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【金版学案】2015届高考数学总复习 第二章 第四节一次函数和二次函数课时精练 理


第四节
2

一次函数和二次函数

(

1.已知二次函数 y=x -2ax+1 在区间(2,3)内是单调函数,则实数 a 的取值范围是 ) A.(-∞,2]∪ [3,+∞) B.[2,3] C .(-∞,-3]∪ [-2,+∞) D.[-3,-2] 解析:对称轴 a≤2 或 a≥3,函数在(2,3)内单调递增,选 A 项. 答案:A 2.函数 y= A.[-4,1] C.(0,1] -x -3x+4 的定义域为
2

x

(

)

B.[-4,0) D.[-4,0)∪(0,1]
? ?x≠0, ?x +3x-4≤0, ?
2

? ?x≠0, 解析:由题意知? 2 ?-x -3x+4≥0, ? 故选 D. 答案:D

即?

解得-4≤x≤1 且 x≠0.

3.(2013·宁夏银川 一中月考)已知二次函 数 f(x)=x -ax+4,若 f(x+1)是偶函数, 则实数 a 的值为( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 解析:f(x+1)=(x+1) -a(x+1)+4=x +( 2-a)x+5-a 是偶函数,则对称轴为 y 轴,所以 2 -a=0,得 a=2.故选 D. 答案:D 4.(2013·威海模拟)已知函数 f(x)=-x +4x+a(x∈[0,1]),若 f(x)有最小值-2, 则 f(x)的最大值为( ) A.1 B.-1 C.0 D.2 解析:∵f(x)=-x +4x+a=-(x-2) +4+a,且 x∈[0,1],∴f(x)min=f(0)=a= 2 -2,∴a=-2,f(x)max=f(1)=-1 +4×1-2=1. 答案:A 5.直线 y= 2 与曲线 y=x -|x|+a 有四个交点,则 a 的取值范围是( ?3 ? ? 5? ? 7? ? 9? A.? ,1? B.?1, ? C.?2, ? D.?2, ? ?4 ? ? 4? ? 4? ? 4?
2 2 2 2 2 2

2

)

解析:如下图,在同一平面直角坐标系内画出直线 y=2 与曲线 y=
? ?x -x+a,x≥0, ? 2 ?x +x+a,x<0, ?
2

a>2, ? ? 由图可知,a 的取值必须满足?4a-1 <2, ? ? 4

9 解得 2<a< .故选 D. 4

1

答案:D 6. 不等式 f(x)=ax -x-c>0 的解集为{x|-2<x<1}, 则函数 f(x)在区间[1,2]上的 最小值为________ . 1 ? ?-2+1=a, 解析:∵? c ?-2×1=-a, ?
2

∴?

? ?a=-1, ?c=-2. ?

∴f(x)=-x -x+2.

2

1 故 f(x)图象的对称轴为 x=- ,且开口向下,故 f(x)在[1,2]上单调递减, f(x)min= 2 f(2)=-4. 答案:-4 7.(2013· 江苏卷)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数.当 x>0 时,f(x)=x -4x,则 不等式 f(x)>x 的解集用区间表示为___ _____. 解析:因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以易知 x≤0 时,f(x)=-x -4x 解不等式 得到 f(x)>x 的解集用区间表示为(-5,0)∪(5,+∞). 答案:(-5,0) ∪(5,+∞) 8.设函数 f(x ) =x|x|+bx+c,给出下列四个命题: ①c=0 时,f(x)是奇函数; ②b=0,c>0 时,方程 f(x)=0 只有一个实根; ③f(x)的图象关于(0,c)对称; ④方程 f(x)=0 至多有两个实根. 其中正确的命题是________. 解析:c =0 时,f(-x)=-x|-x|+b(-x)=-x|x|-bx=-f(x),故 f(x)是奇函数; b=0,c>0 时,f(x)=x|x|+c=0,所以 x≥0 时,x2+c=0 无解,x<0 时,f(x)=- x2+c=0,所以 x=- c,只有一个实数根; 因为 F(x)=f(x)-c= x|x|+bx 是 奇函数, 所以 F(x)的图象关于原点对称, 则函数 f(x) =x|x|+bx+c 关于(0,c)对称; 令 b=-1,c=0 得 f(x)=x|x|-x=x(| x|-1), ∴f(x)=0 解集为 x=0 或 x=±1, ∴④不对. 综上知①②③正确. 答案:①②③
2
2 2

9.已知 g(x)=-x -3,f( x)是二次函数,当 x∈[-1,2]时, f(x)的最小值是 1,且 f(x)+g(x)是奇函数,求 f(x)的表达式. 解析:设 f(x)=ax +bx+c(a≠0),则 f(x)+g(x)=(a-1)x +bx+c-3 是奇函数, ?a-1=0, ?a=1, ? ? ∴? ?? ?c-3=0, ?c=3. ? ? 1 2 ? b?2 2 ∴f(x)=x +bx+3=?x+ ? +3- b . 4 ? 2?
2 2

2

b 1 2 (1)当-1≤- ≤2 即-4≤b≤2 时,最小值为 3- b =1? b=± 2 2, 2 4
∴b=-2 2.∴f(x)=x -2 2x+3. (2)当- >2,即 b<-4 时,f(2)=1,无解. 2 (3)当- <-1,即 b>2 时,f(-1)=1? b=3, 2 2 ∴f(x)=x +3x+3. 2 2 综上所述,f(x)=x -2 2x+3 或 f(x)=x +3x+3. 10.(2013·山东聊城调研)已知 f(x)=x +ax+3-a,若当 x∈[-2,2]时,f(x)≥0 恒成立,求 a 的取值范围. 解析:f(x)=x +ax+3-a=?x+ ? - +3-a. ? 2? 4
2 2 2

b b

?

a?2 a2

a 7 ①当- <-2,即 a>4 时,f(x)min=f(-2)=7-3a≥0,∴a≤ ,又 a >4, 2 3 故此时 a 不存在.
②当-2≤- ≤2,即-4≤a≤4 时, 2

a

a2 ? a? f(x)min=f?- ?=3-a- ≥0,

4 ∴a +4a-12≤0. ∴-6≤a≤2. 又-4≤a≤4,∴-4≤a≤2.
2

? 2?

③当- >2,即 a<-4 时, 2 f(x)min=f(2)=7+a≥0, ∴a≥-7. 又 a<-4,故-7≤a<-4. 综上得-7≤a≤2. 11.如图,建立平面直角坐标系 xOy,x 轴在 地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度 1 2 2 为 1 千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y=kx- (1+k )x (k>0)表 20 示的曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.

a

3

(1)求炮 的最大射程. (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由. 1 1 2 2 2 2 解析:(1)在 y=kx- (1+k )x (k>0)中,令 y=0,得 kx- (1 +k )x =0. 20 20 由实际意义和题设条件知 x>0,k>0. 20k 20 20 ∴x= ≤ =10,当且仅当 k=1 时取等号.∴炮的最大射程是 10 千米. 2= 1+k 1 2 +k

k

1 2 2 (2)∵a>0,∴炮弹可以击中目标等价于存在 k>0,使 ka- (1+k )a =3.2 成立,即关 20 于 k 的方程 a k -20ak+ a + 64=0 有正根. 由 Δ =(-20a) -4a (a +64)≥0,得 a≤6. 2 2 2 20a+ (-20a) -4a (a +64) 此时,k= >0(不考虑另一根),∴当 a 不超过 6 千米时, 2 2a 炮弹可以击中目标.
2 2 2 2 2 2

4


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