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湖南省怀化市溆浦县卢峰镇高中数学第一章空间几何体132球的体积和表面积教案新人教A版必修2(数学教案)


1.3.2 球的体积和表面积 教学目的: 1.熟记球的体积公式和表面积公式; 2.会用球的体积公式 V ? 4 ? R 3 和表面积公式 S ? 4? R2 解决有关问题 3 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 教学重点:球的体积公式和表面积公式及其应用 教学难点:球的体积公式和表面积公式及其应用 教学过程: 一、复习引入:1 球的 概念: 与定点距离等于或小于 定长的点的集合,叫做球体,简称球 定点叫球心, 定长叫球的半径 与定点距离等于定长的点的集合叫做球面 一个 球或球面用表 示它的球心的字母表示,例如球 O . 2.球的截面: 用一平面 ? 去截一个球 O ,设 OO? 是平面 ? 的垂线段, O? 为垂足,且 OO? ? d , 所 得 的 截 面 是 以 球 心 在 截 面 内 的 射 影 为 圆 心 , 以 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 r ? R2 ? d 2 为半径的一个圆,截面是一个圆面 王新敞 奎屯 新疆 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆, 被不经过球心的平面 截得的圆叫做小圆 +4.两点的球面距离: ? 球面上两点之间的最短距离, 就是经过两点的大圆在 这两点间 的一段劣弧的长度,我们把这个弧长叫做 两点的球面距离 5 半球的底面: 已知半径为 R 的球 O ,用过球心的平面去截球 O ,球被截面 分成大小相等的两个半球,截面圆 O (包含它内部的点) , 叫做所得半球的底面 二、讲解新课: 王新敞 奎屯 新疆 O R P d r O' 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 4 3 1.球的体积公式: V ? ? R 3 王新敞 奎屯 新疆 O 王新敞 奎屯 新疆 2 球的表面积: 设球 O 的半径为 R , 我们把球面任意分割为一些“小球面片” ,它们的面 积分别用 ?S1 , ?S2 , , ?Si , 表示,则球的表面积: S ? ?S1 ? ?S2 ? ? ?Si ? 以这些“小球面片”为底,球心为顶点的“小锥体”的体积和等于求的体积, 这些“小锥体”可近似地看成棱锥, “小锥体”的底面积 ?Si 可近似地等于“小 1 锥体”的底面积,球的半径 R 近似地等于小棱锥的高 hi ,因此,第 i 个小棱锥 的体积 Vi ? 1 hi ? ?Si ,当“小锥体”的底面非常小时, “小锥体”的底面几乎是 3 ? hi ? ?Si ? “平的” ,于是球的体积: 1 V ? (h1 ? ?S1 ? h2 ? ?S 2 ? 3 ), 又∵ hi ? R ,且 S ? ?S1 ? ?S2 ? ∴可得 V ? 又∵ V ? ? ?Si ? 1 R?S , 3 4 1 4 ? R 3 ,∴ R ? S ? ? R 3 , 3 3 3 2 王新敞 奎屯 新疆 ∴ S ? 4? R 即为球的表面积公式 三、讲解范例: 例 1 已知过球面上 A, B, C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半,且 王新敞 奎屯 新疆 AB ? BC ? CA ? 2 ,求球的表面积 解:设截面圆心为 O? ,连结 O?A ,设球半径为 R , 王新敞 奎屯 新疆 则 O?A ? 2 3 2 3 ? ?2 ? , 3 2 3 2 2 2 在 Rt ?O?OA 中, OA ? O?A ? O?O , C 4 2 3 2 1 2 ) ? R ,∴ R ? , ∴R

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