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2015年4月2015届高三第三次全国大联考(新课标Ⅱ卷)理数卷-掌门1对1


2015 年第三次全国大联考【新课标Ⅱ】-掌门 1 对 1 理科数学试卷
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
2 1.已知集合 A ? x x( x ? 1) ? 0 , B ? {x | ( x ? 3)(2 x ? 1) ? 0} ,则 A ? B ? (

?

?



A. ??1,0? 2.设 z ? 1 ? i ,则 A. 1

B. ??1,0,1?

C. ?0,1?

D. ?

2 ? z 2 的模为( ) z
C. 3 D. 2

B. 2

3. 设函数 f ( x ) 和 g ( x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, 且 f ( x) ? g ( x) ? sin x ? cos x ? 2 , 则 f( 的值为( A. ) B. 2 C.

3? ) 4

1 2

2 3

D.

2 2
[来源:Zxxk.Com]

4.二项式 ( mx ? A. 2

n 6 ) 的展开式中,若常数项为 60,则 m 4 n 2 的值为( ). 2 x
C. 4 D. 6

B. 3

5.如图,正方形网格纸上正方形小格的边长为 1(单位: cm ) ,图中粗线表示一个几何体的三视图,则最 长的一条侧棱的长度(单位: cm )是( A. 29 B. 5 C. 13 ) D. 2 2

6.若执行右边的程序框图,输出 S 的值为 3 ,则判断框中应填入的条件是(



A. k ? 6 ?

B. k ? 7 ?

C. k ? 8?

D. k ? 9 ?

7.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,且 an ? an?1 ? 2n ,则数列 ?an ? 的前 20 项的和为( A. 210 B. 200
? ?



C. 190

D. 158

8.已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )? ? ? 0, ? ? 则 f(

??

2? 时, f ( x) 取得最小值, ? 的最小正周期是 ? ,当 x ? 3 2?

5? 5? ? x) ? f ( ? x) ? ( 24 24
B. 0
2

) D. 2

A. ?1

C. 1

9.已知抛物线的方程为 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l ,过点 F 的直线交抛物线于 A , B 两点, 过点 A 作 l 的垂 线,垂足为 E ,当 A 点坐标为 (3, y0 ) 时, ?AEF 为正三角形,则 p 的值为( A. 4 B. )
[来源:学科网]

1 2

C. 2

D. 3

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 10.已知实数 x , y 满足平面区域 D : ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,给出下面 4 个命题: ?x ? y ? 2 ? 0 ?

[来源:学科网]

p1 : ?x, y ? D, ? 3x ? 2 y ? 4
y?2 p3 : ?x, y ? D, ?0 x?3
其中真命题是 ( A. p1 , p2 ) B. p1 , p3

p2 : ?x, y ? D, ? 3x ? 2 y ? 4
y?2 p4 : ?x, y ? D, ?0 x?3

C. p2 , p4

D. p3 , p4

11.已知 ? O 半径为 1, PA、PB 分别为其两条切线,切点分别为 A、B ,则 PA ?PB 的最小值为( A. 2 2 ? 1 B. 2 2 ? 3 C. 2 2 D. 2

?? ? ? ?? ? ?



x 12.设函数 y ? e ? 1 的图象与直线 y ?

1 的两交点横坐标分别为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,与直线 y ? m 的两 m +1 1 交点横坐标分别为 x3 , x4 ( x3 ? x4 ) ,若 m ? (0, ) ,则 ( x4 ? x1 ) ? ( x3 ? x2 ) 的取值范围为( ) 2 3 3 A. (??, 0) B. ( ??, ln ) C. (ln , 0) D. (??, ?1) 5 5

第Ⅱ卷(共 90 分)

[来源:Z,xx,k.Co m]

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸 上)
13.已知等比数列 ?an ? 各项均为正数,前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , a2 a4 ? 16 ,则 S5 的值为_________. 14.已知 f ( x) ? ax ? b ? 1 ,若 a , b 都是从区间 [0, 2] 任取的一个数,则 f (1) ? 0 成立的概率为______. 15.设 ?ABC 内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,且满足

c b 3 cos B ? cos C ? ,则 a a 5

tan B ? tan C
16.设 F1 , F2 分别是椭圆



x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点,过 F1 的直线与椭圆交于 A, B 两点,且以 AB 为 a 2 b2

直径的圆过 F2 ,且 ?ABF2 ? 300 ,则椭圆的离心率为______.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17. (本题满分 12 分)
[来源:Zxxk.Com]

已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

an 1 , an ?1 ? . 2an ? 1 3

(Ⅰ)求证: ?

?1 ? ? n ? 是等差数列; ? an ?
1 . 4

(Ⅱ)证明: a12 ? a2 2 ? ??? ? an 2 ? 18. (本题满分 12 分)

如图,已知四边形 ABCD 为正方形, EA ? 平面 ABCD , CF ∥ EA ,且 EA ?

2 AB ? 2CF ? 2 .

(Ⅰ)求证: BD ? EF ; (Ⅱ)求二面角 E ? BD ? F 的余弦值. 19. (本题满分 12 分) 国务院总理李克强在 2015 年 4 月 14 日的经济 形势座谈会上就“手机流量资费和网速”问题做出重要指 示,工信部回应,将加大今年宽带专项行动中“加快 4G 建设” 、 “大幅提升网速”等重点工作的推进力 度,为此某移动部门对部分 4G 手机用户每日使用流量(单位:M)进行统计,得到如下记录: 流 量

0? x?5

5 ? x ? 10

10 ? x ? 15 15 ? x ? 20 20 ? x ? 25 x ? 25

(x) 频率 0.05 0.25
[来源:Zxxk.Com]

0.30

0.25

0.15

0

将手机日使用流量统计到各组的频率视为概率,并假设每天手机日使用流量相互独立. (Ⅰ)求某人 在未来连续 4 天里,有连续 3 天的手机日使用流量都不低于 15M,且另 1 天的手机日使用流量 低于 5M 的概率; (Ⅱ)用 X 表示某人在未来 3 天时间里手机日使用流量不低于 15M 的天数,求 X 的分布列和期望. 20. (本题满分 12 分) 已知椭圆 C :

3 ?1 3 3 x2 y 2 , ) 对称. ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 P(1, ) ,且 P 与右焦点 F2 关于点 ( 2 2 a b 2 4
???? ? ????

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) A 是椭圆 C 与 y 轴正半轴的交点, 椭圆 C 上是否存在两点 M 、 N ,使得 AM ? AN ,

???? ? ???? AM ? AN ? 0 ?若存在,请说明有几个;若不存在,请说明理由.
21. (本题满分 12 分)
2 已知实数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? a( x ? 2) ? ln x .

(Ⅰ)当 a ? 1 时,讨论函数 f ( x ) 的单调性;

(Ⅱ) ? x ?[2, ??) 时, f ( x) ? x ? 4a ?

1 恒成立,求实数 a 的取值范围. 4a

请考生在第(22),(23),(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时用 2B 铅笔在 答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 22. (本题满分 10 分) 如图, ?ABC 内接于直径为 BC 的圆 O ,过点 A 作圆 O 的切线交 CB 的延长线于点 P , ?BAC 的平分 线分别交 BC 和圆 O 于 点 D、E ,若 PA ? 2 PB ? 10 .

(Ⅰ)求证: AC ? 2 AB ; (Ⅱ)求 AD ? DE 的值. 23. (本题满分 10 分) 已知曲线 C1 :

1 1 x2 y 2 ? ? 1 , 将曲线 C1 每一点的横坐标缩短为 倍,纵坐标缩短为原来的 倍,得曲 2 3 4 9

线 C .以坐标原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程是

??

6 . 2 cos ? ? sin ?

(I)写出曲线 C 的参数方 程,直线 l 的直角坐标方程; (II)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30 ? 的直线,交 l 于点 A , PA 的最大值与最小值. 24. (本题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? a |, a ? R . (Ⅰ)当 a ? 3 时,解不等式 f ( x) ? 0 ; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集包含 ( ??, 2) ,求 a 的取值范围.


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