湖北省武汉市部分重点中学(五校)2011-2012学年高一上学期期中统考数学试题

武汉市部分重点中学（五校） 2011-2012 学年高一上学期期中统考数学试题
命题人：武汉开发区一中 郑志明 审题人：汉铁高中 魏红梅

卷

I

一、选择题： （每小题5 分，共50 分，每小题的四个选项中，只有一项正确， 请将正确答案填在答题纸上。 ）
1．已知集合 A ? { x | x ? 1 ? 0} ，则下列式子表示正确的有（
2

）

①1 ? A A．1 个

② { ? 1} ? A B．2 个

③? ? A C．3 个 ）

④ {1, ? 1} ? A D．4 个

2．下列四个函数中,与 y=x 表示同一函数的是（ A. y ? ( x ) 2 3．若 lg x ? lg y ? a , 则 lg( A． 3 a B．
2

B.y= 3 x 3
x 2 3 2 a ) ? lg(
3

C.y= x 2 （ ） D． a

D.y=

x

2

x

y 2

) ?
3

C． 3 a ? 2

4． 如果函数 f ( x ) ? x ? 2 ( a ? 1) x ? 2 在区间 ? ? ? , 4 ? 上单调递减， 那么实数 a 的取值范围是 （ A、 a ≤ ? 3 B、 a ≥ ? 3 C、 a ≤ 5 D、 a ≥ 5 ）

）

x 5．根据表格中的数据，可以断定方程 e ? x ? 2 ? 0 的一个根所在的区间是（

x
e
x

－1 0.37 1

0 1 2 B． （0，1）
?1? ? ?2?
? 1 .5

1 2.72 3 C． （1，2） ，则

2 7.39 4

3 20.09 5 D． （2，3） （ ）

x?2

A． （－1，0）

6．设 y1 ? 4 0 .9 , y 2 ? 8 0 .4 8 , y 3 ? ? A、 y 3 ? y1 ? y 2

B、 y 2 ? y1 ? y 3

C、 y1 ? y 2 ? y 3

D、 y1 ? y 3 ? y 2

7．已知全集 U ? A ? B ? { x ? N x ? 7 }, A ? ( C U B ) ? { 2 ,3 ,5 , 7 }. 则 元素 4 属于哪一个集合判断正

确的是（ A． 4 ? A

） B． 4 ? B C． 4 ? B D． 不能确定

8．函数 f ( x ) ? ? x ?的函数值表示不超过 当 x ? ?3 , 4 . 5 ?时 ， f ( x ) ? x ，的解集为 A、 ?3 , 4 ? B、 ?4 ? C、 ?3 ?

x 的最大整数， 例如， ?- 3 . 5 ? ? - 4 ， ?2 . 1? ? 2 ，

（ D、 ( 3 , 4 . 5 ]

）

9．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线 y=f(x)(实线表示)，另一种是平均价格曲 线 y=g(x)(虚线表示)(如 f(2)=3 是指开始买卖后两个小时的即时价格为 3 元 g(2)=3 表示 2 个小时内的平均价 格为 3 元)，下图给出四个图象：

其中可能正确的图象序号是_____ _____． A．①②③④ B．①③④
2

C．①③

D．③

10. 已知函数 f ( x ) ? x ,,若存在实数 t ，当 x ? [ 0 , m ] 时， f ( x ? t ) ? x 恒成立，则实数 m 的最大值 为 A． 1 ． B．2 C.
2 2

D． 2

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
11.函数 y ? 12. f ( x ) ?
x?4 x?2
2 x ?1

的定义域为

.

，当 x ? [ 2 , 6 ]时 ，函数的最大值为

13.已知 f(x)是偶函数，它在 ? 0, ? ? ? 上是减函数。若 f (lg x ) ? f (1) 则 x 的取值范围是
4 14.已知函数 f ( x ? a ) ? ( x ? 2 ) ? 16 ，且 f [ f ( a )] ? 3 ，则 a ?

．

15. 函数 f ( x ) 取 ( x ? a ) , ( x ? a ) , ( x ? 2 ) 中的较大函数的值，其中 a 为非负实数, f ( x ) 的最小值为
2 2 2

g ( a ) ，则 g ( a ) 的最小值为

．

三．解答题： （本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤。 ）
16．已知集合 A ? { x | a ? 1 ? x ? 2 a ? 1} ， B ? { x | 0 ? x ? 1} ，

（1）若 a

?

1 2

，求 A ? B .

（2）若 A ? B ? ? ，求实数 a 的取值范围。

17．已知函数 f ( x ) ? log （1）求 f(x)的定义域；

2

(2

x

? 1) ，

（2）说明函数 f(x)的增减性，并用定义证明。

18.已知函数

? 4 ? x 2 ( x ? 0) ? f ? x ? ? ? 2( x ? 0) ?1 ? 2 x ( x ? 0 ) ?
2

，

（1）求

f ? a ? 1 ? ( a ? R ), f

? f ? 3 ? ? 的值；

（2）当 ? 4 ? x ? 3 时，求 f ? x ? 取值的集合.

19.已知定义在 R 上的函数

y ? f

? x ? 是偶函数，且 x ? 0 时， f ( x ) ? 2 ( x ?1 ) .

(1)当 x ? 0 时，求 f ? x ? 解析式；
（2）当 x ? [ ? 1, m ]( m ? ? 1)时 ，求 f ? x ? 取值的集合. （3）当 x ? [ a , b ]时 ，函数的值域为 [ , 2 ] ,求 a , b 满足的条件。
2 1

20.行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，要继续向前滑行一段距离后才会停下，这段距 离叫刹车距离。 为测定某种型号汽车的刹车性能， 对这种型号的汽车在国道公路上进行测试， 测试所得数据如下表。根据表中的数据作散点图，模拟函数可以选用二次函数或函数 （其中 a , b , c 为常数） 某人用 ． （0,0） ， （10,1.1） ， （30,6.9） 求出相关系数， （60,24.8） 用 验证，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由．在一次由这种型号的汽车发生 的交通事故中，测得刹车距离为 14.4m，问汽车在刹车时的速度大概是多少？
x

y ? ab

x

?c

（其中用函数 y

? ab

x

?c

拟合，经运算得到函数式为 y ? 1 . 3 ? 1 . 85 15 2.1 30 6.9 50 17.5 60 24.8

10

? 1 .3

，且 1 . 85

6

? 40 . 1 ）

刹车时车速 v/km/h 10 1.1 刹车距离 s/m

80 42.5

21．设函数 f ( x ) ? x x ? a ? b ． （1）当 a ? 1 ， b ? 1 时，求所有使 f ( x ) ? x 成立的 x 的值。 （2）若 f ( x ) 为奇函数，求证： a 2 ? b 2 ? 0 ；
,科,网] [学

（3）设常数 b ＜ 2 2 ? 3 ，且对任意 x ? ?0 ,1? ， f ( x ) ＜0 恒成立，求实数 a 的取值范围．

武汉市部分重点中学 2011-2012 学年度高一上学期 期中考试数学答案
一、选择题：
题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 A 5 C 6 D 7 B 8 B 9 D 10 A

二、填空题：
11、 { x | x ? ? 4 且 x ? ? 2} 13、 ( 15、1
1 10 ,10 )

12、2 14、 ? 2 ? 4 19

三、解答题：

17、解：(1) 依题意： 2
2 ?1? 2 ? x ? 0
x 0

x

?1 ? 0

f(x)的定义域为 { x | x ? 0} （2）f(x)的在定义域内为增函数。下面予以证明： 设任意 x 1 ? x 2 ? 0
2
x1 x2

?1 ?1

f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? log

(2 2

x1

?1 )

? log
x2

(2 2

x2

?1 )

? log
x1

2 2

? x1 ? x 2 ? 0 ? 2

x1

? 2

? 1? 2

?1 ? 2

x2

?1 ? 0 ?

2 2

x1 x2

?1 ?1

?1

f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ，即 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) 即函数 f(x)为定义域内增函数

19、解： （1）函数
? f ( x) ? f (? x)

y ? f

? x ? 是偶函数，

当 x ? 0 时， ? x ? 0
? f ( x) ? f (? x) ? 2
( ? x ?1 )

当 x ? 0 时 f ( x ) ? 2 ( ? x ?1 ) （2）当 ? 1 ? m ? 0时 ， x ? [ ? 1, m ] ， f ( x ) ? 2 ( ? x ?1 ) 为减函数
f

? x ? 取值的集合为 [ 2 ? m ?1 ,1]
1 2

当 0 ? m ? 1时 ， x ? [ ? 1, m ] ， f ( x ) 在区间 [ ? 1, 0 ] 为减函数，在区间 [ 0 , m ] 为增函数

且 f ( ? 1) ? f ( m ) ， f ( ? 1) ? 1, f ( 0 ) ? 2 ( 0 ?1 ) ?
f

? x ? 取值的集合为 [

1 2

,1 ]

当 1 ? m 时 ， x ? [ ? 1, m ] ， f ( x ) 在区间 [ ? 1, 0 ] 为减函数，在区间 [ 0 , m ] 为增函数

且 f ( ? 1) ? f ( m ) ， f ( 0 ) ? 2 ( 0 ? 1 ) ?
f

1 2

, f (m ) ? 2

( m ?1 )

? x ? 取值的集合为 [

1 2

,2

( m ?1 )

]

综上：当 ? 1 ?

m ? 0时 ， f

? x ? 取值的集合为 [ 2 ? m ?1 ,1]
1 2

当 0 ? m ? 1时 ， f ? x ? 取值的集合为 [ ,1 ]

当 1 ? m 时 ， f ? x ? 取值的集合为 [ , 2 ( m ? 1 ) ]
2

1

（3）当 x ? [ a , b ]时 ，函数的值域为 [

1 2

,2 ] ,

由 f ? x ? 的单调性和对称性知， f ? x ? 的最小值为
? 0 ? [a, b] ， f (?2) ? f (2) ? 2

1 2

，

当 a ? ? 2时，0 ? b ? 2 当 b ? 2时， ? 2 ? a ? 0

21、解： （1）当 a ? 1 ， b ? 1 时，函数 f ( x ) ? x | x ? 1 | ? 1 ．
x | x ? 1 | ?1 ? x
x ? 1 或 x ? ?1

（2） 若 f ( x ) 为奇函数,则对任意的 x ? R 都有 f ( ? x ) ? f ( x ) ? 0 恒成立， 即? x ? x ? a ? b ? x x ? a ? b ? 0， 令 x=0 得 b=0，令 x=a 得 a=0，∴ a 2 ? b 2 ? 0 （3）由 b ＜ 2 2 ? 3 ＜0， 当 x=0 时 a 取任意实数不等式恒成立． 当 0＜x≤1 时, f ( x ) ＜0 恒成立，也即 x ? 令 g (x) ? x ? 令 h(x) ? x ?
?

b x

＜a ＜ x ?

b x

恒成立．

b x b

在 0＜x≤1 上单调递增，∴ a ＞ g m ax ( x ) ? g (1) ? 1 ? b ． ，则 h ( x ) 在 (0, ? b ] 上单调递减， [ ? b , ? ? ) 单调递增
b x

x
1 当 b ＜ ? 1 时， h ( x ) ? x ?

在 0＜x≤1 上单调递减；

∴ a ＜ h m in ( x ) ? h (1) ? 1 ? b ，∴ 1 ? b ＜ a ＜ 1 ? b ．
2 当 ? 1 ≤b ＜ 2 2 ? 3 时
?

h(x) ? x ?

b x

≥2 ? b ．

∴ a ＜ h m in ( x ) ? 2 ? b ．∴ 1 ? b ＜ a ＜ 2 ? b ．