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《等比数列前n项和》导学案


高一数学 SX-10-03-006

《等比数列前 n 项和》导学案 等比数列前 项和》
编写人:艾芷弘 审核人:胡圣兵 编写时间:2010-03-13

【学习目标】 学习目标】 1. 探索并学会等比数列前 n 项和公式的推导思路与方法 2. 学会灵活应用等比数列前 n 项和公式与性质解决一些相关问题 重难点】 【重难点】 重点:等比数列前 n 项和公式的推导方法 难点:掌握公式的有关性质及灵活应用 学习过程】 【学习过程】 一.预习自学 1.等比数列的前 n 项和公式 (1) 当 q = 1 时, S n = (2) 当 q ≠ 1 时, S n = =

对于等比数列相关量 a1 , a n , q, n, S n ,只三求二 2.等比数列前 n 项和的性质 (1) 数列 {a n } 是等比数列,公比 q ≠ ?1 , S n 是其前 n 项和,则 S n , S 2 n ? S n , S 3 n ? S 2 n , ? 仍构成等比数列 (2) 若数列 {a n } 前 n 项和公式为 S n = a (1 ? q n ) ( a ≠ 0, q ≠ 0且q ≠ 1) 则数列 {a n } 为 (3) 在等比数列中,若项数为 2n, ( n ∈ N * ) , S 偶与S奇 分别为偶数项与奇数项的和,则

S偶 S奇

=

二.典型例题 (一)等比数列前 n 项和的基本运算 例 1.在等比数列 {a n } 中,若 a1 + a 3 = 10, a 4 + a 6 =

5 , 求a 4 和S 5 4

变式训练:1. 在等比数列 {a n } 中, a1 + a n = 66, a 2 a n ?1 = 128, S n = 126 ,求 n 和 q。

2.一个等比数列的首项是 1,项数是偶数,其奇数项的和为 85,偶数项的和为 170,求此数列的公比和项数

(二)等比数列前 n 项和的性质 例 2.各项均为正数的等比数列 {a n } ,若 S10 = 10, S 30 = 70, 求S 40

变式训练:等比数列 {a n } 中, S 4 = 1, S 8 = 3, 求a17 + a18 + a19 + a 20

(三)等比数列中最值问题 例 3.数列 {a n } 为首项是正数的等比数列,前 n 项和为 80,前 2n 项和为 6560,在前 n 项中数 值最大者为 54,求通项 a n

变式训练:数列 {a n } 为各项都是正数的等比数列,项数是偶数,它所有项的和等于偶数项和 的 4 倍, 且第二项与第四项的积是第三项与第四项和的 9 倍, 问数列 {lg a n } 的前 多少项和最大。

三.课堂检测 1.等比数列 {a n } 中, a 3 = 7 , S 3 = 21 ,则公比 q 的值为 ( A.1 B. ? )

1 2

C. 1 或 ?

1 2

D. ? 1或

1 2

2. 等比数列 {a n } 中, 公比 q 是整数,a1 + a 4 = 18, a 2 + a 3 = 12 , 则此数列前 8 项和为 ( ) A. 514 B. 513 C. 512 D.510

3. 等比数列 {a n } 中, a 6 ? a 4 = 216, a3 ? a1 = 8, S n = 40, 则公比 q= 4. 等比数列 {a n } 中,若 S 2 = 2, S 4 = 6, 则a5 + a 6 = 四.课堂小结

五.课外作业 1.数列 1, x, x , ? , x
2 n ?1

( x ≠ 0) 的前 n 项和为 1 ? x n ?1 1? x
C.





A.

1? xn 1? x

B.

1 ? x n +1 1? x

D.以上都不对

2. 等比数列 {a n } 的公比 q=2,前 n 项和为 S n ,则 A.63 B.64 C.127

S4 = a2

( D.128

)

3. 若等比数列 {a n } 对于一切正整数 n 都有 a n +1 = 1 ? 又 a1 = 1, 则公比q为 A. 1 B. ( ) C. ?

2 S n ,其中 S n 是此数列的前 n 项和, 3

1 3

1 3
*

D. ?

2 3

4.若数列 {x n } 满足 lg x n +1 = 1 + lg x n ( n ∈ N ) ,且 x1 + x 2 + x3 + ? + x100 = 100 ,则

lg( x1 + x 2 + x3 + ? + x 200 ) = (
A. 102 B. 101

) C. 100
n 2 2

D. 99
2

5.已知等比数列 {a n } 的前 n 项和 S n = 2 ? 1 ,则 a1 + a 2 + ? + a n = ( A. ( 2 n ? 1) 2 B.



1 n (2 ? 1) 3

C. 4 n ? 1

D. ( 4 ? 1)
n
2

1 3

6. 已知等比数列 {a n } 的公比 q > 1 ,若 a 2004 , a 2005 是方程 4 x ? 8 x + 3 = 0 的两根,则

a 2006 + a 2007 = (
A.18

) B.-18 C.9 D.36

7. 等比数列 {a n } 中, 公比 q ≠ 1 , 它的前 n 项和为 M, 数列 ? 值为( A. 2a 2 q n ) B.

?2? M 则 的 ? 的前 n 项和为 N, an ? N ?
D. 2a12 q n ?1

1 a1 q n ?1 2

C.

1 2 n?1 a1 q 2

8. 已知等比数列 {a n } 的前 n 项为 S n ,且 S1 ,2 S 2 ,3S 3 成等差数列,则 {a n } 的公比为 9. 等比数列 {a n } 中,公比 q=2,前 99 项和 S 99 = 56 ,则 a 3 + a 6 + a 9 + ? + a 99 的值为 10. 等比数列 {a n } 中,公比 q=2, log 2 a1 + log 2 a 2 + ? + log 2 a10 = 35 ,则 a1 + a 2 + ?

+ a10 =
11. 已知等比数列 {a n } 的公比 q < 1 ,前 n 项为 S n ,a 3 = 2, S 4 = 5S 2 ,求 {a n } 的通项公式。

12.已知数列{ an }中的相邻两项 a2 k ?1 、 2k 是关于 x 的方程 x 2 ? (3k + 2k ) x + 3k ? 2 k = 0 的两 a 个根,且 a2 k ?1 ≤ a2k (k =1,2,3,…).

(1)求 a1 , a3 , a5 , a7 及 a2n (n≥4)(不必证明); (2)求数列{ an }的前 2n 项和 S2n.

13. 在数列{ an }, {bn } 是各项均为正数的等比数列,设 cn = (Ⅰ)数列 {c n } 是否为等比数列?证明你的结论;

bn ( n ∈ N* ) . an

(Ⅱ)设数列 {ln a n } , {ln bn } 的前 n 项和分别为 Sn , Tn .若 a1 = 2 , 求数列 {c n } 的前 n 项和.

Sn n = , Tn 2n + 1


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