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《成才之路》2014-2015学年高中数学(人教A版)必修三同步课件2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征_图文

成才之路 ·数学
人教A版 ·必修3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第二章 统计

第二章 2.2 用样本估计总体
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征

1

预习导学

2

互动课堂

3 随堂测评

4

课后精练

预习导学

? ●课标展示
? 1.掌握众数、中位数、平均数、标准差、方 差的定义和特征.
? 2.会求众数、中位数、平均数、标准差、方 差,并能用来解决有关问题.

? ●温故知新
? 旧知再现
? 1.在初中,我们已经学过平均数描述了数据 的__________平均水平,定量地反映了数据 的集中趋势所处的水平.我们也知道可以用 样本的平均数去估计总体的平均水平,而样 本数据的方差、标准差则反映了数据的离散 程度.方差或标准差越__________小,数据 越集中,总体越均衡;方差或标准差越 __________大,数据越分散,总体越不均 衡.

? 而中位数则是指样本数据按从小到大(或从大 到小)的顺序排列后,处于__________中间位 置的一个量,当样本数据个数为奇数时, __________中间一个数据就是中位数,它是 样本数据;当样本数据个数为偶数时,中位 数则是中间两个数据的__________平均数, 当这两个数据相等时,中位数是样本数据,
否则它不是样本数据,众数则是指在样本数 据中出现次数__________最多的数据,众数 不一定__________唯一.

? 2.(2012·陕西卷)对某商店一个月内每天的 顾客人数进行统计,得到样本的茎叶图(如图 所示),则该样本的中位数、众数、极差分别 是( )

? A.46、45、56 ? C.47、45、56 ? [答案] A

B.46、45、53 D.45、47、53

? [解析] 本题考查样本数据的中位数、众数及 极差.根据茎叶图可知样本总共有30个数据, 中位数为46,出现次数最多的是45,最大数 与最小数的差为68-12=56,故选A.

? 新知导学
? 1.众数
? (1)定义:一组数据中出现次数__________最 多的数称为这组数据的众数.
? (2)特征:一组数据中的众数可能__________ 不止一个,也可能没有,反映了该组数据的 __________集中趋势.
? [破疑点] 众数体现了样本数据的最大集中点, 但它对其他数据信息的忽视使其无法客观地 反映总体特征.

? 2.中位数
? (1)定义:一组数据按从小到大的顺序排成一 列,处于__________中间位置的数称为这组 数据的中位数.
? (2)特征:一组数据中的中位数是__________ 唯一的,反映了该组数据的__________集中 趋势.在频率分布直方图中,中位数左边和 右边的直方图的面积__________相等.
? [破疑点] 中位数不受少数几个极端值的影响, 这在某些情况下是优点,但它对极端值的不 敏感有时也会成为缺点.

3.平均数
(1)定义:一组数据的和与这组数据的个数的商.数据x1,
x1+x2+…+xn x2,…,xn的平均数为 x n=________n________.
? (2)特征:平均数对数据有“取齐”的作用, 代平表均水该平组数据的__________.任何一个数据 的改变都会引起平均数的变化,这是众数和 中位数都不具有的性质.所以与众数、中信息位 数比较起来,极平端均值 数可以反映出更多的关于 样本数据全体的______,但平均数受数据中 __________的影响较大,使平均数在估计总 体时可靠性降低.

? 4.标准差

? (1)定义:标准差是样本数据到平均数的一种

平均距离,一般用s表示,通常用以下公式来

计算

1n[?x1- x ?2+?x2- x ?2+…+?xn- x ?2]

? s= ___________________________平_均__数_________
__. ? 可以用计算器或计大算机计算标准差.

? (2)特征:标准差描述一组数据围绕 __________波动的大小,反映了一组数据变

? 5.方差

? (1)定义:标准差的平方,

1n[(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn- x )2]

? 即s2=

标准差

____________[0_,__+_∞_)_____________________
.[知识拓展] 数据组x1,x2,…,xn的平均数为 x ,方差为
s2,标准差为s,则数据组ax1+b,ax2+b,…,axn+b(a,b为
?常数(2))的特平征均:数为与a_x_+_b_,_方__差_为__a的2s2,作标用准相差为同as,. 描述一 组数据围绕平均数波动程度的大小.

? 6.用样本估计总体
? 现实中的总体所包含的个体数往往很多,总 体的平均数、众数、中位数、标准差、方差 样是本不知道的,因此,通常用________的平均 数、众数样、本中位数、标准差、方差来估 计.这与上一节用________的频率分布来近 似地代替总体分布是类似的.只要样本的代 表性好,这样做就是合理的,也是可以接受 的.

?

规律总结:用样本的数字特征估计总体

的数字特征分两类:用样本平均数估计总体

平均数;用样本标准差估计总体标准差,样

本容量越大,估计就越精确.

? ●自我检测

? 1.下列刻画一组数据离散程度的是( )

? A.平均数

B.方差

? C.中位数 D.众数

? [答案] B

? 2.下列判断正确的是( ) ? A.样本平均数一定小于总体平均数 ? B.样本平均数一定大于总体平均数 ? C.样本平均数一定等于总体平均数 ? D.样本容量越大,样本平均数越接近总体平
均数
? [答案] D

? 3.在某次考试中,10名同学得分如下: 84,77,84,83,68, 78,70,85,79,95.则这一组数据 的众数和中位数分别为( )
? A.84,68 B.84,78
? C.84,81 D.78,81
? [答案] C

? 4.在某项体育比赛中,七位裁判为一选手打 出的分数如下:
? 90 89 90 95 93 94 93
? 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据 的平均数和方差分别为( )
? A.92,2 B.92,2.8 ? C.93,2 D.93,2.8 ? [答案] B

[解析] 去掉一个最高分95与一个最低分89后,所得的5

个数分别为90,90,93,94,93,所以

x



90+90+93+94+93 5



460 5

=92,s2=

2×?90-92?2+2×?93-92?2+?94-92?2 5



14 5



2.8,故选B.

互动课堂

●典例探究

中位数、众数、平均数的应用

位)如下:

据报道,某公司的33名职工的月工资(以元为单

职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员

人数 1

1

2

1

5

3

20

工资 5 500 5 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500

? (1)求该公司的职工月工资的平均数、中位数、 众数.
? (2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元,董事长的工资从5 500元提升到30 000 元,那么新的平均数、中位数、众数又是什 么?(精确到1元)
? (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工 的工资水平?结合此问题谈一谈你的看法.
? [分析] 利用平均数、中位数、众数的定义求 解即可.

[解析] (1)平均数是 x =1 500+ 4 000+3 500+2 000×2+1 500+1 000×5+500×3+0×20
33 ≈1 500+591=2 091(元). 中位数是1 500元,众数是1 500元.

(2)平均数是 x ′=1 500+ 28 500+18 500+2 000×2+1 500+1 000×5+500×3+0×20
33 ≈1 500+1 788=3 288(元). 中位数是1 500元,众数是1 500元. (3)在这个问题中,中位数或众数均能反映该公司职工的 工资水平.因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差 别较大,这样导致平均数偏差较大,所以平均数不能反映这个 公司职工的工资水平.

?

规律总结:关于众数、中位数、平均数

的几个问题

? (1)一组数据中的众数可能不止一个,如果两 个数据出现的次数相同,并且比其他数据出 现的次数都多,那么这两个数据都是这组数 据的众数.

? (2)一组数据中的中位数是唯一的,求中位数 时,必须先将这组数据按从小到大(或从大到 小)的顺序排列.

? (3)由于平均数与每一个样本的数据有关,所 以任何一个样本数据的改变都会引起平均数

? 某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨 练,两群市民的年龄如下(单位:岁):
? 甲群 13,13,14,15,15,15,16,17,17;
? 乙群 54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.
? (1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各 是多少岁?其中哪个统计量能较好反映甲群 市民的年龄特征?
? (2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各 是多少岁?其中哪个统计量能较好反映乙群 市民的年龄特征?

[解析] (1)甲群市民年龄的平均数为 13+13+14+15+15+ 1015+15+16+17+17=15(岁), 中位数为15岁,众数为15岁. 平均数、中位数和众数相等,因此它们都能较好地反映甲 群市民的年龄特征.

(2)乙群市民年龄的平均数为 54+3+4+4+5+ 105+6+6+6+57=15(岁), 中位数为5岁,众数为6岁. 由于乙群市民大多数是儿童,所以中位数和众数能较好地 反映乙群市民的年龄特征,而平均数的可靠性较差.

标准差、方差的应用

某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训,他

们在培训期间参加的8次测试成绩记录如下: 甲 95 82 88 81 93 79 84 78 乙 83 92 80 95 90 80 85 75 试比较哪个工人的成绩较好.

[分析]

平均成绩较高 成绩波动较小

????→

成绩较好

[解析]

x

甲=

1 8

(78+79+81+82+84+88+93+95)=

85,

x 乙=18(75+80+80+83+85+90+92+95)=85.

s2甲=18[(78-85)2+(79-85)2+(81-85)2+(82-85)2+(84-

85)2+(88-85)2+(93-85)2+(95-85)2]=35.5,

s2乙=18[(75-85)2+(80-85)2+(80-85)2+(83-85)2+(85-

85)2+(90-85)2+(92-85)2+(95-85)2]=41.

∵ x 甲= x 乙,s2甲<s2乙,∴甲所成绩较稳定.

综上可知,甲的成绩较好.

?

规律总结:用样本估计总体时,样本的

平均数、标准差只是总体的平均数、标准差

的近似.实际应用中,当所得数据的平均数

不相等时,需先分析平均水平,再计算标准

差(方差)分析稳定情况.

? (1)(2013·湖北高考)某学员在一次射击测试中 射靶10次,命中环数如下:
? 7,8,7,9,5,4,9,10,7,4 ? 则①平均命中环数为________. ? ②命中环数的标准差为________.

? (2)从甲、乙两种玉米的苗中各抽10株,分别 测它们的株高如下:(单位:cm)
? 甲:25 41 40 37 22 14 19 39 21 42
? 乙:27 16 44 27 44 16 40 40 16 40
? 问:①哪种玉米的苗长得高?
? ②哪种玉米的苗长得齐?
? [分析] 1.求方差的第一步求什么?其公式是 什么?
? 2.什么是标准差?如何求?

[解析] (1)平均数为110(7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)

=7,

s2=

1 10

[(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2+(4-

7)2+(9-7)2+(10-7)2+(7-7)2+(4-7)2]=4,

s=2.

(2)看哪种玉米的苗长得高,只要比较甲、乙两种玉米的 苗的均高即可;要比较哪种玉米的苗长得齐,只要看两种玉米 的苗高的方差即可,因为方差是体现一组数据波动大小的特征 数.
① x 甲=110(25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)= 110×300=30(cm),
x 乙=110(27+16+44+27+44+16+40+40+16+40)=110 ×310=31(cm).
所以 x 甲< x 乙.

②s

2




1 10

[(25-30)2+(41-30)2+(40-30)2+(37-30)2+

(22-30)2+(14-30)2+(19-30)2+(39-30)2+(21-30)2+(42

-30)2]=

1 10

(25+121+100+49+64+256+121+81+81+144)

=110×1042=104.2(cm2),

s

2




1 10

[(2×272+3×162+3×402+2×442)-10×312]=

1 10

×1288=128.8(cm2).所以s2甲<s2乙.
? [答案] (1)①7 ②2 (2)①乙种玉米的苗长 得高,②甲种玉米的苗长得齐.

频率分布直方图与数字特征的综合应用
(1)(2012·安徽高考)甲、乙两人在一次射击比赛 中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则( )

? A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 ? B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 ? C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 ? D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

? (2)某校从参加高二年级学业水平测试的学生 中抽出80名学生,其数学成绩(均为整数)的频 率分布直方图如图所示.
? ①求这次测试数学成绩的众数. ? ②求这次测试数学成绩的中位数. ? ③求这次测试数学成绩的平均分. ? [分析] 1.如何利用条形图求众数、中位数、

[解析] (1) x 甲=15(4+5+6+7+8)=6, x 乙=15(5×3+6+9)=6, 甲的中位数是6, 乙的中位数是5. 甲的成绩的方差为15(22×2+12×2)=2, 乙的成绩的方差为15(12×3+32×1)=2.4. 甲的极差是4,乙的极差是4. 所以A,B,D错误,C正确.

(2)①由图知众数为70+2 80=75. ②由图知,设中位数为x,由于前三个矩形面积之和为 0.4,第四个矩形面积为0.3,0.3+0.4>0.5,因此中位数位于第 四个矩形内,得0.1=0.03(x-70),所以x≈73.3.

③由图知这次数学成绩的平均分为:

40+50 2

×0.005×10+

50+60 2

×0.015×10+

60+70 2

×0.02×10+

70+80 2

×0.03×10+

80+90 2

×0.025×10+

90+2100×0.005×10=72.

? [答案] (1)C

?

规律总结:众数、中位数、平均数与频

率分布表、频率分布直方图的关系

? (1)众数:众数一般用频率分布表中频率最高 的一小组的组中值来有示,即在样本数据的 频率分布直方图中,最高矩形的底边中点的 横坐标.

? (2)中位数:在频率分布表中,中位数是累计 频率(样本数据小于某一数值的频率叫作该数 值点的累计频率)为0.5时所对应的样本数据的 值,而在样本中有50%的个体小于或等于中 位数,也有50%的个体大于或等于中位
数.因此,在频率分布直方图中,中位数左

(3)平均数:平均数在频率分布表中等于组中值与对应频

率之积的和.又平均数是频率分布直方图的“重心”.我们知

道,n个样本数据x1,x2,…,xn的平均数

x



1 n

(x1+x2+…+

xn),则有n x =x1+x2+…+xn,也就是把每个xi(i=1,2,…,n)

都用 x 取代后,数据总和保持不变,所以平均数 x 对数据有

“取齐”的作用,代表了一组数据的数值平均水产,在频率分

布直方图中,平均数是直方图的平衡点.

? 某中学举行电脑知识竞赛,现将高一参赛学 生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所 示的频率分布直方图,已知图中从左到右的 第一、二、三、四、五小组的频率分别是 0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.
? 求:(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位 数.
? (2)高一参赛学生的平均成绩.

? [解析] (1)用叔率分布直方图中最高矩形所 在的区间的中点值作为众数的近似值,得众 数为65,又因为第一个小矩形的面积为0.3, 所以设第二个小矩形底边的一部分长为x,则 x×0.04=0.2,得x=5,所以中位数为60+5 =65.
? (2)依题意,平均成绩为55×0.3+65×0.4+ 75×0.15+85×0.1+95×0.05=67,所以平 均成绩约为67.

小明是班里的优秀学生,他的历次数学成绩是 96,98,95,93分,但最近的一次考试成绩只有45分,原因是他带 病参加了考试.期末评价时,怎样给小明评价?

[错解]

这五次数学考试的平均分是

96+98+95+93+45 5

=85.4,则按平均分给小明一个“良好”.

? [错因分析] 这种评价是不合理的,尽管平均 分是反映一组数据平均水平的重要特征,但 任何一个数据的改变都会引起民它的变化, 而中位数则不受某些极端值的影响.本题中 的5个成绩从小到大排列为:45,93,95,96,98; 中位数是95,较为合理地反映了小明的数学 水平,因而应该用中位数来衡量小明的数学 成绩.
? [正解] 小明5次考试成绩,从小到大排列为 45,93,95,96, 98,中位数是95,应评定为“优 秀”.

? (2013~2014·天津高一检测)一次数学知识竞 赛中,两组学生成绩如下表:

分数
人 甲组 数 乙组

50 60 70 80 90 100

2

5 10 13 14

6

4 4 16 2 12 12

? 已经算得两个组的平均分都是80分,请根据 你所学过的统计知识,进一步判断这两个组 这次竞赛中成绩谁优谁次,并说明理由.

[解析] (1)甲组成绩的众数为90分,乙组成绩的众数为70 分,从成绩的众数比较看,甲组成绩好些.

(2)s

2




1 2+5+10+13+14+6

×[2×(50-80)2+5×(60-

80)2+10×(70-80)2+13×(80-80)2+14×(90-80)2+6×(100

-80)2]=

1 50

×(2×900+5×400+10×100+13×0+14×100+

6×400)=172.

s

2




1 50

×(4×900+4×400+16×100+2×0+12×100+

12×400)=256.

因为s2甲<s2乙,所以甲组成绩较乙组成绩稳定.

? (3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80 分,其中甲组成绩在80分以上(含80分)的有33 人,乙组成绩在80分以上(含80分)的有26人, 从这一角度看,甲组成绩总体较好.
? (4)从成绩统计表看,甲组成绩大于或等于90 分的人数为20人,乙组成绩大于或等于90分 的人数为24人,所以乙组成绩在高分阶段的 人数多,同时,乙组得满分的比甲组得满分 的多6人,从这一角度看,乙组成绩较好.

随堂测评

? 1.甲、乙两中学生在一年里学科平均分相等, 但他们的方差不相等,正确评价他们的学习 情况是( )
? A.因为他们平均分相等,所以学习水平一样
? B.成绩平均分虽然一样,方差较大的,说明 潜力大,学习态度端正
? C.表面上看这两个学生平均成绩一样,但方 差小的成绩稳定
? D.平均分相等,方差不等,说明学习不一样, 方差较小的同学,学习成绩不稳定,忽高忽 低

? 2.在某次测量中得到的A样本数据如下: 82,84,84,86,86, 86,88,88,88,88,若样本B数据 恰好是样本A都加上2后所得数据,则A、B两 样本的下列数字特征对应相同的是( )
? A.众数 B.平均数
? C.中位数 D.标准差
? [答案] D
? [解析] B样本数据恰好是A样本数据加上2后 所得的众数、中位数、平均数比原来的都多2, 而标准差不变.

? 3.如图,是某篮球运动员在一个赛季的30场 比赛中得分的茎叶图,则得分的中位数与众 数分别为( )

? A.3与3 ? C.3与23 ? [答案] D

B.23与3 D.23与23

? [解析] 中位数是指一组数据按从小到大(或 从大到小)的顺序依次排列,处在中间位置的 一个数(或最中间两个数据的平均数),从茎叶 图中可知中位数为23;众数是指一组数据中 出现次数最多的数,从茎叶图中可知23出现 了3次,次数最多,因此众数也是23,所以选
D.

? 4.(2013~2014·沈阳铁路实验中学期末考试) 已知样本9,10,11,x,y的平均数是10,方差 是2,则xy=( )
? A.98 B.88
? C.76 D.96
? [答案] D

[解析] 本题考查样本平均数与方差的计算公式,由平均 数与方差的公式可得,

??15?9+10+11+x+y?=10 ? ??15[?9-10?2+?10-10?2+?11-10?2+?x-10?2+?y-10?2]=2

化简得

??x+y=20 ????x-10?2+?y-10?2=8

,解得

??x=8 ???y=12



??x=12 ???y=8

,所以xy=96,故选D.

? 5.抛硬币20次,正面12次,反面8次.如果 抛到正面得3分,抛到反面得1分,则平均得 分是________,得分的方差是________.
? [答案] 2.2 0.96

[解析]

总得分为12×3+8×1=44,则平均分是

44 20



2.2,方差s2=210[(3-2.2)2×12+(1-2.2)2×8]=0.96.

? 6.从某校参加数学竞赛的试卷中抽取一个样 本,考查竞赛的成绩分布,将样本分成6组,
得到频率分布直方图如图,从左到右各小组 的小长方形的高的比为1∶1∶3∶6∶4∶2, 最右边的一组的频数是8.请结合直方图的信 息,解答下列问题:

? (1)样本容量是多少?
? (2)成绩落在哪个范围的人数最多?并求出该 小组的频数和频率.
? (3)估计这次数学竞赛成绩的众数、中位数和 平均数.

[解析]

(1)从左到右各小组的频率分别为

1 17



1 17



3 17



167,147,127

样本容量为

8 2

=68.

17

(2)成绩落在70~80之间的人数最多;频率为

6 17

;频数为

68×167=24.

(3)众数的估计值是75,中位数的估计值是

70+12-117-6117-137×10 17

=4565≈75.83. 平均数的估计值是

1 17

×45+

1 17

×55+

137 ×65+ 167

×75+

4 17

×85+

2 17

×95=

75.

课后精练
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以上会员名单排名不分前后