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归纳与技巧:一元二次不等式及其解法(含解析)

归纳与技巧:一元二次不等式及其解法 基础知识归纳 一元二次不等式的解集 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象、一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根与一元二次不等式 ax2+bx+c>0 与 ax2+bx+c<0 的解集的关系,可归纳为: 判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0) 的图象 一元二次方程 ax2+bx+c= 0(a≠0)的根 一元 二次不 等式的 解集 ax2+bx+c<0(a>0) {x|x1<x<x2} ? ? ax2+bx+c>0(a>0) 有两相异实根 x=x1 或 x =x2 {x|x<x1 或 x>x2} 有两相同实根 x =x1 {x|x≠x1} Δ>0 Δ=0 Δ<0 无实根 R 若 a<0 时,可以先将二次项系数化为正数,对照上表求解. 基础题必做 1.(教材习题改编)不等式 x(1-2x)>0 的解集是( 1? A.? ?-∞,2? 1 ? C.(-∞,0)∪? ?2,+∞? 答案:B 2.不等式 9x2+6x+1≤0 的解集是( ? 1 ? x≠- ? A.?x? 3 ? ? ? ? 1 1 ? ? C.?x? ?-3≤x≤3 ? ? ) 1? B.? ?0,2? 1 ? D.? ?2,+∞? ) ? 1? B.?-3? ? ? D.R 答案:B 3.若关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的实数根, 则实数 m 的取值范围是( A.(-1,1) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(-2,2) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) ) 解析:选 C 由一元二次方程有两个不相等的实数根,可得:判别式 Δ>0,即 m2-4 >0,解得 m<-2 或 m>2. 4. 已知集合 A={x∈R||x+2|<3},集合 B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且 A∩B=(-1, n),则 m=__________,n=________. 解析:因为|x+2|<3,即-5<x<1,所以 A=(-5,1),又 A∩B≠?,所以 m<1,B=(m,2), 由 A∩B=(-1,n)得 m=-1,n=1. 答案:-1 1 1 5.不等式 <1 的解集为________. x-1 x-2 1 1 解析:由 <1 得 1- >0,即 >0,解得 x<1,或 x>2. x-1 x-1 x-1 答案:{x|x<1,或 x>2} 解题方法归纳 解一元二次不等式应注意的问题: (1)在解一元二次不等式时,要先把二次项系数化为正数. (2)二次项系数中含有参数时,参数的符号会影响不等式的解集,讨论时不要忘记二次 项系数为零的情况. (3)解决一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号. (4)一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与 x 轴交点的横坐标相同. 一元二次不等式的解法 典题导入 [例 1] 解下列不等式: (1)0<x2-x-2≤4; (2)x2-4ax-5a2>0(a≠0). [自主解答] (1)原不等式等价于 2 2 ? ? ?x -x-2>0, ?x -x-2>0, ? 2 ?? 2 ?x -x-2≤4 ? ? ?x -x-6≤0 ??x-2??x+1?>0, ?x>2或x<-1, ? ? ?? ?? ??x-3??x+2?≤0 ?-2≤x≤3. ? ? 借助于数轴,如图所示, 原不等式的解集为{x|-2≤x<-1,或2<x≤3}. (2)由 x2-4ax-5a2>0 知(x-5a)(x+a)>0. 由于 a≠0 故分 a>0 与 a<0 讨论. 当 a<0 时,x<5a 或 x>-a; 当 a>0 时,x<-a 或 x>5a. 综上,a<0 时,解集为{x|x<5a,或x>-a};a>0 时,解集为{x|x>5a,或x<-a}. 解题方法归纳 1.解一元二次不等式的一般步骤: (1)对不等式变形,使一端为 0 且二次项系数大于 0,即 ax2+bx+c>0(a>0),ax2+bx +c<0(a>0); (2)计算相应的判别式; (3)当 Δ≥0 时,求出相应的一元二次方程的根; (4)根据对应二次函数的图象,写出不等式的解集. 2.解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解,再对根的大小进行分类讨论;若不 能因式分解,则可对判别式进行分类讨论,分类要不重不漏. 以题试法 1.解下列不等式: (1)-3x2-2x+8≥0; (2)ax2-(a+1)x+1<0(a>0). 解:(1)原不等式可化为 3x2+2x-8≤0, 即(3x-4)(x+2)≤0. 4 解得-2 ≤x≤ , 3 ? 4 ? ? 所以原不等式的解集为?x? ?-2≤x≤3 . ? ? (2)原不等式变为(ax-1)(x-1)<0, 1? 因为 a>0,所以? ?x-a?(x-1)<0. 1 所以当 a>1 时,解为 <x<1; a 当 a=1 时,解集为?; 1 当 0<a<1 时,解为 1<x< . a ? 1 ? 1<x< ?; 综上,当 0<a<1 时,不等式的解集为?x? a ? ? ? 当 a=1 时,不等式的解集为?; ? 1 ? ? 当 a>1 时,不等式的解集为?x? ?a<x<1 . ? ? 一元二次不等式恒成立问题 典题导入 [例 2] 已知 f(x)=x2-2ax+2(a∈R),当 x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的取 值范围. [自主解答] 法一:f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图象的对称轴为 x=a. ①当 a∈(-∞,-1) 时,f(x)在[-1,+∞)上单调递增,f(x)min=f(-1)=2a+3. 要使 f(x)≥a 恒成立,只需 f(x)min≥a,即 2a+3≥a,解得-3≤a<-1; ②当 a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a2,由 2-a2≥a,解得-1 ≤a≤1. 综上所述,a 的取值范围为[-3,1].

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