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18学年高中数学第一单元基本初等函数Ⅱ1.3.3已知三角函数值求角学案新人教B版41802243210

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1.3.3
学习目标

已知三角函数值求角

1.掌握已知三角函数值求角的步骤和方法 .2.了解符号 arcsin x,arccos x,

arctan x 的含义,并能用这些符号表示非特殊角.

知识点一 已知正弦值,求角 思考 阅读教材 58 页下半页,谈谈对 arcsin a 表示的意义.

? π π? 梳理 一般地, 对于正弦函数 y=sin x, 如果已知函数值 y(y∈[-1,1]), 那么在?- , ? ? 2 2?
π π? ? 上有唯一的 x 值和它对应,记为 __________ ?其中-1≤y≤1,- ≤x≤ ? ,即 arcsin 2 2? ?

? π π? y(|y|≤1)表示?- , ?上正弦等于 y 的那个角. ?
2 2?

知识点二 已知余弦值,求角 思考 阅读教材 59 页下半页,说出 arccos a 的含义.

梳理 一般的对于余弦函数 y=cos x,如果已知函数值 y(y∈[-1,1],那么在________上有 唯一的 x 值和它对应,记作 x=________(-1≤y≤1,0≤x≤π ).

知识点三 已知正切值,求角 思考 对 arctan a 的含义你是如何理解的?

1

? π π? 梳理 一般地,如果正切函数 y=tan x(y∈R)且 x∈?- , ?,那么对每一个正切值,在 ? 2 2? ? π π? 开区间?- , ?内有且只有一个角 x,使 tan x=y,记作 x=____________. ? 2 2?

类型一 已知正弦值,求角 1 ? π? 例 1 已知 sin?x- ?=- ,求 x. 3? 4 ?

反思与感悟 方程 y=sin x=a,|a|≤1 的解集可写为{x|x=2kπ +arcsin a,或(2k+1)π -arcsin a,k∈Z},也可化简为{x|x=kπ +(-1) arcsin a,k∈Z}. 跟踪训练 1 已知 sin x= 3 . 2
k

? π π? (1)当 x∈?- , ?时,求 x 的取值集合; ? 2 2?
(2)当 x∈[0,2π ]时,求 x 的取值集合; (3)当 x∈R 时,求 x 的取值集合.

2

类型二 已知余弦值,求角 1 例 2 已知 cos x=- . 3 (1)当 x∈[0,π ]时,求 x; (2)当 x∈[0,2π ]时,求 x; (3)当 x∈R 时,求 x 的取值集合.

反思与感悟 方程 cos x=a,|a|≤1 的解集可写成{x|x=2kπ ±arccos a,k∈Z}. 1 π 跟踪训练 2 若 cos 2x= ,其中 <x<π ,则 x 的值为( 2 2 A. π 6 5π B. 6 2π C. 3 5π D. 3 )

类型三 已知正切值,求角

? π π? 例 3 (1)已知 tan α =-2,且 α ∈?- , ?,求 α ; ? 2 2?
(2)已知 tan α =-2,且 α ∈[0,2π ],求 α ; (3)已知 tan α =-2,α ∈R,求 α .

3

反思与感悟 方程 tan x=a,a∈R 的解集为{x|x=kπ +arctan a,k∈Z}. 跟踪训练 3 已知 tan x=-1,求 x,并写出在区间[-2π ,0]内满足条件的 x.

1.已知 α 是三角形的内角,sin α = A. C. π 6 5π π 或 6 6

3 ,则角 α 等于( 2 B. D. π 3 2π π 或 3 3 ) B.π -arcsin D.-arcsin 1 4 1 4

)

1 ?π ? 2.若 sin x= ,x∈? ,π ?,则 x 等于( 4 ?2 ? A.arcsin 1 4

π 1 C. +arcsin 2 4

1 ? π ? 3.若 cos x= ,x∈?- ,0?,则 x=________. 3 ? 2 ? 4.arcsin(-1)+arctan 5.sin(arccos 3 =________. 3

3 )=________. 2

1.理解符号 arcsin x、arccos x、arctan x 的含义 每个符号都要从以下三个方面去理解,以 arcsin x 为例来说明. (1)arcsin x 表示一个角;

? π π? (2)这个角的范围是?- , ?; ? 2 2?
(3)这个角的正弦值是 x,所以|x|≤1.
4

例如:arcsin 2,arcsin 3都是无意义的. 2.已知三角函数值求角的大致步骤 (1)由三角函数值的符号确定角的象限; (2)求出[0,2π )上的角; (3)根据终边相同的角写出所有的角.

5

答案精析 问题导学 知识点一 思考 (1)当|a|≤1 时,arcsin a 表示一个角;

? π π? (2)这个角在区间?- , ?内取值, ? 2 2? ? π π? 即 arcsin a∈?- , ?; ? 2 2?
(3)这个角的正弦值等于 a, 即 sin(arcsin a)=a. 因此,a 的范围必是|a|≤1. 梳理 x=arcsin y 知识点二 思考 (1)当|a|≤1 时,arccos a 表示一个角; (2)这个角在区间[0,π ]内取值, 即 arccos a∈[0,π ]; (3)这个角的余弦值等于 a, 即 cos(arccos a)=a. 因此,a 的范围也必须是|a|≤1. 梳理 [0,π ] arccos y 知识点三 思考 (1)arctan a 表示一个角;

? π π? (2)这个角在区间?- , ?内, ? 2 2? ? π π? 即 arctan a∈?- , ?; ? 2 2?
(3)这个角的正切值是 a,根据正切函数的值域是 R,可知 a∈R, 即 tan(arctan a)=a. 梳理 arctan y 题型探究 π 1 例 1 解 设 x- =t,则有 sin t=- . 3 4

? π π? 当 t∈?- , ?时, ? 2 2?
6

t=arcsin?- ?,又 sin t=- , 4
所以 t 是第三、四象限角,

? 1? ? ?

1 4

? 1? 且 t1=arcsin?- ?是第四象限角. ? 4? ? ? 1?? 又 sin?π -arcsin?- ?? ? ? 4??
1 ? ? 1?? =sin?arcsin?- ??=- , 4 ? ? 4??

? 1? 且 π -arcsin?- ?是第三象限角, ? 4? ? 1? 所以 t2=π -arcsin?- ?. ? 4?
由正弦函数周期性可知

t=2kπ +t1 或 t=2kπ +t2(k∈Z)时,
1 sin x=- . 4

? 1? 所以 t=2kπ +arcsin?- ?(k∈Z), ? 4? ? 1? 或 t=2kπ +π -arcsin?- ?(k∈Z). ? 4?
因此 x 的集合为
? π ? 1? ?x|x=2kπ + +arcsin?- ? 3 ? 4? ?



? 4π ? 1? 或x=2kπ + -arcsin?- ?,k∈Z?. 4 3 ? ? ?

? π π? 跟踪训练 1 解 (1)∵y=sin x 在?- , ?上是增函数, ? 2 2?
π 3 且 sin = . 3 2 π ∴满足条件的角只有 x= . 3
?π ? ∴x 的取值集合为? ?. ?3?

(2)∵sin x=

3 >0, 2

∴x 为第一或第二象限角且

7

π? π 3 ? sin =sin?π - ?= . 3? 2 3 ? ∴在[0,2π ]上符合条件的角

x= 或 x =

π 3

2π . 3

?π 2π ? ∴x 的取值集合为? , ?. 3 ? ?3

(3)当 x∈R 时,x 的取值集合为
? ? π 2π ?x|x=2kπ + 或x=2kπ + ,k∈Z?. 3 3 ? ?

1 例 2 解 (1)∵cos x=- ,且 x∈[0,π ], 3 1 ? 1? ∴x=arccos?- ?=π -arccos . 3 ? 3? 1 (2)∵x∈[0,2π ]且 cos x=- <0. 3 ∴x 为第二象限角或第三象限角. 1 1 ∴x=π -arccos 或 π +arccos . 3 3 1 1 (3)当 x∈R 时,x 与 π -arccos 终边相同或者与 π +arccos 终边相同. 3 3 1 1 ∴x=2kπ +π -arccos 或 x=2kπ +π +arccos (k∈Z). 3 3 ∴x 的取值集合是
? ?x|x= ?

k+

? 1 π ±arccos ,k∈Z?. 3 ?

跟踪训练 2 B

? π π? 例 3 解 (1)由正切函数在开区间?- , ?上是增函数可知,符合条件 tan α =-2 的角 ? 2 2?
只有一个,故 α =arctan(-2). (2)∵tan α =-2<0, ∴α 是第二或第四象限角.

?π ? ?3π ,2π ?上是增函数,知符合 tan α = 又∵α ∈[0,2π ],由正切函数在区间? ,π ?,? ? ?2 ? ? 2 ?
-2 的角有两个,

? π ? ∵tan(π + α ) = tan(2π + α ) = tan α =- 2 且 arctan( -2)∈ ?- ,0? .∴α = π + ? 2 ?
arctan(-2)或 α =2π +arctan(-2).
8

(3)α ∈R,则 α =kπ +arctan(-2)(k∈Z). 跟踪训练 3 解 因为 tan x=-1,所以满足条件的 x 的解集为{x|x=kπ + π arctan(-1),k∈Z}=x|x=kπ - ,k∈Z, 4 π 在 x=kπ - 中,令 k=0 或-1, 4 π 5π 得 x=- 或 x=- , 4 4 π 5π 即在[-2π ,0]内正切值为-1 的角 x 有 2 个:- 与- . 4 4 当堂训练 1.D 2.B 3.-arccos 1 π 4.- 3 3 1 5. 2

9


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