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2019课时跟踪检测(二十五) 正弦定理和余弦定理的应用精品教育.doc

课时跟踪检测(二十五) 正弦定理和余弦定理的应用 1.在同一平面内中,在 A 处测得的 B 点的仰角是 50°,且到 A 的距离为 2,C 点的俯 角为 70°,且到 A 的距离为 3,则 B、C 间的距离为( )

A. 16

B. 17

C. 18

D. 19

2.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某

人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45°,沿点 A 向北偏东 30°前进 100 m 到

达点 B,在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30°,则水柱的高度是( )

A.50 m

B.100 m C.120 m

D.150 m

3.(2019·天津高考) 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 8b

=5c,C=2B,则 cos C=( )

7 A.25

B.-275

C.±275

24 D.25

4.(2019·厦门模拟)在不等边三角形 ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,其

中 a 为最大边,如果 sin2(B+C)<sin2B+sin2C,则角 A 的取值范围为( )

A.??0,π2??

B.??π4,π2??

C.??π6,π3??

D.??π3,2π??

5.(2019·清远质检)一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿东偏南 50°方向直

线航行,30 分钟后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是东偏南

20°,在 B 处观察灯塔,其方向是北偏东 65°,那么 B、C 两点间的距离是( )

A.10 2 海里

B.10 3 海里

C.20 2 海里

D.20 3 海里

6.如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的高度为海拔 18 km,速度为 1

000 km/h,飞行员先看到山顶的俯角为 30°,经过 1 min 后又看到山顶的俯角为 75°,则山顶

的海拔高度为(精确到 0.1 km)( )

A.11.4

B.6.6 C.6.5 D.5.6

7.(2019·深圳调研)某城市为加强对建筑文物的保护,计划对该市的所有建筑文物进行

测量,如图是一座非常著名的古老建筑,其中 A 是烟囱的最高点,选择一条水平基线 HG,

使得 H、G、B 三点在同一条直线上,AB 与水平基线 HG 垂直,在相距为 60 m 的 G、H 两

点用测角仪测得 A 的仰角∠ACE、∠ADE 分别为 75°、30°,已知测角仪器的高 BE=1.5 m,

则 AB=________m.(参考数据: 2≈1.4, 3≈1.7) 8.(2019·揭阳模拟)如图,一艘船上午 9:30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30°的方向,
之后它继续沿正北方向匀速航行,上午 10:00 到达 B 处,此时又测得灯塔 S 在它的北偏东

75°的方向,且与它相距 8 2 n mile.此船的航速是________n mile/h.

第1页

9.江岸边有一炮台高 30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,由炮台顶 部测得俯角分别为 45°和 60°,而且两条船与炮台底部连线成 30°角,则两条船相距

________m. 10.(2019·广州调研)在△ABC 中,点 D 在 BC 边上,AD=33,sin∠BAD=153,cos∠ADC

=35. (1)求 sin∠ABD 的值. (2)求 BD 的长. 11.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:
A、B、C 三地位于同一水平面上,在 C 处进行该仪器的垂直弹射,观测点 A、B 两地相距 100 米,∠BAC=60°,在 A 地听到弹射声音的时间比 B 地晚127秒.在 A 地测得该仪器至最 高点 H 时的仰角为 30°,求该仪器的垂直弹射高度 CH.(声音的传播速度为 340 米/秒)
12.(2019·汕头模拟)某单位在抗雪救灾中,需要在 A,B 两地之间架设高压电线,测量人 员在相距 6 km 的 C,D 两地测得∠ACD=45°,∠ADC=75°,∠BDC=15°,∠BCD=30°(如 图,其中 A,B,C,D 在同一平面上),假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因,实 际所需电线长度大约应该是 A,B 之间距离的 1.2 倍,问施工单位至少应该准备多长的电线?
1.某城市的电视发射塔 CD 建在市郊的小山上,小山的高 BC 为 35 m,在地面上有一点 A,测得 A,C 间的距离为 91 m,从 A 观测电视发射塔 CD 的视角(∠CAD)为 45°,则这座电 视发射塔的高度 CD 为________米.
2.2012 年 10 月 29 日,超级风暴“桑迪”袭击美国东部,如图,在灾区的搜救现场,一 条搜救狗从 A 处沿正北方向行进 x m 到达 B 处发现一个生命迹象,然后向右转 105°,行进 10 m 到达 C 处发现另一生命迹象,这时它向右转 135°后继续前行回到出发点,那么 x= ________.
3.(2019·湛江模拟)如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有 一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西 30°,相距 10 海里的 C 处的乙船.
(1)求处于 C 处的乙船和遇险渔船间的距离;

(2)设乙船沿直线

CB

方向前往

B

处救援,其方向与

CA



θ

角,求

f(x)=sin2θsin

x+

3 4

cos2θcos x(x∈R)的值域.

答案

课时跟踪检测(二十五) A级

1.选 D ∵∠BAC=120°,AB=2,AC=3.

第2页

∴BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos ∠BAC

=4+9-2×2×3×cos 120°=19.

∴BC= 19.

2.选 A 设水柱高度是 h m,水柱底端为 C,则在△ABC 中,A=60°,AC=h,AB=100,

BC= 3h, 根据余弦定理得,( 3h)2=h2+1002-2·h·100·cos 60°,即 h2+50h-5 000=0,即(h-

50)(h+100)=0,即 h=50,故水柱的高度是 50 m.

3.选 A 由 C=2B 得 sin C=sin 2B=2sin Bcos B,由正弦定理及 8b=5c 得 cos B=2sisninCB

=2cb=45,所以 cos C=cos 2B=2cos2 B-1=2×??45??2-1=275.

4.选 D 由题意得 sin2A<sin2B+sin2C,

再由正弦定理得 a2<b2+c2,即 b2+c2-a2>0. 则 cos A=b2+2cb2c-a2>0, ∵0<A<π,∴0<A<2π. 又 a 为最大边,∴A>π3.
因此得角 A 的取值范围是??π3,π2??.

5.选 A 如图所示,由已知条件可得,∠CAB=30°,∠ABC=105°,

∴∠BCA=45°.

又 AB=40×12=20(海里),

∴由正弦定理可得sin2045°=sinBC30°.

∴BC=20×12=10 2(海里). 2 2

6.选 B

∵AB=1

000×1

000×610=50

000 3

m,

∴BC=sinAB45°·sin

30°=50 3

000 2

m.

第3页

∴航线离山顶 h=50 000×sin 75°≈11.4 km. 32

∴山高为 18-11.4=6.6 km.

7.解析:∵∠ACE=75°,∠ADC=30°,∴∠CAD=45°,在△ACD 中,CD=60,由正弦定 理得sinCD45°=sinAC30°,则 AC=30 2.在 Rt△AEC 中,AE=ACsin 75°,而 sin 75°=sin(30°+45°)

2+ 6 = 4 ,∴AE=15(1+ 3)≈40.5(m),故 AB=AE+EB=40.5+1.5=42(m).
答案:42 8.解析:设航速为 v n mile/h, 在△ABS 中 AB=12v,BS=8 2,

∠BSA=45°, 1
由正弦定理得si8n 320°=sin2v45°,则 v=32. 答案:32 9.解析:如图,OM=AOtan 45°=30(m),

ON=AOtan 30°= 33×30=10 3(m),

在△MON 中,由余弦定理得,

MN=

900+300-2×30×10



3 2

= 300=10 3(m). 答案:10 3 10.解:(1)因为 cos∠ADC=35, 所以 sin∠ADC= 1-cos2∠ADC=45. 又 sin∠BAD=153, 所以 cos∠BAD= 1-sin2∠BAD=1132.

因为∠ABD=∠ADC-∠BAD,

第4页

所以 sin∠ABD=sin(∠ADC-∠BAD)

=sin∠ADCcos∠BAD-cos∠ADCsin∠BAD =45×1123-35×153=6353. (2)在△ABD 中,由正弦定理得 BD = AD ,
sin∠BAD sin∠ABD AD×sin∠BAD 33×153 所以 BD= sin∠ABD = 33 =25.
65 11.解:由题意,设 AC=x,则 BC=x-127×340=x-40,

在△ABC 中,由余弦定理得

BC2=BA2+CA2-2BA·CA·cos ∠BAC,

即(x-40)2=x2+10 000-100x,解得 x=420.

在△ACH 中,AC=420,∠CAH=30°,∠ACH=90°,

所以 CH=AC·tan ∠CAH=140 3.

答:该仪器的垂直弹射高度 CH 为 140 3米.

12.解:在△ACD 中,∠ACD=45°,CD=6,∠ADC=75°,

所以∠CAD=60°. 因为 CD = AD ,
sin ∠CAD sin ∠ACD

CD×sin ∠ACD



2 2

所以 AD=



=2 6.

sin ∠CAD

3

2

在△BCD 中,∠BCD=30°,CD=6,∠BDC=15°,

所以∠CBD=135°.

因为 CD = BD , sin ∠CBD sin ∠BCD

CD×sin ∠BCD 6×12

所以 BD=

= =3 2.

sin ∠CBD

2

2

第5页

又因为在△ABD 中,∠BDA=∠BDC+∠ADC=90°,

所以△ABD 是直角三角形.

所以 AB= AD2+BD2

= ?2 6?2+?3 2?2= 42.

所以电线长度至少为

l=1.2×AB=6 542(单位:km)

答:施工单位至少应该准备长度为6

42 5

km 的电线.

B级

1.解析:AB= 912-352=84,

tan∠CAB=BACB=8345=152.由CD8+4 35=tan(45°+∠CAB)=11-+115522=177,

得 CD=169. 答案:169 2.解析:∵由题知,∠CBA=75°,

∠BCA=45°,

∴∠BAC=180°-75°-45°=60°,

∴sinx45°=sin1600°.∴x=103 6 m. 答案:103 6 m 3.解:(1)连接 BC,由余弦定理得 BC2=202+102-2×20×10cos 120°=700.

∴BC=10 7,即所求距离为 10 7海里.

(2)∵si2n0θ=si1n01270°,

∴sin θ=

3 7.

第6页

∵θ 是锐角,∴cos θ=

4 7.

f(x)=sin2θsin x+ 43cos2θcos x

=37sin

x+

3 7 cos

x=27 3sin??x+π6??,

∴f(x)的值域为??-27 3,27 3??.

第7页


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