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湖北省武汉市部分重点中学(五校)2011-2012学年高一上学期期中统考数学试题


武汉市部分重点中学(五校) 2011-2012 学年高一上学期期中统考数学试题
命题人:武汉开发区一中 郑志明 审题人:汉铁高中 魏红梅



I

一、选择题: (每小题5 分,共50 分,每小题的四个选项中,只有一项正确, 请将正确答案填在答题纸上。 )
1.已知集合 A ? { x | x ? 1 ? 0} ,则下列式子表示正确的有(
2



①1 ? A A.1 个

② { ? 1} ? A B.2 个

③? ? A C.3 个 )

④ {1, ? 1} ? A D.4 个

2.下列四个函数中,与 y=x 表示同一函数的是( A. y ? ( x ) 2 3.若 lg x ? lg y ? a , 则 lg( A. 3 a B.
2

B.y= 3 x 3
x 2 3 2 a ) ? lg(
3

C.y= x 2 ( ) D. a

D.y=

x

2

x

y 2

) ?
3

C. 3 a ? 2

4. 如果函数 f ( x ) ? x ? 2 ( a ? 1) x ? 2 在区间 ? ? ? , 4 ? 上单调递减, 那么实数 a 的取值范围是 ( A、 a ≤ ? 3 B、 a ≥ ? 3 C、 a ≤ 5 D、 a ≥ 5 )



x 5.根据表格中的数据,可以断定方程 e ? x ? 2 ? 0 的一个根所在的区间是(

x
e
x

-1 0.37 1

0 1 2 B. (0,1)
?1? ? ?2?
? 1 .5

1 2.72 3 C. (1,2) ,则

2 7.39 4

3 20.09 5 D. (2,3) ( )

x?2

A. (-1,0)

6.设 y1 ? 4 0 .9 , y 2 ? 8 0 .4 8 , y 3 ? ? A、 y 3 ? y1 ? y 2

B、 y 2 ? y1 ? y 3

C、 y1 ? y 2 ? y 3

D、 y1 ? y 3 ? y 2

7.已知全集 U ? A ? B ? { x ? N x ? 7 }, A ? ( C U B ) ? { 2 ,3 ,5 , 7 }. 则 元素 4 属于哪一个集合判断正

确的是( A. 4 ? A

) B. 4 ? B C. 4 ? B D. 不能确定

8.函数 f ( x ) ? ? x ?的函数值表示不超过 当 x ? ?3 , 4 . 5 ?时 , f ( x ) ? x ,的解集为 A、 ?3 , 4 ? B、 ?4 ? C、 ?3 ?

x 的最大整数, 例如, ?- 3 . 5 ? ? - 4 , ?2 . 1? ? 2 ,

( D、 ( 3 , 4 . 5 ]



9.在股票买卖过程中,经常用到两种曲线,一种是即时价格曲线 y=f(x)(实线表示),另一种是平均价格曲 线 y=g(x)(虚线表示)(如 f(2)=3 是指开始买卖后两个小时的即时价格为 3 元 g(2)=3 表示 2 个小时内的平均价 格为 3 元),下图给出四个图象:

其中可能正确的图象序号是_____ _____. A.①②③④ B.①③④
2

C.①③

D.③

10. 已知函数 f ( x ) ? x ,,若存在实数 t ,当 x ? [ 0 , m ] 时, f ( x ? t ) ? x 恒成立,则实数 m 的最大值 为 A. 1 . B.2 C.
2 2

D. 2

第Ⅱ卷

二、填空题:本大题 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
11.函数 y ? 12. f ( x ) ?
x?4 x?2
2 x ?1

的定义域为

.

,当 x ? [ 2 , 6 ]时 ,函数的最大值为

13.已知 f(x)是偶函数,它在 ? 0, ? ? ? 上是减函数。若 f (lg x ) ? f (1) 则 x 的取值范围是
4 14.已知函数 f ( x ? a ) ? ( x ? 2 ) ? 16 ,且 f [ f ( a )] ? 3 ,则 a ?



15. 函数 f ( x ) 取 ( x ? a ) , ( x ? a ) , ( x ? 2 ) 中的较大函数的值,其中 a 为非负实数, f ( x ) 的最小值为
2 2 2

g ( a ) ,则 g ( a ) 的最小值为



三.解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤。 )
16.已知集合 A ? { x | a ? 1 ? x ? 2 a ? 1} , B ? { x | 0 ? x ? 1} ,

(1)若 a

?

1 2

,求 A ? B .

(2)若 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围。

17.已知函数 f ( x ) ? log (1)求 f(x)的定义域;

2

(2

x

? 1) ,

(2)说明函数 f(x)的增减性,并用定义证明。

18.已知函数

? 4 ? x 2 ( x ? 0) ? f ? x ? ? ? 2( x ? 0) ?1 ? 2 x ( x ? 0 ) ?
2



(1)求

f ? a ? 1 ? ( a ? R ), f

? f ? 3 ? ? 的值;

(2)当 ? 4 ? x ? 3 时,求 f ? x ? 取值的集合.

19.已知定义在 R 上的函数

y ? f

? x ? 是偶函数,且 x ? 0 时, f ( x ) ? 2 ( x ?1 ) .

(1)当 x ? 0 时,求 f ? x ? 解析式;
(2)当 x ? [ ? 1, m ]( m ? ? 1)时 ,求 f ? x ? 取值的集合. (3)当 x ? [ a , b ]时 ,函数的值域为 [ , 2 ] ,求 a , b 满足的条件。
2 1

20.行驶中的汽车,在刹车后由于惯性的作用,要继续向前滑行一段距离后才会停下,这段距 离叫刹车距离。 为测定某种型号汽车的刹车性能, 对这种型号的汽车在国道公路上进行测试, 测试所得数据如下表。根据表中的数据作散点图,模拟函数可以选用二次函数或函数 (其中 a , b , c 为常数) 某人用 . (0,0) , (10,1.1) , (30,6.9) 求出相关系数, (60,24.8) 用 验证,请问用以上哪个函数作为模拟函数较好,并说明理由.在一次由这种型号的汽车发生 的交通事故中,测得刹车距离为 14.4m,问汽车在刹车时的速度大概是多少?
x

y ? ab

x

?c

(其中用函数 y

? ab

x

?c

拟合,经运算得到函数式为 y ? 1 . 3 ? 1 . 85 15 2.1 30 6.9 50 17.5 60 24.8

10

? 1 .3

,且 1 . 85

6

? 40 . 1 )

刹车时车速 v/km/h 10 1.1 刹车距离 s/m

80 42.5

21.设函数 f ( x ) ? x x ? a ? b . (1)当 a ? 1 , b ? 1 时,求所有使 f ( x ) ? x 成立的 x 的值。 (2)若 f ( x ) 为奇函数,求证: a 2 ? b 2 ? 0 ;
,科,网] [学

(3)设常数 b < 2 2 ? 3 ,且对任意 x ? ?0 ,1? , f ( x ) <0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

武汉市部分重点中学 2011-2012 学年度高一上学期 期中考试数学答案
一、选择题:
题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 A 5 C 6 D 7 B 8 B 9 D 10 A

二、填空题:
11、 { x | x ? ? 4 且 x ? ? 2} 13、 ( 15、1
1 10 ,10 )

12、2 14、 ? 2 ? 4 19

三、解答题:

17、解:(1) 依题意: 2
2 ?1? 2 ? x ? 0
x 0

x

?1 ? 0

f(x)的定义域为 { x | x ? 0} (2)f(x)的在定义域内为增函数。下面予以证明: 设任意 x 1 ? x 2 ? 0
2
x1 x2

?1 ?1

f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? log

(2 2

x1

?1 )

? log
x2

(2 2

x2

?1 )

? log
x1

2 2

? x1 ? x 2 ? 0 ? 2

x1

? 2

? 1? 2

?1 ? 2

x2

?1 ? 0 ?

2 2

x1 x2

?1 ?1

?1

f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ,即 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) 即函数 f(x)为定义域内增函数

19、解: (1)函数
? f ( x) ? f (? x)

y ? f

? x ? 是偶函数,

当 x ? 0 时, ? x ? 0
? f ( x) ? f (? x) ? 2
( ? x ?1 )

当 x ? 0 时 f ( x ) ? 2 ( ? x ?1 ) (2)当 ? 1 ? m ? 0时 , x ? [ ? 1, m ] , f ( x ) ? 2 ( ? x ?1 ) 为减函数
f

? x ? 取值的集合为 [ 2 ? m ?1 ,1]
1 2

当 0 ? m ? 1时 , x ? [ ? 1, m ] , f ( x ) 在区间 [ ? 1, 0 ] 为减函数,在区间 [ 0 , m ] 为增函数

且 f ( ? 1) ? f ( m ) , f ( ? 1) ? 1, f ( 0 ) ? 2 ( 0 ?1 ) ?
f

? x ? 取值的集合为 [

1 2

,1 ]

当 1 ? m 时 , x ? [ ? 1, m ] , f ( x ) 在区间 [ ? 1, 0 ] 为减函数,在区间 [ 0 , m ] 为增函数

且 f ( ? 1) ? f ( m ) , f ( 0 ) ? 2 ( 0 ? 1 ) ?
f

1 2

, f (m ) ? 2

( m ?1 )

? x ? 取值的集合为 [

1 2

,2

( m ?1 )

]

综上:当 ? 1 ?

m ? 0时 , f

? x ? 取值的集合为 [ 2 ? m ?1 ,1]
1 2

当 0 ? m ? 1时 , f ? x ? 取值的集合为 [ ,1 ]

当 1 ? m 时 , f ? x ? 取值的集合为 [ , 2 ( m ? 1 ) ]
2

1

(3)当 x ? [ a , b ]时 ,函数的值域为 [

1 2

,2 ] ,

由 f ? x ? 的单调性和对称性知, f ? x ? 的最小值为
? 0 ? [a, b] , f (?2) ? f (2) ? 2

1 2



当 a ? ? 2时,0 ? b ? 2 当 b ? 2时, ? 2 ? a ? 0

21、解: (1)当 a ? 1 , b ? 1 时,函数 f ( x ) ? x | x ? 1 | ? 1 .
x | x ? 1 | ?1 ? x
x ? 1 或 x ? ?1

(2) 若 f ( x ) 为奇函数,则对任意的 x ? R 都有 f ( ? x ) ? f ( x ) ? 0 恒成立, 即? x ? x ? a ? b ? x x ? a ? b ? 0, 令 x=0 得 b=0,令 x=a 得 a=0,∴ a 2 ? b 2 ? 0 (3)由 b < 2 2 ? 3 <0, 当 x=0 时 a 取任意实数不等式恒成立. 当 0<x≤1 时, f ( x ) <0 恒成立,也即 x ? 令 g (x) ? x ? 令 h(x) ? x ?
?

b x

<a < x ?

b x

恒成立.

b x b

在 0<x≤1 上单调递增,∴ a > g m ax ( x ) ? g (1) ? 1 ? b . ,则 h ( x ) 在 (0, ? b ] 上单调递减, [ ? b , ? ? ) 单调递增
b x

x
1 当 b < ? 1 时, h ( x ) ? x ?

在 0<x≤1 上单调递减;

∴ a < h m in ( x ) ? h (1) ? 1 ? b ,∴ 1 ? b < a < 1 ? b .
2 当 ? 1 ≤b < 2 2 ? 3 时
?

h(x) ? x ?

b x

≥2 ? b .

∴ a < h m in ( x ) ? 2 ? b .∴ 1 ? b < a < 2 ? b .


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