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9.04直线与圆圆与圆的位置关系(复习设计)


SCH 南极数学 2017 届理科高考一轮复习第九章《平面解析几何》

NO9.04 直线与圆、圆与圆的位置关系(复习设计) [知识梳理] 1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法:利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系. d<r?相交;d=r?相切;d>r?相离. >0?相交; ? ? (2)代数法:Δ= ― ― → ?=0?相切; b2-4ac ? ?<0?相离.
判别式

2.圆与圆的位置关系 设圆 O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r2 1(r1>0), 圆 O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r2 2(r2>0). 方法 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 几何法:圆心距 d 与 r1,r2 的关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2|(r1≠r2) 0≤d<|r1-r2|(r1≠r2) 代数法:联立两圆方程组 成方程组的解的情况 无解 一组实数解 两组不同的实数解 一组实数解 无解

【知识拓展】 1.圆的切线方程常用结论 (1)过圆 x2+y2=r2 上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程为 x0x+y0y=r2. (2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2 上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. (3)过圆 x2+y2=r2 外一点 M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为 x0x+y0y=r2. 2.圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆的位置关系与公切线的条数:①内含:0 条;②内切:1 条;③相交:2 条;④外切:3 条;⑤外离:4 条. (2)当两圆相交时,两圆方程(x2,y2 项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“k=1”是“直线 x-y+k=0 与圆 x2+y2=1 相交”的必要不充分条件.( × ) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切.( × ) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.( × ) (4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.( × ) (5)过圆 O:x2+y2=r2 上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程是 x0x+y0y=r2.( √ ) (6)过圆 O:x2+y2=r2 外一点 P(x0,y0)作圆的两条切线,切点分别为 A,B,则 O,P,A,B 四点共圆且直线 AB 的
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方程是 x0x+y0y=r2.( √ ) [考点自测] 1.(教材改编)圆(x-1)2+(y+2)2=6 与直线 2x+y-5=0 的位置关系是( A.相切 C.相交过圆心 答案 B |2×1-2-5| 解析 由题意知圆心(1,-2)到直线 2x+y-5=0 的距离 d= = 5< 6且 2×1+(-2)-5≠0,所以直线 22+1 与圆相交但不过圆心. 2.若直线 x-y+1=0 与圆(x-a)2+y2=2 有公共点,则实数 a 的取值范围是( A.[-3,-1] C.[-3,1] 答案 C 解析 由题意可得,圆的圆心为(a,0),半径为 2, ∴ |a-0+1| ≤ 2,即|a+1|≤2,解得-3≤a≤1. 12+?-1?2 ) B.[-1,3] D.(-∞,-3]∪[1,+∞) ) B.相交但直线不过圆心 D.相离 )

3.(2014· 湖南)若圆 C1:x2+y2=1 与圆 C2:x2+y2-6x-8y+m=0 外切,则 m 等于( A.21 B.19 C.9 D.-11 答案 C

解析 圆 C1 的圆心 C1(0,0),半径 r1=1,圆 C2 的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=25-m,所以圆心 C2(3,4),半径 r2 = 25-m,从而|C1C2|= 32+42=5.由两圆外切得|C1C2|=r1+r2,即 1+ 25-m=5,解得 m=9,故选 C. 4.(2015· 山东)一条光线从点(-2,-3)射出,经 y 轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1 相切,则反射光线所在直线的 斜率为( ) 3 2 B.- 或- 2 3 4 3 D.- 或- 3 4

5 3 A.- 或- 3 5 5 4 C.- 或- 4 5 答案 D

解析 由已知,得点(-2,-3)关于 y 轴的对称点为(2,-3),由入射光线与反射光线的对称性,知反射光线一定过 点(2,-3).设反射光线所在直线的斜率为 k,则反射光线所在直线的方程为 y+3=k(x-2),即 kx-y-2k-3=0. |-3k-2-2k-3| 4 3 由反射光线与圆相切,则有 d= =1,解得 k=- 或 k=- ,故选 D. 2 3 4 k +1 5.(教材改编)圆 x2+y2-4=0 与圆 x2+y2-4x+4y-12=0 的公共弦长为________. 答案 2 2 解析
2 2 ? ?x +y -4=0, ? 由 2 2 得 x-y+2=0. ?x +y -4x+4y-12=0, ?

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又圆 x2+y2=4 的圆心到直线 x-y+2=0 的距离为 长为 2 2. [例题选讲] 题型一 直线与圆的位置关系 例1

2 = 2.由勾股定理得弦长的一半为 4-2= 2,所以,所求弦 2

(1)已知点 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外,则直线 ax+by=1 与圆 O 的位置关系是( B.相交 D.不确定

)

A.相切 C.相离

(2)若过点(1,2)总可以作两条直线与圆 x2+y2+kx+2y+k2-15=0 相切,则实数 k 的取值范围是________. x 1 (3)已知方程 x2+ - =0 有两个不等实根 a 和 b,那么过点 A(a,a2),B(b,b2)的直线与圆 x2+y2=1 的位置 tan θ sin θ 关系是________. 答案 解析 8 3 ?∪? 8 3? (1)B (2)?- ? 3 ,-3? ?2, 3 ? (3)相切

|a· 0+b· 0-1| (1)因为 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外,所以 a2+b2>1, 而圆心 O 到直线 ax+by=1 的距离 d= = 2 a +b2

1 <1. a +b2
2

所以直线与圆相交. k 3k2 x+ ?2+(y+1)2=16- , (2)把圆的方程化为标准方程得? ? 2? 4 3k2 所以 16- >0, 4 8 3 8 3 解得- <k< . 3 3 由题意知点(1,2)应在已知圆的外部, 把点代入圆的方程得 1+4+k+4+k2-15>0, 即(k-2)(k+3)>0, 解得 k>2 或 k<-3, 8 3 ?∪? 8 3?. 则实数 k 的取值范围是?- ? 3 ,-3? ?2, 3 ? (3)由题意可知过 A,B 两点的直线方程为(a+b)x-y-ab=0,圆心到直线 AB 的距离为 d= ,而 a+b= ?a+b?2+1 |-ab|

1 1 - ,ab=- ,因此 d= tan θ sin θ

? 1 ? ?sin θ? ,化简后得 d=1,故直线与圆相切. ?- 1 ?2+1 ? tanθ?

思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法:利用 d 与 r 的关系.
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(2)代数法:联立方程之后利用 Δ 判断. (3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题. 已知直线 l:y=kx+1,圆 C:(x-1)2+(y+1)2=12. (1)试证明:不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点; (2)求直线 l 被圆 C 截得的最短弦长.
?y=kx+1, ? (1)证明 由? 2 2 ??x-1? +?y+1? =12, ?

消去 y 得(k2+1)x2-(2-4k)x-7=0, 因为 Δ=(4k-2)2+28(k2+1)>0, 所以不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点. (2)解 设直线与圆交于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,

则直线 l 被圆 C 截得的弦长 |AB|= 1+k2|x1-x2| =2 8-4k+11k2 =2 1+k2 4k+3 11- , 1+k2

4k+3 令 t= ,则 tk2-4k+(t-3)=0, 1+k2 3 当 t=0 时,k=- ,当 t≠0 时,因为 k∈R, 4 所以 Δ=16-4t(t-3)≥0,解得-1≤t≤4,且 t≠0, 4k+3 故 t= 的最大值为 4,此时|AB|最小为 2 7. 1+k2 题型二 圆与圆的位置关系 例2 (1)圆(x+2)2+y2=4 与圆(x-2)2+(y-1)2=9 的位置关系为( )

A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 (2)过两圆 x2+y2+4x+y=-1,x2+y2+2x+2y+1=0 的交点的圆中面积最小的圆的方程为______________ (3)如果圆 C:x2+y2-2ax-2ay+2a2-4=0 与圆 O:x2+y2=4 总相交,那么实数 a 的取值范围是_________ 答案 3?2 ? 6?2 4 (1)B (2)? ?x+5? +?y+5? =5

(3)(-2 2,0)∪(0,2 2) 解析 (1)两圆圆心分别为(-2,0)和(2,1),半径分别为 2 和 3,圆心距 d= 42+1= 17.

∵3-2<d<3+2,∴两圆相交.
?x2+y2+4x+y=-1, ? (2)由? 2 2 ?x +y +2x+2y+1=0,② ?



1 ①-②得 2x-y=0,代入①得 x=- 或-1, 5
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1 2? ∴两圆两个交点为? ?-5,-5?,(-1,-2). 1 2? 过两交点的圆中,以? ?-5,-5?,(-1,-2)为端点的线段为直径的圆时,面积最小. 3 6? ∴该圆圆心为? ?-5,-5?,半径为

?-1+1?2+?-2+2?2 ? 5 ? ? 5 ? 2 5
2 = 5



3 6 4 x+ ?2+?y+ ?2= . 圆的方程为? ? 5? ? 5? 5 (3)C 的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=4,圆心坐标为(a,a),半径为 2. 依题意得:0< a2+a2<2+2,∴0<|a|<2 2. ∴a∈(-2 2,0)∪(0,2 2) 思维升华 圆与圆的位置关系 判断圆与圆的位置关系时,一般用几何法,其步骤是 (1)确定两圆的圆心坐标和半径长; (2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距 d,求 r1+r2,|r1-r2|; (3)比较 d,r1+r2,|r1-r2|的大小,写出结论. (1)圆 C1:x2+y2-2y=0,C2:x2+y2-2 3x-6=0 的位置关系为( A.外离 C.相交 答案 D 解析 ∵圆 C1:x2+y2-2y=0 的圆心为:C1(0,1),半径 r1=1, 圆 C2:x2+y2-2 3x-6=0 的圆心为:C2( 3,0),半径 r2=3, ∴|C1C2|= ? 3?2+1=2,又 r1+r2=4,r2-r1=2, ∴|C1C2|=r2-r1=2,∴圆 C1 与 C2 内切. (2)设 M={(x,y)|y= 2a2-x2,a>0},N={(x,y)|(x-1)2+(y- 3)2=a2,a>0},且 M∩N≠?,求 a 的最大值和最 小值. 解 M={(x,y)|y= 2a2-x2,a>0},即{(x,y)|x2+y2=2a2,y≥0},表示以原点 O 为圆心,半径等于 2a 的半圆(位 B.外切 D.内切 )

于横轴或横轴以上的部分). N={(x,y)|(x-1)2+(y- 3)2=a2,a>0},表示以 O′(1, 3)为圆心,半径等于 a 的一个圆. 再由 M∩N≠?,可得半圆和圆有交点,故半圆和圆相交或相切. 当半圆和圆相外切时,由|OO′|=2= 2a+a, 求得 a=2 2-2; 当半圆和圆相内切时,由|OO′|=2= 2a-a,
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求得 a=2 2+2, 故 a 的取值范围是[2 2-2,2 2+2],a 的最大值为 2 2+2,最小值为 2 2-2. 题型三 直线与圆的综合问题 命题点 1 求弦长问题 例3 (2015· 课标全国Ⅱ)过三点 A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交 y 轴于 M、N 两点,则|MN|等于( B.8 C.4 6 D.10 )

A.2 6 答案 C

→ → → → → → 解析 由已知, 得AB=(3, -1), BC=(-3, -9), 则AB· BC=3×(-3)+(-1)×(-9)=0, 所以AB⊥BC, 即 AB⊥BC, 故过三点 A、 B、 C 的圆以 AC 为直径, 得其方程为(x-1)2+(y+2)2=25, 令 x=0 得(y+2)2=24, 解得 y1=-2-2 6, y2=-2+2 6,所以|MN|=|y1-y2|=4 6,选 C. 命题点 2 由直线与圆相交求参数问题 例4 (2015· 课标全国Ⅰ)已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1 交于 M,N 两点.

(1)求 k 的取值范围; → → (2)若OM· ON=12,其中 O 为坐标原点,求|MN|. 解 (1)由题设,可知直线 l 的方程为 y=kx+1,

|2k-3+1| 因为直线 l 与圆 C 交于两点,所以 <1. 1+k2 4- 7 4+ 7 解得 <k< . 3 3 所以 k 的取值范围为?

?4- 7 4+ ? 3 , 3

7?

?. ?

(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2). 将 y=kx+1 代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得 (1+k2)x2-4(1+k)x+7=0. 4?1+k? 7 所以 x1+x2= . 2 ,x1x2= 1+k 1+k2 → → OM· ON=x1x2+y1y2 =(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1 = 4k?1+k? +8. 1+k2

4k?1+k? 由题设可得 +8=12,解得 k=1, 1+k2 所以直线 l 的方程为 y=x+1. 故圆心 C 在直线 l 上,所以|MN|=2. 命题点 3 直线与圆相切的问题
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例5

(1)过点 P(2,4)引圆(x-1)2+(y-1)2=1 的切线,则切线方程为__________________;

答案 x=2 或 4x-3y+4=0 解析 当直线的斜率不存在时,直线方程为 x=2,此时,圆心到直线的距离等于半径,直线与圆相切,符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线方程为 y-4=k(x-2),即 kx-y+4-2k=0,∵直线与圆相切,∴圆心到直线的距离 |k-1+4-2k| |3-k| 等于半径,即 d= = 2 =1, k2+?-1?2 k +1 4 解得 k= , 3 4 4 ∴所求切线方程为 x-y+4-2× =0, 3 3 即 4x-3y+4=0. 综上,切线方程为 x=2 或 4x-3y+4=0. (2)已知圆 C:(x-1)2+(y+2)2=10,求满足下列条件的圆的切线方程. ①与直线 l1:x+y-4=0 平行; ②与直线 l2:x-2y+4=0 垂直; ③过切点 A(4,-1). 解 则 ①设切线方程为 x+y+b=0, |1-2+b| = 10,∴b=1± 2 5, 2

∴切线方程为 x+y+1± 2 5=0; ②设切线方程为 2x+y+m=0, 则 |2-2+m| = 10,∴m=± 5 2, 5

∴切线方程为 2x+y± 5 2=0; -2+1 1 ③∵kAC= = , 1-4 3 ∴过切点 A(4,-1)的切线斜率为-3, ∴过切点 A(4,-1)的切线方程为 y+1=-3(x-4), 即 3x+y-11=0. 思维升华 直线与圆综合问题的常见类型及解题策略 (1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形. (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径,从而建立关系解决问题. (1)过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4 的弦,其中最短弦的长为________. (2)已知圆 C 的方程为 x2+y2+ax+2y+a2=0,一定点为 A(1,2),要使过 A 点作圆的切线有两条,则 a 的取值范围是 ____________. 答案 2 3 2 3? (1)2 2 (2)?- ? 3 , 3 ?
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解析 =2 2.

(1)设 P(3,1), 圆心 C(2,2), 则|PC|= 2, 由题意知最短的弦过 P(3,1)且与 PC 垂直, 所以最短弦长为 2 22-? 2?2

(2)将圆 C 的方程化为标准方程为

?x+a?2+(y+1)2=4-3a , ? 2? 4
a - ,-1?,半径 r= 其圆心坐标为 C? ? 2 ? 4-3a2 . 4

2

当点 A 在圆外时,过点 A 可作圆的两条切线, 则|AC|>r,即

?1+a?2+?2+1?2> ? 2?

4-3a2 , 4

即 a2+a+9>0,解得 a∈R. 又 4-3a2>0 时 x2+y2+ax+2y+a2=0 才表示圆, 2 3 2 3? 故可得 a 的取值范围是?- . ? 3 , 3 ? [巩固作业]A 组 专项基础训练(时间:40 分钟) 1.(2015· 广东)平行于直线 2x+y+1=0 且与圆 x2+y2=5 相切的直线的方程是( A.2x+y+5=0 或 2x+y-5=0 B.2x+y+ 5=0 或 2x+y- 5=0 C.2x-y+5=0 或 2x-y-5=0 D.2x-y+ 5=0 或 2x-y- 5=0 答案 A |0+0+c| 解析 设所求直线方程为 2x+y+c=0,依题有 2 = 5,解得 c=± 5,所以所求直线方程为 2x+y+5=0 或 2 +12 2x+y-5=0,故选 A. 2.已知直线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆(x-1)2+(y-a)2=4 相交于 A、B 两点,且△ABC 为等边三角形,则实数 a 的值为( A.4+ 15 C.4± 15 答案 C 解析 易知△ABC 是边长为 2 的等边三角形. 故圆心 C(1,a)到直线 AB 的距离为 3. 即 |a+a-2| = 3,解得 a=4± 15. a2+1 ) ) B.4+ 5 D.4± 5 )

3.若圆 C1:x2+y2-2ax+a2-9=0(a∈R)与圆 C2:x2+y2+2by+b2-1=0 (b∈R)内切,则 ab 的最大值为( A. 2 B.2 C.4 D.2 2

答案 B
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解析 圆 C1:x2+y2-2ax+a2-9=0 (a∈R). 化为:(x-a)2+y2=9,圆心坐标为(a,0),半径为 3. 圆 C2:x2+y2+2by+b2-1=0 (b∈R),化为 x2+(y+b)2=1,圆心坐标为(0,-b),半径为 1, ∵圆 C1:x2+y2-2ax+a2-9=0 (a∈R)与圆 C2:x2+y2+2by+b2-1=0 (b∈R)内切, 1 ∴ a2+b2=3-1,即 a2+b2=4,ab≤ (a2+b2)=2. 2 ∴ab 的最大值为 2. 4.过点 P(3,1)作圆 C:(x-1)2+y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B,则直线 AB 的方程为( A.2x+y-3=0 C.4x-y-3=0 答案 A 1 解析 如图所示:由题意知:AB⊥PC,kPC= ,∴kAB=-2,∴直线 AB 的方程为 y-1=-2(x-1),即 2x+y-3 2 =0. B.2x-y-3=0 D.4x+y-3=0 )

5.若直线 y=kx 与圆(x-2)2+y2=1 的两个交点关于直线 2x+y+b=0 对称,则 k,b 的值分别为( 1 A. ,-4 2 1 C. ,4 2 答案 A 1 B.- ,4 2 1 D.- ,-4 2

)

解析 因为直线 y=kx 与圆(x-2)2+y2=1 的两个交点关于直线 2x+y+b=0 对称,则 y=kx 与直线 2x+y+b=0 垂 1 直,且 2x+y+b=0 过圆心,所以解得 k= ,b=-4. 2 → → 6.(2015· 山东)过点 P(1, 3)作圆 x2+y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B,则PA· PB=________. 答案 3 2

解析 由题意,圆心为 O(0,0),半径为 1.如图所示,

∵P(1, 3),∴PA⊥x 轴,PA=PB= 3. ∴△POA 为直角三角形,其中 OA=1,AP= 3,则 OP=2, ∴∠OPA=30° ,∴∠APB=60° .
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3 → → → → ∴PA· PB=|PA||PB|· cos∠APB= 3× 3×cos 60° = . 2 → → 7.已知曲线 C:x=- 4-y2,直线 l:x=6,若对于点 A(m,0),存在 C 上的点 P 和 l 上的点 Q 使得AP+AQ=0, 则 m 的取值范围为________. 答案 [2,3] 解析 曲线 C:x=- 4-y2,是以原点为圆心,2 为半径的半圆,并且 xP∈[-2,0],对于点 A(m,0),存在 C 上的 → → 点 P 和 l 上的点 Q 使得AP+AQ=0, 说明 A 是 PQ 的中点,Q 的横坐标 x=6, 6+xP ∴m= ∈[2,3]. 2 8.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y2-8x+15=0,若直线 y=kx-2 上至少存在一点,使得以该点 为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是________. 答案 4 3

解析 圆 C 的标准方程为(x-4)2+y2=1,圆心为(4,0). 由题意知(4,0)到 kx-y-2=0 的距离应不大于 2, 即 |4k-2|
2

4 ≤2.整理,得 3k2-4k≤0.解得 0≤k≤ . 3 k +1

4 故 k 的最大值是 . 3 2 9.已知以点 C(t, )(t∈R,t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O,A,与 y 轴交于点 O,B,其中 O 为原点. t (1)求证:△OAB 的面积为定值; (2)设直线 y=-2x+4 与圆 C 交于点 M,N,若|OM|=|ON|,求圆 C 的方程. 4 (1)证明 ∵圆 C 过原点 O,且|OC|2=t2+ 2. t 2 4 ∴圆 C 的方程是(x-t)2+(y- )2=t2+ 2, t t 4 令 x=0,得 y1=0,y2= ; t 令 y=0,得 x1=0,x2=2t, 1 1 4 ∴S△OAB= |OA|· |OB|= ×| |×|2t|=4, 2 2 t 即△OAB 的面积为定值. (2)解 ∵|OM|=|ON|,|CM|=|CN|,

∴OC 垂直平分线段 MN. 1 ∵kMN=-2,∴kOC= . 2
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SCH 南极数学 2017 届理科高考一轮复习第九章《平面解析几何》

2 1 ∴ = t,解得 t=2 或 t=-2. t 2 当 t=2 时,圆心 C 的坐标为(2,1),|OC|= 5, 此时 C 到直线 y=-2x+4 的距离 d= 圆 C 与直线 y=-2x+4 相交于两点. 当 t=-2 时,圆心 C 的坐标为(-2,-1),|OC|= 5, 此时 C 到直线 y=-2x+4 的距离 d= 圆 C 与直线 y=-2x+4 不相交, ∴t=-2 不符合题意,舍去. ∴圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. 10.(2014· 课标全国Ⅰ)已知点 P(2,2),圆 C:x2+y2-8y=0,过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,线段 AB 的 中点为 M,O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM|时,求 l 的方程及△POM 的面积. 解 (1)圆 C 的方程可化为 x2+(y-4)2=16, 9 > 5. 5 1 < 5, 5

所以圆心为 C(0,4),半径为 4. → → 设 M(x,y),则CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y). → → 由题设知CM· MP=0,故 x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2. 由于点 P 在圆 C 的内部,所以 M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2. (2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心, 2为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故 O 在线段 PM 的垂直平分线上, 又 P 在圆 N 上,从而 ON⊥PM. 1 4 10 因为 ON 的斜率为 3,所以 l 的斜率为- ,故 l 的方程为 x+3y-8=0.又|OM|=|OP|=2 2,O 到 l 的距离为 , 3 5 所以|PM|= 4 10 1 4 10 4 10 16 16 ,S△POM= × × = ,故△POM 的面积为 . 5 2 5 5 5 5

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