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谈中学数学中的对称之美

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 谈中学数学中的对称之美 作者:吴建东 来源:《考试周刊》 2013 年第 61 期 摘 要: 对称是中学数学很多知识点的一个通性,从一个侧面体现数学的美感. 数字及代 数、多项式、简单及复杂几何形体等都展示了数学中的对称之美. 本文通过对这些知识点中的 对称进行阐述,发觉其中的自然与人文之美,引导广大中学生发现数学之美,逐步发展数学思 维. 关键词: 中学数学 对称之美 数字多项式 几何形体 对称,物体或图形在某种变换条件(例如绕直线的旋转,对于平面的反映,等等)下,其 相同部分间有规律重复的现象,亦即在一定变换条件下的不变现象. 自然界是简约与对称的这 种大美令人匪夷所思. 山川、河流、树木等,在严格意义上来讲都是不对称的,然而,将研究 对象扩大到整个地球、星系、宇宙,抑或缩小至晶体、分子、原子,世界又都是对称的. 可以 这么说,在与我们生活大致相同的尺度内,不对称属于自然界,而对称属于人类,是一种创造 出来的人文之美. 这些人文之美在初中的知识中有很多的体现. 1. 数字的对称 数学本身是大自然的,然而数字是人类发明的,并且人类用自己发明的数字来发现并且解 释大自然的数学. 数字从自然数开始,最开始是人类用于简单计数. 随着社会的发展,人们发明 了负数. 于是第一对数字的对称出现了:正数与负数的对称. 负数并不是自然存在的,而是人们 发明的一个概念. 正数与负数以零点为对称点,每写出一个正数,都有一个相应的负数与之对 应,其转化方法仅仅是在这个正数前面加一个负号“-”而已. 当纯数字也无法满足人们的计算要求时,代数被人类发明了出来. 作为数字的延伸,数字 的对称性在代数上保留了下来. 无论字母 a,b,c 代表怎样的数,它们的正负性及关于正负的对 称性总是存在的. 当函数的概念被提出来之后,对称性问题成为函数的一个重要性质. 二次函数关于对称轴 的左右对称,三角函数关于对称轴和对称中心的轴对称和中心对称,这些都成了解决很多问题 的关键. 函数是方程的延伸,方程是数字运算的延伸,函数的对称性是数字对称的一个典型例 证. 例 1:函数 y=3sin(2x+π/6)的图像的对称轴方程为?摇?摇?摇?摇?摇?摇. 解:2x+π/6=2(x+π/12),设 x+π/12=a,则方程变为 y=3sin2a 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 方程 y=3sin2a 的对称轴为 aπ/4+kπ/2,即 x+π/12=π/4+kπ/2,解之,得对称轴为 x=π/6+kπ/2,k∈ Z. 所以答案为 x=π/6+kπ/2,k∈ Z. 2. 多项式对称 多项式及多项式的因式分解是中学数学的重要知识点,在众多的多项式中,有一类多项 式,如果将其任意的两个字母进行互换,则所得到的多项式不变,这类多项式被称为对称多项 式,简称对称式. 对称式的一个重要本质就是各个字母在多项式中的地位相等,例如 xyz, a+b+c 等,构成了一大类问题,通过对称式的性质可以轻松巧妙地解决这些问题. 例 2:已知 0 分析:此例题中的字母 x,y,z 在多项式 xyz(1-x)(1-y)(1-z)中的地位完全一样, 并且取值范围完全相同,即 x,y,z 在此构成了对称式. 不等式后面正好是 1/4 的三次方. 通过观 察,结合对称式的性质,可以将问题转化为证明 x(1-x)≤1/4 或者 y(1-y)≤1/4 或者 z(1z)≤1/4,即将问题简化为只需证明其中一个简单式子成立即可. 证明:因为 00. 所以( - )2≥0,2 ≤x+1-x=1,x(1-x)≤1/4. 同理 y(1-y)≤1/4,z(1-z)≤1/4 同时成立,所以 xyz(1-x)(1-y)(1-z)≤(1/4)3 成 立. 3. 几何形体的对称 几何形体的对称以其直观并且美观的样式呈现在人们的眼前,也是中学数学知识点中,展 现对称性最直接、数量最大的方面. 线对称、点对称,人们用自己的审美搭建了完整的几何体 系. 几何形体的对称性历来是中学数学的重点,线段的平分问题,角平分线的尺规作图问题都 是几何学入门的基础. 等边三角形、等腰梯形、矩形、正多边形、圆形、菱形,以及高中阶段 要学到的圆锥曲线等,其中都有对称性的具体表现. 轴对称和点对称不仅赋予了它们美观,而 且使它们具有了一些特殊的性质,也正是这些特殊的性质为中学生对几何的学习增添了不少乐 趣. 例 3(数学奥林匹克竞赛题目):如图所示,在△ ABC 中, AB>AC, BE、CF 分别为 △ ABC 的两条高线,求证: AB+CF>AC+BE. 分析:由三角形的高线可以想到利用三角形的面积和相似三角形的相关知识进行分析,这 是第一种思路. 另外,观察题目可知,这里的△ ABC 并不是传统意义上的等腰三角形或者等边三角形,这 时可以考虑自己构造一个对称的等腰三角形.AB>AC,由大边对大角定理,可得∠ C>∠B. 如果 将∠ A 的平分线作出,可以轻松地作出一个等腰三角形,利用其对称性可以进行证明. 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 方法一:由题意,由于 BE、CF 为△ ABC 的两条高线,因此△ ACF∽ △ABE,由于 AB>AC,因此 AE>AF,因此 AE >AF . (AB+CF) =AB +CF +2AB· CF ,( AC+BE) =AC +BE +2AC· BE,由于三角形面积 S△ ABC=AB· CF=AC· BE. 根据勾股定理:AB =AE +BE 且 AC =CF +AF ,因此 AE =AB BE >AF =AC -CF ,因此 AB +CF >AC +BE ,因此( AB+CF) > (AC+BE) ,因此 AB+CF>AC+BE 成立. 方法二:作∠ A 的角平分线 l,由于 AB>AC,可在 AB 上找出点 C 关于 l 的轴对称点 C′, 则 AC=AC′,因此

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