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高三数学下学期周练试题(1)

河北定州中学 2016-2017 学年第二学期高三数学周练试题(1)
一、选择题 1.设集合 A ? { y | A. A=B

y ? x 2 ? 1}, B ? {x | y ? x 2 ? 1},则下列结论中正确的是(
B
C. B ?



B. A ?

A

D. A I

B ? {x | x ? 1}


2.已知等比数列 ?an ? 的公比为 ?

a ? a3 ? a5 1 , 则 1 的值是( a2 ? a4 ? a6 2

A. ?2

B. ?

1 2

C.

1 2

D. 2

3.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是( )

4

2 正视图 4

2 侧视图

2 3

俯视图

A. 16 ? 8 3

B. 16 ? 4 3

C. 48 ? 8 3

D. 48 ? 4 3

4. 等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 已知 a2 a5 ? 2a3 , 且 a4 与 2a7 的 等差中项为 A.29 B.31 C.33 D.36

5 , 则 S5 ?( 4



5.设 错误!未找到引用源。 为奇函数,且在 错误!未找到引用源。 内是减函数,错误!未找到 引用源。 ,则 错误!未找到引用源。 的解集为 ( A. 错误!未找到引用源。 B. 错误!未找到引用源。 C. 错误!未找到引用源。 D. 错误!未找到引用源。 )

1

6.设 a ? 0 ,将
1 3

a2 a? a
3 2

表示成分数指数幂,其结果是(
5 7



A. a 2

B. a 2

C. a 6

D. a 6

7.不等式 2 x 2 ? x ? 3 ? 0 的解集为 A. {x | ?1 ? x ? } B. {x | x ? C. {x | ?

3 2

3 或x ? ?1} 2

3 ? x ? 1} 2
3 2

D. {x | x ? 1或x ? ? } 8.如图所示,程序框图的输出值 开始 i=1,S=0 S=S+i i=i+2 S≤20
否 是





输出 S 结束 A、 B、 C、 D、

9.已知 S , A, B, C 是球 O 表面上的点, SA ? 平面 ABC , AB ? BC, SA ? AB ? 1, BC ? 2 ,则球 O 的 表面积等于( A. 4? ) B. 3? C. 2? D. ?

10.△ABC 中,AB= A. B.

,AC=1,∠B=30°, 则△ABC 的面积等于( ) C. D.

11.如图,网格纸的小正形的边长是 1,粗线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体的体积 为

2

A.

5 2

B.

7 2

C. 2 ?

3 4

D. 3 ?

3 3

12.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左顶点和上顶点分别为 A、 B ,左、右焦点分别是 F1 , F2 , a 2 b2


在线段 AB 上有且只有一个点 P 满足 PF1 ? PF2 ,则椭圆的离心率的平方为(

A.

3 2

B.

3 ?1 2

C.

5 3

D.

5 ?1 2

二、填空题 13.一组数据 2, x, 4,6,10 的平均值是 5,则此组数据的标准差是 .

14. (2004?福建)某射手射击 1 次 ,击中目标的概率是 0.9.他连续射击 4 次,且各次射击是否击 中目标相互之间没有影响.有下列结论: ①他第 3 次击中目标的概率是 0.9; ②他恰好击中目标 3 次的概率是 0.9 ×0.1; ③他至少击中目标 1 次的概率是 1﹣0.1 . 其中正确结论的序号是 (写出所有正确结论的序号) .
4 3

15.函数 f(x)=Asin(ω x+φ ) (A,ω ,φ 为常数,A>0,ω >0)的部分图象如图所示,则 f ( )

?

6

的值是



3

16. ? x 2 ?

? ?

1? 7 ? 的展开式中的 x 的系数是 x?

8



三、解答题 1 7.已知 f (n) ? 1 ?

1 2

?

1 3

? ??? ?

1 n

(n ? N *) , g (n) ? 2( n ? 1 ? 1)(n ? N*) .

(1)当 n=1,2 ,3 时,分别比较 f(n)与 g(n)的大小(直 接给出结论) ; (2)由(1)猜想 f(n)与 g(n)的大小关系,并证明你的结论. 18 .在如图所示的几何体中,四边形
ABCD, AE ? BD , CB ? CD ? CF

ABCD 是等腰梯形, AB ? CD ,

?DAB ? 60? ,

FC ?

平面



(1)求证 BD ? 平面 AED ; (2)求二面角 F ? BD ? C 的余弦值. 19. (2015 秋?衡阳县期末)已知△ABC 的三个顶点分别为 A(2,3) ,B(1,﹣2) ,C(﹣3,4) ,求 (1)BC 边上的中线 AD 所在的直线方程; (2)△ABC 的面积. 20.设数列 ?an ? 前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? an ? 2 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

?1? (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足 b ? a , b ? 3bn ?1 , n ? 2. 求证 ? ? 为等 比数列,并求数列 ?bn ? 的通项公 1 1 n
bn ?1 ? 3

? bn ?

式; (Ⅲ)设 c n ?

an ,求数列 ?c n ? 的前 n 和 Tn . bn

4

参考答案 CACBC DBCAD 11.B 12.D 13. 2 2 14.①③ 15.

6 2

16. ?56 17. (1)f(1)>g(1), f(2)>g(2),f(3)>g(3) (2) f (n) ? g (n)(n ? N*) (1)当 n=1 时,f(1)>g(1); 当 n=2 时,f(2)>g(2); 当 n=3 时,f(3)>g(3). (2)猜想: f (n) ? g (n)(n ? N*) ,即 1 ? 下面用数学归纳法证明: ①当 n=1 时, f (1) ? 1 , g (1) ? 2( 2 ? 1) , f (1) ? g (1). ②假设当 n=k 时 ,猜想成立,即 1 ?

1 2

?

1 3

? ??? ?

1 n

? 2( n ? 1 ? 1)(n ? N *).[来

1 2
?

?
1 3

1 3

? ??? ?
1 k

1 k
?

? 2( k ? 1 ? 1).
1 k ?1

则当 n ? k ? 1 时, f (k ? 1) ? 1 ?

1 2

? ??? ?

? 2( k ? 1 ? 1) ?

1 k ?1

? 2 k ?1 ?

1 k ?1

? 2,

而 g (k ? 1) ? 2( k ? 1 ? 1) ? 2 k ? 2 ? 2, 下面转化为证明: 2 k ? 1 ?

1 k ?1

? 2 k ? 2.

只要证: 2(k ? 1) ? 1 ? 2k ? 3 ? 2 (k ? 2)(k ? 1) ,

需证: (2k ? 3) 2 ? 4(k ? 1)(k ? 1) , 即证: 4k 2 ? 12k ? 9 ? 4k 2 ? 12k ? 8 ,此式显然成立. 所以,当 n= k+1 时猜想也成立. 综上可知:对 n∈N*,猜想都成立, 即1 ?

1 2

?

1 3

? ??? ?

1 n

? 2( n ? 1 ? 1)(n ? N *) 成立.
? CD , ?DAB ? 60 ,

18.解: (1)证明:因为四边形 ABCD 为等腰梯形, AB ? 所以 又
?ADC ? ?BCD ? 120?



CB ? CD ,
?CDB ? 30?

所以 因此 又

?ADB ? 90? , AD ? BD ,

AE ? BD ,且 AE ? AD ? A , AE , AD ? 平面 AED ,
BD ? 平面 AED .

所以

(2)解法一: 由(I)知 AD ? BD ,所以 AC ? BC ,又 FC ? 平面 ABCD , 因此
CA , CB , CF

两两垂直.以 C 为坐标原点,分别以 CA , CB , CF 所在的直线为 x 轴, y 轴,z 轴

建立空间直角坐标系,不妨设 CB ? 1 ,则,
C ( 0 , 0 , 0 ) , B( 0 , 1 , 0 )

, D( 3 , ? 1 , 0 ) , F ( 0 , 0 , 1 ) ,

2

2

??? ? ??? ? 因此 BD ? ( 3 , ? 3 , 0 ) , BF ? ( 0 , ? 1 , 1 ) . 2 2
设平面 BDF 的一个法向量为 m ? ? x, y, z ? , 则 m ? BD ? 0 , m ? BF ? 0 , 所以 x ? 3 y ? 3z ,取 z ? 1 , 则m ?

??? ?

??? ?

?

3,1,1 .

?

又平面 BDC 的法向量可以取为 n ? ? 0,0,1? , 所以 cos ? m, n ?

m?n 1 5 , ? ? m n 5 5

所以二面角 F ? BD ? C 的余弦值为 5 .

5

解法二: 取 BD 的中点 G ,连结 CG, FG ,由于 CB ? CD , 所以 CG ? BD . 又 FC ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD , 所以 FC ? BD . 由于 FC ? CG ? C , FC , CG ? 平面 FCG , 所以 BD ? 平面 FCG ,故 BD ? FG . 所以 ?FGC 为二面角 F ? BD ? C 的平面角. 在等腰三角形 BCD 中,由于 ?BCD ? 120 ,
?

因此 CG ? 1 CB ,又 CB ? CF ,

2

所以 CF ? CG 2 ? CF 2 ? 5CG , 故 cos ?FGC ? 5 ,

5

因此 二面角 F ? BD ? C 的余弦值为 5 .

5

19. (1)x﹣2y+4=0; (2)14. 解: (1)设 D(x,y) ,则 x= ∴D(﹣2,1) ,而 A(2,3) , ∴KAD= = , =﹣2,y= =1,

∴BC 边上的中线 AD 所在的直线方程为: y﹣1= (x+2) ,即:x﹣2y+4=0; (2)|BC|= =2 ,直线 BC 的方程是:3x+y+5=0,

A 到 BC 的距离 d=

=



∴S△ABC= |BC|?d= ×2

×

=14.

20.解: (Ⅰ)由 Sn ? an ? 2 ,得 Sn ?1 ? an ?1 ? 2 ,两式相减,得 2an ?1 ? an ,∴ an ?1 ? 1 (常数) ,所
an 2

以, ?an ? 是等比数列,

又 n=1 时, S1 ? a1 ? 2,? a1 ? 1 ,∴ an ? 1 . n ?1
2

(Ⅱ)由 b1 ? a1 ? 1, ,且 n ? 2 时, b ? 3bn ?1 ,得 b b ? 3b ? 3b ? 1 ? 1 ? 1 , n n ?1 n n ?1 n
bn ?1 ? 3
bn bn ?1 3

∴?

?1? 1 ? 是以 1 为首项, 为公差的等差数列, 3 ? bn ?

∴ 1 ? 1 ? n ? 1 ? n ? 2 ,故 bn ? 3 . n?2 bn 3 3 (Ⅲ) c ? an ? n ? 2 ?( 1 ) n ?1 , n
bn 3 2

Tn ?

1 1 1 1 1 [3? ( )0 ? 4? ( )1 ? 5? ( ) 2 ? ... ? ( n ? 2)( ) n ?1 ] 3 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 Tn ? [3? ( )1 ? 4? ( ) 2 ? 5? ( )3 ? ... ? ( n ? 1)( ) n ?1 ? ( n ? 2)( ) n ] 2 3 2 2 2 2 2

以上两式相减得,

1 1 1 1 1 1 1 Tn ? [3 ? ( )1 ? ( ) 2 ? ( )3 ? ... ? ( ) n ?1 ? ( n ? 2)( ) n ]......12分 2 3 2 2 2 2 2 1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 1 2 ? [3 ? 2 ? ( n ? 2)( ) n ] 1 3 2 1? 2 1 1 n ?1 1 ? [4 ? ( ) ? ( n ? 2)( ) n ] 3 2 2
? Tn ? 8 n?4 ? 3 3? 2 n ?1


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