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福建省福州第十三中学2016届高三上学期期中考试数学(理)试题


2015~2016 学年福州第十三中学第一学期期中质量抽查 高三数学(理)试题 考查范围:高考全部知识 150 分 一.选择题(每小题 3 分,满分 36 分,每小题给出的四个选项中,只有一项是题目要求的) 考试时间:10 月 15 日 14.00-16.00 满分:

1 已知 i 为虚数单位,则复数 z=

在复平面内表示的点位于( C.第二象限

) D.第一象限

A.第四象限
2.已知集合 A. B.

B.第三象限
,集合 C.

,则 D. 且



满足(



3. 甲乙两人从 4 门课程中各选修两门,则甲乙所选的课程中至少有 1 门不相同 的选法共有 ... ( ) A.30 种 4.已知 sin x ? 3 cos x ? A.- 3 B.36 种 C.60 种 ) D. 4 D.72 种

8 ? ,则 cos( ? x ) ? ( 6 5
B. 3

5

5

C.- 4

5

5

5.已知命题 p :函数 f ( x) ? sin 2 x ?

1 的最小正周期为 ? ;命题 q :若函数 f ( x ? 1) 为偶函数, 2
) D. p ? ( ?q )

则 f ( x) 关于 x ? 1 对称.则下列命题是真命题的是( A. p ? q B. p ? q C. (?p) ? (?q)

6. 已知实数 x ? ? 1,2,3,4,5,6,7,8,?,执行如图所示的程序框图,则输出的 x 不小于 121的概率为 ... ( )
输入 x

开始

n=1 n= n +1

n ? 3?




输出 x 输入

结束

x= 3x +1

A.

3 4

B.

5 8
9

C.

7 8

D.

1 2


7.已知 a ?

?

?

2 0

1 ? ? 3 (? cos x)dx ,则 ? ax ? ? 展开式中, x 项的系数为( 2ax ? ?

A.

63 8

B.

63 16

C. ?

21 2

D. ?

63 8

?m x ? ny ? 2 ? 8.点 ?1,1? 在不等式组 ?ny ? m x ? 2 表示的平面区域内,则 m 2 ? n 2 取值范围是 ?ny ? 1 ?
A . ?1, 4 ? B. ?2,4? C. ?1,3? ) D. ?2,3?

9.一个几何体的三视图如上右图,则其表面积为( A. 20 C. 14 ? 2 3 B. 18 D. 14 ? 2 2

10.已知 O 为正三角形 ABC 内一点,且满足 OA ? ?OB ? (1 ? ? )OC ? 0 ,若 ?OAB 的面积与

?OAC 的面积比值为 3,则 ? 的值为(
A.

) D. 3

1 2

B. 1

C. 2

11.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? ?? b ? ? ? 的左、右焦点分别是 F1 , F2 ,过 F2 的直线交双曲线 a 2 b2
)

的右支于 P, Q 两点,若 | PF 1 |?| F 1F 2 | ,且 3| PF2 |? 2 | QF2 |, 则该双曲线的离心率为( A、

7 5

B、

4 3

C、2

D、

10 3

12.已知函数 f ( x) ? x 2 ? e x ? 点,则 a 的取值范围是( A. ( ? e, )

1 ( x ? 0) 与 g ( x) ? x 2 ? ln(x ? a) 图象上存在关于 y 轴对称的 2


1

e

B. ( ?

1 e

,e )

C. (??,e )

D. (??, )

1

e

二.填空题(每题 4 分,满分 16 分)

, ? 1) 在曲线 y ? 13.已知点 P(?1

x 上,则曲线在点 P 处的切线方程为_____________. x?a

14.设 {a n } 是公比不为 1 的等比数列,其前 n 项和为 S n ,若 a ? ,a ? ,a ? 成等差数列,则

S? ? S?

.

15.把函数 f ( x ) ? ? sin x cos x ? cos ? x ?

? 的图象上各点向右平移 ? (? ? ? ) 个单位,得到函 ?
.

数 g( x ) ? sin ? x 的图象,则 ? 的最小值为

16.已知抛物线 C:y2= 2px (p > 0)的焦点为 F, 过点 F 倾斜角为 60°的直线 l 与抛物线 C 在第一、 四象限分别交于 A、 B 两点, 则

AF 的值等于_____________. BF

三.解答题(本大题 5 个小题,共 48 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 8 分)设△ ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,设 S 为△ ABC 的 面积,满足 S ? (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 b ? ? ,设 A ? x , y ? ( ? -? )a ? ?c ,求函数 y ? f ( x ) 的解析式和最大值.

? ? (a ? c ? ? b ? ) . ?

18. (本小题满分 10 分)心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关, 某数学兴趣小组为 了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 50 名同学 (男 30 女 20) , 给所有同学几何题和代数题各一题, 让各位同学 自由选择一道题进行解答.选题情况如下表: (单位: 人)

(Ⅰ) 能否据此判断有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关? (Ⅱ) 经过多次测试后, 甲每次解答一道几何题所用的时间在 5—7 分钟, 乙每次解答一道 几何题所用的时间在 6—8 分钟, 现甲、 乙各解同一道几何题, 求乙比甲先解答完的概 率.

(Ⅲ) 现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究, 记甲、 乙两女生被抽到的人数为 X, 求 X 的分布列及数学期望 E(X) . 附表及公式

19. (本小题满分 10 分)如图, 在直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, D, E 分别是 BC 和 CC1 的中 点, 已知 AB ? AC ? AA1 ? 4 , ?BAC ? 90 .
0

(Ⅰ) 求证: B1D⊥平面 AED; (Ⅱ) 求二面角 B1-AE-D 的余弦值.

20. (本小题满分 10 分)已知抛物线 y ? 4 x ,过点 M ?0,2 ? 的直线 l 与抛物线交于 A, B 两点,
2

且直线 l 与 x 轴交于点 C. (1)求证: MA , MC , MB 成等比数列; (2)设 MA ? ? AC, MB ? ? BC ,试问 ? ? ? 是否为定值?若是,求出此定值;若不是,请 说明理由.

2 x 21 . (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? ( x ? 3x ? 3)? e 定义域为 [?2, t ](t ? ?2) ,设

f (? 2) ? m , f (t )? n.
(1)试确定 t 的取值范围,使得函数 f ( x ) 在 [?2, t ] 上为单调函数; (2)求证:对于任意的 t ? ?2 ,总存在 x0 ? (?2, t ) ,满足 的 x0 的个数.

f ?( x0 ) 2 ? (t ? 1) 2 ,并确定这样 e x0 3

1.已知 i 为虚数单位,则复数 z=

在复平面内表示的点位于( C.第二象限

) D.第一象限

A.第四象限

B.第三象限

B 考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:直接利用复数代数形式的除法运算化简复数 z,然后求出复数 z 在复平面内对应的 点的坐标,则答案可求.

解答:

解:由

=

, , ),

则复数 z 在复平面内对应的点的坐标为(

位于第三象限. 故选:B. 点评:本题考查了复数代数形式的除法运算,考查了复数的代数表示法及其几何意义,是 基础题.

2.已知集合 A. B.

,集合 C. D.

,则 且



满足(



B (理科)3.甲乙两人从 4 门课程中各选修两门,则甲乙所选的课程中至少有 1 门不相同 的选法 ... 共有( ) B.36 种 C.60 种 D.72 种 A.30 种 【答案】A 【解析】 试题分析:由题可知,至少有 1 门不相同 的选法包括有一门不相同的课程和两门都不相同的课 ... 程,因此共有 C4 C2C2 ? C4 C2 ? 24 ? 6 ? 30 种;
2 1 1 2 2

考点:排列组合 4.已知 sin x ? 3 cos x ?

8 ? ,则 cos( ? x) ? ( 6 5



A.- 3

5

B. 3

5

C.- 4

5

D. 4

5

【答案】D 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 可 知 , sin x ? 3 cos x ? 2 sin( x ?

?
3

) , 于 是 sin( x ?

?
3

)?

4 sin x ? cos( ? x) ,有 cos( ? x) ? cos( ? ? x) ? sin( x ? ) ? ; 2 6 2 3 3 5
考点:?三角函数和差化积?诱导公式 5.已知命题 p :函数 f ( x) ? sin 2 x ?

?

?

?

?

?

4 ,根据 5

1 的最小正周期为 ? ;命题 :若函数 f ( x ? 1) 为偶函数, q 2
) D. p ? (?q )

则 f ( x) 关于 x ? 1 对称.则下列命题是真命题的是( A. p ? q 【答案】B 【解析】 B. p ? q

C.(?p ) ? (?q )

试 题 分 析 : 由 题 可 知 , 根 据 倍 角 公 式 cos 2 x ? 1 ? 2 sin 2 x 可 得 ,

1 1 2? 2? 1 f ( x) ?| ? cos 2 x |? | cos 2 x | ,周期 T ? ? ? ? ,因此 f ( x) ? | cos 2 x | 的周期 2 2 ? 2 2


? ,命题 p 是假命题;函数 f ( x ? 1) 的图象关于 y 轴对称,而由 f ( x ? 1) 的图象向右平移 2

1 个单位即可得到 f ( x) 的图象,故 f ( x ? 1) 关于 x ? 1 对称,即命题 q 为真命题;因此选 B 考点:?倍角公式?函数的奇偶性与对称性

1,2,3,4,5,6,7,8,? ,执行如图所示的程序框图,则输出的 x 不小于 6. 已知实数 x ? ? 121 的概率为 ...
( )
输入 x

开始

n=1 n= n +1

n ? 3?




输出 x 输入

结束

x= 3x +1

A.

3 4

B.

5 8

C.

7 8

D.

1 2

【答案】B

【解析】 试题分析:由题可知,当输入 x ? 1 时,进过循环,输出 x ? 40 ,当输入 x ? 2 时,进入循环, 输出 x ? 67 ,当输入 x ? 3 时,进入循环,输出 x ? 94 ,当开始输入大于 4 的时候,输出的 x 均满足题意,因此输出的 x 不小于 121 的概率为 ... 考点:程序框图 (理科)7.已知 a ?

5 ; 8

?

?

2 0

1 ? ? 3 (? cos x)dx ,则 ? ax ? ? 展开式中, x 项的系数为( 2ax ? ?
B.

9



A.

63 8

63 16

C. ?

21 2

D. ?

63 8

【答案】C 【解析】 试题分析:由题可知, a ?
9

?

?

2 0

(? cos x)dx ? ? sin x 02 ? ? sin

?

?
2

? 0 ? ?1 ,于是 a ? 1 ,即原式

1 ? ? ? ax ? ? 2ax ? ?
变为 ( ? x ?

1 9 1 3 21 21 3 ) ,则 x 3 项为 C9 (? x) 6 ( ) ? ? x 3 ,因此 x 3 项的系数为 ? ; 2x ? 2x 2 2

考点:?定积分运算?二项式定理

?mx ? ny ? 2 ? 8.点 ?1,1? 在不等式组 ?ny ? mx ? 2 表示的平面区域内,则 m 2 ? n 2 取值范围是 ?ny ? 1 ?
A . ?1,4? 【答案】A 【解析】 B. ?2,4? C. ?1,3? D. ?2,3?

?m ? n ? 2 ? 试题分析:由题意可得: ?n ? m ? 2 ,该不等式组表示的可行域如下图所示: ?n ? 1 ?

所以 m 2 ? n 2 ? ?m ? 0 ? ? ?n ? 0 ? ,表示点 ?n, m ? 到原点 ?0,0 ? 的距离的平方,
2 2

所以 m ? n ? ?1,4? .
2 2

考点:线性规划的应用. 9.一个几何体的三视图如上右图,则其表面积为( A. 20 D. 14 ? 2 2 B. 18 )

C. 14 ? 2 3

【答案】A 【解析】 试题分析:由三视图知:该几何体是一个正方体截去四个三棱锥,如图所示.

1 1 所以该几何体的表面积是 2 ? 4 ? ? 2 ? 2 ? 4 ? ? 2 ? 2 2
2

? 5?

2

? 2? ?? ? 2 ? ? ? ? ?

2

? 2?

2

故 ? 20 ,

选 A. 考点:1、三视图;2、空间几何体的表面积. 10.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? ?? b ? ? ? 的左、右焦点分别是 F1 , F2 ,过 F2 的直线交双曲线 a 2 b2
)

的右支于 P, Q 两点,若 | PF1 |?| F1 F2 | ,且 3 | PF2 |? 2 | QF2 |, 则该双曲线的离心率为 ( A、 【答案】A

7 5

B、

4 3

C、2

D、

10 3

考点:求双曲线的离心率. 11.已知 O 为正三角形 ABC 内一点,且满足 OA ? ? OB ? (1 ? ? )OC ? 0 ,若 ?OAB 的面积与

?OAC 的面积比值为 3,则 ? 的值为(
A.

) D. 3 D B O A E

1 2

B. 1

C. 2

【答案】A 【解析】 C

试 题 分 析 : 由 题 可 知 , 建 立 直 角 坐 标 系 , 设 正 三 角 形 的 边 长 为 2 , O ( x, y ) , 则

A(1,3 ),B(0, 0), C (2, 0)

,





OA ? ? OB ? (1 ? ? )OC ? 0
, 化 简

, 可



是 得

有 ,

? (1 ? x, 3 ? y ) ? (?x, ?y ) ? (1 ? ? )(2 ? x,? y ) ? 0

3 ? 2? ? x? ? ?1 ? x ? ?x ? 2 ? x ? 2? ? ?x ? 0 2 ? ,即 ? , 由 直 线 方 程 可 得 , y AB ? 3 x , ? 3 3 ? y ? ? y ? y ? ? y ? 0 ? ?y ? ? 2 ?

y AC ? ? 3 x ? 2 3 ,?OAB 的面积与 ?OAC 的面积比值为 3,即 ?OAB 的高与 ?OAC 的高比
值 为 3 , 由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 知 , OD ?|

? 2 3 ? 2 3? 2 3? | , OE ?| | ,即 2 2

|

? 2 3 ? 2 3? 2 3? 1 |? 3 | | ,解得 8?2 ? 2? ? 1 ? 0 , (2? ? 1)(4? ? 1) ? 0 ,即 ? ? ; 2 2 2

考点:?向量的坐标运算?点到直线的距离公式 12.已知函数 f ( x) ? x 2 ? e x ? 点,则 a 的取值范围是( A. ( ? e, ) ) B. ( ?

1 ( x ? 0) 与 g ( x) ? x 2 ? ln( x ? a) 图象上存在关于 y 轴对称的 2

1

1 e

e

,e )

C. (??,e )

D. ( ??, )

1

e

【答案】C. 【解析】

考点:函数的性质与应用.

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 4 分,满分 16 分,将答案填在答题纸上) 13.已知点 P (?1, ? 1) 在曲线 y ? 【答案】 2 x ? y ? 1 ? 0 .

x 上,则曲线在点 P 处的切线方程为_____________. x?a

14.设 {a n } 是公比不为 1 的等比数列,其前 n 项和为 S n ,若 a ? ,a ? ,a ? 成等差数列,则

S? ? S?
【答案】 5 【解析】

.

试题分析:因为 a4 , a3 , a5 成等差数列,所以 2a3 ? a4 ? a5 ,因为 a4 ? a3 q , a5 ? a3 q 2 , 所以 2a3 ? a3 q ? a3 q 2 ,因为 a3 ? 0 ,所以 q ? q ? 2 ,解得: q ? 1 (舍去)或 q ? ?2 ,所
2

?1 ? q ? S2 S 以 4 ? S2 S2
2

? 1 ? q 2 ? 1 ? ? ?2 ? ? 5 ,所以答案应填: 5 .
2

考点:1、等比数列的通项公式;2、等差数列的性质;3、等比数列的前 n 项和的性质. 15.把函数 f ( x ) ? ? sin x cos x ? cos ? x ?

? 的图象上各点向右平移 ? (? ? ? ) 个单位,得到函 ?
.

数 g ( x ) ? sin ? x 的图象,则 ? 的最小值为 【答案】 【解析】 试 题 分

?
12





f ? x ? ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ?

1 3 1 1 1 3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 2 2 2 2 2

?? ? ? sin ? 2 x ? ? , 因 为 函 数 f ? x ? 的 图 象 上 各 点 向 右 平 移 ? ( ? ? 0 个 单 位 , 得 到 函 数 6? ?

?? ?? ? ? g ? x ? ? sin 2 x 的图象,所以 sin ? 2 ? x ? ? ? ? ? ? sin 2 x ,即 sin ? 2 x ? 2? ? ? ? sin 2 x , 6? 6? ? ?

所以 ?2? ?

?
6

? k? , k ? ? ,解得:? ? ?

?min ?

?
12

,所以答案应填:

?
12

k? ? ? , k ? ? ,因为 ? ? 0 ,所以当 k ? 0 时, 2 12



考点:1、二倍角的正弦公式;2、降幂公式;3、辅助角公式;4、三角函数的图象与性质. 16.已知抛物线 C:y2= 2px (p > 0)的焦点为 F, 过点 F 倾斜角为 60°的直线 l 与抛物线 C 在第一、 四象限分别交于 A、 B 两点, 则 【答案】3 【解析】 试题分析:根据抛物线的性质,设

AF BF

的值等于_____________.

A (x1,y1),( B x2,y2), | AB | =x1 ? x2 ? p=

2p 8p = , 2 sin ? 3

3 p p? AF p2 5p 3 1 2 ?3 x1 ? x2= ,又 x1 x2= ,联立可解得,可得 x1= p, x2= p ,则 ?2 p p 4 3 2 6 BF ? 6 2
考点:抛物线的性质 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分)设△ ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,设 S 为△ ABC 的面积, 满足 S ?

? ? (a ? c ? ? b ? ) . ?

(Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 b ? ? ,设 A ? x , y ?( ? - ? )a ? ? c ,求函数 y ? f ( x ) 的解析式和最大值. 【答案】(I) 【解析】 试题分析: (I)先利用三角形的面积公式和余弦定理可得

?
3

; (II) y ? 2 6 sin ? x ?

? ?

??

2? ) ,2 6 . ?(0 ? x ? 3 4?

1 3 ac sin ? ? ? 2ac cos ? ,进而 2 4

可得 tan ? 的值, 再利用角 ? 的取值范围即可得 ? 得值; (II) 先利用三角形的内角和可得角 ? 的取值范围,再利用正弦定理可得 a 和 c 的值,代入,利用辅助角公式可得 y ? f ? x ? 的解析

式,进而利用角 ? 的取值范围可得 y ? f ? x ? 的最大值. 试题解析: (Ⅰ)由已知及三角形面积公式和余弦定理得

? ? ac sin B ? ? ? ac cos B ? ?
∴ tan B ? ? ,又 B ? (?,? ) 所以 B ?

??2 分

??4 分 ??5 分

?
?

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知B ? 6分 由正弦定理,知 a ?

?
?

, △ABC 的内角和 A ? B ? C ? ? , 又 A ? ?,C ? ? 得 ? ? A ?

?? . ?? ?

b sin A ? sin B

? sin

?
?

sin x ? ? sin x ,

??7 分

c?

b ?? sin C ? ? sin( ? x) sin B ?

??8 分

所以 y ? ( ? -? )a ? ? c

?( 2 3-1 ) sin x ? 4sin(

2? ? x) 3

? 2 3 sin x ? 2 3 cos x

当x?

? 2? ? 2 6 sin( x ? )(0 ? x ? ) 4 3 ? ? ?
? ? ?
,即 x ?

??10 分 ??12 分

?

时, y 取得最大值 ? ?

考点:1、余弦定理;2、三角形的面积公式;3、特殊角的三角函数值;4、正弦定理;5、两 角差的正弦公式;6、辅助角公式;7、三角函数的图象与性质 18.心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关, 某数学兴趣小组为了验证这个结论,从 兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 50 名同学 (男 30 女 20) , 给所有同学几何题和代数 题各一题, 让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表: (单位: 人)

(Ⅰ) 能否据此判断有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关?

(Ⅱ) 经过多次测试后, 甲每次解答一道几何题所用的时间在 5—7 分钟, 乙每次解答一道 几何题所用的时间在 6—8 分钟, 现甲、 乙各解同一道几何题, 求乙比甲先解答完的概 率. (理科做) (Ⅲ) 现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程 研究,记甲、 乙两女生被抽到的人数为 X, 求 X 的分布列及数学期望 E (X) . 附表及公式

【答案】 (Ⅰ)有 97.5% 的把握认为视觉和空间能力与性别有关(Ⅱ) 为:

1 (Ⅲ) X 的分布列 8

X
E( X ) ? 1 . 2
P

0
15 28

1

2

12 28

1 28

【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用表中数据计算得 K 2 ?

50 ? 5.556 ? 5.024 ,则根据统计有知识知有 9

97.5% 的把握认为视觉和空间能力与性别有关
(Ⅱ)这是一个几何概型问题,设甲、乙解答一道几何题的时间分别为 x、y 分钟,则扩容画 出基本事件满足的区域 ?

?5 ? x ? 7 ,设事件 A 为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为 ?6 ? y ? 8

x ? y .由几何概型 即可求出乙比甲先解答完的概率
(Ⅲ)首先由题意可知 X 可能取值为 0,1, 2 ,这是一个超几何分布,易得 X 的分布列及数学 期望 E (X)

50 ? ? 22 ?12 ? 8 ? 8 ? 50 ? ? 5.556 ? 5.024 试题解析: (Ⅰ)由表中数据得 K 的观测值 K ? 30 ? 20 ? 30 ? 20 9
2

2

2

所以根据统计有 97.5% 的把握认为视觉和空间能力与性别有关.)

(Ⅱ)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为 x、y 分钟,则基本事件满足的区域为

?5 ? x ? 7 (如图所示) ? ?6 ? y ? 8
设事件 A 为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为 x ? y

y

1 ? 1? 1 1 ? ? 由几何概型 P ( A) ? 2 2? 2 8

1

1 即乙比甲先解答完的概率为 . 8

O

1

x

(Ⅲ)由题可知在选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人,抽取方法有 C8 2 ? 28 种,其中甲、 乙两人没有一个人被抽到有 C6 2 ? 15 种;恰有一人被抽到有 C21 ? C61 =12 种;两人都被抽到有

C2 2 ? 1 种

? X 可能取值为 0,1, 2 , P( X ? 0) ? X 的分布列为:

15 12 3 1 , P ( X ? 1) ? ? , P( X ? 2) ? 28 28 7 28

X
P

0
15 28

1

2

12 28

1 28

? E( X ) ? 0 ?
2

15 12 1 1 +1 ? +2 ? ? 28 28 28 2 .

考点: K 检验,几何概型,超几何分布 19. 如 图 , 在 直 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , D, E 分 别 是 BC 和 CC1 的 中 点 , 已 知

AB ? AC ? AA1 ? 4 , ?BAC ? 900 .
(Ⅰ) 求证: B1D⊥平面 AED; (文科做)(Ⅱ)求三棱锥 A-B1DE 的体积 ;[来 (理科做)(Ⅱ) 求二面角 B1-AE-D 的余弦值. 【答案】 (Ⅰ) (Ⅱ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ) 建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标,分别计算

6 ; (Ⅲ) VA? B1DE ? 8 6

???? ? ???? ???? ? ??? ? B1 D ? AD ? 0, B1 D ? AE ? 0, 利用直线与平面垂直的判定定理可证 B1 D ? 平面AED (Ⅱ)由
(Ⅰ)分别求出平面 AED 和平面 B1 AE 一个法向量;利用空间两个向量的夹角公式即可求出 二 面 角 B1 ? AE ? D 的 余 弦 值 ( Ⅲ ) 利 用 等 体 积 法 变 换 顶 点 可 得

1 VA? B1DE ? VB1 ? ADE ? ? 2 6 ? 2 6 ? 8 3
试题解析: (Ⅰ)依题意,建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz .因为 AB=AC ? AA1 ? 4 ,

A (0, 0 , 0 ),( B , 4, 0 ),( 0 E , 0, 4 ), 2 ( D, , 2 ), 20 ( B, , 4 ) 0 4 .? 1 ???? ? ???? ??? ? B1 D ? ? ?2, 2, ?4 ? , AD ? ? 2, 2, 0 ? , AE ? ? 0, 4, 2 ? ???? ? ???? ???? ? ???? 因为 B1 D ? AD ? ?4 ? 4 ? 0 ? 0, ,所以 B1 D ? AD ,即 B1 D ? AD .
所 以 因为 B1 D ? AE ? 0 ? 8 ? 8 ? 0 ,所以 B1 D ? AE ,即 B1 D ? AE . 又 AD、AE ? 平面AED ,且 AD ? AE ? A ,故 B1 D ⊥平面 AED . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 B1 D ? ? ?2, 2, ?4 ? 为平面 AED 的一个法向量. 设平面 B1 AE 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,因为 AE ? (0,4,2) , AB1 ? (4,0,4) , 所以由 ?

???? ?

? ?n ? AE ? 0 ? ?n ? AB1 ? 0

,得 ?

?4 y ? 2 z ? 0 ,令 y=1,得 x=2,z=-2.即 n ? (2,1,?2) . ?4 x ? 4 z ? 0
? 6 9 ? 24
6 . 6

∴ cos ? n, B1 D ??

n ? B1 D | n | ? | B1 D |

?

6 , 6

∴二面角 B1 ? AE ? D 的余弦值为

(Ⅲ)由 AD ? ? 2, 2, 0 ? , DE ? ? ?2, 2, 2 ? ,可得 AD ? DE ? 0 ? AD ? DE ,即 AD ? DE 又 AD ? 2 2, DE ? 2 3 ,得 S? ADE ?

????

????

???? ????

????

????

????

????

1 ???? ???? 1 AD ? DE ? ? 2 2 ? 2 3 ? 2 6 ,由由(Ⅰ)知 2 2

???? ? B1 D ? 2 6
且 B1 D 为三棱锥 B1 ? ADE 的高,故 VA? B1DE ? VB1 ? ADE ? 考点:利用空间向量解决有关问题,椎体的体积 20. (本题满分 10 分) 已知抛物线 y ? 4 x ,过点 M ?0,2 ? 的直线 l 与抛物线交于 A, B 两点,且直线 l 与 x 轴交于点
2

1 ?2 6 ?2 6 ? 8 3

C.

(1)求证: MA , MC , MB 成等比数列; (2)设 MA ? ? AC , MB ? 说明理由. 【答案】 (1)略; (2)1. 【解析】 试题分析:(1)根据抛物线的定义以及性质表示线段 MA , MC , MB 的距离,然后利用三角 形相似得到 MA MB ? MC 进而说明 MA , MC , MB 成等比数列; (2)根据条件
2

? BC ,试问 ? ? ? 是否为定值?若是,求出此定值;若不是,请

MA ? ? AC , MB ? ? BC ,表示出 ? ?
求的到结论.

? kx1 ? kx 2 ,? ? ,计算 ? ? ? 的值即可得要 kx1 ? 2 kx 2 ? 2

试题解析: (1)证明:设 l : y ? kx ? 2(k ? 0)

联立 ?

? y ? kx ? 2 ? y ? 4x
2

,则 k x ? ?4k ? 4 ?x ? 4 ? 0
2 2

设 A? x1 , y1 ?, B? x 2 , y 2 ?, 则 x1 ? x 2 ? ? 解得 xC ? ?

4k ? 4 4 , x1 ? x 2 ? 2 ------3 分 2 k k

2 4 2 , ? x1 ? x 2 ? 2 ? xC k k
2

由相似比得 MA MB ? MC ,所以 MA , MC , MB 成等比数列.(也可以用弦长公式证明) --------6 分 (2)由 MA ? ? AC , MB ?

? BC ,得 ?x1 , y1 ? 2? ? ? ? ? x1 ? ,? y1 ? ,
? kx1 ? kx 2 ,? ? ,-------9 分 kx1 ? 2 kx 2 ? 2

? ?

2 k

? ?

2 ? ?x2 , y 2 ? 2? ? ? ? ? ? x 2 ? ,? y 2 ? ,即得: ? ? ? k ?

? 2k 2 x1 x 2 ? 2k ? x1 ? x 2 ? ? ?1 ----------12 分 则? ? ? ? 2 k x1 x 2 ? 2k ? x1 ? x 2 ? ? 4
考点:抛物线的定义及性质的综合应用. (理科)21.(本题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 3 x ? 3) ? e 定义域为 [?2, t ](t ? ?2) ,设 f (?2) ? m, f (t ) ? n .
2 x

(1)试确定 t 的取值范围,使得函数 f ( x) 在 [?2, t ] 上为单调函数; (2)求证: n ? m ;

(3)求证:对于任意的 t ? ?2 ,总存在 x0 ? (?2, t ) ,满足 的 x 0 的个数. 【答案】 (1) ?2 ? t ? 0 ; (2)详见解析; (3)详见解析.

f ?( x0 ) 2 ? (t ? 1) 2 ,并确定这样 x0 e 3

考点:1.利用导数判断函数的单调性;2.根的存在性与根的个数判断.

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