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双曲线及其标准方程


双曲线及其标准方程
1.知识框图 名 称 椭
y
y







线

图 象

O

x
O

x

平面内到两定点 F1 , F2 的距离的和为 常数(大于 F1F2 )的动点的轨迹叫椭 定 义 圆。即 MF 1 ? MF2 ? 2a 当 2 a ﹥2 c 时,轨迹是椭圆, 当 2 a =2 c 时, 轨迹是一条线段 F1 F2 当 2 a ﹤2 c 时,轨迹不存在 焦点在 x 轴上时:

平面内到两定点 F1 , F2 的距离的差的 绝对值为常数(小于 F1F2 )的动点的 轨迹叫双曲线。即 MF1 ? MF 2 ? 2a 当 2 a ﹤2 c 时,轨迹是双曲线 当 2 a =2 c 时,轨迹是两条射线 当 2 a ﹥2 c 时,轨迹不存在

x2 y2 ? ?1 a2 b2

焦点在 x 轴上时:

x2 y2 ? ?1 a2 b2

标 准 方 程

y2 x2 焦点在 y 轴上时: 2 ? 2 ? 1 a b
注:是根据分母的大小来判断焦点在 哪一坐标轴上

y2 x2 焦点在 y 轴上时: 2 ? 2 ? 1 a b
注:是根据项的正负来判断焦点所 在的位置

常 数

2 2 2 a2 ? c2 ? b2 (符合勾股定理的结构) c ? a ? b (符合勾股定理的结构)

a, b, c
的 关 系

a ?b ? 0,

c?a?0

a 最大, c ? b, c ? b, c ? b

c 最大,可以 a ? b, a ? b, a ? b

(1) .双曲线的定义:平面内到两定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值为常数(小于 F1F2 ) 的动点的轨迹叫双曲线
王新敞
奎屯 新疆

即 MF1 ? MF 2 ? 2a
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这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做焦距 (2) .双曲线的标准方程的特点: (1)双曲线的标准方程有焦点在 x 轴上和焦点 y 轴上两种: 焦点在 x 轴上时双曲线的标准方程为:

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ); a2 b2

y2 x2 焦点在 y 轴上时双曲线的标准方程为: 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) a b
(2) a, b, c 有关系式 c ? a ? b 成立,且 a ? 0, b ? 0, c ? 0
2 2 2
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其中 a 与 b 的大小关系:可以为 a ? b, a ? b, a ? b

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(3).焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母 x 、 分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线 y 2 项的分母的大小来确定,
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2

是根据项的正负来判断焦点所在的位置, 即 x 项的系数是正的, 那么焦点在 x 轴上;y 2 项 的系数是正的,那么焦点在 y 轴上
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2

例 1】 判断下列方程是否表示双曲线,若是,求出三量 a, b, c 的值

王新敞
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x2 y2 ? ?1 4 2



x2 y2 ? ?1 2 2
2 2

x2 y2 ? ? ?1 ③ 4 2

y2 x2 ④ 4 y ? 9 x ? 36 ( 2 ? 2 ? 1 ) 3 2

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【 例 2 】 已 知 双 曲 线 两 个 焦 点 的 坐 标 为 F1 (?5,0),F2 (5,0) , 双 曲 线 上 一 点 P 到

F1 (?5,0),F2 (5,0) 的距离之差的绝对值等于 6,求双曲线标准方程

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【例 3】 已知双曲线的焦点在 y 轴上,中心在原点,且点 P 2 ( ,5) ,在此 1 (3,?4 2 ) , P 双曲线上,求双曲线的标准方程
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9 4

【 例 4 】 已 知 ?A B C 的 底 边 BC 长 为 12 , 且 底 边 固 定 , 顶 点 A 是 动 点 , 使

1 sin B ? sin C ? sin A ,求点 A 的轨迹 2

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【例 5】一炮弹在某处爆炸,在 A 处听到爆炸声的时间比在 B 处晚 2s. (1)爆炸点应在什么样的曲线上? (2)已知 A、B 两地相距 800m,并且此时声速为 340 m/s,求曲线的方程

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上且满足∠F1PF2 【例 6】已知 F1、F2 是双曲线 4
=90°,求△F1PF2 的面积.

x2 y2 (1)已知方程 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则 k 的取值范围是( 9?k k ?3
A.3<k<9 B.k>3 C.k>9 D.k<3 2 2 (2)方程 x +(k-1)y =k+1 表示焦点在 x 轴上的双曲线,则 k 的取值范围是 ( A.k<-1 B.k>1 C.-1<k<1 D.k<-1 或 k>1 (3)方程 A.二 (4)椭圆 A





x2 y2 ? ? 1 表示焦点在坐标轴上的双曲线,则α 是第几象限的角( sin ? cos?
B.四 C. D.一或三



x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 和双曲线 2 ? ? 1 有相同的焦点,则实数 n 的值是 ( ) 34 n 16 n
?5
B

?3

C 5

D9

(5)设 F1 , F2 是双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的焦点,点 P 在双曲线上,且 ?F1 PF2 ? 900 ,则点 P 到 4

x 轴的距离为(
A 1

) B

5 5

C2

D

5

(6)方程

y2 x2 ? =1 表示双曲线,则 k∈( ) 10 ? k 5 ? k A.(5,10) B.(-∞,5) C.(10,+∞) D.(-∞,5)∪(10,+∞)

(7)在双曲线中, A.

y2 -x2=1 4

c 5 ? ,且双曲线与椭圆 4x2+9y2=36 有公共焦点,则双曲线的方程是 a 2 y2 x2 x2 B. -y2=1 C.x2- =1 D.y2- =1 4 4 4

(8)已知双曲线的焦点在 y 轴上,并且双曲线经过点 A(2,则双曲线的方程为( ) A.

3 5 4 7 )及点 B(,4) , 2 3

x2 y2 ? =1 16 9

B.

y2 x2 ? =1 16 9

C.

x2 y2 ? =1 9 16

D.

y2 x2 ? =1 9 16

9.已知双曲线的焦点 F1(-4,0) ,F2(4,0) ,且经过点 M(2 6 ,2)的双曲线标准方程 10.双曲线的焦点在 x 轴上,且经过点 M (3, 2) 、N(-2,-1) , 则双曲线标准方程是______. 2 2 11.P 是双曲线 x -y =16 的左支上一点,F1、F2 分别是左、右焦点,则|PF1|-|PF2|=______. 12.双曲线

x2 y2 =1,P 为双曲线上一点,F1、F2 是双曲线的两个焦点,∠F1PF2=60°, ? 24 16

求Δ F1PF2 的面积.


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