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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学苏教版选修2-3【备课资源】2.5.2

2.5.2 一、基础过关 离散型随机变量的方差与标准差 1.下列说法中,正确的是________.(填序号) ①离散型随机变量的均值 E(X)反映了 X 取值的概率平均值; ②离散型随机变量的方差 V(X)反映了 X 取值的平均水平; ③离散型随机变量的均值 E(X)反映了 X 取值的平均水平; ④离散型随机变量的方差 V(X)反映了 X 取值的概率平均值. 2.若 X 的概率分布为 X P 其中 p∈(0,1),则 V(X)=________. 3.已知 X~B(n,p),E(X)=8,V(X)=1.6,则 n 与 p 的值分别是________和________. 1 4.已知随机变量 X 的概率分布为 P(X=k)= ,k=1,2,3,则 V(3X+5)=________. 3 5.已知随机变量 ξ 的概率分布如下表,则 ξ 的标准差约为________. ξ P 二、能力提升 6.若 V(ξ)=1,则 V(ξ-V(ξ))=________. 7.随机变量 ξ 的概率分布如下: ξ P -1 a 0 b 1 c 1 0.4 3 0.1 5 x 0 1-p 1 p 1 其中 a、b、c 成等差数列,若 E(ξ)= ,则 V(ξ)=________. 3 8.若随机事件 A 在 1 次试验中发生的概率为 p(0<p<1),用随机变量 X 表示 A 在 1 次试验中 2V?X?-1 发生的次数,则方差 V(X)的最大值为________; 的最大值为________. E?X? 9.抛掷一枚质地均匀的骰子,用 X 表示掷出偶数点的次数. (1)若抛掷一次,求 E(X)和 V(X); (2)若抛掷 10 次,求 E(X)和 V(X). 10.有 10 张卡片,其中 8 张标有数字 2,2 张标有数字 5,从中随机地抽取 3 张卡片,设 3 张 卡片数字之和为 ξ,求 E(ξ)和 V(ξ). 11.有甲、乙两名学生,经统计,他们在解答同一份数学试卷时,各自的成绩在 80 分、90 分、100 分的概率分布大致如下表所示: 甲: 分数 X 概率 P 乙: 80 0.2 90 0.6 100 0.2 分数 Y 概率 P 试分析两名学生的成绩水平. 三、探究与拓展 80 0.4 90 0.2 100 0.4 12.某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必须先后经过两次烧制,当 第一次烧制合格后方可进入第二次烧制,两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术 水平,经过第一次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 0.5,0.6,0.4.经过第 二次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 0.6,0.5,0.75. (1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率; (2)经过前后两次烧制后,合格工艺品的个数为 ξ,求随机变量 ξ 的期望与方差. 答案 5 1 1.③ 2.p-p2 3.10 0.8 4.6 5.1.89 6.1 7. 8. 9 4 9.解 (1)X 服从两点分布 X P . 1 ∴E(X)=p= , 2 1 1 1 1- ? = . V(X)=p(1-p)= ×? 2? 4 2 ? 1? (2)由题意知,X~B? ?10,2?. 1 ∴E(X)=np=10× =5, 2 1 ? 1? 5 V(X)=npq=10× ×?1-2?= . 2 2 10.解 这 3 张卡片上的数字之和为 ξ,这一变量的可能取值为 6,9,12.ξ=6 表示取出的 3 张 卡片上均标有 2, C3 7 8 则 P(ξ=6)= 3 = . C10 15 ξ=9 表示取出的 3 张卡片上两张标有 2,一张标有 5, 1 C2 7 8C2 则 P(ξ=9)= 3 = . C10 15 ξ=12 表示取出的 3 张卡片上一张标有 2,两张标有 5, 2 C1 1 8C2 则 P(ξ=12)= 3 = . C10 15 ∴ξ 的概率分布为 ξ 6 7 15 9 7 15 12 1 15 0 1 2 1 1 2 2-2 2 P 7 7 1 ∴E(ξ)=6× +9× +12× =7.8. 15 15 15 7 7 1 V(ξ)=(6-7.8)2× +(9-7.8)2× +(12-7.8)2× =3.36. 15 15 15 11.解 ∵E(X)=80×0.2+90×0.6+100×0.2=90, V(X)=(80-90)2×0.2+(90-90)2×0.6+(100-90)2×0.2=40, E(Y)=80×0.4+90×0.2+100×0.4=90, V(Y)=(80-90)2×0.4+(90-90)2×0.2+(100-90)2×0.4=80, ∴E(X)=E(Y),V(X)<V(Y), ∴甲生与乙生的成绩均值一样,甲的方差较小,因此甲生的学习成绩较稳定. 12.解 分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件 A1、A2、A3. (1)设 E 表示第一次烧制后恰好有一件合格,则 P(E)=P(A1 A 2 A 3)+P( A 1A2 A 3)+P( A 1 A 2A3) =0.5×0.4×0.6+0.5×0.6×0.6+0.5×0.4×0.4=0.38. (2)因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为 p=0.3,所以 ξ~B(3,0.3). 故 E(ξ)=np=3×0.3=0.9, V(ξ)=np(1-p)=3×0.3×0.7=0.63.

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