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《成才之路》2014-2015学年高中数学(人教A版)必修三同步课件2.3.1、2变量之间的相关关系两个变量的线性相_图文

成才之路 ·数学
人教A版 ·必修3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第二章 统计

第二章
2.3 变量间的相关关系
2.3.1 变量之间的相关关系 2.3.2 两个变量的线性相关

1

预习导学

2

互动课堂

3 随堂测评

4

课后精练

预习导学

? ●课标展示
? 1.了解相关关系、线性相关、回归直线、最 小二乘法的定义.
? 2.会作散点图,能判断两个变量之间是否具 有相关关系.
? 3.会求回归直线方程,并能用回归直线方程 解决有关问题.

? ●温故知新

? 旧知再现

? 1.下列数字特征一定是样本数据中的数据是

()

? A.众数

B.中位数

? C.标准差 D.平均数

? [答案] A

? 2.已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80.其 中平均数、中位数和众数的大小关系是( )
? A.平均数>中位数>众数 ? B.平均数<中位数<众数 ? C.中位数<众数<平均数 ? D.众数=中位数=平均数 ? [答案] D

? 3.某班有48名学生,在一次考试中统计出平 均分为70,方差为75,后来发现有2名同学的 分数登记错了,甲实际得80分却记成了50分, 乙实际得70分却记成了100分,更正后平均数 为________,方差为________.
? [答案] 70 50

[解析] 因甲少记了30分,乙多记了30分,故平均分不

变,设更正后的方差为s2,则由题意可得

s2=

1 48

[(x1-70)2+(x2-70)2+…+(80-70)2+(70-70)2

+…+(x48-70)2],而更正前有

75=

1 48

[(x1-70)2+(x2-70)2+…+(50-70)2+(100-70)2

+…+(x48-70)2],化简整理得s2=50.

? 新知导学
? 1.相关关系
? (1)定义:如果两个变量中一个变量的取值一 定时,另一个变量随的机 取值带有一定的 ________性,那么这两个变量之间的关系, 叫做相关关系.
? 左(2下)两类特殊右的上 相关关系:如果散点图中点的 分布是从________角到_______左_角上 的区域右,下 那么这两个变量的相关关系称为正相关,如 果散点图中点的分布是从_______角到 _______角的区域,那么这两个变量的相关关 系称为负相关.

? [归纳总结] 两个变量间的关系分为三类:一 类是确定性的函数关系,如正方形的边长与 面积的关系;另一类是变量间确实存在关系, 但又不具备函数关系所要求的确定性,它们 的关系是带有随机性的,这种关系就是相关 关系,例如,某位同学的“物理成绩”与 “数学成绩”之间的关系,我们称它们为相 关关系;再一类是不相关,即两个变量间没 有任何关系.

? 2.线性相关

? (1)定义:如果两个变量散点图中点的分布从

整体上直线看大致在一条_______附近,我们就称

这两个变量之间回具归直有线线性相关关系,这条直

线叫做___________.

(2)最小二乘法:求线性回归直线方程

^y



^
b

x+

a^

时,使得

样本数据的点到它的__距__离__的__平__方__和__最小的方法叫做最小二乘

法,其中a,b的值由以下公式给出:

?? ?

n
?

?xi--x ??yi--y ?

n
?xiyi-n

-x

-y

??b^ =i=1

? ?

n
?

?xi--x ?2

i=1



n
?xi2-n

-x 2

?

i=1

i=1

? ??a^= -y -b^ -x ,

其中,b^ 是回归方程的__斜__率_____,a^是回归方程在y轴上的 __截__距_____.

? [破疑点] 线性回归分析涉及大量的计算,形 成操作上的一个难点,可以利用计算机非常 方便地作散点图、回归直线,并能求出回归 直线方程.因此在学习过程中,要重视信息 技术的应用.

? ●自我检测
? 1.下列语句所表示的事件中的因素不具有相 关关系的是( )
? A.瑞雪兆丰年 B.上梁不正下梁歪
? C.吸烟有害健康 D.喜鹊叫喜,乌鸦叫丧
? [答案] D
? [解析] 选项A,B,C中描述的变量间都具有 相关关系,而选项D是迷信说法,没有科学依 据.

? 规律总结:函数关系是一种确定性关系, 相关关系是一种非确定性关系,判断两个变 量间的关系是否为相关关系的关键是看这个 关系是否具有不确定性.

? 2.观察下列散点图,①正相关,②负相关, ③不相关,与下列图形相对应的是( )

? A.①②③ ? C.②①③ ? [答案] D

B.②③① D.①③②

3.下列有关回归方程^y=b^x+a^的叙述正确的是( )

①反映^y与x之间的函数关系;

②反映y与x之间的函数关系;

③表示^y与x之间的不确定关系;

④表示最接近y与x之间真实关系的一条直线.

A.①②

B.②③

C.③④
? [答案] D

D.①④

[解析]

^y



^
b

x+

a^

表示

^y

与x之间的函数关系,而不是y与x

之间的函数关系.但它所反映的关系最接近y与x之间的真实关

系.故选D.

?

规律总结:回归直线是对原数量关系的

一种拟合,如果两个变量不具有线性相关关

系,即使求出回归方程也是毫无意义的,而

且由其得到估计和预测的值也是不可信的.

互动课堂

●典例探究

变量之间的相关关系的判断

(1)下列变量之间的关系不是相关关系的是( ) A.二次函数y=ax2+bx+c中,a,c是已知常数,取b为 自变量,因变量是判别式Δ=b2-4ac B.光照时间和果树亩产量 C.降雪量和交通事故发生率 D.每亩田施肥量和粮食亩产量

(2)现随机抽取某校10名学生在入学考试中的数学成绩x与 入学后的第一次数学成绩y,数据如下:
学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108 y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71
请利用散点图判断这10名学生的两次数学考试成绩是否具 有相关关系.

? [分析] 1.判断两个变量之间具有相关关系的 关键是什么?
? 2.利用散点图判断两个变量是否具有相关关 系的依据是什么?
? [解析] (1)在A中,若b确定,则a,b,c都是 常数,Δ=b2-4ac也就唯一确这了,因此, 这两者之间是确定性的函数关系;一般来说, 光照时间越长,果树亩产量越高;降雪量越 大,匀通事故发生率越高;施肥量越多,粮 食亩产量越高,所以B,C,D是相关关 系.故选A.

? (2)两次数学考试成绩散点图如图所示,
? 由散点图可以看出两个变量的对应点集中在 一条直线的周围,具有正相关关系.因此, 这10名学生的两次数学考试成绩具有相关关 系.
? [答案] (1)A

?

规律总结:两个变量x与y相关关系的判

断方法:

? (1)散点图法:通过散点图,观察它们的分布 是否存在一定规律,直观地判断;如果发现 点的分布从整体上看大致在一条直线附近, 那么这两个变量就是线性相关的,注意不要 受个别点的位置的影响.

? (2)表格、关系式法:结合表格或关系式进行 判断;

? (3)经验法:借助积累的经验进行分析判断.

? [特别提醒] 如果所有的样本点都落在某一函

? 对变量x,y有观测数据(xi,yi)(i=1,2,…, 10),得散点图(1);对变量u,v有观测数据(ui, vi)(i=1,2,…,10),得散点图(2).由这两个 散点图可以判断( )

? A.变量x与y正相关,u与v正相关 ? B.变量x与y正相关,u与v负相关 ? C.变量x与y负相关,u与v正相关 ? D.变量x与y负相关,u与v负相关
? [答案] C
? [解析] 图(1)中的数据y随着x的增大而减小, 因此变量x与变量y负相关;图(2)中的数据随 着u的增大,v也增大,因此u与v正相关.

回归直线方程
随着人们经济收入的不断增长,个人购买家庭 轿车已不再是一种时尚.车的使用费用,尤其是随着使用年限 的增多,所支出的费用到底会增长多少,一直是购车一族非常 关心的问题.某汽车销售公司作了一次抽样调查,并统计得出 某款车的使用年限x与所支出的总费用y(万元)有如下的数据资 料:

使用年限x 2 3 4 5 6 总费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
若由资料,知y对x呈线性相关关系.试求: (1)线性回归方程^y=b^ x+a^的回归系数a^、b^; (2)估计使用年限为10年时,车的使用总费用是多少?

[分析] 第一步,列表xi,yi,xiyi;

第二步,计算-x ,-y ,

n
?x2i ,

n
?y2i ,

n
?xiyi;

i=1

i=1

i=1

第三步,代入公式计算b,a的值; 第四步,写出回归直线方程.

(1)利用公式:

?? ?

n
?

?xi--x ??yi--y ?

n
?xiyi-n

-x

-y

??b^ =i=1

? ?

n
?

?xi--x ?2

i=1

?n xi2-n-x2

?

i=1

i=1

? ??a^=-y -b^ -x ,

来计算回归

系数.有时为了方便常列表,对应列出xiyi、x

2 i

,以利于求

和.(2)获得线性回归方程后,取x=10,即得所求.

[解析] (1)列表:

i

1

2

3

4

5

xi

2

3

4

5

6

yi

2.2 3.8 5.5 6.5 7.0

xiyi

4.4 11.4 22.0 32.5 42.0

x2i

4

9

16

25

36

-x =4,-y =5,

5
?x2i =90,

5
?xiyi=112.3

i=1

i=1

于是b^ =1129.03--55××442×5=1120.3=1.23; a^=-y -b-x =5-1.23×4=0.08.

(2)线性回归直线方程是 ^y =1.23x+0.08,当x=10(年)时, ^y =1.23×10+0.08=12.38(万元),即估计使用10年时,支出总 费用是12.38万元.

? 规律总结:求回归直线方程的一般步骤:
? ①收集样本数据,设为(xi,yi),(i=1,2,…, n)(数据一般由题目给出).
? ②作出散点图,确定x,y具有线性相关关 系③.把数据制成表格xi,yi,x2i ,xiyi.

n

n

④计算 x , y ,?x2i ,?xiyi,

i=1

i=1

?? ?

?n xiyi-n-x-y

⑤代入公式计算b^ ,a^,公式为????b^ =i=?n1 xi2-n-x2 ,

?

i=1

? ??a^=

y

-b^ -x.

⑥写出回归直线方程^y=b^ x+a^.

(1)(2013~2014·石家庄高二检测)已知回归直线的斜率的

估计值是1.23,样本点中心(即( x , y ))为(4,5),则回归直线的

方程是( )

A.^y=1.23x+4

B.^y=1.23x+5

C.^y=1.23x+0.08

D.^y=0.08x+1.23

(2)某公司的广告费支出x(单位:万元)与销售额x(单位:万

元)之间有下列对应数据:

x2

4

5

6

8

y 30 40 60 50 70

资料显示y对x呈线性相关关系.

根据上表提供的数据得到回归方程 ^y = b^ x+ a^ 中的 b^ =6.5,

预测销售额为115万元时约需________万元广告费.

? [答案] (1)C (2)15

[解析] (1)由题意知,可设此回归直线的方程为 ^y =1.23x + a^ ,又因为回归直线必过点( x , y ),所以点(4,5)在直线 ^y = 1.23x+a^上,
所以5=1.23×4+a^,a^=0.08, 故回归直线的方程是^y=1.23x+0.08.

(2) x =2+4+55+6+8=5, y =30+40+650+50+70=50. 因为回归方程过样本中心(5,50), 代入^y=6.5x+a^,得a^=17.5, 所以^y=6.5x+17.5, 当^y=115时,x=15.

●误区警示

有人统计了同一个省的6个城市某一年的人均国

民生产总值(即人均GDP)和这一年各城市患白血病的儿童年数

量,如下表:

人均GDP/万元

10 8 6 4 3 1

患白血病的儿童数/人 351 312 207 175 132 180

(1)画出散点图,并判定这两个变量是否具有线性相关关

系;

(2)通过计算可知这两个变量的回归直线方程为 ^y =23.25x +102.15,假如一个城市的人均GDP为12万元,那么可以断 言,这个城市患白血病的儿童一定超过380人,请问这个断言 是否正确?

[错解] (1)根据表中数据画散点图,如图所示,从图可以 看出,虽然后5个点大致分布在一条直线的附近,但第一个点 离这条直线太远,所以这两个变量不具有线性相关关系.
(2)将x=12代入 ^y =23.25x+102.15,得 ^y =23. 25×12+ 102.15=381.15>380.所以上述断言是正确的.

? [错因分析] 在第(1)问中,是否具有线性相 关关系,要看大部分点、主流点是否分布在
一条直线附近,个别点是不影响“大局的”,
所以可断定这两个变量具有线性相关关 系.在第(2)问中,381.15只是一个估计值, 由它不能断言这个城市患白血病的儿童一定 超过380人,如果这个城市的污染很严重,有 可能人数远远超过3 80,若这个城市的环境 保护得得很好,则人数就有可能远远低于380.

[正解] (1)根据表中数据画散点图,如图所示,从圈可以 看出,在6个点中,虽然第一个点离这条直线较远,但其余5个 点大致分布在这条直线的附近,所以这两个变量具有线性相关 关系.
(2)上述断言是错误的,将x=12代入^y=23.25x+102.15得^y =23.25×12+102.15=381.15>380,但381.15是对该城市人均 GDP为12万元的情况下所作的一个估计,该城市患白血病的儿 童可能超过380人,也可能低于380人.

(2012·福建高考改编)某工厂为了对新研发的一种产品进行 合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数 据:
单价x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y(件) 90 84 83 80 75 68 (1)求回归直线方程^y=b^x+a^,其中b^=-20. (2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关 系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产 品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)

[解析] (1)由于 x =16(x1+x2+x3+x4+x5+x6)=8.5, y =16(y1+y2+y3+y4+y5+y6)=80. 所以a^= y -b^ x =80+20×8.5=250, 从而回归直线方程为^y=-20x+250. (2)设工厂获得的利润为L元,依题意得 L=x(-20x+250)-4(-20x+250)=-20x2+330x-1000 =-20(x-8.25)2+361.25. 当且仅当x=8.25时,L取得是大值, 故当单价定为8.25元时,工厂可获得最大利润.

随堂测评

? 1.下列两个变量之间的关系:

? ①角度和它的余弦值;

? ②正n边形的边数与内角和;

? ③家庭的支出与收入;

? ④某户家庭用电量与电价间的关系.

? 其中是相关关系的有( )

? A.1个

B.2个

? C.3个

D.4个

? [答案] A

? 2.下列图形中两个变量具有相关关系的是 ()

? [解析] A是一种函数关系,因为任给一个x都 有惟一确定的y和它对应;B也是一种函数关 系;C中从散点图可看出所有点看上去都在某
条直线附近波动,具有相关关系,而且是一 种线性相关;D中所有的点在散点图中没有显 示任何关系,因此变量间是不相关的.

3.线性回归方程^y=bx+a必过( )

A.点(0,0)

B.点( x ,0)

C.点(0,^y)

D.点( x , y )

? [答案] D

4.设一个回归方程为 ^y =3+1.2x,则变量x增加一个单位 时( )
A.y平均增加1.2个单位 B.y平均增加3个单位 C.y平均减少1.2个单位 D.y平均减少3个单位
? [答案] A

? 5.现有5组数据A(1,3)、B(2,4)、C(4,5)、 D(3,10)、E(10,12),去掉________组数据后, 剩下的4组数据的线性相关性最大.
? [答案] D

6.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程 中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照 数据:

x

3

4

5

6

y

2.5

3

4

4.5

(1)请画出上表数据的散点图;

(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线

性回归方程^y=b^ x+a^;

(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准

煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的

生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?

[分析] (1)以产量为横坐标,以生产能耗对应的测量值为

纵坐标,在平面直角坐标系内画散点图;(2)应用计算公式求

得线性相关系数

^
b



a^

的值;(3)实际上就是求当x=100时,对

应的y的值.

? [解析] (1)散点图,如图所示.

n
(2)由题意,得 ?x iyi=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=
i=1
66.5, x =3+4+4 5+6=4.5, y =2.5+3+4 4+4.5=3.5,
n
?x2i =32+42+52+62=86,
i=1
∴b^ =66.58-6-4×4×4.45.×523.5=6866.5--8613=0.7, a^= y -b^ x =3.5-0.7×4.5=0.35, 故线性回归方程为^y=0.7x+0.35.

? (3)根据回归方程的预测,现在生产100吨产品 消耗的标准煤的数量为0.7×100+0.35= 70.35,
? 故耗能减少了90-70.35=19.65(吨标准煤).

课后精练
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