诊断 考点突破

课堂总结

[易错防范]
1.注意基本不等式成立的条件是a>0,b>0,若a<0,b<0, 应先转化为-a>0,-b>0,再运用基本不等式求解. 2.“当且仅当a=b时等号成立”的含义是“a=b”是等号成立的 充要条件,这一点至关重要,忽略它往往会导致解题错误. 3.有些题目要多次运用基本不等式才能求出最后结果,针对这 种情况,连续使用此定理要切记等号成立的条件要一致.

基础诊断

考点突破

课堂总结


相关文章:
2016届《创新设计》数学一轮(理科)人教A版配套精品课件 7-3基本不....ppt
2016届《创新设计》数学一轮(理科)人教A版配套精品课件 7-3基本不等式及其应用_数学_高中教育_教育专区。2016届《创新设计》数学一轮(理科)人教A版配套精品课件 ...
2016届《创新设计》数学一轮(理科)人教A版配套精品课件 8-3直线、....ppt
2016届《创新设计》数学一轮(理科)人教A版配套精品课件 8-3直线、平面平行
...人教A版配套精品课件 选修4-5-2 不等式选讲_图文.ppt
2016届《创新设计》数学一轮(理科)人教A版配套精品课件 选修4-5-2 不等式选讲 - 第2讲 最新考纲 单不等式. 不等式的证明 了解证明不等式基本方法:比较法...
2016届《创新设计》数学一轮(理科)人教A版配套精品课件 7-3基本不....ppt
2016届《创新设计》数学一轮(理科)人教A版配套精品课件 7-3基本不等式及其应用_数学_高中教育_教育专区。第3讲最新考纲 基本不等式及其应用 1.了解基本不等式的...
...人教A版配套精品课件 13-3数学归纳法及其应用_图文.ppt
2016届《创新设计》数学一轮(理科)人教A版配套精品课件 13-3数学归纳法及其应用 - 第 3讲 最新考纲 数学归纳法及其应用 1.了解数学归纳法的原理;2.能用数学...
...人教A版配套精品课件 6-3等比数列及其前n项和_图文.ppt
2016届《创新设计》数学一轮(理科)人教A版配套精品课件 6-3等比数列及其前n项和 - 第3讲 最新考纲 等比数列及其前n项和 1.理解等比数列的概念,掌握等比数列...
...人教A版配套精品课件 选修4-5-1 不等式选讲_图文.ppt
2016届《创新设计》数学一轮(理科)人教A版配套精品课件 选修4-5-1 不等式选讲 - 第1讲 最新考纲 不等式、含有绝对值的不等式 1.理解绝对值三角不等式的代数...
2016届《创新设计》人教A版高考数学(文)大一轮复习课件....ppt
2016届《创新设计》人教A版高考数学(文)大一复习课件 第7章 不等式 第3基本不等式及其应用 - 第3基本不等式及其应用 最新考纲 1.了解基本不等式的证明...
2016届《创新设计》数学一轮(理科)人教A版配套精品课件 10-3变量....ppt
2016届《创新设计》数学一轮(理科)人教A版配套精品课件 10-3变量间的相关
2016届《创新设计》数学一轮(理科)人教A版配套精品课件....ppt
2016届《创新设计》数学一轮(理科)人教A版配套精品课件 9-5椭圆 - 第5
2016届《创新设计》数学一轮(理科)人教A版配套精品课件 5-3平面....ppt
2016届《创新设计》数学一轮(理科)人教A版配套精品课件 5-3平面向量的数量积 - 第 3讲 平面向量的数量积 最新考纲 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义; ...
2016届《创新设计》数学一轮(理科)人教A版配套精品课件....ppt
2016届《创新设计》数学一轮(理科)人教A版配套精品课件 13-2直接证明与间接证明 - 第 2讲 最新考纲 直接证明与间接证明 1.了解直接证明的两种基本方法分析...
2016届《创新设计》数学一轮(理科)人教A版配套精品课件....ppt
2016届《创新设计》数学一轮(理科)人教A版配套精品课件 9-4直线与圆、圆与
2016届《创新设计》数学一轮(理科)人教A版配套精品课件 8-5空间....ppt
2016届《创新设计》数学一轮(理科)人教A版配套精品课件 8-5空间向量及其运算 - 第5讲 最新考纲 空间向量及其运算 1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定 ...
2016届《创新设计》数学一轮(理科)人教A版配套精品课件....ppt
2016届《创新设计》数学一轮(理科)人教A版配套精品课件 9-2两直线的位置关
2016届《创新设计》数学一轮(理科)人教A版配套精品课件 5-2平面....ppt
2016届《创新设计》数学一轮(理科)人教A版配套精品课件 5-2平面向量基本定理及坐标表示 - 第2讲 最新考纲 平面向量基本定理及坐标表示 1.了解平面向量的基本定理...
2016届《创新设计》数学一轮(理科)人教A版配套精品课件....ppt
2016届《创新设计》数学一轮(理科)人教A版配套精品课件 4-4三角函数的图象
2016届《创新设计》数学一轮(理科)人教A版配套精品课件....ppt
2016届《创新设计》数学一轮(理科)人教A版配套精品课件 12-2古典概型 - 第2讲 最新考纲 古典概型 1.理解古典概型及其概率计算公式;2.会计算一 些随机事件所...
...人教A版配套精品课件 5-4平面向量的应用_图文.ppt
2016届《创新设计》数学一轮(理科)人教A版配套精品课件 5-4平面向量的应用 - 第4讲 最新考纲 平面向量的应用 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题; 2....
2016届《创新设计》数学一轮(理科)人教A版配套精品课件....ppt
2016届《创新设计》数学一轮(理科)人教A版配套精品课件 选修4-2 矩阵与变
更多相关标签: