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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版必修4第一章 1.2.1三角函数的定义课件_图文

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1.2.1

1.2.1
【学习要求】

三角函数的定义

1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义.
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2.掌握正弦、余弦、正切这三种函数值在各象限的符号. 【学法指导】 1.在初中所学习的锐角三角函数的基础上过渡到任意角三角 函数的概念. 2.紧扣任意角的三角函数的定义来掌握三角函数值在各象限 的符号规律. 3.理解任意角的三角函数的定义不仅是学好本节内容的关 键,也是学好本章内容的关键.

填一填·知识要点、记下疑难点

1.2.1

1.任意角的三角函数的定义
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如图所示,以任意角 α 的顶点 O 为坐标原 点, 以角 α 的始边的方向作为 x 轴的正方向, 建立直角坐标系.设 P(x,y)是任意角 α 终 边上不同于坐标原点的任意一点. 其中,r=OP= x2+y2>0.

x x cos α= r 定义: r 叫做角 α 的余弦,记作 cos α,即 ;
y y sin α=r r 叫做角 α 的正弦,记作 sin α,即 ; y y tan α=x 叫做角 α 的正切,记作 tan α,即 . x

填一填·知识要点、记下疑难点

1.2.1

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1 r 另外,角 α 的正割:sec α= cos α = x ; r 1 角 α 的余割:csc α= sin α = y ; x 1 角 α 的余切:cot α= tan α = y .
2.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号

研一研·问题探究、课堂更高效

1.2.1

探究点一
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锐角三角函数的定义

问题 1 如图,Rt△ABC 中,∠C=90° ,若已知 a= 3,b=4,c=5,试求 sin A,cos B,sin B,cos A, tan A,tan B 的值. a 3 b 4 答 sin A=cos B= = ;sin B=cos A= = ; c 5 c 5 a 3 b 4 tan A= = ;tan B= = . b 4 a 3

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问题 2 如图,锐角 α 的顶点与原点 O 重合,始 边与 x 轴的非负半轴重合,在 α 终边上任取一
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点 P(a,b),它与原点的距离为 r,作 PM⊥x 轴,你能根据直角三角形中三角函数的定义求 出 sin α,cos α,tan α 吗? b a b 答 sin α= ,cos α= ,tan α= . r r a

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探究点二 任意角三角函数的定义及定义域

1.2.1

设 α 是一个任意角,α 的终边上任意一点 P 的坐标是(x,y), x y y r r x 2 2 它与原点的距离 r(r= x +y >0),则 r 、r 、x、x、y、y 依次
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称作角 α 的余弦、正弦、正切、正割、余割、余切,分别记 x y y r r 作 cos α= r ,sin α= r,tan α=x,sec α=x,csc α=y,cot α x = y .根据三角函数的定义可知,三角函数是一个比值,是一 个实数,这个数的大小和点 P(x,y)离原点的距离无关,而是 由角 α 的终边位置所确定. 六种三角函数的定义域可以分为: 正弦与余弦、正切与正割、余切与余割,现将它们的定义域 列表如下,请你补充完整.

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1.2.1

三角函数 sin α,cos α
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定义域 R
? ? π ? ? ?α|α≠kπ+ ,k∈Z? 2 ? ? ? ?
? ? ? ? ?

tan α, α sec cot α,csc α

α|α≠kπ,k∈Z

? ? ? ? ?

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探究点三 三角函数值在各象限的符号 三角函数的定义告诉我们,三角函数在各象限内的符号,取决 于 x,y 的符号. y (1)sin α=r (r>0), 因此 sin α 的符号与 y 的符号相同, α 的终 当 边在第 一、二 象限时,sin α>0;当 α 的终边在第 三、四 象限 时,sin α<0. x (2)cos α= r (r>0),因此 cos α 的符号与 x 的符号相同,当 α 的 终边在第 一、四 象限时,cos α>0; α 的终边在第 二、三 象 当 限时,cos α<0. y (3)tan α=x,因此 tan α 的符号由 x、y 确定,当 α 终边在第 一、三 象限时, xy>0, α>0; α 终边在第 二、四 象限时, tan 当 xy<0,tan α<0.

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1.2.1

根据任意角三角函数的定义可知:sin α与csc α的符号相同; cos α与sec α的符号相同;tan α与cot α符号相同.六种三角函
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数在各象限的符号规律如下图所示:

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[典型例题]

1.2.1

例 1 已知角 α 的终边上一点 P(-15a,8a) (a∈R 且 a≠0), α 求 的六个三角函数值. 解 ∵x=-15a,y=8a,
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∴r= ?-15a?2+?8a?2=17|a| (a≠0).
(1)若 a>0,则 r=17a,于是 8 15 8 sin α=17,cos α=-17,tan α=-15, 17 17 15 sec α=- ,csc α= ,cot α=- . 15 8 8 (2)若 a<0,则 r=-17a,于是 8 15 8 sin α=-17,cos α=17,tan α=-15, 17 17 15 sec α= ,csc α=- ,cot α=- . 15 8 8

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1.2.1

小结
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利用三角函数的定义,求一个角的三角函数,需要确定

三个量:角的终边上任意一个异于原点的点 P 的横坐标 x、纵 坐标 y、 P 到原点的距离 r.特别注意, 点 当点的坐标含有参数时, 应分类讨论.

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跟踪训练 1 已知角 θ 的终边上一点 P(x,3) (x≠0),且 cos θ= 10 x,求 sin θ,tan θ,cot θ. 10 x 10 x 2 解 ∵r= x +9,cos θ= ,∴ x= 2 . r 10 x +9
∵x≠0,∴x=± 1.

∵y=3>0,∴θ 是第一或第二象限角, 3 10 1 当 θ 为第一象限角时,sin θ= 10 ,tan θ=3,cot θ=3; 3 10 1 当 θ 为第二象限角时,sin θ= 10 ,tan θ=-3,cot θ=-3.

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例 2 求下列各角的六个三角函数值. 3π (1)0;(2)π;(3) . 2 解 (1)当 α=0 时,x=r,y=0,
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所以 sin 0=0,cos 0=1,tan 0=0, csc 0 不存在,sec 0=1,cot 0 不存在; (2)当 α=π 时,x=-r,y=0, 所以 sin π=0,cos π=-1,tan π=0. csc π 不存在,sec π=-1,cot π 不存在; 3π (3)当 α= 2 时,x=0,y=-r, 3π 3π 3π 所以 sin 2 =-1,cos 2 =0,tan 2 不存在, 3π 3π 3π csc =-1,sec 不存在,cot =0. 2 2 2

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小结 求任意角的三角函数值, 最后常常转化为求特殊角的三角
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函数值,因此对特殊角的三角函数值应当适当加强记忆.

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跟踪训练 2

1.2.1

利用任意角三角函数的定义写出下列角的六个三

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角函数值. π π π π (1) ;(2) ;(3) ;(4) . 6 4 3 2 π 1 π 3 π 3 π 2 3 π 解 (1)sin 6=2,cos 6= 2 ,tan 6= 3 ,sec 6= 3 ,csc 6= π 2,cot 6= 3; π 2 π 2 π π π (2)sin 4= 2 ,cos 4= 2 ,tan 4=1,sec 4= 2,csc 4= 2, π cot 4=1; π 3 π 1 π π π 2 3 (3)sin = ,cos = ,tan = 3,sec =2,csc = , 3 2 3 2 3 3 3 3 π 3 cot = ; 3 3

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1.2.1

π π π π π (4)sin =1,cos =0,tan 不存在,sec 不存在,csc =1, 2 2 2 2 2 π cot =0. 2
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例 3 判断下列各式的符号: (1)sin α· α(其中 α 是第二象限角); cos
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(2)sin 285° cos(-105° ); ? 23π? (3)sin 3· 4· ?- 4 ?. cos tan ? ?
解 (1)∵α 是第二象限角. ∴sin α>0,cos α<0,∴sin α· α<0. cos
(2)∵285° 是第四象限角,∴sin 285° <0, ∵-105° 是第三象限角,∴cos(-105° )<0, ∴sin 285°cos(-105° · )>0.

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π 3π (3)∵ <3<π,π<4< ,∴sin 3>0,cos 4<0. 2 2 ? 23π? 23π π ∵- =-6π+ ,∴tan?- 4 ?>0, 4 4 ? ? 本 ? 23π? ?<0. 课 ∴sin 3· 4· ?- cos tan 4 ? ? 时
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1.2.1

小结 准确确定三角函数值中角所在象限是基础, 准确记忆三角 函数在各象限的符号是解决这类问题的关键. 可以利用口诀“一 全正、二正弦、三正切、四余弦”来记忆.

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跟踪训练 3
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(1)若 sin αcos α<0,则 α 是第________象限角. 二或四

负号 (2)代数式:sin 2· 3· 4 的符号是_________. cos tan

练一练·当堂检测、目标达成落实处

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1. sin(-270° )的值为 A.-1 B.1 C.0 D.不存在

( B )

解析 -270° 终边落在 y 轴正半轴,设 P(x,y)为-270° 任一 y 点,则 x=0,y=r,∴sin(-270° =1. )= r

练一练·当堂检测、目标达成落实处

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2. 如果角 α 的终边过点 P(2sin 30° -2cos 30° 则 cos α 的值 , ), 等于 1 A. 2 ( A ) 1 B.- 2 3 C.- 2 3 D. 2

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1 解析 2sin 30° =1,-2cos 30° =- 3,∴r=2,∴cos α=2.

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3 3. 若点 P(3,y)是角 α 终边上的一点,且满足 y<0,cos α= , 5
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则 tan α 等于 3 A.- 4

( D ) 3 B. 4 4 C. 3 4 D.- 3

3 3 解析 ∵cos α= 2 2=5,∴ 32+y2=5,∴y2=16, 3 +y 4 ∵y<0,∴y=-4,∴tan α=-3.

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1.2.1

{x|2kπ≤x≤ 4.如果 sin x=|sin x|,那么角 x 的取值集合是_______________
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2kπ+π,k∈Z} ______________.

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1.2.1

1.三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和点 P(x,
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y)在终边上的位置无关,只由角 α 的终边位置确定.即三角 函数值的大小只与角有关.
2.要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题,并 且注意掌握解题时必要的分类讨论及三角函数值符号的正 确选取.
3.要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切值.


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