当前位置:首页 >> 天文/地理 >>


圆(一)圆的方程
掌握圆的标准方程、一般方程、参数方程,圆的三种形式的方程的灵活运用. 1、圆心为 C ( a, b) ,半径为 r 的圆的标准方程为:( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 (r ? 0) .特殊地, 当 a ? b ? 0 时,圆心在原点的圆的方程为: x 2 ? y 2 ? r 2 . 2、圆的一般方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,圆心为点 ? ?

? D E? , ? ? ,半径 2? ? 2

r?

D2 ? E 2 ? 4F ,其中 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 . 2

3、二元二次方程 Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,表示圆的方程的充要条件是:
2 ① x 项 y 2 项的系数相同且不为 0 ,即 A ? C ? 0 ;②没有 xy 项,即 B ? 0 ; ③ D 2 ? E 2 ? 4 AF ? 0 . x ? a ? r cos? 4 、圆 C : ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的参数方程为 ? ( ? 为参数 ). 特殊地, ? ? y ? b ? r sin? x ? r cos? ( ? 为参数) x 2 ? y 2 ? r 2 的参数方程为 ? ? ? y ? r sin ? 1、求圆的方程 例、 求满足下列各条件圆的方程:

?1? 以 A(4 , 9) , B(6 , 3) 为直径的圆; ? 2 ? 与 x, y 轴均相切且过点 (1,8) 的圆; ? 3? 求经过 A(5 , 2) , B(3 , ? 2) 两点,圆心在直线 2 x ? y ? 3 上的圆的方程;

2、圆心及半径问题 例 1、方程 x ? y ? ax ? 2ay ? 2a ? a ?1 ? 0 表示圆,则 a 的取值范围是(
2 2 2

)

2 2 C . ?2 ? a ? 0 D. ?2 ?a ? ?a ? 0 3 3 2 2 例 2、点 M , N在圆x ? y ? kx ? 2 y ? 4 ? 0 上,且点 M , N 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对
A. a ? ?2 B. ?
称,则该圆的圆心坐标为 。

3、点与圆的位置关系 2 例 1、P(5a+1,12a)在圆(x-1) +y2=1 的内部,则 a 的取值范围是______

例 2、证明:直线 y ? 1 ? k ?x ? 2? 与圆 ?x ? 1? ? ? y ? 1? ? 6 恒相交。
2 2

4、三角形的外接圆及内切圆及相切圆问题 例 1、已知正三角形的两个顶点坐标为 A?5, ? 6?, B?? 1,2? ,求三角形 ABC 外接圆方程。

例 2、已知三角形三边所在直线的方程为 x ? 2 y ? 5,2 x ? y ? 5,2 x ? y ? 5 ,求三角形 内切圆方程。

5、直线与圆的位置关系
2 2 2 1、直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种

, d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; A2 ? B 2 (2) d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; (3) d ? r ? 相交 ? ? ? 0 (1)若 d ? 例 1、当曲线 y ? 1 ? 4 ? x 2 与直线 y ? k ?x ? 2? ? 4 有两个相异交点时,求 K 范围。

Aa ? Bb ? C

例 2、若圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上至少有三个点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为
2 2

2 2 ,求直线倾斜角的范围。

例 3、 、已知圆 O: x 2 ? y 2 ? 5 和点 A(1,2) ,求过 A 且与圆 O 相切的直线方程

例 4、求圆 x 2 ? y 2 ? 1 的切线方程,使得此切线夹在俩个正坐标轴间的线段最短。

6、圆的切点弦方程

例 1、过点 P?3,6? 引圆 x ? y ? 4 两条切线 PA,PB,A,B 为切点,求过 A,B 的直线方程。
2 2

2、过原点 O 作圆 x ? y ? 6 x ? 8 y ? 20 ? 0 的两条切线,切点分别为 P,Q。 求 PQ 的长。
2 2

练习: 1、已知实数 x 、 y 满足方程 x ? y ? 4 x ? 1 ? 0 .
2 2

?1? 求 x 的最大值和最小值;

y

? 2 ? 求 y ? x 的最小值; ? 3? 求 x2 ? y 2 的最大值和最小值.

2、平面上两点 A ? ?1,0? 、 B ?1,0 ? ,在圆 C : ? x ? 3 ? ? ? y ? 4 ? ? 4 上取一点 P ,
2 2

求使 AP ? BP 取得最小值时点 P 的坐标.

2

2

3、已知圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 关于直线 y ? 2 x ? b 成轴对称,则 b ? 4、一束光线从点 A(-1,1)出发经 x 轴反射到圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1 上的最短路程是 5、 (1)已知△ABC 的三个项点坐标分别是 A(4,1) ,B(6,-3) ,C(-3,0) ,求△ ABC 外接圆的方程。

6、已知 AC、BD 为圆 O : x2 ? y 2 ? 4 的两条相互垂直的弦,垂足为 M 1, 2 ,则四边 形 ABCD 的面积的最大值为
2 2

?

?



7、已知曲线 C : x ? y ? 2kx ? (4k ? 10) y ? 10k ? 20 ? 0 ,其中 k ? ?1 ;

?1? 求证:曲线 C 都是圆,并且圆心在同一条直线上; ? 2 ? 证明:曲线 C 过定点; ? 3? 若曲线 C 与 x 轴相切,求 k 的值;

8、已知圆 C: x ? ( y ? 1) ? 5 ,直线 L: mx ? y ? 1 ? m ? 0 。
2 2

①求证:对 m ? R ,直线 L 与圆 C 总有两个不同的交点; ②设 L 与圆 C 交于 A、B 两点,若 AB ? 17 ,求 L 的倾斜角; ③求直线 L 中,截圆所得的弦最长及最短时的直线方程.


相关文章:
更多相关标签: