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2014广州二模理科数学试题及答案WORD

试卷类型:A

2014 年广州市普通高中毕业班综合测试(二)

数学(理科)
2014.4 本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写 在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的 相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多 涂的,答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:锥体的体积公式是 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. 若复数 z 满足 i z ? 2 ,其中 i 为虚数单位,则 z 的虚部为 A. ? 2 B. 2 C. ?2 i D. 2 i 2.若函数 y ? f ? x ? 是函数 y ? 3 的反函数,则 f ?
x

?1? ? 的值为 ?2?
1 9
D. 3

A. ? log2 3

B. ? log3 2
3 2

C.

3.命题“对任意 x ?R,都有 x ? x ”的否定是
3 2 A.存在 x0 ? R,使得 x0 ? x0 3 2 C.存在 x0 ? R,使得 x0 ? x0 3 2 B.不存在 x0 ? R,使得 x0 ? x0

D.对任意 x ?R,都有 x ? x
3

2

4. 将函数 f ? x ? ? 3 sin 2 x ? cos 2 x( x ? R ) 的图象向左平移

? 个单位长度后得到函数 6

y ? g? x ? ,则函数 y ? g ? x?
A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数,也不是偶函数 5.有两张卡片,一张的正反面分别写着数字 0 与 1 ,另一张的正反面分别写着数字 2 与 3 , 将两张卡片排在一起组成两位数,则所组成的两位数为奇数的概率是 数学(理科)试题 A 第 1 页 共 15 页

A.

1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

3 8

6.设 F1 , F2 分别是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 PF1 a 2 b2
3 4 正视图 2 2 俯视图 图1
第1列 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 … … 第2列 第3列 第4列 第5列

? C 的离心率为 的中点在 y 轴上,若 ?PF 1F 2 ? 30 ,则椭圆

3 2 侧视图 2

1 A. 6
C.

1 B. 3
D.

3 6

3 3

7.一个几何体的三视图如图 1,则该几何体 的体积为 A. 6 ? ? 4 C. 6 ? ?12 B. 12 ? ?4 D. 12 ? ?12

8.将正偶数 2, 4, 6,8,? 按表 1 的方式进行 排列,记 aij 表示第 i 行第 j 列的数,若

16 32

aij ? 2014 ,则 i ? j 的值为
A. 257 C. 254 B. 256 D. 253

2 14 18 30 34


4 12 20 28 36


6 10 22 26 38


8
24

40


表1 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.不等式 2 x ? x ? 1 ? 0 的解集为
2

.

1? ? 10.已知 ? 2 x3 ? ? 的展开式的常数项是第 7 项,则正整数 n 的值为 . x? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 11.已知四边形 ABCD 是边长为 a 的正方形,若 DE ? 2EC, CF ? 2FB ,则 AE ? AF 的值
为 .

n

? 2 x ? y ? 2 ? 0, ? 12.设 x, y 满足约束条件 ?8 x ? y ? 4 ? 0, 若目标函数 z ? ax ? by ? a ? 0, b ? 0? 的最大值 ? x ? 0, y ? 0. ?
为 8 ,则 ab 的最大值为 . 13.已知 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数,例如 ??1.5? ? ?2, ?1.5? ? 1 .设函数 f ? x ? ? ? ? x ? x ?? ?, 数学(理科)试题 A 第 2 页 共 15 页

当 x ??0, n? (n ? N * ) 时,函数 f ? x ? 的值域为集合 A ,则 A 中的元素个数为 (二)选做题(14~15 题,考生从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 ?

.

? x ? a ? t, (t 为参数 ) 与 ?y ? t
.

圆?

? x ? 1 ? cos ? , (? 为参数 ) 相切,切点在第一象限,则实数 a 的值为 ? y ? sin ?

15. (几何证明选讲选做题)在平行四边形 ABCD 中,点 E 在线段 AB 上,且

A E?

1 2 EB ,连接 DE, AC , AC 与 DE 相交于点 F ,若△ AEF 的面积为1 cm ,则 2
cm .
2

△ AFD 的面积为

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 如图 2,在△ ABC 中, D 是边 AC 的中点, B 且 AB ? AD ? 1 , BD ? (1) 求 cos A 的值; (2)求 sin C 的值.

2 3 . 3

A

图2

D

C

17. (本小题满分 12 分) 一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球,从中随机抽取 50 个作为样 本,称出它们的重量(单位:克) ,重量分组区间为 ? 5,15? , ?15,25? , ? 25,35? , ? 35,45? , 由此得到样本的重量频率分布直方图,如图 3 . (1)求 a 的值; (2)根据样本数据,试估计盒子中小球重量的平均值; (注:设样本数据第 i 组的频率为 pi ,第 i 组区间的中点值为 xi ? i ? 1, 2,3,?, n ? , 则样本数据的平均值为 X ? x1 p1 ? x2 p2 ? x3 p3 ? ?? xn pn .) 组距 (3)从盒子中随机抽取 3 个小球,其中重量在 ? 5,15? 内 的小球个数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.
0.032 a 0.02 0.018 频率

O

5

15

25 图3

35

45

重量/克

数学(理科)试题 A

第 3 页 共 15 页

18. (本小题满分 14 分) 如图 4 ,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形, EF ∥ 平面 ABCD ,

EF ? 1 , FB ? FC, ?BFC ? 90? , AE ? 3 .
(1)求证: AB ? 平面 BCF ; (2)求直线 AE 与平面 BDE 所成角的正切值.

E D

F C

A
19. (本小题满分 14 分)

图4

B

已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 0 ,对任意 n ?N ,都有 nan?1 ? Sn ? n ? n ?1? .
*

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 an ? log2 n ? log 2 bn ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

20. (本小题满分 14 分) 已知定点 F ? 0,1? 和直线 l : y ? ?1 ,过点 F 且与直线 l 相切的动圆圆心为点 M ,记点 M 的轨迹为曲 线E . (1) 求曲线 E 的方程; (2) 若点 A 的坐标为 ? 2,1? , 直线 l1 : y ? kx ? 1(k ? R,且 k ? 0) 与曲线 E 相交于 B, C 两 点,直线 AB, AC 分别交直线 l 于点 S , T . 试判断以线段 ST 为直径的圆是否恒过两个 定点? 若是,求这两个定点的坐标;若不是,说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? a ln x ? bx(a, b ? R ) 在点 1, f ?1? 处的切线方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 . (1)求 a , b 的值; (2)当 x ? 1 时, f ? x ? ?
*

?

?

k ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围; x

(3)证明:当 n ?N ,且 n ? 2 时,

1 1 1 3n 2 ? n ? 2 ? ??? ? . 2ln 2 3ln 3 n ln n 2 n 2 ? 2 n
第 4 页 共 15 页

数学(理科)试题 A

2014 年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应 的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得 分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分. 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 B 5 C 6 D 7 A 8 C

二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 9. ? ? ,1? 14. 2 ? 1

? 1 ? ? 2 ?

10. 8

11. a

2

12. 4

13.

n2 ? n ? 2 2

15. 3

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) (1)解:在△ ABD 中, AB ? AD ? 1 , BD ?

2 3 , 3
2

?2 3? 1 ? 1 ? ? ? 3 ? 1 AB 2 ? AD 2 ? BD 2 ? ? ? . ∴cos A ? 2 ? 1? 1 3 2 ? AB ? AD 1 (2)解:由(1)知, cos A ? ,且 0 ? A ? ? , 3
2 2

……………4 分

∴sin A ? 1 ? cos A ?
2

2 2 . 3

……………6 分

∵D 是边 AC 的中点, ∴AC ? 2 AD ? 2 . 在△ ABC 中, cos A ?

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 12 ? 22 ? BC 2 1 ? ? ,………8 分 2 ? AB ? AC 2 ? 1? 2 3
第 5 页 共 15 页

数学(理科)试题 A

解得 BC ?

33 . 3
BC AB ? , sin A sin C

……………10 分 ……………11 分

由正弦定理得,

AB ? sin A ? ∴sin C ? BC
17. (本小题满分 12 分)

1?

2 2 3 ? 2 66 . 33 33 3

……………12 分

(1) 解:由题意,得 ? 0.02 ? 0.032 ? x ? 0.018? ?10 ? 1, 解得 x ? 0.03 . (2)解: 50 个样本小球重量的平均值为

……………1 分 ……………2 分

X ? 0.2 ?10 ? 0.32 ? 20 ? 0.3? 30 ? 0.18 ? 40 ? 24.6 (克).
由样本估计总体,可估计盒子中小球重量的平均值约为 24.6 克.

……………3 分 ……………4 分

(3)解:利用样本估计总体,该盒子中小球重量在 ? 5,15? 内的概率为 0.2 ,则 ? ? B ? 3, ? . ……………5 分

? 1? ? 5?

? 的取值为 0,1, 2,3 ,
64 48 ?4? 1?1? ? 4? , P ?? ? 1? ? C3 , P ?? ? 0 ? ? C ? ? ? ? ??? ? ? ? 5 ? 125 ? 5 ? ? 5 ? 125
0 3 3 2

……………6 分

12 1 ? 1 ? ? 4? 3?1? , P ?? ? 3? ? C3 . ……………10 分 P ?? ? 2? ? C32 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 ? ? 5? 1 2 5 ? 5 ? 125
∴? 的分布列为:

2

3

?
P

0

1

2

3

64 125

48 125

12 125

1 125
……………11 分 ……………12 分

∴E? ? 0 ?

64 48 12 1 3 ? 1? ? 2? ? 3? ? . 125 125 125 125 5 1 3 (或者 E? ? 3 ? ? ) 5 5

18. (本小题满分 14 分) (1)证明:取 AB 的中点 M ,连接 EM ,则 AM ? MB ? 1 , ∵EF ∥ 平面 ABCD , EF ? 平面 ABFE ,平面 ABCD ? 平面 ABFE ? AB , 数学(理科)试题 A 第 6 页 共 15 页

∴EF ∥ AB ,即 EF ∥MB . ∵EF ? MB ? 1 ∴ 四边形 EMBF 是平行四边形. ∴EM ∥FB , EM ? FB .

……………1 分 ……………2 分

在 Rt△ BFC 中, FB ? FC ? BC ? 4 ,又 FB ? FC ,得 FB ?
2 2 2

2.
……………3 分

∴EM ? 2 . 在△ AME 中, AE ? 3 , AM ? 1 , EM ? 2 , ∴AM ? EM ? 3 ? AE ,
2 2 2

∴ AM ? EM . ∴ AM ? FB ,即 AB ? FB . ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AB ? BC . ∵FB ? BC ? B , FB ? 平面 BCF , BC ? 平面 BCF ,

……………4 分

……………5 分

∴ AB ? 平面 BCF . ……………6 分 (2)证法 1:连接 AC , AC 与 BD 相交于点 O ,则点 O 是 AC 的中点, 取 BC 的中点 H ,连接 OH , EO , FH ,

E

1 则 OH ∥ AB , OH ? AB ? 1 . 2 D 1 EF AB 由(1)知 ∥ ,且 EF ? AB , 2 EF OH EF ? OH ∴ ∥ ,且 . A ∴ 四边形 EOHF 是平行四边形. ∴EO ∥FH ,且 EO ? FH ? 1 由(1)知 AB ? 平面 BCF ,又 FH ? 平面 BCF , ∴FH ? AB .

F C

O M B

H
.……………7 分 ……………8 分

∵FH ? BC , AB ? BC ? B, AB ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD , ∴FH ? 平面 ABCD . ∴EO ? 平面 ABCD . ∵AO ? 平面 ABCD , ∴EO ? AO . ……………9 分

……………10 分

∵AO ? BD , EO ? BD ? O, EO ? 平面 EBD , BD ? 平面 EBD , ∴AO ? 平面 EBD . ∴?AEO 是直线 AE 与平面 BDE 所成的角. 在 Rt△ AOE 中, tan ?AEO ? ……………11 分 ……………12 分 ……………13 分 ……………14 分 第 7 页 共 15 页

AO ? 2. EO

∴ 直线 AE 与平面 BDE 所成角的正切值为 2 . 数学(理科)试题 A

证法 2:连接 AC , AC 与 BD 相交于点 O ,则点 O 是 AC 的中点, 取 BC 的中点 H ,连接 OH , EO , FH ,

E

F

z

1 AB ? 1 . D 2 1 由(1)知 EF ∥ AB ,且 EF ? AB , 2 ∴EF ∥OH ,且 EF ? OH . A ∴ 四边形 EOHF 是平行四边形. ∴EO ∥FH ,且 EO ? FH ? 1 . 由(1)知 AB ? 平面 BCF ,又 FH ? 平面 BCF , ∴FH ? AB .
则 OH ∥ AB , OH ?

C O M x B H y

……………7 分

∵FH ? BC , AB ? BC ? B, AB ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD , ∴FH ? 平面 ABCD . ∴EO ? 平面 ABCD .

……………8 分

以 H 为坐标原点, BC 所在直线为 x 轴, OH 所在直线为 y 轴, HF 所在直线为 z 轴, 建立空间直角坐标系 H ? xyz ,则 A ?1, ?2,0? , B ?1,0,0 ? , D ? ?1, ?2,0? , E ? 0, ?1,1? . ∴AE ? ? ?1,1,1? , BD ? ? ?2, ?2,0 ? , BE ? ? ?1, ?1,1? . 设平面 BDE 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,由 n ?BD ? 0 , n ?BE ? 0 , 得 ?2 x ? 2 y ? 0 , ? x ? y ? z ? 0 ,得 z ? 0, x ? ? y . 令 x ? 1 ,则平面 BDE 的一个法向量为 n ? ?1, ?1,0? . 设直线 AE 与平面 BDE 所成角为 ? , ……………10 分

??? ?

??? ?

??? ?

……………9 分

??? ?

??? ?

???? ???? n ? AE 6 则 sin ? ? cos n, AE ? . ???? ? 3 n AE
sin ? 3 ? 2. , tan ? ? cos ? 3

……………11 分

∴cos ? ? 1 ? sin

2

??

……………13 分

∴ 直线 AE 与平面 BDE 所成角的正切值为 2 . 19. (本小题满分 14 分)

……………14 分

(1)解法 1:当 n ? 2 时, nan?1 ? Sn ? n ? n ?1? , ? n ? 1? an ? Sn?1 ? n ? n ? 1? ,……1 分 两式相减得 nan?1 ? ? n ?1? an ? Sn ? Sn?1 ? n ? n ?1? ? n ? n ?1? , ……………3 分 数学(理科)试题 A 第 8 页 共 15 页

即 nan?1 ? ? n ?1? an ? an ? 2n ,得 an?1 ? an ? 2 . 当 n ? 1 时, 1? a2 ? S1 ? 1? 2 ,即 a2 ? a1 ? 2 . ∴ 数列 ?an ? 是以 a1 ? 0 为首项,公差为 2 的等差数列. ∴an ? 2 ? n ?1? ? 2n ? 2 . 解法 2:由 nan?1 ? Sn ? n ? n ?1? ,得 n ? Sn?1 ? Sn ? ? Sn ? n ? n ? 1? , 整理得, nSn?1 ? ? n ? 1? Sn ? n ? n ? 1? , 两边同除以 n ? n ? 1? 得, ∴ 数列 ? ∴

……………5 分 ……………6 分

……………7 分 ……………1 分 ……………2 分 ……………3 分

Sn ?1 Sn ? ?1. n ?1 n

S1 ? Sn ? ? 是以 ? 0 为首项,公差为1 的等差数列. 1 ?n?

Sn ? 0 ? n ?1 ? n ?1 . n
……………4 分 ……………5 分 ……………6 分 ……………7 分

∴Sn ? n ? n ?1? . 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n ? n ?1? ? ? n ?1?? n ? 2? ? 2n ? 2 . 又 a1 ? 0 适合上式, ∴数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 2 . (2)解法 1:∵an ? log2 n ? log 2 bn , ∴bn ? n ? 2 n ? n ? 22n?2 ? n ? 4n?1 .
a

……………9 分
0 1 2 n ?2

∴Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn?1 ? bn ? 4 ? 2 ? 4 ? 3? 4 ? ?? ? n ?1? ? 4

? n ? 4n?1 ,①

4Tn ? 41 ? 2 ? 42 ? 3? 43 ??? ? n ?1? ? 4n?1 ? n ? 4n ,②
①? ② 得 ?3Tn ? 4 ? 4 ? 4 ? ?? 4
0 1 2 n?1 n

……………11 分

1 ? 3n ? ? 4n ? 1 ? 1 ? 4n n ? n?4 ? . ? n? 4 ? 1? 4 3
……………13 分

∴Tn ?

1 ?? 3n ? 1? ? 4n ? 1? ?. 9?

……………14 分

解法 2:∵an ? log2 n ? log 2 bn ,

数学(理科)试题 A

第 9 页 共 15 页

∴bn ? n ? 2 n ? n ? 22n?2 ? n ? 4n?1 .
a

……………9 分

∴Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn?1 ? bn ? 40 ? 2 ? 41 ? 3? 42 ? ?? ? n ?1? ? 4n?2 ? n ? 4n?1 .

x ? x n ?1 由 x ? x ? x ??? x ? ? x ? 1? , 1? x
2 3 n

……………11 分

两边对 x 取导数得, x ? 2 x ? 3x ? ? ? nx
0 1 2
0 1 2

n ?1

?
n?2

nx n ?1 ? ? n ? 1? x n ? 1

?1 ? x ?
? n ? 4n ?1 ?

2

.

………12 分

令 x ? 4 ,得 4 ? 2 ? 4 ? 3 ? 4 ? ? ? ? n ? 1? ? 4

1 ? ? 3n ? 1? ? 4n ? 1? ? ?. 9
……………13 分 ……………14 分

∴ Tn ?

1 ? ? 3n ? 1? ? 4n ? 1? ? ?. 9

20. (本小题满分 14 分) (1)解法 1:由题意, 点 M 到点 F 的距离等于它到直线 l 的距离, 故点 M 的轨迹是以点 F 为焦点, l 为准线的抛物线. ∴ 曲线 E 的方程为 x2 ? 4 y . 解法 2:设点 M 的坐标为 ? x, y ? ,依题意, 得 MF ? y ?1 , 即 x ? ? y ? 1? ? y ? 1 ,
2 2

……………1 分 ……………2 分

……………1 分

化简得 x ? 4 y .
2

∴ 曲线 E 的方程为 x ? 4 y .
2

……………2 分

2 2 (2) 解法 1: 设点 B, C 的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,依题意得, x1 ? 4 y1 , x2 ? 4 y2 .

由?

? y ? kx ? 1, 2 消去 y 得 x ? 4kx ? 4 ? 0 , 2 ? x ? 4 y,
4k ? 4 k 2 ? 1 ? 2k ? 2 k 2 ? 1 . 2
……………3 分

解得 x1,2 ?

∴x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4 .

直线 AB 的斜率 k AB

x12 ?1 y ?1 4 x ?2 ? 1 ? ? 1 , x1 ? 2 x1 ? 2 4
x1 ? 2 ? x ? 2? . 4
第 10 页 共 15 页 ……………4 分

故直线 AB 的方程为 y ? 1 ?

数学(理科)试题 A

令 y ? ?1 ,得 x ? 2 ?

8 , x1 ? 2
……………5 分

∴ 点 S 的坐标为 ? 2 ?

? ?

? 8 , ?1 ? . x1 ? 2 ? ? ? ? 8 , ?1 ? . x2 ? 2 ?

同理可得点 T 的坐标为 ? 2 ?

……………6 分

∴ ST ? 2 ?

8 ? x1 ? x2 ? ? 8 8 ? ??2? ?? x1 ? 2 ? x2 ? 2 ? ? x1 ? 2 ?? x2 ? 2 ?
……………7 分

?

8 ? x1 ? x2 ? 8 ? x1 ? x2 ? x ?x ? ? 1 2 . x1 x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 4 8k k

∴ ST

2

?

? x1 ? x2 ?
k2

2

?x ? x ? ? 1 2

2

? 4 x1 x2

k2

?

16 ? k 2 ? 1? k2

.

……………8 分

设线段 ST 的中点坐标为 ? x0 , ?1? , 则 x0 ?

4 ? x1 ? x2 ? 4 ? 1? 8 8 ? ?2? ?2? ? ? 2? 2? x1 ? 2 x2 ? 2 ? ? x1 ? 2 ?? x2 ? 2 ?
4 ? 4k ? 4 ? 4 ? 4k ? 4 ? 2 ? 2? ?? . x1 x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 4 8k k
……………9 分

? 2?

2 4 ? k 2 ? 1? 2? 1 2 2 ? ∴ 以线段 ST 为直径的圆的方程为 ? x ? ? ? ? y ? 1? ? ST ? . k2 k? 4 ?

……………10 分 展开得 x 2 ?

4 ? k 2 ? 1? 4 4 2 x ? ? y ? 1? ? ? 2 ? 4. k k2 k
2

……………11 分 ……………12 分 ……………14 分

令 x ? 0 ,得 ? y ? 1? ? 4 ,解得 y ? 1 或 y ? ?3 . ∴ 以线段 ST 为直径的圆恒过两个定点 ? 0,1? , ? 0, ?3? . 解法 2:由(1)得抛物线 E 的方程为 x ? 4 y .
2

设直线 AB 的方程为 y ?1 ? k1 ? x ? 2? ,点 B 的坐标为 ? x1 , y1 ? ,

数学(理科)试题 A

第 11 页 共 15 页

2 ? ? ? ? y ? 1 ? k1 ? x ? 2 ? , 2 ?x ? 2 ? , k1 ∴点 S 的坐标为 ? 2 ? , ?1 ? . …………3 分 由? 解得 ? k1 ? ? ? y ? ?1, ? y ? ?1. ?
由?

? y ? 1 ? k1 ? x ? 2 ? , ? x ? 4 y,
2

消去 y ,得 x2 ? 4k1x ? 8k1 ? 4 ? 0 , ……………4 分

即 ? x ? 2?? x ? 4k1 ? 2? ? 0 ,解得 x ? 2 或 x ? 4k1 ? 2 . ∴ x1 ? 4k1 ? 2 , y1 ?

1 2 x1 ? 4k12 ? 4k1 ? 1 . 4

2 ∴点 B 的坐标为 4k1 ? 2, 4k1 ? 4k1 ? 1 .

?

?

……………5 分

同理,设直线 AC 的方程为 y ?1 ? k2 ? x ? 2? , 则点 T 的坐标为 ? 2 ?

? ?

? 2 2 , ?1 ? ,点 C 的坐标为 ? 4k2 ? 2, 4k2 ? 4k2 ? 1? . …………6 分 k2 ?

∵点 B, C 在直线 l1 : y ? kx ? 1上,

? 4k ∴k ?

2 2

? 4k2 ? 1? ? ? 4k12 ? 4k1 ? 1?

? 4k2 ? 2 ? ? ? 4k1 ? 2 ?

?k ?

2 2

? k12 ? ? ? k2 ? k1 ? k2 ? k1

? k1 ? k2 ?1 .
……………7 分

∴ k1 ? k2 ? k ? 1 .

2 2 又 4k1 ? 4k1 ?1 ? k ? 4k1 ? 2? ?1 ,得 4k1 ? 4k1 ? 4kk1 ? 2k ? 4 ? k1 ? k2 ?1? k1 ? 2k ,

化简得 k1k 2 ?

k . 2

……………8 分

设点 P ? x, y ? 是以线段 ST 为直径的圆上任意一点,则 SP ? TP ? 0 , ……………9 分 得? x ? 2?

??? ???

? ?

2 ?? 2? ?? x ? 2 ? ? ? ? y ? 1?? y ? 1? ? 0 , k1 ?? k2 ?
2

……………10 分

整理得, x ?

4 2 x ? 4 ? ? y ? 1? ? 0 . k
2

……………11 分 ……………12 分 ……………14 分

令 x ? 0 ,得 ? y ? 1? ? 4 ,解得 y ? 1 或 y ? ?3 . ∴ 以线段 ST 为直径的圆恒过两个定点 ? 0,1? , ? 0, ?3? . 21. (本小题满分 14 分) (1)解:∵ f ? x ? ? a ln x ? bx , ∴ f ?? x? ?

a ?b. x
第 12 页 共 15 页

数学(理科)试题 A

∵ 直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的斜率为

1 1? ? ,且过点 ?1, ? ? , 2 2? ?

……………1 分

1 1 ? ? f ?1? ? ? , ?b ? ? , ? 1 ? ? 2 2 ∴? 即? 解得 a ? 1, b ? ? . 2 ? f ? ?1? ? 1 , ?a ? b ? 1 , ? ? ? 2 ? 2
(2)解法 1:由(1)得 f ? x ? ? ln x ? 当 x ? 1 时, f ? x ? ?

……………3 分

x . 2

k x k x2 ? 0 恒成立,即 ln x ? ? ? 0 ,等价于 k ? ? x ln x . x 2 x 2
……………4 分

x2 ? x ln x ,则 g? ? x ? ? x ? ? ln x ?1? ? x ?1? ln x . ……………5 分 令 g ? x? ? 2
令 h ? x ? ? x ?1 ? ln x ,则 h? ? x ? ? 1 ?

1 x ?1 ? . x x

当 x ? 1 时, h? ? x ? ? 0 ,函数 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,故 h ? x ? ? h ?1? ? 0 . ……………6 分 从而,当 x ? 1 时, g? ? x ? ? 0 ,即函数 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增, 故 g ? x ? ? g ?1? ?

1 . 2 1 x2 ? x ln x 恒成立,则 k ? . 2 2

……………7 分

因此,当 x ? 1 时, k ?

……………8 分

∴ 所求 k 的取值范围是 ? ??, ? . 2

? ?

1? ?

……………9 分

解法 2:由(1)得 f ? x ? ? ln x ? 当 x ? 1 时, f ? x ? ? 令 g ? x ? ? ln x ?
2

x . 2
……………4 分

k x k ? 0 恒成立,即 ln x ? ? ? 0 恒成立. x 2 x

x k 1 1 k x 2 ? 2 x ? 2k ? ,则 g ? ? x ? ? ? ? 2 ? ? . 2 x x 2 x 2x2

方程 x ? 2 x ? 2k ? 0 (﹡)的判别式 ? ? 4 ? 8k . (ⅰ )当 ? ? 0 ,即 k ?

1 2 时,则 x ? 1 时, x ? 2 x ? 2k ? 0 ,得 g? ? x ? ? 0 , 2
数学(理科)试题 A 第 13 页 共 15 页

故函数 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递减.

1 k ? k ? 0, g ? 2 ? ? ln 2 ? 1 ? ? 0 , 2 2 x k 则当 x ? ?1, 2? 时, g ? x ? ? 0 ,即 ln x ? ? ? 0 ,与题设矛盾. …………5 分 2 x
由于 g ?1? ? ?

1 ? x ?1? ? 0 . x2 ? 2 x ? 1 (ⅱ )当 ? ? 0 ,即 k ? 时,则 x ? 1 时, g ? ? x ? ? ? ?? 2 2 2x 2 x2
2

故函数 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递减,则 g ? x ? ? g ?1? ? 0 ,符合题意. ………6 分 (ⅲ ) 当 ? ? 0 ,即 k ?

1 时,方程(﹡)的两根为 x1 ? 1 ? 1 ? 2k ? 1, x2 ? 1 ? 1 ? 2k ? 1 , 2

则 x ? ?1, x2 ? 时, g? ? x ? ? 0 , x ? ? x2 , ??? 时, g? ? x ? ? 0 . 故函数 g ? x ? 在 ?1, x2 ? 上单调递增,在 ? x2 , ??? 上单调递减, 从而,函数 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上的最大值为 g ? x2 ? ? ln x2 ?

x2 k ? . ………7 分 2 x2

而 g ? x2 ? ? ln x2 ?

x2 k x 1 , ? ? ln x2 ? 2 ? 2 x2 2 2 x2
x 1 ? ?0, 2 2x

由(ⅱ )知,当 x ? 1 时, ln x ? 得 ln x2 ?

x2 1 ? ? 0 ,从而 g ? x2 ? ? 0 . 2 2 x2

故当 x ? 1 时, g ? x ? ? g x2 ? 0 ,符合题意. 综上所述, k 的取值范围是 ? ??, ? . 2

? ?
? ?

……………8 分

1? ?

……………9 分

(3)证明:由(2)得,当 x ? 1 时, ln x ? 又 x ln x ? 0 , 从而,

x 1 x2 ?1 ? ? 0 ,可化为 x ln x ? , …10 分 2 2x 2

1 2 1 1 ? 2 ? ? . x ln x x ? 1 x ? 1 x ? 1

……………11 分

把 x ? 2,3, 4,?, n 分别代入上面不等式,并相加得,

1 1 1 1? ? 1 1 ? ? 1? ? 1 1? ?1 1? ? 1 ? ??? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ? 2ln 2 3ln 3 n ln n ? 3 ? ? 2 4 ? ? 3 5 ? ? n ? 2 n ? ? n ?1 n ? 1 ?
数学(理科)试题 A 第 14 页 共 15 页

……………12 分

? 1?

1 1 1 ? ? 2 n n ?1

……………13 分

?

3n2 ? n ? 2 . 2n 2 ? 2n

……………14 分

数学(理科)试题 A

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