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取值范围问题


一、.函数思想 1)已知一个未知数 x 的取值范围,必可求出函数 y 的取值范围,反之也成立。 (注意:字母 不一定是 x,y) 2)假设未知数,构造函数,先求出自变量的取值范围. 如何知道自变量的取值范围:1)已知条件直接给出 (找已知条件中的不等式) 2)已知条件间接推出 (找已知条件中含限制性的语句) 二、.基础知识:如何根据 x 的取值范围,求出 y 的取值范围(以及反之) 1)利用函数增减性(注意如何书写) 1)一次函数 2)反比例函数 3)二次函数 2)数形结合思想(函数与不等式的关系:用函数思想解不等式) 1.会画精确图(易错:自变量取值范围) ,会画草图 2.求出交点横坐标 3.看(易错: “谁大谁小,谁上谁下”看错) 3)不等式直接运算 1)不等式根据运算法则变形(易错:分母中含字母,字母移项,两边同时乘除负数, 不清楚正负时分类讨论) 2)常见非负性不等式及其变形 三、.代数法求最值问题 具体做题中的关键: 1.明确目标:把 “要求的量” (可能是线段比值、面积、线段长度、 周长、甚至是三角函数值以及各种新定义的奇葩量)用一个未知数 表示出来.(很坑爹的是最后结果居然都可化为二次函数! ) 1)若是函数图像上的点或动点,先假设其横坐标 x,用 x 表示纵坐 标,目的是用一个未知数表示其他量,最终把所要求的量表示出来. 2)表示过程中常用方法:勾股定理,线段长与坐标的关系, 面积法、相似、特殊三角形应用、经典相似模型、特殊四边形. 3)若表示过程中出现多个字母,尽可能根据用同一个字母表示其他 量,使得最终的结果为一个未知数(消参). 2.“当***取得最大时,***会怎么怎么样”等价于“当 x=-b\2a,***” 当 y 取得最值,即表示 x=-b\2a,即 x=-b\2a 为已知条件. 例如:当 PN 1 取最大值时,若 PN= . NE 2

1 等价于 当 x=-b\2a 时,此时 PN= . 2 3.表示出来以后可用配方或直接 x=-b\2a 求最值. 千万要注意 x=-b\2a 是否在 x 的取值范围里面.(要注意自变量的取值范围) 四、厦门中考函数考点小结: 1.函数上的点的概念 2.画函数图像 3.函数增减性 4.反比例函数 k 的几何意义 5.二次函数求最值 6.函数与方程不等式的关系 7.直角坐标系、坐标与长度

例题 1.若 a ? b ? 4 , a ? 0 , b ? 3 ,求 ab 的最值.

例题 2.已知周长为 4 的等腰三角形腰长为 x ,底边长为 y ,试求 y 关于 x 的函数关系式,并 画出图像.

例题 3.在矩形 ABCD 中,AB=6cm,BC=12cm,点 P 从点 A 出发,沿 AB 边向点 B 以 1cm /s 的速度移动,同时点 Q 从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动,如果 P、Q 两点同时出发,分别到达 B、C 两点后就停止移动. (1)运动第 t 秒时,△PBQ 的面积 y(cm? )是多少? (2)此时五边形 APQCD 的面积是 S(cm? ),写出 S 与 t 的函数关系式,并指出自变量 的取值范围. (3)t 为何值时 s 最小,最小值时多少?

例题 4. 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE(如图) ,其中 AF=2, BF=1.试在 AB 上求一点 P,使矩形 PNDM 面积最大.

例题 5.如图,点 C 是线段 AB 上的任意一点(C 点不与 A、B 点重合),分别以 AC、BC 为边 在直线 AB 的同侧作等边三角形 ACD 和等边三角形 BCE,AE 与 CD 相交于点 M,BD 与 CE 相交于点 N. (1)求证:MN∥AB; (2)若 AB 的长为 l0cm,当点 C 在线段 AB 上移动时,是否存在这样的一点 C,使线段 MN 的长度最长?若存在,请确定 C 点的位置并求出 MN 的长;若不存在,请说明理由.

例题 6. 如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=5,BC=10,F 为 AD 的中点,CE⊥AB 于 E, 设∠ABC=α (60°≤α <90°) . (1)当 α =60°时,求 CE 的长; (2)当 60°<α <90°时,连接 CF,当 CE ﹣CF 取最大值时,求 tan∠DCF 的值.
2 2

例题 7. 已知:O 是坐标原点,P(m,n)(m>0)是函数 y =

k (k>0)上的点,过点 P x

作直线 PA⊥OP 于 P, 直线 PA 与 x 轴的正半轴交于点 A (a, 0) (a>m). 设△OPA 的面积为 s, 若 k≠ 且 s=1+ ,求 OP 的取值范围 2 4

n4

n4

2

例题 8.将矩形 OABC 置于平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(0,4) ,点 C 的坐标 为(m,0) (m>0) ,点 D(m,1)在 BC 上,将矩形 OABC 沿 AD 折叠压平,使点 B 落在 坐 标 平 面 内 , 设 点 B 的 对 应 点 为 点 E . 如 图 , 若 点 E 的 纵 坐 标 为 -1 , 抛 物 线
2 (a≠0 且 a 为常数)的顶点落在△ADE 的内部,求 a 的取值范围. y ? ax ?4 5 ax? 10

2010 23.在平面直角坐标系中,点 O 是坐标原点、已知等腰梯形 OABC,OA∥ BC,点 A(4,0) , BC=2,等腰梯形 OABC 的高是 1,且点 B、C 都在第一象限. (1)请画出一个平面直角坐标系,并在此坐标系中画出等腰梯形 OABC; (2)直线 与线段 AB 交于点 P(p,q) ,点 M(m,n)在直线 上,

当 n>q 时,求 m 的取值范围.

26.在平面直角坐标系中,点 O 是坐标原点,点 P(m,﹣1) (m>0) .连接 OP,将线段 2 OP 绕点 O 按逆时针方向旋转 90°得到线段 OM,且点 M 是抛物线 y=ax +bx+c 的顶点. 2 (1)若 m=1,抛物线 y=ax +bx+c 经过点(2,2) ,当 0≤x≤1 时,求 y 的取值范围; 2 2 (2) 已知点 A (1, 0) , 若抛物线 y=ax +bx+c 与 y 轴交于点 B, 直线 AB 与抛物线 y=ax +bx+c 有且只有一个交点,请判断△ BOM 的形状,并说明理由.

2011 22. (本题满分 8 分) 已知一次函数 y ? kx ? b 与反比例函数 y ? (1)求一次函数的关系式; (2)在给定的直角坐标系中画出这两个函数的图象,并根据图象回答:当 x 为何值时,一 次函数的值大于反比例函数的值?

4 的图象相交于点 A( ?1 ,m) 、B( ?4 ,n). x

26. (本题满分 11 分) 已知抛物线 y ? ? x ? 2mx ? m ? 2 的顶点 A 在第一象限,过点 A 作 AB⊥y 轴,垂足为 B,
2 2

C 是线段 AB 上一点(不与端点 A、B 重合) ,过 C 作 CD⊥x 轴,垂足为 D,并交抛物线于 点 P。 (1)若点 C(1,a)是线段 AB 的中点,求点 P 的坐标; (2)若直线 AP 交 y 轴的正半轴于点 E,且 AC=CP,求△OPE 的面积 S 的取值范围。

2012 24. (本题满分 10 分)如图 9,在平面直角坐标系中,已知点 A(2,3)、B(6,3),连结 AB. 如 果点 P 在直线 y=x-1 上,且点 P 到直线 AB 的距离小于 1,那么称点 P 是线段 AB 的 “邻近点” . 7 5 (1)判断点C( , ) 是否是线段 AB 的“邻近点” ,并说明理由; 2 2 (2)若点 Q (m,n)是线段 AB 的“邻近点” ,求 m 的取值范围.

y
4 2 A B

O

2

4

6

x

图9 k2 26. (本题满分 12 分)已知点 A(1,c)和点 B (3,d )是直线 y=k1x+b 与双曲线 y= (k2> x
0)的交点. (1)过点 A 作 AM⊥x 轴,垂足为 M,连结 BM.若 AM=BM,求点 B 的坐标; k2 (2)设点 P 在线段 AB 上,过点 P 作 PE⊥x 轴,垂足为 E,并交双曲线 y= (k2>0) x 于点 N.当 PN 1 取最大值时,若 PN= ,求此时双曲线的解析式. NE 2

2013 22. (本题满分 6 分)一个有进水管与出水管的容器, 从某时刻开始的 3 分内只进水不出水,在随后的 9 分内既进水又出水,每分的进水量和出水量都是 常数.容器内的水量 y(单位:升)与时间 x(单位:分)之间的关系如图 10 所示. 当容器内的水量大于 5 升时,求时间 x 的取值范围.

1 24. (本题满分 6 分)已知点 O 是坐标系 的原点,直线 y=-x+m+n 与双曲线 y= 交于两 x 个不同的点 A(m,n)(m≥2)和 B(p,q),直线 y=-x+m+n 与 y 轴交于点 C ,求 △OBC 的面积 S 的取值范围.

1.已知二次函数 y=﹣ x ﹣7x+

2

,若自变量 x 分别取 x1,x2,x3,且 0<x1<x2<x3,则对 】 D.y2<y3<y1

应的函数值 y1,y2,y3 的大小关系正确的是【 A.y1>y2>y3
2

B.y1<y2<y3

C.y2>y3>y1

2.二次函数 y=ax +bx+1(a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(﹣1,0) .设 t=a+b+1, 则 t 值的变化范围是【 A.0<t<1 】 C.1<t<2 D.﹣1<t<1

B.0<t<2
2

3.已知二次函数 y=ax +bx+c(a<0)的图象如图所示,当﹣5≤x≤0 时,下列说法正确的是 【 】

A.有最小值﹣5、最大值 0 C.有最小值 0、最大值 6

B.有最小值﹣3、最大值 6 D.有最小值 2、最大值 6

4.现从 A,B 向甲、乙两地运送蔬菜,A,B 两个蔬菜市场各有蔬菜 14 吨,其中甲地需要蔬 菜 15 吨,乙地需要蔬菜 13 吨,从 A 到甲地运费 50 元/吨,到乙地 30 元/吨;从 B 地到甲运 费 60 元/吨,到乙地 45 元/吨. (1)设 A 地到甲地运送蔬菜 x 吨,请完成下表: 运往甲地(单位:吨) 运往乙地(单位:吨) A B (2)设总运费为 W 元,请写出 W 与 x 的函数关系式 (3)怎样调运蔬菜才能使运费最少? x

5.如图,甲、乙两人分别从 A(1, 3 )、B(6,0)两点同时出发,点 O 为坐标原点,甲沿 AO 方向、乙沿 BO 方向均以 4km/h 的速度行驶,th 后,甲到达 M 点,乙到达 N 点.甲、乙两人 之间的距离为 MN 的长,设 s=MN ,求 s 与 t 之间的函数关系式,并求甲、乙两人之间距离 的最小值.
2

6.如图,已知一次函数 y1 ? kx ? b 的图象与 x 轴相交于点 A, 与反比例函数 y2 ?

c 5 的图象相交于 B(-1,5) 、C( ,d) 2 x

两点.点 P(m,n)是一次函数 y1 ? kx ? b 的图象上的动点. (1)求 k、b 的值; (2) 设 ?1 ? m ?

3 c , 过点 P 作 x 轴的平行线与函数 y2 ? 2 x

的图象相交于点 D.试问△PAD 的面积是否存在最 大值?若存在,请求出面积的最大值及此时点 P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)设 m ? 1 ? a ,如果在两 个实数 m 与 n 之间(不包括 m 和 n)有且只有一个整数, 求实数 a 的取值范围.

7.已知 P(m,a)是抛物线 y=ax2 上的点,且点 P 在第一象限. (1)求 m 的值; (2)直线 y=kx+b 过点 P, 交 x 轴的正半轴于点 A,交抛物线于另一点 M., 当 b=4 时, 记△MOA 1 的面积为 S,求S的最大值.


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