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不等式恒成立问题中的参数求解策略


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聪明在于勤奋,天才出于积累
二、分离参数法(转化为求函数的最值) 适用题型:参数与变量能分离;函数的最值易求出。

不等式恒成立问题中的参数求解策略 一、可转化为二次函数类型 有关含有参数的一元二次不等式问题,若能把不等式转化成二次函数或二次方程,通过根的判别式或数形结合 思想,可使问题得到顺利解决。常常有以下两类情况: ㈠可化为二次函数在 R 上恒成立问题 设 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,
2

【例3】

已知

f ?x ? ?

x 2 ? 2x ? a , x 对任意 x ? ?1,?? ?, f ?x ? ? 0 恒成立,试求实数 a 的取值范围。

(1) f ( x) ? 0在x ? R 上恒成立 ? __________________; (2)f ( x) ? 0在x ? R 上恒成立 ? _____________。
2 【例 1】 对于 x∈R,不等式 x ? 2x ? 3 ? m ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围。

m ? 2 ? m ? (??, 2]

练习 3:若不等式 ax ?1? 0 对

x ? ?1, 2?

恒成立,求实数 a 的取值范围。

2 练习 1:若对于 x∈R,不等式 mx ? 2mx ? 3 ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围。

a ? f ( x ) 恒成立 ? a ? f ( x ) m i n 规律: a ? f ( x ) 恒成立 ? a ? f ( x ) max ; 。 三、主参换位(变换主元法) 适用题型:适用于一次函数型 在解含参不等式时,有时若能换一个角度,变参数为主元,可以得到意想不到的效果,使问题能更迅速地得到 解决。
㈡可化为二次函数在区间上恒成立问题 设 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,则当 a ? 0 时,
2

【例 4】若对于任意

a ?1

,不等式 x ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a ? 0 恒成立,求实数 x 的取值范围。
2

f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上恒成立 ? _________________________________________________________,

f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上恒成立 ? _____________________________________________________。
2 【例 2】 已知函数 f ( x ) ? x ? 2kx ? 2 ,在 x ? ?1 时恒有 f ( x ) ? k ,求实数 k 的取值范围。

2 练习 4:若不等式 2x ? 1 ? m( x ? 1) ,对满足 ? 2 ? m ? 2 所有的 x 都成立,求 x 的取值范围。

四、数形结合法 适用题型:对一些不能把数放在一侧的,可以利用对应函数的图象法求解。 【例 5】若对任意 x ? R ,不等式 | x |? ax 恒成立,求实数 a 的取值范围。
2 练习 2:已知二次函数 f ( x ) ? ax ? x ,如果 x∈[0,1]时恒有 f(x)<1,求实数 a 的取值范围。

练习 5:当 x ? (1,2) 时,不等式 ( x ? 1) 2 ? log a x 恒成立,求实数 a 的取值范围。1<a ? 2.

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6、设函数是定义在 (??, ??) 上的增函数,如果不等式 f (1 ? ax ? x ) ? f (2 ? a) 对于任意 x ? [0,1] 恒成立,求实数
2

不等式恒成立作业 1、若关于 x 的不等式 ax ? 2 x ? 2 ? 0在R上恒成立,求实数a的取值范围。
2

a 的取值范围。

2、当 x ? (1, 2) 时,不等式 x

2

? mx ? 4 ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围。 (请用两种方法求解)
1 ? 2 x ? a? x 4 , 其中 a ? R ,如果 x ? (??.1) 时, f ( x) 恒有意义,求 a 的取值范围。 3

7、设 f ( x) ? lg

3. 设 f(x)=x -2ax+2,当 x ? [-1,+ ? )时,都有 f(x) ? a 恒成立,求 a 的取值范围。
2

8.已知 x ? 2(1 ?
2

1 2 ) x ? ? 0 ,x ? ? ?1,? 恒成立,则 m 的取值范围是 1 m m



9.已知不等式 ? x ? y ? ?

?1 a? ? ? ? 9 对任意正实数 x, y 恒成立,则正实数 a 的最小值为 ?x y?



4. 对于满足|p| ? 2 的所有实数 p,求使不等式 x +px+1>2p+x 恒成立的 x 的取值范围。
2

? 1? 0, x ? log m x ? 0 ? 2 ? ? ? 内恒成立,则实数 m 的取值范围是 10.若不等式 在
2



11.设函数 f ( x) ? x ? 5、已知当 x ? R 时,不等式 a+cos2x<5-4sinx 恒成立,求实数 a 的取值范围。

1 对任意 x ? [1,??) f (mx ) ? mf ( x) ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范围是 x

______________________。


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