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集合与简易逻辑练习题与答案


一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2011· 北京)已知集合 P={x|x2≤1},M={a}.若 P∪M=P,则 a 的取值范围是( A.(-∞,-1] C.[-1,1] B.[1,+∞) D.(-∞,-1]∪[1,+∞) ).

析 由题设 P∪M=P,可得 M?P,∴a2≤1,解得-1≤a≤1. 故选 C 2 . (2011· 陕 西 ) 设 集 合 M = {y|y = |cos2x - sin2x| , x ∈ R} , N = ).

? ?? ? 1 ?x x- ? < 2,i为虚数单位,x∈R?,则 M∩N 为( i? ? ?? ?

A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1] 解析 由题意得 M={y|y=|cos 2x|}=[0,1], N={x||x+i|< 2}={x|x2+1<2}=(-1,1), ∴M∩N=[0,1). 故选 C 3. (2011· 山东)对于函数 y=f(x), x∈R, “y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称”是“y=f(x)是奇函数” 的( ). B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充要条件

解析 若 y=f(x)是奇函数,则 f(-x)=-f(x), ∴|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|, ∴y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称,但若 y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称,如 y=f(x)=x2,而它不是 奇函数. 故选 B 4.已知命题“函数 f(x)、g(x)定义在 R 上,h(x)=f(x)· g(x),若 f(x)、g(x)均为奇函数,则 h(x) 为偶函数”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 解析 由 f(x)、g(x)均为奇函数,可得 h(x)=f(x)· g(x)为偶函数,反之则不成立,如 h(x)=x2 是 x2 偶函数,但函数 f(x)= x,g(x)=ex 都不是奇函数,故逆命题不正确,故其否命题也不正确,即 e 只有原命题和逆否命题正确.故选 C. 故选 C 5.下列命题错误的是( ). ).

A.命题“若 m>0,则方程 x2+x-m=0 有实根”的逆否命题为:“若方程 x2+x-m=0 无实

根,则 m≤0” B.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件 C.命题“若 xy=0,则 x,y 中至少有一个为零”的否定是:“若 xy≠0,则 x,y 都不为零” D.对于命题 p:?x∈R,使得 x2+x+1<0;则綈 p:?x∈R,均有 x2+x+1≥0 解析 对 C 选项中命题的否定是“若 xy=0,则 x,y 都不为零”,C 错.命题:“若 p 则 q” 的否命题是:“若綈 p,则綈 q”,命题的否定是:“若 p 则綈 q”. 故选 C 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.(2010· 重庆)设 U={0,1,2,3},A={x∈U|x2+mx=0},若?UA={1,2},则实数 m=________. 解析 ∵U={0,1,2,3},?UA={1,2},∴A={0,3},即方程 x2+mx=0 的两根为 0 和 3,∴m= -3. 故填 -3 7.设 p:方程 x2+2mx+1=0 有两个不相等的正根;q:方程 x2+2(m-2)x-3m+10=0 无实 根,则使 p 或 q 为真,p 且 q 为假的实数 m 的取值范围是________. b 解析 令 f(x)=x2+2mx+1.则由 f(0)>0,且- >0, 2a 且 Δ>0,求得 m<-1,∴p:m∈(-∞,-1).q:Δ=4(m-2)2-4(-3m+10)<0?-2<m<3. 由 p 或 q 为真,p 且 q 为假知,p、q 一真一假.
? ?m<-1, ①当 p 真 q 假时,? 即 m≤-2; ?m≤-2或m≥3, ? ? ?m≥-1, ②当 p 假 q 真时,? 即-1≤m<3. ?-2<m<3, ?

∴m 的取值范围是 m≤-2 或-1≤m<3. 故填 (-∞,-2]∪[-1,3) 8.已知命题 p:?x∈R,使 sin x= ①命题“p∧q”是真命题; ②命题“綈 p∨綈 q”是假命题; ③命题“綈 p∨綈 q”是真命题; ④命题“p∧q”是假命题. 其中正确的是________. 解析 命题 p 是假命题,命题 q 是真命题,故结论③④正确. 故填 ③④ 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9. 设 a∈R, 二次函数 f(x)=ax2-2x-2a.设不等式 f(x)>0 的解集为 A, 又知集合 B={x|1<x<3}, 5 ;命题 q:?x∈R,都有 x2+x+1>0,给出下列结论: 2

A∩B≠?,求 a 的取值范围. 解: 由 f(x)为二次函数知,a≠0. 1 令 f(x)=0,解得其两根为 x1= - a 1 x2= + a 1 2+ 2. a 1 2+ 2, a

由此可知 x1<0,x2>0. (1)当 a>0 时,A={x|x<x1 或 x>x2}. A∩B≠?的充要条件是 x2<3, 1 即 + a 1 6 2+ 2<3.∴a> . a 7 1 2+ 2>1,解得 a<-2. a

1 (2)当 a<0 时,A={x|x1<x<x2}.A∩B≠?的充要条件是 x2>1,即 + a 综上,使 A∩B≠?成立的 a 的取值范围是 6 ? (-∞,-2)∪? ?7,+∞?.

1 2 5 ? ? 10.已知集合 A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B=?y|y=2x -x+2,0≤x≤3?.
? ?

(1)若 A∩B=?,求 a 的取值范围; (2)当 a 取使不等式 x2+1≥ax 恒成立的 a 的最小值时,求(?RA)∩B. 解:A={y|y<a 或 y>a2+1},B={y|2≤y≤4}.
2 ? ?a +1≥4, ? (1)当 A∩B=?时, ?a≤2, ?

∴ 3≤a≤2 或 a≤- 3. ∴a 的取值范围是(-∞,- 3]∪[ 3,2]. (2)由 x2+1≥ax,得 x2-ax+1≥0, 依题意 Δ=a2-4≤0, ∴-2≤a≤2. ∴a 的最小值为-2. 当 a=-2 时,A={y|y<-2 或 y>5}. ∴?RA={y|-2≤y≤5}. ∴(?RA)∩B={y|2≤y≤4}.


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