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高考数学核心考点集锦课件:策略2 高考中解答题的解题方法_图文

策略2 高考中解答题的解题方法

一、解答题的地位及考查的范围 数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型,这些题涵盖了中学数学的 主要内容,具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方 法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点,解答题综 合考查学生的运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、题解 决问题的能力,分值占70~80分,主要分六块:三角函数(或与平面向量交 汇)、函数与导数(或与不等式交汇)、概率与统计、解析几何(或与平面向量 交汇)、立体几何、数列(或与不等式交汇).从历年高考题看综合题这些题 型的命制都呈现出显著的特点和解题规律,从阅卷中发现考生“会而得不 全分”的现象大有人在,针对以上情况,在高考数学备考中认真分析这些 解题特点及时总结出来,这样有针对性的进行复习训练,能达到事半功倍 的效果.

二、解答题的解答技巧 解答题是高考数学试卷的重头戏,占整个试卷分数的半壁江山,考生在解 答解答题时,应注意正确运用解题技巧. (1)对会做的题目:要解决“会而不对,对而不全”这个老大难的问题,要 特别注意表达准确,考虑周密,书写规范,关键步骤清晰,防止分段扣 分.解题步骤一定要按教科书要求,避免因“对而不全”失分. (2)对不会做的题目:对绝大多数考生来说,更为重要的是如何从拿不下来 的题目中分段得分.有什么样的解题策略,就有什么样的得分策略.对这 些不会做的题目可以采取以下策略:

①缺步解答:如遇到一个不会做的问题,将它们分解为一系列的步骤,或 者是一个个小问题,先解决问题的一部分,能解决多少就解决多少,能演 算几步就写几步.特别是那些解题层次明显的题目,每一步演算到得分点 时都可以得分,最后结论虽然未得出,但分数却可以得到一半以上. ②跳步解答:解题过程卡在某一过渡环节上是常见的.这时我们可以先承 认中间结论,往后推,看能否得到结论.若题目有两问,第(1)问想不出 来,可把第(1)问的结论当作“已知”,先做第(2)问,跳一步再解答.

③辅助解答:一道题目的完整解答,既有主要的实质性的步骤,也有次要 的辅助性的步骤.实质性的步骤未找到之前,找辅助性的步骤是明智之 举.如:准确作图,把题目中的条件翻译成数学表达式,根据题目的意思 列出要用的公式等.罗列这些小步骤都是有分的,这些全是解题思路的重 要体现,切不可以不写,对计算能力要求高的,实行解到哪里算哪里的策 略.书写也是辅助解答,“书写要工整,卷面能得分”是说第一印象好会 在阅卷老师的心理上产生光环效应. ④逆向解答:对一个问题正面思考发生思维受阻时,用逆向思维的方法去 探求新的解题途径,往往能得到突破性的进展.顺向推有困难就逆推,直 接证有困难就反证.

三、怎样解答高考数学题 1.解题思维的理论依据 针对备考学习过程中,考生普遍存在的共性问题:一听就懂、一看就会、 一做就错、一放就忘,做了大量的数学习题,成绩仍然难以提高的现象, 我们很有必要对自己的学习方式、方法进行反思,解决好“学什么,如何 学,学的怎么样”的问题.要解决这里的“如何学”就需要改进学习方 式,学会运用数学思想方法去自觉地分析问题,弄清题意,善于转化,能 够将面对的新问题拉入自己的知识网络里,在最短的时间内拟定解决问题 的最佳方案,实现学习效率的最优化. 美国著名数学教育家波利亚在名著《怎样解题》里,把数学解题的一般思 维过程划分为:弄清问题→拟订计划→实现计划→回顾.这是数学解题的 有力武器,对怎样解答高考数学题有直接的指导意义.

2.求解解答题的一般步骤 第一步:(弄清题目的条件是什么,解题目标是什么?) 这是解题的开始,一定要全面审视题目的所有条件和答题要求,以求正 确、全面理解题意,在整体上把握试题的特点、结构,多方位、多角度地 看问题,不能机械地套用模式,而应从各个不同的侧面、角度来识别题目 的条件和结论以及图形的几何特征与数学式的数量特征之间的关系,从而 利于解题方法的选择和解题步骤的设计. 第二步:(探究问题已知与未知、条件与目标之间的联系,构思解题过 程.) 根据审题从各个不同的侧面、不同的角度得到的信息,全面地确定解题的 思路和方法.

第三步:(形成书面的解题程序,书写规范的解题过程.) 解题过程其实是考查学生的逻辑推理以及运算转化等能力.评分标准是按 步给分,也就是说考生写到哪步,分数就给到哪步,所以卷面上讲究规范 书写. 第四步:(反思解题思维过程的入手点、关键点、易错点,用到的数学思想 方法,以及考查的知识、技能、基本活动经验等.) (1)回头检验——即直接检查已经写好的解答过程,一般来讲解答题到最后 得到结果时有一种感觉,若觉得运算挺顺利则好,若觉得解答别扭则十有 八九错了,这就要认真查看演算过程. (2)特殊检验——即取特殊情形验证,如最值问题总是在特殊状态下取得 的,于是可以计算特殊情形的数据,看与答案是否吻合.

三角函数与平面向量
主要题型:(1)三角函数式的求值与化简问题;(2)单纯三角函数知识的综 合;(3)三角函数与平面向量交汇;(4)三角函数与解斜三角形的交汇;(5) 单纯解斜三角形;(6)解斜三角形与平面向量的交汇. 解题策略:(1)观察三角函数中函数名称、角与结构上的差异,确定三角化 简的方向;(2)利用数量积公式、垂直与平行的主要条件转化向量关系为三 角问题来解决;(3)利用正、余弦定理进行三角形边与角的互化.

【例题1】?(2011· 浙江理,18)(满分14分)在△ABC中,角A,B,C所对的边 1 分别为a,b,c.已知sin A+sin C=psin B(p∈R),且ac= b2. 4 5 (1)当p= ,b=1时,求a,c的值; 4 (2)若角B为锐角,求p的取值范围. 思维过程 第一步:(探究问题已知与未知,条件与目标之间的联系,构思

解题过程.) (1)根据条件结合正弦定理可求a与c;(2)由余弦定理将p用cos B表示,根据 cos B的有界性求p的取值范围.

[规范解答] 第二步:(形成书面的解题程序,书写规范的解题过程) 5 (1)解 由题设和正弦定理,得a+c= . 4 1 又ac= ,(4分) 4

?a=1, ?a=1, ? ? 4 解得? 1 或? (7分) c= ? 4 ?c=1. ? ?

(2)解 由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-2accos B= 1 2 1 2 p b - b - b cos B, 2 2
2 2

3 1 即p = + cos B.(11分) 2 2
2

因为0<cos B<1 ,
?3 ? 所以p ∈?2,2?. ? ?
2

由题设知p>0, 6 所以 <p< 2.(14分) 2

[反思与回顾]

第三步:(反思解题思维过程的入手点、关键点、易错点,

用到的数学思想方法,以及考查的知识、技能、基本活动经验等.) 本题考查了正弦定理、余弦定理的灵活应用,隐含地考查了转化与化归的 思想以及三角函数性质的知识,该题第(1)问入手简单,较容易得出结论; 第(2)问思考建立p与cos B的关系式时,应选用余弦定理的哪一个表达式, 5 1 如何利用a+c= ,ac= 这一条件等都需要慎重思考.此题失分的原因还 4 4 包括没有考虑到角B为锐角这一条件.

概率与统计
主要题型:(1)求等可能事件、相互独立事件、独立重复事件.一些由简单 事件构成的复杂事件的概率;(2)求离散型随机变量的分布列、期望与方 差;(3)求特殊分布的分布列、期望与方差;(4)求统计与概率的综合问题. 解题策略:(1)搞清各类事件类型,并沟通所求事件与已知事件的联系;(2) 涉及“至多”、“至少”问题时要考虑是否可通过计算对立事件的概率; (3)注意识别特殊的二项公布;(4)在概率与统计的综合问题中,能利用统计 的知识提取相关信息用于解题.

【例题2】?(2011· 天津卷理,16)(满分13分)学校游园活动有这样一个游戏 项目:甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑 球,这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个 球,若摸出的白球不少于2个,则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱). (1)求在1次游戏中, ①摸出3个白球的概率;②获奖的概率. (2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X). 思维过程 第一步:(1)①在1次游戏中,摸出3个白球只能是在甲箱里摸2

个白球,在乙箱中摸1个白球,②“获奖”这一事件包括摸出2个白球和3 个白球. (2)利用独立重复试验模型求解.

[规范解答] =0,1,2,3),

第二步:(1)解 ①设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i

C2 C1 1 3 2 则P(A3)= 2· 2= .(3分) C5 C3 5 ②设“在1次游戏中获奖”为事件B,则B=A2∪A3, C2 C2 C1C1 C1 1 3 2 3 2 2 又P(A2)= 2· 2+ 2 · 2= ,且A2,A3互斥, C5 C3 C5 C3 2 1 1 7 所以P(B)=P(A2)+P(A3)= + = .(6分) 2 5 10

(2)解 由题意可知X的所有可能取值为0,1,2.(8分)
? 7? 9 P(X=0)=?1-10?2= , ? ? 100

P(X=1)=C1× 2

7 ? 21 7 ? ?1- ?= , × 10 ? 10? 50

? 7 ?2 49 P(X=2)=?10? = . ? ? 100

所以X的分布列是 X P (11分) X的数学期望E(X)=0× 9 21 49 7 +1× +2× = .(13分) 100 50 100 5 0 9 100 1 21 50 2 49 100

[反思与回顾] 第三步:本题以考生比较熟悉的实际问题为背景考查了考生 利用概率知识分析、解决实际问题的能力.第(1)问是将一个要求的事件分 成若干个基本事件的“积”或“和”,再用概率加法或乘法公式即可解决 问题;第(2)问是以独立重复试验为背景的分布列问题,利用特殊分布的知 识求解.

立体几何
主要题型:高考中的立体几何题目是很成熟的一种类型,常常考查“平 行”、“垂直”两大证明及“空间角”的计算问题,解题方法上表现为传 统方法与向量方法:传统方法优势表现为计算简单,过程简洁,但是对概 念的理解要求深刻、透彻;向量方法更多的体现是作为一种工具,且有固 定的“解题套路”,但是要有准确建立空间直角坐标系及较强的运算能 力.

解题策略:(1)利用“线线?线面?面面”三者之间的相互转化证明有关位 臵关系问题:①由已知想未知,由求证想判定,即分析法与综合法相结合 来找证题思路;②利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常 用方法之一;(2)空间角的计算,主要步骤:一作,二证,三算.若用向 量,那就是一证、二算;(3)点到平面的距离:①直接能作点到面的垂线求 距离;②利用“三棱锥体积法”求距离;③利用向量求解,点P到平面α的 → n| → |PM· 距离为|PN|= (N为P在面α内的射影,M∈α,n是α的法向量). n

【例题3】?(2011· 湖北理,18)(满分13分)如图,已知正三棱柱ABCA1B1C1的 各棱长都是4,E是BC的中点,动点F在侧棱CC1上,且不与点C重合. (1)当CF=1时,求证:EF⊥A1C; (2)设二面角CAFE的大小为θ,求tan θ的最小值.

思维过程

第一步:(1)要证线线垂直,先证线面垂直;(2)先过E作出二面

角的平面角,再利用已知条件计算.(3)可以以点A为原点建立空间直角坐 标系,利用向量方法求解.

[规范解答] 第二步: 法一 过E作EN⊥AC于N,连接EF. 如图1,连接NF、AC1,由直棱柱的性质知,底面ABC⊥侧面

(1)证明 A1C,

图1 又底面ABC∩侧面A1C=AC,且EN?底面ABC,所以EN⊥侧面A1C,又A1C ?平面A1C1,∴EN⊥A1C(3分) NF为EF在侧面A1C内的射影,

在Rt△CNE中,CN=CEcos 60° =1. 则由 CF CN 1 = = 得NF∥AC1, CC1 CA 4

又AC1⊥A1C,故NF⊥A1C,又NF∩NE=N. ∴A1C⊥平面NEF,又EF?平面NEF. ∴EF⊥A1C.(6分) (2)解 如图2,连接AF,过N作NM⊥AF于M,连接ME.

图2

由(1)知EN⊥AF,又MN∩EN=N, ∴AF⊥面MNE,∴AF⊥ME. 所以∠EMN是二面角CAFE的平面角,即∠EMN=θ. 设∠FAC=α,则0° <α≤45° . 在Rt△CNE中,NE=EC· 60° 3, sin = 在Rt△AMN中,MN=AN· α=3sin α, sin NE 3 故tan θ= = .(11分) MN 3sin α 又0° <α≤45° ,∴0<sin α≤ 2 . 2

2 故当sin α= ,即当α=45° 时,tan θ达到最小值, 2 tan θ= 3 6 × 2= ,此时F与C1重合.(13分) 3 3

法二

(1)证明 建立如图3所示的空间直角坐标系,连接EF,AF,则由已 3 ,2,0),C(0,4,0),A1(0,0,4),E( 3 ,3,0),

知可得A(0,0,0),B(2 F(0,4,1),

图3 → → → → 于是CA1=(0,-4,4),E F =(- 3,1,1).则CA1· F =(0,-4,4)· E (- 3, 1,1)=0-4+4=0, 故EF⊥A1C.(6分)

(2)解

设CF=λ(0<λ≤4),平面AEF的一个法向量为m=(x,y,z),则由(1)

得F(0,4,λ). A E =( 3,3,0),A F =(0,4,λ),于是由m⊥A E ,m⊥A F 可得









?m· →=0, ? 3x+3y=0, AE ? 即? 取m=( 3λ,-λ,4).(8分) ? →=0, ?4y+λz=0. ? A ?m· F
又由直三棱柱的性质可取侧面A1C的一个法向量为n=(1,0,0),于是由θ为锐 角可得 λ2+16 |m· n| 3λ cos θ= = ,sin θ= , |m||n| 2 λ2+4 2 λ2+4 λ2+16 所以tan θ= = 3λ 1 16 + .(11分) 3 3λ2

1 1 由0<λ≤4,得 ≥ , λ 4 即tan θ≥ 1 1 6 + = . 3 3 3

6 故当λ=4,即点F与点C1重合时,tan θ取得最小值 .(13分) 3 [反思与回顾] 第三步:本题是一道较好的立体几何题,考查的知识点较

多,但是难度却不是很大. 主要考查空间直线与平面的位臵关系和二面角等基础知识,同时考查空间 想象能力、推理论证能力和运算求解能力.

解析几何
主要题型:(1)考查纯解析几何知识;(2)向量渗透于圆锥曲线中;(3)求曲 线方程;(4)直线与圆锥曲线的位臵关系,涉及弦长、中点、轨迹、范围、 定值、最值等问题. 解题策略:(1)利用向量的知识转化平行、垂直、数量积等条件;(2)利用待 定系数法求曲线方程;(3)利用“设而不求”结合韦达定理求交点问题;(4) 利用函数与不等式处理范围与最值问题.

x2 【例题4】?(2011· 北京,19)(满分14分)已知椭圆G: +y2=1.过点(m,0)作 4 圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A,B两点. (1)求椭圆G的焦点坐标和离心率; (2)将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值. 思维过程 第一步:(1)焦点坐标和离心率由椭圆方程容易求出;(2)设切线

l的方程,将其与椭圆联立,根据弦长公式求|AB|,再结合基本不等式求 |AB|的最大值.

[规范解答] 第二步:(1)解 所以 c= a2-b2= 3.

由椭圆方程得 a=2,b=1,

所以椭圆 G 的焦点坐标为(- 3,0),( 3,0).(2 分) c 3 离心率为 e= = .(4 分) a 2 (2)解 由题意知|m|≥1.

? 3? ? 3? ?1, ?、1,- ?. ? 当 m=1 时, 切线 l 的方程为 x=1, A、 的坐标分别为 点 B 2? ? 2? ?

此时|AB|= 3. 当 m=-1 时,同理可得|AB|= 3.(6 分) 当|m|>1 时,设切线 l 的方程为 y=k(x-m).

?y=k?x-m?, ?2 由?x +y2=1, ?4 ?
得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0.(7 分) 设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 4k2m2-4 8k2m x1+x2= ,x x = .(8 分) 1+4k2 1 2 1+4k2 |km| 又由 l 与圆 x +y =1 相切,得 2 =1, k +1
2 2

即 m2k2=k2+1. 所以|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2 = ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2]

= =

? 64k4m2 4?4km2m2-4?? ? - ?1+k2?? ?1+4k2?2 1+4k2 ? ?

4 3|m| .(11 分) m2+3

由于当 m=± 时,|AB|= 3, 1 4 3|m| 所以|AB|= 2 ,m∈(-∞,-1]∪[1,+∞). m +3 因为|AB|= 4 3|m| 4 3 = ≤2,且当 m=± 3时,|AB|=2, 3 m2+3 |m|+ |m|

所以|AB|的最大值为 2.(14 分)

[反思与回顾] 第三步:本题考查椭圆的标准方程与几何性质.直线与椭圆 的位臵关系、两点间距离公式、基本不等式等基础知识,考查考生分析问 题、解决问题的能力与运算能力、直线与圆锥曲线的问题,一般方法是联 立方程,解方程组.

【例题5】?(2011· 江苏,18)(满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy中, x2 y2 M,N分别是椭圆 + =1的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P,A两 4 2 点,其中点P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C.连接AC,并延长交 椭圆于点B.设直线PA的斜率为k.

(1)当直线PA平分线段MN时,求k的值; (2)当k=2时,求点P到直线AB的距离d; (3)对任意的k>0,求证:PA⊥PB.

思维过程

第一步:(1)求线段MN的中点即可求出k;(2)由直线AP的方程

与椭圆方程联立求出点P、点A的坐标,从而求出直线AB的方程,由点到直 线的距离公式求d;(3)采用“设而不求”的方法. [规范解答] 第二步:(1)解 由椭圆方程可知,a=2,b= 2 ,故M(-

? 2? ?-1,- ? .由于直线PA平 2,0),N(0,- 2 ),所以线段MN中点的坐标为 2? ?

分线段MN,故直线PA过线段MN的中点,又直线PA过坐标原点,所以k= 2 - 2 2 = .(4分) 2 -1

x2 4x2 (2)解 直线PA的方程为y=2x,代入椭圆方程得 + =1, 4 2 2 解得x=± , 3
?2 4? ? 2 4? ? , ?,A?- ,- ?.(6分) 因此P 3 3 3? ? ? ? 3

4 0+ ?2 ? 3 于是C?3,0?,直线AC的斜率为 =1, 2 2 ? ? + 3 3 2 故直线AB的方程为x-y- =0.(8分) 3
?2 4 2? ? - - ? ?3 3 3?

因此,d=

2 2 = .(10分) 3 12+12

(3)证明 设P(x1,y1),B(x2,y2), 则x1>0,x2>0,x1≠x2,A(-x1,-y1),C(x1,0). 设直线PB,AB的斜率分别为k1,k2. 因为C在直线AB上, 0-?-y1? y1 k 所以k2= = = .(12分) x1-?-x1? 2x1 2 y2-y1 y2-?-y1? 从而k1k+1=2k1k2+1=2· · x2-x1 x2-?-x1? ?x2+2y2?-?x2+2y2? 4-4 2 2 1 1 = 2 2=0.(15分) 2 2 x2-x1 x2-x1 因此k1k=-1, 所以PA⊥PB.(16分) 2y2-2y2 2 1 +1= +1= x2-x2 2 1

[反思与回顾] 第三步:本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方 程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识,考查运算求解能力和 推理论证能力.本题大多数考生能得到10分,放弃了第(3)问.认真思考一 下,只要设出直线PB的斜率为k1,设出P、B两点的坐标,采用“设而不 求”的方法推导,k1k=-1或k1k+1=0即可.

数列综合题
主要题型:数列解答题一般设两到三问,前面两问一般为容易题,主要考 查数列的基本运算,最后一问为中等题或较难题,一般考查数列的通项和 前n项和的求法、最值等问题.如果涉及递推数列,且与不等式证明相结 合,那么试题难度大大加强,一般表现为压轴题. 解题策略:(1)利用数列的有关概念求特殊数列的通项与前n项和;(2)利用 转化与化归思想(配凑、变形)将一般数列转化为等差、等比数列(主要解决 递推数列问题);(3)利用错位相减、列项相消等方法解决数列求和;(4)利 用函数与不等式处理范围和最值问题.

【例题6】?(2011· 课标全国,17)(满分12分)等比数列{an}的各项均为正数, 且2a1+3a2=1,a2=9a2a6. 3 (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设bn=log3a1+log3a2+?+log3an,求数列 b 的前n项和. 思维过程 第一步:利用基本量法求出首项和公比,求出通项公式;通过
? ? ? ? ? ? ? n? ? ?

对数运算求出bn,再利用裂项法求和.

[规范解答] 第二步:(1)解 设数列{an}的公比为q,(1分) 由a2=9a2a6,得a2=9a2, 3 3 4 1 1 所以q2= .由条件可知q>0,故q= ,(3分) 9 3 由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1, 1 所以a1= .(5分) 3 1 故数列{an}的通项公式为an= n.(6分) 3

(2)解

bn=log3a1+log3a2+?+log3an

=-(1+2+?+n) -n?n+1? = .(9分) 2 1 ? ?1 1 2 ? - 故 =- =-2 n n+1?,(10分) bn n?n+1? ? ? 1 1 1 + +?+ = b1 b2 bn 1 ?? ?? ?1 1? ?1 1? 2n ??1- ?+? - ?+?+? - ??=- -2 , 2? ?2 3? n+1 ?? ?n n+1?? 1 2n 所以数列 b 的前n项和为- .(12分) n+1
? ? ? ? ? ? ? n? ? ?

[反思与回顾] 第三步:等差数列、等比数列、数列求和是高考重点考查的 内容,年年在考,年年有变,变的是试题的外壳,即在题设条件上有变 革,有创新,但在变中有不变性,即问题的解答常用的方法可以归纳为几 种.因此,考生有效地化归问题是正确解题的前提,合理地构建方法是成 功解题的关键,正确的处理过程是制胜的法宝.

【例题7】?(2011· 湖北卷理,19)(满分13分)已知数列{an}的前n项和为Sn, 且满足:a1=a(a≠0),an+1=rSn(n∈N*,r∈R,r≠-1). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若存在k∈N*,使得Sk+1,Sk,Sk+2成等差数列,试判断:对于任意的m∈ N*,且m≥2,am+1,am,am+2是否成等差数列,并证明你的结论. 思维过程 第一步:(1)求出数列{an}的递推关系,由递推关系求通项;(2)

分r=0与r≠0讨论,当r≠0时,结合Sk+1+Sk+2=2Sk推出ak+1与ak+2的关系式 再转化为am与am+1的关系式,从而得到证明.

[规范解答] 减,

第二步:(1)解

由已知an+1=rSn,可得an+2=rSn+1,两式相

得an+2-an+1=r(Sn+1-Sn)=ran+1,即an+2=(r+1)an+1.(2分) 又a2=ra1=ra,所以,当r=0时,数列{an}为:a,0,?,0,?;(3分) 当r≠0,r≠-1时,由已知a≠0,所以an≠0(n∈N*), an+2 于是由an+2=(r+1)an+1,可得 =r+1(n∈N*), an+1 ∴a2,a3,?,an,?成等比数列, ∴当n≥2时,an=r(r+1)n 2a.(5分)
?a,n=1, 综上,数列{an}的通项公式为an=? (6分) - r?r+1?n 2a,n≥2. ?


(2)解

对于任意的m∈N*,且m≥2,am+1,am,am+2成等差数列,

证明如下:
?a,n=1, 当r=0时,由(1)知,an=? ?0,n≥2.

∴对于任意的m∈N*,且m≥2,am+1,am,am+2成等差数列.(8分) 当r≠0,r≠-1时, ∵Sk+2=Sk+ak+1+ak+2,Sk+1=Sk+ak+1, 若存在k∈N*, 使得Sk+1,Sk,Sk+2成等差数列,则Sk+1+Sk+2=2Sk, ∴2Sk+2ak+1+ak+2=2Sk,即ak+2=-2ak+1.(10分) 由(1)知,a2,a3,?,am,?的公比r+1=-2,于是 对于任意的m∈N *,且m≥2,am+1=-2am,

从而am+2=4am, ∴am+1+am+2=2am, 即am+1,am,am+2成等差数列.(12分) 综上,对于任意的m∈N*,且m≥2,am+1,am,am+2成等差数列.(13分) [反思与回顾] 第三步:本题是以an和Sn为先导的综合问题,主要考查等

差、等比数列的基础知识以及处理递推关系式的一般方法.失分的原因 有:第(1)问中漏掉r=0的情况,导致结论写为an=r(r+1)n 2a;第(2)问中 有的考生也漏掉r=0的情况,很多考生不知将Sk+1+Sk+2=2Sk转化为ak+1与 ak+2的关系式,从而证明受阻.


【例题8】?(2011· 天津,20)(满分14分)已知数列{an}与{bn}满足bn+1an+bnan 3+?-1?n 1 n ,n∈N*,且a1=2. +1=(-2) +1,bn= 2 (1)求a2,a3的值; (2)设cn=a2n+1-a2n-1,n∈N*,证明:{cn}是等比数列; S2n-1 S2n S1 S2 1 (3)设Sn为{an}的前n项和,证明: + +?+ + ≤n- (n∈N*). a1 a2 3 a2n-1 a2n


思维过程

3+?-1?n 第一步:(1)首先破解bn= 2

-1

?2,n为奇数, ,即bn= ? ?1,n为偶数,

再结合bn+1an+bnan+1=(-2)n+1就可解出a2,a3; (2)对bn+1an+bnan+1=(-2)n+1关系式进行处理,n分别取奇数、偶数可得 两个关系式,再抓住cn=a2n+1-a2n-1,n∈N*,即可证明{cn}是等比数列; (3)首先利用cn=a2n+1-a2n-1及累加法求a2n-1,从而可求得a2n,然后求出关 S2n-1 S2n 系式 + 的表达式,最后利用放缩法证明不等式. a2n-1 a2n

[规范解答] 第二步:(1)解
?2,n为奇数, bn=? ?1,n为偶数.

3+?-1?n 1 由bn= ,n∈N*,可得 2



又bn+1an+bnan+1=(-2)n+1, 3 当n=1时,a1+2a2=-1,由a1=2,可得a2=- ; 2 当n=2时,2a2+a3=5,可得a3=8.(4分)

(2)证明 对任意n∈N*, a2n-1+2a2n=-22n 1+1,① 2a2n+a2n+1=22n+1.② ②-①,得a2n+1-a2n-1=3×22n 1,即cn=3×22n 1, cn+1 于是 =4.所以{cn}是等比数列.(8分) cn
- - -

(3)证明

a1=2,由(2)知,当k∈N*且k≥2时,a2k-1=a1+(a3-a1)+(a5-a3)


+(a7-a5)+?+(a2k-1-a2k-3)=2+3(2+23+25+?+22k 3)=2+ 2?1-4k 1? 2k-1 3× =2 , 1-4


故对任意k∈N*,a2k-1=22k 1. 由①得22k 1+2a2k=-22k 1+1, 1 - 所以a2k= -22k 1,k∈N*.(10分) 2 k 因此,S2k=(a1+a2)+(a3+a4)+?+(a2k-1+a2k)= . 2 于是S2k-1=S2k-a2k= k-1 - +22k 1.(12分) 2
- -



k-1 k - +22k 1 S2k-1 S2k k-1+22k 2 2 k 1 k 故 + = + = - 2k =1- k- k k . - 1 22k 4 4 ?4 -1? a2k-1 a2k 22k 1 2 -1 - -22k 1 2 所以,对任意n∈N*,
?S2n-1 S2n? S2n-1 S2n ?S1 S2? ?S3 S4? S1 S2 + ?= + +?+ + =? + ?+? + ?+?+? a1 a2 a2n-1 a2n ?a1 a2? ?a3 a4? ?a2n-1 a2n?

1 2 ? ? 1 1? ? ?1- - ?+?1- 2- 2 2 ? 4 12? ? 4 4 ?4 -1??+?+ ? 1 n ? ? ?1 1 ? ?1- n- n n ?=n-? + ?- 4 4 ?4 -1?? ?4 12? ? 2 n ?1 ? ?1 ? ? 2+ 2 2 ?-?-? n+ n n ?≤ ?4 4 ?4 -1?? ?4 4 ?4 -1??
?1 1 ? 1 n-?4+12?=n- .(14分) 3 ? ?

[反思与回顾] 第三步:主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识, 考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨 论的思想方法,难度较大. 第(2)问与第(1)问相比,难度有所加大,难点就在归纳出一般的式子及递推 关系式,第(3)问难度更大.在阅卷中发现,几乎没有考生得满分,少数考 生得前两问的分数,部分考生得第(1)问的分数.

函数、导数、不等式的综合题

主要题型:(1)利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题;(2)利用导数 研究不等式恒成立与证明等问题;(3)以函数为载体的建模问题. 解题策略:(1)研究导函数f′(x)的符号,处理单调性、极值点与最值问 题;(2)实际应用题一般先建立目标函数,再利用导数求解;(3)解(证)不等 式问题一般要构造函数,再利用导数求解.

1 3 1 2 【例题9】?(2011· 江西卷理,19)(满分12分)设f(x)=- x + x +2ax. 3 2
?2 ? (1)若f(x)在?3,+∞?上存在单调递增区间,求a的取值范围; ? ?

16 (2)当0<a<2时,f(x)在[1,4]上的最小值为- ,求f(x)在该区间上的最大 3 值. 思维过程 第一步:(1)函数f(x)的导数是二次函数,对称轴为x= 1 ,要使 2

?2 ? ?2 ? f(x)在?3,+∞?上存在单调递增区间,必需满足f′?3?>0; ? ? ? ?

(2)令f′(x) =0得x1,x2,确定x1,x2所在的单调区间,根据单调性求f(x)的 最值.

[规范解答] 第二步:(1)解 由f′(x)=-x2+x+2a
? 1 ?2 1 =-?x-2? + +2a,(2分) ? ? 4 ?2 ? ?2? 2 当x∈?3,+∞?时,f′(x)的最大值为f′?3?= +2a. ? ? ? ? 9

2 1 令 +2a>0,得a>- .(5分) 9 9
?2 ? 1 所以,当a>- 时,f(x)在?3,+∞?上存在单调递增区间.(6分) 9 ? ?

(2)解

1- 1+8a 1+ 1+8a 令f′(x)=0,得两根x1= ,x2= . 2 2

所以f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增.(8 分) 当0<a<2时,有x1<1<x2<4, 所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2), 27 又f(4)-f(1)=- +6a<0,即f(4)<f(1).(10分) 2 40 16 所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)=8a- =- . 3 3 10 得a=1,x2=2,从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)= .(12分) 3

[反思与回顾] 第三步:用导数研究函数单调性、极值与最值是历年必考内 容,尤其是含参数函数的单调性问题成为高考命题的热点,近几年新课标 高考卷中发现:若该内容的题目放在试卷压轴题的位臵上,试题难度较 大;若放在试卷前几题的位臵上,难度不大.

【例题10】?(2011· 陕西卷理,21)(满分14分)设函数f(x)定义在(0,+∞) 1 上,f(1)=0,导函数f′(x)= ,g(x)=f(x)+f′(x). x (1)求g(x)的单调区间和最小值;
?1 ? (2)讨论g(x)与g?x ?的大小关系; ? ?

1 (3)是否存在x0>0,使得|g(x)-g(x0)|< 对任意x>0成立?若存在,求出x0 x 的取值范围;若不存在,请说明理由. 思维过程
?1 ? 第一步:第(2)问重新构造函数h(x)=g(x)-g ?x ? ,利用导数研究 ? ?

这个函数的单调性. 1 第(3)问采用反证法,可先把|g(x)-g(x0)|< 等价变形为ln x<g(x0)<ln x+ x 2 ,x>0,再在x∈(0,+∞)上任取一个值验证矛盾. x

1 [规范解答] 第二步:(1)解 由题设易知f(x)=ln x,g(x)=ln x+ , x x-1 所以g′(x)= 2 ,令g′(x)=0,得x=1, x 当x∈(0,1)时,g′(x)<0,故(0,1)是g(x)的单调减区间; 当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,故(1,+∞)是g(x)的单调增区间, 因此,x=1是g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点, 所以最小值为g(1)=1.(4分)

?1? (2)解 g?x?=-ln x+x, ? ? ?1 ? 1 设h(x)=g(x)-g?x ?=2ln x-x+ , x ? ?

?x-1?2 则h′(x)=- , x2
?1? 当x=1时,h(1)=0,即g(x)=g?x?, ? ?

当x∈(0,1)∪(1,+∞)时,h′(x)<0,h′(1)=0, 因此,h(x)在(0,+∞)内单调递减,
?1 ? 当0<x<1时,h(x)>h(1)=0,即g(x)>g?x ?, ? ? ?1 ? 当x>1时,h(x)<h(1)=0,即g(x)<g?x ?.(9分) ? ?

(3)解 满足条件的x0不存在. 证明如下: 1 假设存在x0>0,使|g(x)-g(x0)|< 对任意x>0成立, x 2 即对任意x>0,有ln x<g(x0)<ln x+ ,(*) x 但对上述x0,取x1=eg(x0)时,有ln x1=g(x0),这与(*)左边不等式矛盾, 1 因此,不存在x0>0,使|g(x)-g(x0)|< 对任意x>0成立.(14分) x

[反思与回顾] 第三步:本题有机地将函数、导数和不等式结合到一块,试 题难度较大.本题分三小问,第(1)问较容易;第(2)问也可以用平时练习常 用的方法解决:首先使用构造函数法构造函数,再用导数求出函数的最大 值或最小值,且这个最大值小于零,最小值大于零;第(3)问采用反证法, 难度较大,难点在于不容易找到与题设矛盾的特例.第(3)问还有一种证法 如下: 1 假设存在x0>0,使|g(x)-g(x0)|< 对任意的x>0成立. x 由(1)知,g(x)的最小值为g(1)=1, 1 又g(x)=ln x+ >ln x, x 而x>1时,ln x的值域为(0,+∞), x≥1时g(x)的值域为[1,+∞) 从而可取一个x1>1,使g(x1)≥g(x0)+1.

即g(x1)-g(x0)≥1, 1 故|g(x1)-g(x0)|≥1> ,与假设矛盾. x1 1 ∴不存在x0>0,使|g(x)-g(x0)|< 对任意x>0成立. x

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