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2012年广东高考文科数学全真模拟试题(含答案)


2012 年广东高考全真模拟试卷文科数学
本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 8. “ 2 ? 2 ”是 “ lo g 2 a ? lo g 2 b ”的(
a b



A.充分不必要条件 C.充要条件 参考公式:
? b?

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
6

?

n

xi y i ? n x y xi ? n x
2 2

i ?1 n

? ? 线性回归方程系数: a ? y ? b x . ,

9. 若一个底面边长为 为( )

,侧棱为 6 的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上,则此球的体积

?

2

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的 1. 若集合 A ={1,2 , 3},若集合 B ? A ,则满足条件的集合 B 有( A. 3 2.函数 f ( x ) ? A. (2, ? ? ) B. 7
x?3 lo g 2 ( x ? 2 )

i ?1

A. 7 2 2 π )个

B. 3 2 3 π

C. 9 2 π

D. 4 3 π

C. 8 的定义域是(

D. 9 ) C. [3, ? ? )
2

10. 设 S 是至少含有两个元素的集合. 在 S 上定义了一个二元运算“*” (即对任意的 a,b∈S,对于 有序元素对(a,b),在 S 中有唯一确定的元素 a*b 与之对应) 。若对于任意的 a,b∈S,有 a*( b * a)=b, 则对任意的 a,b∈S,下列等式中不能成立的是( ) .. A. ( a * b) * a =a C. b*( b * b)=b B . [ a*( b * a)] * ( a*b)=a D. ( a*b) * [ b*( a * b)] =b 开始
k ?1

B. ( 2, 3) ? (3, ? ? )

D. (3, ? ? ) )

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题, 每小题 5 分,满分 20 分。 (一)必做题(11 ? 13 题)

3. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x ) ? x ? 3 x ,则 f ( ? 2 ) ? ( A. ? 2 B. 0 C. 2 D. 10 )

11.复数 (2 ? i )(4 ? i ) 的虚部为__________. 12. 如果执行右面的程序框图,那么输出的 S ? _________ 13. 某班有学生 52 人,现用系统抽样的方法,抽取 ) 一个容量为 4 的样本,已知座位号分别为 6,30,42 的同学都在样本中,那么样本中还有一位同 学的座位号应该是 . (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题)

S ? 0

4.等差数列 ?a n ? 中,若 a 2 ? a 8 ? 15 ? a 5 ,则 a 5 等于( A.3 B.4 C.5 D.6

? ? ? ? ? 5.已知向量 a ? (co s ? , ? 2 ), b ? (sin ? ,1), 且 a / / b, 则 tan (? ? ) =( 4 1 1 A. 3 B. ? 3 C. D .? 3 3

k ≤ 50 ?



? 是
S ? S ? 2k

输出 S 结束

6.直线 l : ax ? y ? 2 ? a ? 0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则 a 的值是 A. 1 B. ? 1 C. ? 2 或 ? 1 D. ? 2 或 1 )

k ? k ?1

?x ? y ? 2 ? 0 y ? 7. 设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 7 ? 0 ,则 的最大值为( x ?x ? 1 ?

14. (几何证明选讲选做题) 如图, 从圆 O 外一点 A 引圆的切线 A D 和割线 A B C , 已知 A D ? 2 3 ,
C

AC ? 6 , 圆 O 的 半 径 为 3 , 则 圆 心 O 到 AC 的 距 离




A

B

O

A.

9 5

B. 3

C. 4

D. 6

15.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,若过点

D

A ( 3 , 0 ) 且与极轴垂

直的直线交曲线 ? ? 4 cos ? 于 A、B 两点,则 | AB |? ______

_.

-1-

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
?? ? 16. (本小题满分 12 分)已知向量 m ? (sin A , co s A ) , n ? ( 3 , ? 1) ,且

19. (本小题满分 14 分)甲、乙两人玩一种游戏;在装有质地、大小完全相同,编号分别为 1, 2,3,4,5,6 六个球的口袋中,甲先模出一个球,记下编号,放回后乙再模一个球,记下编号, 如果两个编号的和为偶数算甲赢,否则算乙赢。 (1)求甲赢且编号和为 8 的事件发生的概率; (2)这种游戏规则公平吗?试说明理由。

?? ? m ? n ? 1 ,A 为锐角. (Ⅰ)求角 A 的大小;

(Ⅱ)求函数 f ( x ) ? cos 2 x ? 4 cos A sin x ( x ? R ) 的值域.

17.(本小题满分 12 分) 某种产品的广告费支出 x 与销售额 y (单位:万元)之间有如下对应数据: 20. (本小题满分 14 分) 已知直线 x ? y ? 1 ? 0 与椭圆 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70
???? ? ???? ?

x a

2 2

x

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 相交于 A 、 B 两点, M 是线段 A B 上的一
1 2

y

点, A M ? ? B M ,且点 M 在直线 l : y ?
2 2

x 上,(1)求椭圆的离心率; (2)若椭圆的焦点关于

(Ⅰ)画出散点图

(Ⅱ)求回归直线方程;

(参考数据:

?

5

xi ? 1 4 5
2

i ?1

?

5

yi ? 1 3 5 0 0
2

i ?1

?

5

直线 l 的对称点在单位圆 x ? y ? 1 上,求椭圆的方程。
xi yi ? 1 3 8 0

i ?1



(Ⅲ)试预测广告费支出为 10 万元时,销售额多大? 21.(本题满分 14 分)设函数 f ( x ) ? 且 S n ? f (an ) , (n ? N ) . 18.(本小题满分 14 分)如图,在直角梯形 A B C D 中, ? A ? ? D ? 90 , A B ? C D , SD ? 平 面 ABC D , AB ? AD ? a , SD ? (Ⅰ)求证:平面 S A B ? 平面 SA D ; (Ⅱ)设 SB 的中点为 M ,且 D M ? M C ,试求出四棱锥 S ? A B C D 的 体积
A D B M C
?

1 4

x ?
2

1 2

x?

3 4

,对于正数数列 ? a n ? ,其前 n 项和为 S n ,

?

(1)求数列 ? a n ? 的通项公式; (2)是否存在等比数列 ? b n ? ,使得 a1b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a n b n ? 2
n ?1

2a .

S

( 2 n ? 1) ? 2 对一切正整数 n 都成

立?若存在,请求出数列 ? b n ? 的通项公式;若不存在,请说明理由.

-2-

2012 年广东高考全真模拟试卷文科数学答案 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分 题号 答案 1 C 2 D 3 C 4 C 5 B 6 D 7 D 8 B 9 D 10 A

10. 解:用 b 代替题目给定的运算式中的 a 同时用 a 代替题目给定的运算式中的 b,不难知道 B 是正确的;用 b 代替题目给定的运算式中的 a 又可以导出选项 C 的结论, 而用代替题目给定的运算 式中的 a 我们也能得到 D 是正确的. 选 A 二、 填空题: 本大题查基本知识和基本运算, 体现选择性. 5 小题, 共 每小题 5 分, 满分 20 分. 其 中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题.
3

选择题参考答案: 1. 由集合 B ? A ,则 B 是 A 的子集,则满足条件的 B 有 2 ? 8 个 ,选 C
?x ? 3 ? 0 ? 2. 由 f ( x ) ? ,则 ? x ? 2 ? 0 ,则 x ? (3, ? ? ) ,选 D lo g 2 ( x ? 2 ) ? lo g ( x ? 3) ? 0 2 ?
x?3

11. ? 2

12.

2550

13. 18

14. 5

15. 2 3

填空题参考答案: 11.解: (2 ? i )(4 ? i ) ? 8 ? 2 i ? 4 i ? 1 ? 9 ? 2 i ,故虚部为 ? 2 . 12.解: S ? 0 ? 2 ? 4 ? ? ? 1 0 0 ? 2 (1 ? 2 ? ? ? 1 0 0 ) ? 2 ? 13. 根据各数之间的间隔相等,易知该数是18,过程略 14.由切割线定理: A D 2 ? A B ?A C ,? ( 2 3 ) ? A B ?6,? A B ? 2, 则 B C ? 4
4 2 3 ?( ) ? 2
2
2

3. 因为函数是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? x ? 3 x ,则 f ( ? 2) ? ? f (2) ? ? (4 ? 6) ? 2 ,选 C
2

1 ? 50 2

?5 0 ? 2 5 5 0

4.



a 2 ? a 8 ? 15 ? a 5

,根据等差数列的下脚标公式,则

2 a 5 ? 1 5 ? a 5 ,? a 5 ? 5

,选 C

5.由

? ? ? ? a ? (co s ? , ? 2 ), b ? (sin ? ,1), 且 a / / b, 则 ? 2 sin a ? co s a , 化简

tan a ? ?

1 2

,则 tan (? ?

?
4

)?

tan ? ? 1 1 ? tan ?

? ? 3 ,选 B

d ?

5

6. 直线 l : ax ? y ? 2 ? a ? 0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,若直线过原点,则 a ? ? 2 ;若不过原 15.直线为 x ? 3 ,曲线为 x 2 ? y ? 4 x ,即 ( x ? 2 ) ? y ? 4 .? d ? 1 点,则 a ? 1 ,故选 D 7. 利用线性规划作出平面区域后, ?
x y y?0 x?0
2 2 2

l ? 2 R2 ? d 2 ? 2 4 ?1 ? 2 3

表示区域上的点与原点连线的斜率, 代入点 (1, 6) 符 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16. (本小题满分 12 分)

合题意,故选 D 8.由 2 ? 2 ,则 a ? b ,但不能说明 a , b 是正数,则不是充分条件。而 lo g 2 a ? lo g 2 b 能得到
a b

本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的 最值等基本知识,考查运算能力.

a ? b ? 0 ,故选 B.
6 2

9.球的半径为

?

2 ?

3 ,则球的体积 V ?

4 3

πr3 ?

4 3

π( 3 ) ? 4 3π .

3

选 D.

已知向量 m ? (sin A , co s A ) , n ? ( 3 , ? 1) ,且 m ? n ? 1 ,A 为锐角. (Ⅰ)求角 A 的大小;

??

?

?? ?

-3-

解: (Ⅰ)由题意得 m ?n ?
2 sin ( A ? ? 6 ) ? 1, sin ( A ? ? 6

?? ?

3 sin A ? co s A ? 1, ???2 分

)? ,

1 2

.

???4 分

由 A 为锐角得 A ?
A? ? 6 ? ? 6 ,A? ? 3

?
6

? (?

? ?
6 3

),

. ???6 分

??????3 分 (Ⅱ)求回归直线方程;

(Ⅱ)求函数 f ( x ) ? cos 2 x ? 4 cos A sin x ( x ? R ) 的值域. 由(Ⅰ)可得 co s A ?
1 2 , ???7 分

(参考数据:
x ?

?

5

xi ? 1 4 5
2

i ?1

?
25 5

5

yi ? 1 3 5 0 0
2

i ?1

?

5

xi yi ? 1 3 8 0

i ?1


= 250 5 ? 50

2+4+5+6+8 5

=

?5

y ?

30+40+60+50+70 5

解:
2



???

?4 分

所以 f ( x ) ? cos 2 x ? 2 sin x ? 1 ? 2 sin x ? 2 sin s
? ? 2 (sin x ? 1 2 ) ?
2

3 2

. ???9 分

又已知

?

5

xi ? 1 4 5
2

i ?1

?
yi ? 5 x y ?
2 i

5

xi yi ? 1 3 8 0

i ?1

因为 x ? R ,则 sin x ? ? ? 1,1 ? , 当 sin x ?
1 2

时, f ( x ) 有最大值

3 2

. 于是可得:

? b?

?x
i ?1 5 i ?1

5

i

1380 ? 5 ? 5 ? 50 145 ? 5 ? 5 ? 5

? 6 .5

?x

? 5x

2

当 sin x ? ? 1 时, f ( x ) )有最小值 ? 3 ,???11 分
3? ? 故所求函数 f ( x ) 的值域是 ? ? 3, ? .???12 分 2? ?

???????????6 分 ??????8 分 . ???????????9 分

? ? a ? y ? b x ? 5 0 ? 6 .5 ? 5 ? 1 7 .5 ? 因此,所求回归直线方程为: y ? 6 .5 x ? 1 7 .5

17. (本小题满分 12 分) 某种产品的广告费支出 x 与销售额 y (单位:万元)之间有如下对应数据: (Ⅲ)试预测广告费支出为 10 万元时,销售额多大? 解: 根据上面求得的回归
x

2 30

4 40

5 60

6 50

8 70 直线方程,

y

(Ⅰ)画出散点图 解 (Ⅰ)根据表中所列数据可得散点图如下:

当广告费支出为 10 万元时,
? ? 6 .5 ? 1 0 ? 1 7 .5 = 8 2 .5 y
-4-

(万元)

即这种产品的销售收入大约为 82. 5 万元.

?????12 分

由(1)可知 SD ? B C , SD ? D M ? D ,? B C ? 面 S D B ,则 B C ? B D , ……………… 12 分

18. (本小题满分 14 分) 如图,在直角梯形 A B C D 中, ? A ? ? D ? 90 , A B ? C D ,
?

由平面几何知识,则 ? B D C 是等腰直角三角形, 则
DC ?
1 3

2 D B ? 2 a ,……… 13 分
1 a ? 2a 2 3 ( ) ? a. 2 ? a ? a .……… 14 分 3 2 2

SD ? 平面 A B C D , A B ? A D ? a , S D ?

2a .

故V S ? ABCD ? (Ⅰ)求证:平面 S A B ? 平面 SA D 证明:? ? A ? 9 0 ,? A B ? A D . 又 SD ? 平面 A B C D , A B ? 平面 A B C D ,
? SD ? A B .………………2 分
? A B ? 平面 SA D . …………………………………4 分
?

S ABCD ? S D ?

19. (本小题满分 14 分) 甲、乙两人玩一种游戏;在装有质地、大小完全相同,编号分别为 1,2,3,4,5,6 六个 球的口袋中,甲先模出一个球,记下编号,放回后乙再模一个球,记下编号,如果两个编号的和 为偶数算甲赢,否则算乙赢。

又 A B ? 平面 S A B , (1)求甲赢且编号和为 8 的事件发生的概率;
? 平面 SA B ? 平面 SA D

……………………………6 分 解: (1)设“两个编号和为 8”为事件 A,

(Ⅱ)设 SB 的中点为 M ,且 D M ? M C ,试求出四棱锥 S ? A B C D 的体积 解: 连结 B D ,? ? A ? 9 0 , A B ? A D ? a
? BD ? 2a ? SD ? BD , ? BD A ? 45
?

则事件 A 包含的基本事件为(2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2)共 5 个,又甲、乙两人 , , , , 取出的数字共有 6×6=36(个)等可能的结果, 故
P ( A) ? 5 36

?

S

------------6 分

M
又 M 为 SB 中点,
? D M ? SB

(2)这种游戏规则公平吗?试说明理由。

D A

P B

C
解: 这种游戏规则是公平的。----------------------------7 分

……………… 8 分

由条件 D M ? M C , M C ? SB ? M ,
? D M ? 面 S B C ,又 B C ? 面 SB C ,

设甲胜为事件 B,乙胜为事件 C,

则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有 18 个: 则 D M ? B C ,………10 分
-5-

(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6) ……… 11 分
18 36 1 2 1 2

? a ? 2 b ? 2( a ? c )
2 2 2 2

? a ? 2c
2

2

?e ?

c a

?

2 2

??7 分

所以甲胜的概率 P ( B ) ?
1 2

?

,

乙胜的概率 P ( C ) ? 1 ?

?

= P ( B ) ------------------------13 分

(2)若椭圆的焦点关于直线 l 的对称点在单位圆 x ? y ? 1 上,求椭圆的方程。
2 2

所以这种游戏规则是公平的.----------------------------14 分

解: 由(1)知 b ? c ,不妨设椭圆的一个焦点坐标为
F (b , 0 )





F (b

,

0 )于 关



线

l:y ?

1 2

x











20. (本小题满分 14 分) 已知直线 x ? y ? 1 ? 0 与椭圆
???? ? ???? ?

( x0 , y0 ) ,
x a
2 2

??????8 分
1 2 ? 2? y0 2 ?0

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 相交于 A 、 B 两点, M 是线段 A B 上的一
1 2

点, A M ? ? B M ,且点 M 在直线 l : y ? (1)求椭圆的离心率;

x 上,

? y0 ? 0 ?x ?b ? 则有 ? 0 ? x0 ? b ? 2 ?

?

? ?1

解:设 A 、 B 两点的坐标分别为 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ( I)由 A M ? ? B M 知 M 是 A B 的中点,??????1 分
?x ? y ?1 ? 0 ? 由? x2 y2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a

???? ?

???? ?

3 ? x ? b ? 0 5 ? 解得: ? ??????11 分 4 ?y ? b ? 0 5 ?

得: ( a ? b ) x ? 2 a x ? a ? a b ? 0 ???????4 分
2 2 2 2 2 2 2

由已知 x 0 ? y 0 ? 1 ,
2 2

3 2 4 2 ? ( b ) ? ( b ) ? 1 ,??????13 分 5 5
2 2

x1 ? x 2 ?

2a
2

a ?b

, y 1 ? y 2 ? ? ( x1 ? x 2 ) ? 2 ?

2b
2

2 2

a ?b

?????5 分

? b ? 1 .???13 分
2

? M 点的坐标为 (

a
2

2 2

a ?b

,

b
2

2 2

?

a ?b

)

所求的椭圆的方程为

x

2

? y ? 1 ??????14 分
2

2

21. (本小题满分 14 分) 又 M 点的直线 l 上: 解: (1)由 f ( x ) ?
? a
2 2 2

1 4

x ?
2

1 2

x?

3 4

, S n ? f (an ) , (n ? N )

?

a ?b

?

2b
2

2 2

a ?b

? 0 ?????6 分
-6-

得Sn ?

1 4

an ?
2

1 2

an ? 1 2

3 4 3 4 1 4

(n ? N )

?

① ②

???2 分

S n ?1 ?

1 4

a n ?1 ?
2

a n ?1 ?


( a n ?1 ? a n ) ?
2 2

即 即 即
1 4

a n ?1 ? S n ?1 ? S n ? ( a n ?1 ? a n ) ?
2 2

1 2

a n ?1 ?

1 2

an ,

???4 分

1 2

( a n ?1 ? a n ) ? 0 ,

( a n ? 1 ? a n )( a n ? 1 ? a n ? 2) ? 0

∵ a n > 0 ,∴ a n ? 1 ? a n ? 2 ,即数列 ? a n ? 是公差为 2 的等差数列,??7 分 由①得, S 1 ? a1 ?
1 4 a1 ?
2

1 2

a1 ?

3 4

,解得 a1 ? 3 , ???9 分

因此 ,数列 ? a n ? 的通项公式为 a n ? 2 n ? 1 . (2)假设存在等比数列 ? b n ? ,使得对一切正整数 n 都有
a1b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a n b n ? 2
n ?1

( 2 n ? 1) ? 2
n

③ ④

当 n ? 2 时,有 a1b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a n ?1b n ?1 ? 2 ( 2 n ? 3) ? 2 ③-④,得
a n b n ? 2 ( 2 n ? 1) ,
n n

由 a n ? 2 n ? 1 得, b n ? 2
1

??????13 分

又 a1b1 ? 6 ? 2 (2 ? 1 ? 1) 满足条件, 因此,存在等比数列 ? 2 成立.
n

? ,使得 a b

1 1

? a 2 b2 ? ? ? a n bn ? 2

n ?1

( 2 n ? 1) ? 2 对一切正整数 n 都

???????14 分

-7-


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2011年广东高考全真模拟试卷文科数学(五) - 2011 年广东高考全真模拟试卷文科数学(五) 本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 参考公式...
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2011年广东高考全真模拟试卷文科数学(六) - 2011 年广东高考全真模拟试卷文科数学) ( 本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 参考...
2011年广东高考全真模拟试卷文科数学(二).doc
年广东高考全真模拟试卷文科数学(二)答案 小题, 一...x2 ?L ? x2011 = LL = ,选 C 234 2012 ...含 2 个元素的子集有 15 个,但{1,2}、{2,4...
2012年广东省高考全真模拟考试文科数学试题(三).doc
2012 年广东高考全真模拟试卷文科数学( 2012 年广东高考全真模拟试卷文科数学(三...18 14. 5 15. 2 3 填空题参考答案: 11.解: (2 ? i )(4 + i ) ...
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-4- 年广东高考全真模拟试卷文科数学( 2011 年广东高考全真模拟试卷文科数学()答案 小题, 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 ...
广东省2012届高三全真高考模拟试卷4(文数)(含详细答案).doc
广东省2012届高三全真高考模拟试卷6套(文数)(含详细答案) 2011 年广东高考全真...( 文科数学一、选择题: 选择题: 1.若复数 . 1+ i = a + bi ,则 a ...
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年广东高考全真模拟试卷文科数学( 2011 年广东高考全真模拟试卷文科数学()答案 小题, 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,...
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