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2.2.1 直线与平面平行的判定


2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定

当门扇绕着一边转动时, 转动的一边与门框所在的 平面是怎样的位置关系呢?

H

G D F

A E

B

C

观察:图片中AD,HG所在直线与地面是怎样的位 置关系呢?

1.理解直线与平面平行的判定定理.(重点)
2.会用判定定理证明简单的线面平行的问题. (难点) 3.进一步培养空间想象能力和转化化归的数学思想.

如何判定直线和平面平行? 根据定义,判定直线与平面是否平行,只需判

定直线与平面有没有公共点.但是,直线无限伸长,
平面无限延展,如何保证直线与平面没有公共点呢?

a

?

你能抽象概括出
几何图形吗?

观察门扇转动的一边与门框所在的平面之间的位置关系.

如图,直线a在平面?内的投影是直线b,

回答以下问题:
1.直线a在平面?内还是在平面?外? 直线a在平面?外 2.直线a与直线b共面吗?

a
b

a与b共面

?

3.假如直线a与平面? 相交,交点会在哪? 在直线b上

直线与平面平行的判定定理

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,
则该直线与此平面平行.
b

a

?
判定直线与平面 平行的条件有几 个,是什么?

定理中的三个条件 ① a 在平面 ? 外,即 a ? ?; ② b 在平面? 内,即 b ? ?; ③ a 与 b 平行,即a / / b (平行).

a

?

b

a ??? ? 用符号语言可概括为: b ? ? ? ? a / /? a / /b ? ?

线线平行?线面平行

例1

求证:空间四边形相邻两边中点的连线平行
A
E

于平行于另外两边所在的平面. 分析:先写出已知,求证. 再结合图形证明.
F D
C

已知:如图,空间四边形ABCD中, B ? E,F分别是AB,AD的中点.
求证:EF//平面BCD.

证明:连接BD. 因为AE = EB,AF = FD,

A
E

F D
C

所以EF//BD(三角形中位线的性质).

? B

因为EF ? 平面BCD,BD ? 平面BCD,
由直线与平面平行的判定定理得 EF//平面BCD.

【提升总结】 1.要证明直线与平面平行可以运用判定定理. 线线平行 面内、平行” 线面平行 2.能够运用定理的条件是要满足六个字:“面外、

a?? b?? a // b

a // ?

3.运用定理的关键是找平行线;找平行线又经常
会用到三角形中位线定理.

例2

如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,

证明BD1∥平面AEC. 证明:连接BD交AC于O,连接EO, 在△BDD1中,
1 ∥ BD1. 所以EO = 2
D1 B1 C1

因为E,O分别为DD1与BD的中点,A1

E D
O

而EO ? 平面AEC, BD1 ? 平面AEC,
A

C B

所以 BD1 ∥平面AEC.

【提升总结】
对判定定理的再认识 ①它是证明直线与平面平行最常用最简易的方法; ②应用定理时,应注意三个条件是缺一不可的; ③要证明直线与平面平行,只要在这个平面内找出 一条直线与已知直线平行,把证明线面问题转化为 a 证明线线问题.

?

b

【变式练习】
如图所示,两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交 于 AB, M∈AC, N∈FB, 且 AM=FN.求证: MN∥平面 BCE.

[证明] 方法一:作 MP∥AB 交 BC 于 P, NQ∥AB 交 BE 于 Q, 如图①,则 MP∥NQ. 因为 AM=FN,
2 2 所以 MP= MC= BN=NQ. 2 2 所以 MP∥NQ,且 MP=NQ,则四边形 MNQP 为平行四边形. 所以 MN∥PQ.又因为 MN?平面 BCE,PQ?平面 BCE, 所以 MN∥平面 BCE.

方法二:如图②所示,连接 AN 并延长,交 BE 的延长线于 G,连接 CG, 因为 AF∥BG,AM=NF.

AN FN AM 所以 . = = NG NB MC

所以MN∥CG.因为MN?平面BCE,CG?平面BCE,

所以MN∥平面BCE.
规律总结:利用直线和平面平行的判定定理来证明 线面平行,关键是寻找平面内与已知直线平行的直线, 常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等.

1.三棱台 ABC-A1B1C1 中,直线 AB 与平面 A1B1C1 的位置关 系是( B ) A.相交 C.在平面内 B.平行 D.不确定

[解析] 选 B,因为 AB∥A1B1,AB?平面 A1B1C1,

A1B1?平面 A1B1C1,所以 AB∥平面 A1B1C1.

2.能保证直线 a 与平面 α 平行的条件是( A ) A.a?α,b?α,a∥b B.b?α,a∥b C.b?α,c∥α,a∥b,a∥c D.b?α,A∈a,B∈a,C∈b,D∈b,且 AC=BD

[解析]

根据线面平行的判定定理.

3.如图,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,

(1)与AB平行的平面是 平面 A ? B ?C ?D ?, 平面 CC ?D ?D ; (2)与AA′平行的平面是 平面 B ?BC C ?, 平面 CC ?D ?D ;
(3)与AD平行的平面是
D?
A?

平面 A ? B ?C ?D ?, 平面 B ?BCC ? .
C?

B?
D

C
B

A

4. (2012.山东高考改编)几何体 E ? ABCD 是四棱锥,△ ABD 为 正三角形, CB ? CD, EC ? BD . (Ⅰ)求证: BE ? DE . (Ⅱ)若∠ BCD ? 120? ,M 为线段 AE 的中点, 求证:平面 MND ∥平面 BEC .

【证明】 (Ⅰ)设 BD 的中点为 O,连接 OC,OE, 则由 BC = CD 知 , CO⊥ BD , 又已知 EC⊥ BD ,所以 BD⊥ 平面 OCE. 所以 BD⊥ OE , 即 OE 是 BD 的垂直平分线, 所 以 BE = DE . (II)取 AB 的中点 N,连接 MN,DN , 因为 M 是 AE 的中点,所以 MN ∥ BE , 因为△ ABD 是等边三角形,所以 DN⊥ AB . 由∠BCD= 120°知,∠ CBD= 30°,所以∠ ABC=60° +30°= 90°, 即 BC⊥ AB ,所以 ND∥ BC, 所以平面 MND∥平面 BEC.

定义法

判定定理

直线与平面平行 的判定
注意 三个 条件

线线平行?线面平行

我们应当努力奋斗,有所作为,这样,我们就 可以说,我们没有虚度年华,并有可能在时间 的沙滩上留下我们的足迹.

——拿破仑


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