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函数迭代和函数方程(数学竞赛讲稿)

第一讲 一、基本知识简述 1. 函数迭代 设 f 是 D ? D 的函数,对任意 x ? D ,记 f 数f
f
(n) (n) (0)

函数迭代和函数方程

( x ) ? x ,定义 f

( n ?1)

( x) ? f ( f

(n)

( x )) , n ? N ,则称函

*

( x ) 为 f ( x ) 的 n 次迭代. 将含有未知函数的等式称为函数方程.
(n)

( x ) 的一般解法是先猜后证法:先迭代几次,观察有何规律,由此猜测出 f

( x ) 的表达式,然后证

明,证明时,常用数学归纳法. 定理 若对于任意的 x , y ? Q ,有 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) 则 f ( x ) ? xf (1), x ? Q . 证 由(1)及数学归纳法不难证明:对于任意的正整数 n 及有理数 x ,有
f ( nx ) ? nf ( x )

(1)

(2)

在(2)中令 x ? 1 ,得
f ( n ) ? nf (1), ( n ? N ? )

(3)

在(2)中令 x ? 0 , n ? 2 ,得 f ( 0 ) ? 2 f ( 0 ) ,? f ( 0 ) ? 0 .
? 0 ? f ( 0 ) ? f ( n ? n ) ? f ( n ? ( ? n )) ? f ( n ) ? f ( ? n ) , ? f (? n) ? ? f (n) , n ? Z .

当 n ? N ? 时, 由(3)(4)知, ,

f ( ? n ) ? ? f ( n ) ? ( ? n ) f (1)

(4)

f ( n ) ? nf (1), n ? Z

(5)

对于任意的 r ? Q ,设 r ?

m n

, m ? Z , n ? N ? ,则有 f (m ) ? f (n
? f(

m n

) ? nf ( 1 n

m n

) m n f (1)

m n

)?

1 n

f (m ) ?

mf (1) ?

即 f ( r ) ? rf (1), r ? Q . 注:在定理 4 中,若加上 f ( x ) 为连续函数这一条件,则有
f ( x ) ? xf (1), x ? R .

定理 4 的证明方法叫做柯西方法,这一方法的基本步骤是依次求出正整数的函数值、整数的函数值、 有理数的函数值,在函数连续的条件下,进一步求出实数的函数值. .
2.5 函数迭代和函数方程第 1 页共 19 页

1. 方法解读 例 1 已知 f ( x ) 为一次函数,且 f
( 2007 )

(x) ? 2

2007

x ? 3( 2

2007

? 1) ,求 f ( x ) .

解 设 f ( x ) ? ax ? b ,显然 a ? 1 . 令 x ? ax ? b ,得 x 0 ?
f
( 2007 )

b 1? a b

,即 x 0 ?
b 1? a ?

b 1? a

为 f ( x ) 的不动点.由定理 1 知,

(x) ? a
? 2

2007

(x ?

1? a ?

)? b


b ? 3( 2
2007

? a

2007

2007

,? a

2007

1? a

1? a

? 1) ,

解之得 a ? 2 , b ? 3 ,所以 f ( x ) ? 2 x ? 3 . 例 2 已知 f ( x ) ?
x
2

2 ( x ? 1)

, x ? (1, ?? ) ,求 f ( f ( f ? f ( x ) ? ) . ? ?? ??
n个 f



? f (x) ?

x

2

2 ( x ? 1)

? 2(

1 1 x ? 1 x
2

? )

2 1 ? (1 ? 2 x )
2



1?

2 f (x)

? 1?

2 2 1 ? (1 ? 2 x )
2

? (1 ?

2 x

)

2



∴ f ( f ( x )) ?
1 ? (1 ?

2 2 f (x) )
2

?

2 1 ? (1 ? 2 x )
2
2



f ( f ( f ( x ))) ?

2 1 ? (( 1 ? 2 x ) )
2 2

?
2

2 1 ? (1 ? 2 x )
2

3



由数学归纳法易知
f ( f ( f ? f ( x )? ) ? ? ?? ??
n个 f

2 1 ? (1 ? 2 x )
2

.
n

注:在函数迭代中,通过观察得出的函数要用数学归纳法给予严格证明.



3







f :R ? R







f (0) ? 1





?x, y ? R







f ( xy ? 1) ? f ( x ) f ( y ) ? f ( y ) ? x ? 2

(1)

2.5 函数迭代和函数方程第 2 页共 19 页

求 f (x) . 解 (方法 1)在(1)中将 x , y 互换,则有
f ( xy ? 1) ? f ( y ) f ( x ) ? f ( x ) ? y ? 2

(2)

由(1)(2)得 ,
f ( x) ? y ? f ( y) ? x

(3)

在(3)中令 y ? 0 ,则有

f ( x ) ? f ( 0 ) ? x ,即 f ( x ) ? x ? 1 .易证 f ( x ) ? x ? 1 是方程(1)的解.

(方法 2)在(1)中令 y ? 0 ,得
f (1) ? f ( x ) f (1) ? f ( 0 ) ? x ? 2

(4)



f (1) ? f ( x ) f (1) ? x ? 1 .

为了求出 f ( x ) ,需要求 f (1) ,为此在(1)中令 x ? y ? 0 ,得
f (1) ? f ( 0 ) f ( 0 ) ? f ( 0 ) ? 2 ,

从而有 f (1) ? 2 ,代入(4)可得 f ( x ) ? x ? 1 . 例 4 已知函数 f ( x ) 是 N ? N 的映射,满足: (1) 对任意非负整数 n ,有 f ( n ? 1) ? f ( n ) , (2)
? m , n ? N ,有 f ( n ? f ( m )) ? f ( n ) ? m ? 1 ,

求 f ( 2001 ) . 解 在(2)中令 m ? 0 ,并记 f ( 0 ) ? k ,则有
f (n ? k ) ? f (n) ? 1 .

由于数列 f ( n ) 是递增数列,由定理 3 知 f ( n ) ? k ? f ( n ? k ) ? n ? 1 ,? k ? 1 . 若 k ? 0 ,则有 f ( n ) ? f ( n ) ? 1 ,矛盾,所以, k ? 1 ,从而有
f ( n ? 1) ? f ( n ) ? 1 .

又因为 f ( 0 ) ? 1 ,容易得 f ( n ) ? n ? 1 .所以, f ( 2001 ) ? 2002 . 例 5 求所有的 R ? R 的映射 f ,使得 ? x , y ? R ,均有
f ( xf ( x ) ? f ( y )) ? ( f ( x )) ? y
2

(1)

2.5 函数迭代和函数方程第 3 页共 19 页

求 f (x) . 解 设 f ( 0 ) ? a ,在(1)中令 x ? 0 ,则有
f ( f ( y )) ? a ? y
2

(2)

由(2)知 f ( f ( y )) 的值域为 R ,所以 f ( x ) 的值域为 R.又若 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ,则
f ( f ( x 1 )) ? f ( f ( x 2 )) ,

由(2)得 a ? x 1 ? a ? x 2 ,所以 x 1 ? x 2 ,这表明 f 是 R ? R 的双射.因此 ? b ? R ,使得 f ( b ) ? 0 .
2 2

在(1)中令 x ? b ,得
f ( f ( y )) ? y

(3)

由(2)(3)知 a ? 0 ,所以 a ? 0 ,? f ( 0 ) ? 0 , ? b ? 0 . ,
2

在(1)中令 y ? 0 ,得
f ( xf ( x )) ? ( f ( x ))
2

(4)
f ( tf ( t )) ? t ,故 ? x ? R ,有
2

在(4)中令 x ? f (t ) ,注意到由(3)可知 f ( f ( t )) ? t ,从而有
f ( xf ( x )) ? x
2

(5)

由(4)(5)可知 ,
( f ( x ))
2

? x

2

(6)

因此, ? x ? R ,有 f ( x ) ? x 或 f ( x ) ? ? x . 假设存在非零实数 ? , ? ,使得 f (? ) ? ? ? ,而 f ( ? ) ? ? ,那么在(1)中令 x ? ? , y ? ? ,得
f ( ??
2

? ?)??

2

?? ,
2

又由(6)知 f ( ? ?

2

? ? ) ? ??

2

? ? 或 f ( ??

2

? ? ) ? ? ( ??

? ? ) ,矛盾,所以方程(1)的解是

f ( x) ? x( x ? R ) 或 f ( x) ? ? x( x ? R ) .

例 6 设 f ( n ) 是定义在正整数集上且取正整数值的严格递增函数, f ( 2 ) ? 2 ,当 m , n 互素时,有
f ( mn ) ? f ( m ) f ( n )

(1)

证明:对一切正整数 n , f ( n ) ? n . 证 ? f ( 3 ) f ( 7 ) ? f ( 21 ) ? f ( 22 ) ? f ( 2 ) f (11 )
2.5 函数迭代和函数方程第 4 页共 19 页

? 2 f (11 ) ? 2 f (14 ) ? 2 f ( 2 ) f ( 7 ) ? 4 f ( 7 ) , ? f ( 3 ) ? 4 .又 f ( 3 ) ? f ( 2 ) ? 2 , ? f (3) ? 3 .

若结论不成立,设使 f ( n ) ? n 的最小正整数为 n 0 ,则 n 0 ? 4 .? f ( n 0 ) ? f ( n 0 ? 1) ? n 0 ? 1 , 又 f ( n 0 ) ? n 0 ,? f ( n 0 ) ? n 0 .由于 f ( n ) 是严格递增的,故当 n ? n 0 时,有
f (n) ? n

(2)

当 n 0 为奇数时,2 与 n 0 ? 2 互素,故
f ( 2 ( n 0 ? 2 )) ? f ( 2 ) f ( n 0 ? 2 ) ? 2 ( n 0 ? 2 )

(3)

由于 n 0 ? 4 ,所以 2 ( n 0 ? 2 ) ? 2 n 0 ? 4 ? n 0 ? ( n 0 ? 4 ) ? n 0 ,从而由(2)得
f ( 2 ( n 0 ? 2 )) ? 2 ( n 0 ? 2 )

(4)

(4)与(3)矛盾. 当 n 0 为偶数时,2 与 n 0 ? 1 互素,从而有
f ( 2 ( n 0 ? 1)) ? f ( 2 ) f ( n 0 ? 1) ? 2 ( n 0 ? 1)

(5)

因为 n 0 ? 4 ,所以 2 ( n 0 ? 1) ? n 0 ,由(2)得
f ( 2 ( n 0 ? 1)) ? ( n 0 ? 1) 2

(6)

(6)与(5)矛盾. 综上可知, ? n ? N ? ,有 f ( n ) ? n . 例 7 求所有函数 f : N ? ? N ? ,使得 ? n ? N ? ,有
f ( f ( f ( n ))) ? f ( f ( n )) ? f ( n ) ? 3 n

(1)

解 ? m , n ? N ? ,若 f ( m ) ? f ( n ) ,则
f ( f ( m )) ? f ( f ( n )) , f ( f ( f ( m ))) ? f ( f ( f ( n ))) ,
? f ( f ( f ( m ))) ? f ( f ( m )) ? f ( m ) ? f ( f ( f ( n ))) ? f ( f ( n )) ? f ( n )
? 3 m ? 3 n , m ? n ,故 f 是 N ? ? N ? 的单射.下证 f ( n ) ? n .

当 n ? 1 时,在(1)中取 n ? 1 ,得
2.5 函数迭代和函数方程第 5 页共 19 页

f ( f ( f (1))) ? f ( f (1)) ? f (1) ? 3 .

因为上式左边 3 个数均为正整数,所以只能全为 1,故 f (1) ? 1 ,即 n ? 1 时结论成立. 假 设 n ? k 时 , 有 f ( k ) ? k , 那 么 当 n ? k ? 1 时 , 由 f 是 单 射 知 f ( k ? 1) ? k , 从 而 有
f ( f ( k ? 1)) ? k ,进而有 f ( f ( f ( k ? 1))) ? k ,即 f ( k ? 1) ? k ? 1 f ( f ( k ? 1)) ? k ? 1 f ( f ( f ( k ? 1))) ? k ? 1

(2) (3) (4)

将上述 3 式相加,得
f ( f ( f ( k ? 1))) ? f ( f ( k ? 1)) ? f ( k ? 1) ? 3 ( k ? 1) .

又 f ( f ( f ( k ? 1))) ? f ( f ( k ? 1)) ? f ( k ? 1) ? 3 ( k ? 1) ,从而知不等式(2) (3) (4)全取等号,故 , ,
f ( k ? 1) ? k ? 1 ,即对于 n ? k ? 1 结论成立.由归纳法原理知, f ( n ) ? n , n ? N ? .

例 8.设 f ( x ) 在实数上都有定义,连续且不恒为 0,求方程式
f ( xy ) ? f ( x ) f ( y )

(7)

的解? 【解】 :任取 b ? 1 ,对任意的 x, y ? R ,存在 u , v ? R 使得 x ? b , y ? b (可取 u ? log
u

?

v

b

x , v ? log

b

y)

将此代入(7)式可得
f (b b ) ? f (b ) f (b )
u v u v

令 g ( x ) ? f (b )
x

? x ? R ,则
u?v

g (u ? v ) ? f (b

) ? f (b b ) ? f (b ) f (b )
u v u v

? g (u ) g ( v )

(8)

因为 f 在 R 上连续 ? g 在 R 上连续。 故由例一可知,(8)有唯一的解
g ( u ) ? c ,( c 是一个唯一固定的常数), ? u ? R 。
u

?

? f ( x ) ? f (b ) ? g (u ) ? c
u

u

? c

log b x

? x

log b c



2.5 函数迭代和函数方程第 6 页共 19 页

? log b c log b x ? (log b x )(log b c ) ? log b x log b c ? ? ? ? ? c log b x ? x log b c (? log y 是一對一函數 ) ? b ? ?

故 f (x) ? x

log b c

,令 a ? log b c , 則 f ( x ) ? x

a

注意:不要求 f ( x ) 为连续函数,则解未必是唯一的。 例如函数
?1 ? f ( x) ? ?0 ?? 1 ? x ? 0 x ? 0 x ? 0

(10)

不难看出它也是(7)的解。 例 9:设 f ( x ) 在整个实数上是连续的,求方程式
2f( x? y 2 ) ? f (x) ? f ( y)

(1) 的解。

【解】 :设 f ( 0 ) ? a ,在(1)式中取 y ? 0 ,得
x x?0 2f( )? 2f( ) ? f ( x ) ? f (0) ? f ( x ) ? a 2 2 x 1 ? f ( ) ? ? f ( x ) ? a ?。 2 2

因此,
1 2

? f (x) ?

f ( y )? ? f (

x? y 2

)?

1 2

? f (x ?

y) ? a?

? f (x) ? f ( y) ? f (x ? y) ? a ? f (x ? y) ? a ? ? f ( x) ? a? ? ? f ( y) ? a? 。

令 g ( x ) ? f ( x ) ? a ;由上式可知
g (x ? y) ? g (x) ? g ( y) 。

因为 f 在整个实数上都是连续的,所以 g ( x ) 在整个实数上也是连续的。 因此,由§1 的例一可知, g ( x ) ? cx 。
? f ( x ) ? g ( x ) ? a ? cx ? a 。(其中 a ? f ( 0 ), c ? g (1) ? f (1) ? a )。

例 10.设 f ( x ) 除了 0 以外的地方都有定义且连续,求方程式
f (x ? y) ? f (x) f ( y) f (x) ? f ( y)

(2) 的解?

2.5 函数迭代和函数方程第 7 页共 19 页

【解】 :因为(2)中分母不能为 0,所以对每一个 x ? 0 , f ( x ) ? 0 对(2)式两端取倒数,则可得
1 f (x ? y) ? 1 f (x) 1 f (x)
g (x ? y) ? g (x) ? g ( y) ? f ( x ) 在除了 0 以外的实数上均连续,所以 g ( x ) 在除了 x ? 0

?

1 f ( y)

(3)

令 g (x) ?

,则(3)式变为

(4)

以外的实数上连续。因此,(4)有唯一的连续解 g ( x ) ? cx
? f (x) ? 1 g (x) ? 1 cx ? a x

,其中 a ?

1 c

?

1 g (1)

? f (1) 。

例 11. 设 f ( x ) 在正实数域上有定义,连续且不恒等于 0,试求函数方程
f ( xy ) ? f ( x ) ? f ( y )

(4)

的解。 【解】 :由数学归纳法易知,对所有的正实数 x 1 , ? , x n ;
f ( x1 , x 2 , ? , x n ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x n )

特别,取 x 1 ? x 2 ? ? ? x n ? x 时,可知
f ( x ) ? nf ( x )
n

(5)

在(5)式中,取 x ? 1, n ? 2 ,可得
f (1) ? 2 f (1) ? f (1) ? 0
1 1 1 ? ? 1 m m m m f (x) 由(5)式也可知, f ( x ) ? ? f (( x ) ) ? ? mf ( x ) ? f ( x ) ? m ? ?

n

1

1

? f (x

m

) ? f (( x

m

) ) ? nf ( x
n

m

)?

n m

f (x)

所以,由(4)式可知
0 ? f (1) ? f ( x
? n m n

x m ) ? f (x

?

n m

n

) ? f (x m )

2.5 函数迭代和函数方程第 8 页共 19 页

? f (x

?

n m

n

) ? ? f (x

m

)? ?

n m

f (x) 。

因此我们证明了,对于任意的 r ? Q ,
f ( x ) ? rf ( x ) 。
r

因为 f 在正实数上连续且有理数与 R 的交集为 R 上的稠密子集,
? 對任意給定的 x ? R , f (x ) ? ?f (x)
?

?

?

?

?

? ? ? R.
?

(*)

取定 a ? 1 ,对任意的 x ? R ,存在 ? ? R ,使得 a
? ? ? log x。

? x;

a

将此代入(*),则可得
f ( x ) ? f ( a ) ? ? f ( a ) ? f ( a ) ? log
1

?

a

x。

令b ? a

f (a)

,则

1 f (a )

? log

a

b ?

1 log
a

? f (a ) 。 b

? f ( x ) ? f ( a ) ? log

a

x ?

log log

a a

x b

? log

b

x

(6)

这是函数方程(*)在整个正实数上连续时,唯一的解。 练习:1.已知 f ( x ) 是一次函数,且 f ? f [ f ? f ( x )]? ? 1024 x ? 1023 ,求 f ( x ) .
? ? ?? ? ??
10 次

解:设 f(x)=ax+b (a≠0),记 f ? f [ f
2

? f ( x )]? ? f n ( x ) ,则 ? ? ?? ? ??
n次

f2(x)=f[f(x)]=a(ax+b)+b=a x+b(a+1).f3(x)=f{f[f(x)]}=a[a2x+b(a+1)]+b=a3x+b(a2+a+1).
依次类推有:f10(x)=a x+b(a +a +…+a+1)=a x+ 由题设知:a =1024 且
10 10 9 8 10

b (1 ? a

10

)

1? a

b (1 ? a

10

)

1? a

=1023∴a=2,b=1 或 a=-2,b=-3;

∴f(x)=2x+1 或 f(x)=-2x-3. 2. 设 f : N ? N , f (1)= 1,f (2)= 5 且满足
f ( n ) ? 5 f ( n ? 1) ? 4 f ( n ? 2 ), ? n ? 3 。

(1)

试求 f (n)=? 【解】 :由(1)可得 f ( n ) ? f ( n ? 1) ? 4 ? f ( n ? 1) ? f ( n ? 2 ) ? ,
? ? f ( n ) ? f ( n ? 1) ? 是一个以 4 为公比的数列,且首项为
f ( 2 ) ? f (1) ? 5 ? 1 ? 4 。

2.5 函数迭代和函数方程第 9 页共 19 页

? f ( n ) ? f ( n ? 1) 为数列中的第 n-1 项,

? f ( n ) ? f ( n ? 1) ? 4 ( 4 )

n?2

? 4

n ?1



分别以 2, 3, …, n 代入上式,我们可得
f ( 2 ) ? f (1) ? 4 f (3) ? f ( 2 ) ? 4 ? f ( n ) ? f ( n ? 1) ? 4 。
n ?1 2

将它们加起来
? f ( n ) ? f (1) ? 4 ? 4 ? ? ? ? ? 4
2 n ?1

? 1 ? 4 ? 4 ? ??? ? 4
2

n ?1

?1?

4(4

n ?1

? 1)

4 ?1

?

4 ?1
n



3

3.设 f : N ? N 满足 f (1)= 1 且 f ( n ? 1) ? ? f ( n ) ? 3 n , ? n ? N 。 试求 f (n)=? 【解】 :我们可将(1)改写为
f ( n ? 1) ? 3 ( n ? 1) 2
f ( n ? 1) ? 3( n ? 1) 2 ? 3

(1)

? ? f (n ) ?

3n 2

?

3 2

3n 3? ? ? ? f (n ) ? ? ? 4 2 4? ? ?

(2)

令 bn ? f ( n ) ?

3n 2

?

3 4

,则(2)式告诉我们 b n ?1 ? ? b n ,

? ?b n ? 是以(-1)为公比之等比数列,且首项为
b 1 ? f (1) ? 3 2 ? 3 4 7 4 ? f (n ) ? ( ? 1)
n ?1

?1?

3 4

?
n ?1

7 4



由等比数列的公式可得 b n ?
? 7 4 ? f (n ) ? ( ? 1)
n ?1

( ? 1)

3n 2 3n 2

? ?

3 4 3 4

7 4

?

4. 若函数 f 满足:
4 ? f (1 ) ? f ( 2 ) ? ? ? ? ? f ( n ) ? ? ? f ( n ) ? ? 4 n ? 1 , ? n ? N 。
2

(1)

试求 f (n)=? 【解】 :将(1)式中的 n 以 n ? 1 代入,则可得
4 ? f (1) ? f ( 2 ) ? ? ? ? ? f ( n ? 1) ? ? ? f ( n ? 1 ) ? ? 4 ( n ? 1) ? 1 。
2

(2)

(1)-(2):
2.5 函数迭代和函数方程第 10 页共 19 页

4 f ( n ) ? ? f ( n ) ? ? ? f ( n ? 1) ? ? 4
2 2

将其因式分解,则可得

? f (n) ? 2 ?

f ( n ? 1) ?

? f (n) ? 2 ?

f ( n ? 1) ? ? 0

? f ( n ) ? f ( n ? 1) ? 2

(3)


f ( n ) ? f ( n ? 1) ? 2 。

(4)

在(1)式中取 n ? 1 ,则可得
4 f (1 ) ? ? f (1 ) ? ? 3
2

?

? f (1) ? 1? ? f (1) ? 3 ? ? 0
或 f (1) ? 3 。

? f (1) ? 1

(i).当 f (1) ? 1 时,由(3)式可知, ? f ( n ) ? 为一个以 2 为公差的等差数列 且首项为 1,? f ( n ) ? 1 ? 2 ( n ? 1) ? 2 n ? 1 。 (ii).当 f (1) ? 1 时,由(4)式可知, f ( 2 ) ? 2 ? f (1) ? 2 ? 1 ? 1 ,
f ( 3 ) ? 2 ? f ( 2 ) ? 1 ,···· ···· ···。

以数学归纳法可证明对所有的 n ? N , f ( n ) ? 1 。 (iii).当 f (1) ? 3 ,由(3)式可知, ? f ( n ) ? 为一个以 2 为公差,首项为 3 的等差数列 ? f ( n ) ? 3 ? 2 ( n ? 1) ? 2 n ? 1 。 (iv).当 f (1) ? 3 ,由(4)式可知
f ( 2 ) ? 2 ? f (1) ? ? 1 ? 2 ? ( ? 1) ? 1
3

f ( 3 ) ? 2 ? f ( 2 ) ? 2 ? ( ? 1) ? 3 ? 2 ? ( ? 1) ? 1
4

f ( 4 ) ? 2 ? f ( 3 ) ? ? 1 ? 2 ? ( ? 1) ? 1
5

?

f ( n ) ? 2 ? ( ? 1)

n ?1

?1

(此可由数学归纳法证明) 5. 设 f , g : N ? N ,f (n)=2n+1,g(1)=3 且

2.5 函数迭代和函数方程第 11 页共 19 页

g ( n ) ? f ? g ( n ? 1) ? , ? n ? 2 。

(1)

试求 g(n)=? 【解】 :因为 f ( n ) ? 2 n ? 1 ,在(1)式中取 n=1,2,3,…发现
g (1) ? 3 g ( 2 ) ? 2 g (1) ? 1 ? 3 ? 2 ? 1

g ( 3 ) ? 2 g ( 2 ) ? 1 ? 2 ? ?3 ? 2 ? 1? ? 1 ? 3 ? 2 ? 2 ? 1
2

g ( 4 ) ? 2 g (3) ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? 1 ? 1 ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 ? 1
2 3 2

?

?

?
g (n) ? 3 ? 2
n ?1

?2

n?2

? ??? ? 2 ? 1 ? 3? 2

n ?1

?2

n?2

1 1 1 ? ? ?1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? ? ? 2 n ? 2 ? ? ?

2 ? 3? 2
n ?1

n?2

?

n ?1 ? ?1? ? ?1 ? ? ? ? ?2? ? ? ? ?

2 ? 3? 2
n ?1

n?2

?

1 2

1?
? 3? 2
n ?1

1 2

?

1 2

?2

n ?1

?1? 2

n ?1

?1

(2)

现以数学归纳法证明此结论是正确的。显然以 n=1 代入(2)式,可得 g(1)=3。设 n=k 时(2)式成立,当 n=k +1 时,
g ( k ? 1) ? f ( g ( k )) ? 2 g ( k ) ? 1 ? 2 2

?

k ?1

?1 ?1? 2

?

k ?2

?1 ,

故由数学归纳法可知(2)式成立。 6.设 f : R ? R , f ( x ) ?
x 1? x
2

,若

f 1 ( x ) ? f ( f ( x )) 且 f n ( x ) ? f ( f n ?1 ( x )), ? n ? 2

(1)

试求 f n ( x ) ? ?
x

【解】 f 1 ( x ) ? f ( f ( x )) ? :

f ( x) 1 ? ? f ( x )?
2

? ? 1? ? ? ?

1? x x

2

? ? ? ? ?
2

x 1 ? 2x
2



1? x

2

2.5 函数迭代和函数方程第 12 页共 19 页

x f 2 ( x ) ? f ( f 1 ( x )) ? ? 1? ? ? ?
x 1 ? 4x
2

1 ? 2x x

2

?
2

x 1 ? 3x
2



1 ? 2x

? ? ? ?

2

f3(x) ?



于是猜想 f n ( x ) ?

x 1 ? ( n ? 1) x
2

(2)

设 n=k 时(2)式成立,当 n=k + 1 时,
x f k ? 1 ( x ) ? f ( f k ( x )) ? ? 1? ? ? ? 1 ? ( k ? 1) x x 1 ? ( k ? 1) x
2 2

? ? ? ? ?
2

x 1 ? (k ? 2) x
2



故由数学归纳法可知(2)式成立。 7. 设 f (1) ? 1, f ( 2 ) ? 8 且满足:
f (n ) ? f ( n ? 1) f ( n ? 2 )



?n ? 3 。

(15)

试求 f ( n ) =? 【解】 :由假设条件易知 f ( n ) ? 0 , ? n ? N 在(15)式两边取对数,得到
ln f ( n ) ? 1 2 ? [ln f ( n ) ? ln f ( n ? 1 )] ? ? 1 2 [ln f ( n ? 1 ) ? ln f ( n ? 2 )] , ? n ? 3 。 [ln f ( n ? 1 ) ? ln f ( n ? 2 )]

(16)

依序以 3, 4 ,5 , ? , n 代入(16)式可得
[ln f ( 3 ) ? ln f ( 2 )] ? ? [ln f ( 4 ) ? ln f ( 3 )] ? ? 1 2 1 2
? [ln f ( n ) ? ln f ( n ? 1)] ? ? 1 2 [ln f ( n ? 1) ? ln f ( n ? 2 )]

[ln f ( 2 ) ? ln f (1)] [ln f ( 3 ) ? ln f ( 2 )]

将这 n ? 2 个等式相乘,则可得到
ln f ( n ) ? ln f ( n ? 1 ) ? ( ? 1 2 )
n?2

[ln f ( 2 ) ? ln f (1 )]

2.5 函数迭代和函数方程第 13 页共 19 页

? (?

1 2

)

n?2

[ln 8 ? ln 1 ] ? 3 ? ( ?

1 2

)

n?2

ln 2 。

(17)

再以 2 , 3, 4 , ? , n 代入(17)式,再将这 n ? 1 个等式相加,可得
ln f ( n ) ? ln f (1 ) ? 3 ? ln 2 ? [1 ? ( ?
1 ? (? ? 3 ? ln 2 ? 1? 1 2 1 2

1 2
)

) ? (?

1 2

) ? ? ? (?
2

1 2

)

n?2

]

n ?1

? 2 ? ln 2 ? [1 ? ( ?
? ln f (1) ? ln 1 ? 0 ,
2 [1? ( ? 1 2 )
n ?1

1 2

)

n ?1

]

? ln f ( n ) ? ln 2 ? f (n ) ? 2
2 [1? ( ?

]


?n ? N

1 2

)

n ?1

]



8.设函数 f ( n ) 在自然数上都有定义, f (1) ? 0 , f ( 2 ) ? 1 ,并满足:
f ( n ? 2 ) ? 2 f ( n ? 1) ? f ( n ) ? n



?n ? 1 。

(4)

试求 f ( n ) =?。 【解】 :将(4)式改写为
[ f ( n ? 2 ) ? f ( n ? 1)] ? [ f ( n ? 1) ? f ( n )] ? n ;

(5)

依次以 1, 2 , ? , n ? 2 代入(5)式可得
[ f ( 3 ) ? f ( 2 )] ? [ f ( 2 ) ? f (1 )] ? 1 [ f ( 4 ) ? f ( 3 )] ? [ f ( 3 ) ? f ( 2 )] ? 2 ? [ f ( n ) ? f ( n ? 1 )] ? [ f ( n ? 1 ) ? f ( n ? 2 )] ? n ? 2

将这 n ? 2 个等式相加可得
[ f ( n ) ? f ( n ? 1)] ? [ f ( 2 ) ? f (1)] ? 1 ? 2 ? ? ? ( n ? 2 )

? [ f ( n ) ? f ( n ? 1 )] ? [1 ? 0 ] ? ? f ( n ) ? f ( n ? 1) ? 1 ?

( n ? 2 )( n ? 1 ) 2



?n ? 2

( n ? 2 )( n ? 1 ) 2



?n ? 2 。

(6)

再依序以 2 , 3, ? , n 代入(6)式,再将所得的 n ? 1 个等式相加,可得
[ f ( 2 ) ? f (1)] ? [ f ( 3 ) ? f ( 2 )] ? ? ? [ f ( n ) ? f ( n ? 1)]

? [1 ?

0 ?1 2

] ? [1 ?

1?2 2

] ? ? ? [1 ?

( n ? 2 )( n ? 1 ) 2

]

2.5 函数迭代和函数方程第 14 页共 19 页

f ( n ) ? f (1 ) ? ( n ? 1 ) ? ? ( n ? 1) ? ? ( n ? 1) ? ? ( n ? 1) ? ? 1 6 ? f (n ) ? 1 6 1 2 1 2

1 2

[1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? ( n ? 2 )( n ? 1 )]

?[1(1 ? 1) ? [ 2 ( 2 ? 1)] ? ? ? ( n ? 2 )[( n ? 2 ) ? 1]?
[1 ? 2 ? ? ? ( n ? 2 ) ] ?
2 2 2

1 2

[1 ? 2 ? ? ? ( n ? 2 )]

1 ( n ? 2 )( n ? 1 )( 2 n ? 3 ) 1 ( n ? 2 )( n ? 1 ) ? ? ? 2 6 2 2
2

( n ? 1 )( n ? 2 n ? 6 ) ( n ? 1 )( n ? 2 n ? 6 )
2

(? f (1 ) ? 0 )

【注】 1 ? 2 ? 3 ? ? ? m ? :
2 2 2 2

m ( m ? 1 )( 2 m ? 1 ) 6



10.设 f (1 ) ? ? 1, f ( 2 ) ? ?

1 2

且 f ( n ) 满足: ,
?n ? 3 。

nf ( n ) ? ( n ? 1) f ( n ? 1) ? f ( n ? 2 )

(9)

试求 f ( n ) =? 【解】 :首先我们将(15)式改写为
n [ f ( n ) ? f ( n ? 1)] ? ? [ f ( n ? 1) ? f ( n ? 2 )]

? [ f ( n ) ? f ( n ? 1 )] ? ?

1 n

[ f ( n ? 1 ) ? f ( n ? 2 )] , ? n ? 3 。

(10)

依序以 3, 4 ,5 , ? , n 代入(10)式可得
[ f ( 3 ) ? f ( 2 )] ? ? [ f ( 4 ) ? f ( 3 )] ? ? ? [ f ( n ) ? f ( n ? 1 )] ? ? 1 n [ f ( n ? 1 ) ? f ( n ? 2 )] 1 3 1 4 [ f ( 3 ) ? f ( 2 )] [ f ( 2 ) ? f (1 )]

将上面 n ? 2 个等式相乘,得到
f ( n ) ? f ( n ? 1) ? ( ? 1)
n?2

2 n!

[ f ( 2 ) ? f (1 )]

? ( ? 1)

n?2

2 n!

[?

1 2

? ( ? 1 )] ?

( ? 1) n!

n?2

?

( ? 1) n!

n



(11)

再依序以 2 , 3, 4 , ? , n 代入(11)式,则可得

2.5 函数迭代和函数方程第 15 页共 19 页

f ( 2 ) ? f (1 ) ? f ( 3) ? f ( 2 ) ? ?

( ? 1) 2! ( ? 1) 3!

2

3

f ( n ) ? f ( n ? 1) ?

( ? 1) n!

n

将这 n ? 1 个等式相加,得到
f ( n ) ? f (1 ) ? ( ? 1) 2!
2

?

( ? 1) 3!

3

?? ?

( ? 1) n!

n

?

( ? 1) 1!

?

( ? 1) 2!

2

?? ?

( ? 1) n!

n

?

?

n

( ? 1) k!

k

, ?n ? N 。

k ?1

11.设 f (1) ? 1, f ( 2 ) ? 3 且满足:
f ( n ) ? f ( n ? 1) ? 2 f ( n ? 2 )



?n ? 3 。

(12)

试求 f ( n ) =? 【解】 :由(12)可知
f ( n ) ? f ( n ? 1) ? 2 [ f ( n ? 1) ? f ( n ? 2 )]



?n ? 3 。

(13)

以 3, 4 ,5 , ? , n 代入(13)式可得
f ( 3 ) ? f ( 2 ) ? 2 [ f ( 2 ) ? f (1 )] f ( 4 ) ? f ( 3 ) ? 2 [ f ( 3 ) ? f ( 2 )] ? f ( n ) ? f ( n ? 1 ) ? 2 [ f ( n ? 1 ) ? f ( n ? 2 )]

将这 n ? 2 个等式相乘,可得
f ( n ) ? f ( n ? 1) ? 2
n?2

[ f ( 2 ) ? f (1)] ? 2

n?2

[ 3 ? 1] ? 2 。
n

(14)

再以 2 , 3, 4 , ? , n 代入(14)式,则可得到
f ( 2 ) ? ? f (1 ) ? 2
2

? f ( 3) ? f ( 2 ) ? 2 f ( 4 ) ? ? f ( 3) ? 2 ? ( ? 1) f ( n ) ? ( ? 1)
n

3

4

n ?1

f ( n ? 1) ? ( ? 1) 2
n

n

将此 n ? 1 个等式相加,可得
( ? 1) f ( n ) ? ? f (1) ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ( ? 1) 2
n 2 3 4 n n

? ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ( ? 1) 2
2 3 4 n

n

2.5 函数迭代和函数方程第 16 页共 19 页

? ?1 ?

2 [1 ? ( ? 2 )
2

n ?1

]

1 ? (?2)
n

?

1 ? ( ? 1) 2
n

n ?1

3

? f (n ) ?

2

n ?1

? ( ? 1) 3

,? n ? N 。

12. 2. 设 f ( x ) 在 R 上是连续的且不恒等于 0,求出函数方程
f ( x ? y) ? f ( x) f ( y)

(1)

的解。 【解】 :由数学归纳法易知
f ( x1 ? x 2 ? ? ? x n ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x n )

特别,取 x 1 ? x 2 ? ? ? x n ? x ,则可得
f ( nx ) ? ? f ( x ) ?
n

(2)
n

在上式中取 x ? 1 ,可得 f ( n ) ? ? f (1) ? 于(1)式中,取 y ? 0 ,可得

f ( x ? 0 ) ? f ( x ) ? f ( x ) f ( 0 ) ? f ( x ) ? f ( 0 ) ? 1? ? 0 .

因为我们假设 f ( x ) 不恒为 0,所以 f ( 0 ) ? 1 . 在(2)式中,取 x ?
1 m
n

,则可得(m 为正整数)
n

f(

? ) ? ?f m ? n

1 ? ( )? m ?

n

m ?? 1 ? ? ? ?? f ( )? m ? ?? ?

n ?m m ?m ? ? ? ? ? f ( ) ? ? ? f (1) ? m . m ? ? ? ?

在(1)式中,取 x ?

n

,y ? ?

n

,则可得

m m n n ?n n ? 1 ? f (0) ? f ( ) f ( ) ? f ( ? ) ? ? f (1) ? m m m m

所以,对任意的有理数 r , f ( r ) ? ? f (1) ? 。
r

又因有理数是实数的稠密子集,且 f ( x ) 在 R 上连续,所以
f ( x ) ? ? f (1) ? ,
x

?x ? R .
x

若 f (1) ? a ,则 f ( x ) ? a 13.解函数方程

?x ? R .

(3)

2.5 函数迭代和函数方程第 17 页共 19 页

f (x) ? f (

x ?1 x

) ?1? x 1 1? x

(2)

【解】 :令 x ?

y ?1 y

, y ? 0 ,1 ;则 y ?

。将此代入(2)可得

f(
x ?1 x

y ?1 y

)? f(
1 1? x

1 1? y
) ?

) ?

2y ?1 y

或 f(

)? f(

2x ? 1 x 1 1? z , z ? 0 ,1 ;

(3)

此时(2)及(3)并无法解出 f ( x ) ;所以我们再令 x ? 则z ?
f( x ?1 x 1 1? z 1 1? x ) ? f (z) ? ) ? f (x) ? 2? z 1? z 2? x 1? x

。将此代入(2)式则可得

即 f(

(4)
1 1? x ), f ( x ?1 x ) 为独

将(2),(3)及(4)联立,则可得到一个以 f ( x ), f (

立变数的三元一次联立方程组;我们利用消去法来解此问题。 (2)+(4)-(3):
2 f ( x ) ? (1 ? x ) ?
3 2

2? x 1? x

?

2x ?1 x

? f (x) ?

x ? x ?1 2 x ( x ? 1)



? x ?1? ? x ?1? ? ? ?? ? ?1 3 2 x ?1 x ? x ?1 ? x ? ? x ? 检验: f ( x ) ? f ( )? ? ? x ?1 x ?1? x ?1 x 2 x ( x ? 1) ? 2 ? 1? ? x ? x ?

3

2

所以 f ( x ) ?
x ?1 x

x ? x ?1
3 2

2 x ( x ? 1)

,

? x ? R \ ?0 ,1? .

法二:令 ? ( x ) ?

,则
x ?1 ?1 1 x ? x ?1 1? x x 1 ) ? 1? x 1 1? x 1 ?1 ? x

? ( x ) ? ? (? ( x )) ? ? (
2

x ?1 x

) ?

? ( x ) ? ? (? ( x )) ? ? (
3 2

1? x

2.5 函数迭代和函数方程第 18 页共 19 页

此时可将(2)式表示为 f ( x ) ? f (? ( x )) ? 1 ? x 迭代一次可得
f (? ( x )) ? f (? ( x )) ? 1 ? ? ( x ) ?
2

( 2 )?

2x ?1 x

(3) ?

再迭代一次可得
f (? ( x )) ? f (? ( x )) ?
2 3

2? ( x ) ? 1

? (x)

? f (? ( x )) ? f ( x ) ?
2

2? x 1? x

( 4 ?)

(2) ? ? (4) ? ? (3) ? 可得

2 f (x) ? 1 ? x ?
3 2

2x ? 1 x

?

2? x 1? x

? f (x) ?

x ? x ?1 2 x ( x ? 1)

,

? x ? 0 ,1; x ? R

将此代入(2)式,可知其满足方程式。

2.5 函数迭代和函数方程第 19 页共 19 页