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高中数学必修二1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积课件_图文

欢迎来到数学课堂 1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积 瞧,多么宏伟壮观的金字塔!这将需要多少沙石? 赫尔佐格 “鸟巢(nest)” 德梅隆 我们的身边存在着各种各样的几何体、建筑或者装饰时, 都需要知道它们的表面积或体积,以便计算用料和工时, 如何计算呢? 1.了解柱体、锥体、台体的表面积和体积公式的推 导过程.(难点) 2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的表面积与体 积.(重点) 3. 熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系,培养转 化与化归的思想与空间想象能力. (难点) 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积, 以及它们的展开图,你知道正方体和长方体的展开 图与其表面积的关系吗? 几何体表面积 展开图 平面图形面积 空间问题 平面问题 知识探究 正方体、长方体是由多个平面图形围成的多面 体,它们的表面积就是各个面的面积的和,也就是 展开图的面积. 一般地,我们可以把多面体展成平面图形,利 用平面图形求面积的方法,求多面体的表面积. 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的 多面体,它们的展开图是什么?如何计算它们的表 面积? 棱柱的侧面展开图 棱柱的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积? h 特别提醒 正棱柱的侧面展开图 将空间图形问题转化为平面图形问题,是解立体 几何问题最基本、最常用的方法. 棱锥的侧面展开图 棱锥的侧面展开图是什么?如何 计算它的表面积? 侧面展开 h′ 正棱锥的侧面展开图 h′ 棱台的侧面展开图 棱台的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积? 侧面展开 h′ 正棱台的侧面展开图 h′ 棱柱、棱锥、棱台的表面积 h′ h′ 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的 几何体,它们的侧面展开图还是平面图形,计算它 们的表面积就是计算它们的各个侧面面积与底面面 积之和. 知识应用 例1 已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面体 S-ABC,求它的表面积. 分析:四面体的展开图是由四个全等的等边三角形 组成. 【解析】先求△SBC的面积,过点S作 SD ^ BC,S 交BC于点D. 因为BC=a,SD = SB×sin60o = 3 a, 2 A 所以 SΔSBC = 1 2 BC ×SD = 1 a× 2 3 2 a = 3 a2. 4 B D C 因此,四面体S-ABC 的表面积为 4× 3 a2 = 3a2. 4 圆柱的表面积 r O? l 2?r O 圆柱的侧面展开图是一个矩形, S圆柱表面积 ? 2?r2 ? 2?rl ? 2?r(r ? l). 圆锥的表面积 S 2?r l rO 圆锥的侧面展开图是一个扇形, S圆锥表面积 ? ?r2 ? ?rl ? ?r(r ? l). 圆台的表面积 参照圆柱和圆锥的侧面展开图,试想象圆台 的侧面展开图是什么? 2?r ' r'O′ 2?r l rO 圆台的侧面展开图是一个扇环, S圆台表面积 ? ?(r?2 ? r2 ? r?l ? rl). 【提升总结】 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系? r O? r′=r l上底扩大 O r'O′ rO l r′=0 上底缩小 l rO S柱 ? 2?r(r ? l) S台 ? ?(r?2 ? r2 ? r?l ? rl) S锥 ? ?r(r ? l) 知识应用 例2 如图,一个圆台形花盆盆口直径为20 cm,盆 底直径为15 cm,底部渗水圆孔直径为1.5 cm,盆 壁长15 cm.为了美化花盆的外观,需要涂油漆.已 知每平方米用100 毫升油漆,涂100个这样的花盆 需要多少油漆(π 取3.14,结果精确到1 毫升,可 用计算器)? 20cm 15cm 15cm 分析:只要求出每一个花盆外壁的表面积,就可求 出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧 面面积加上底面面积,再减去底面圆孔的面积. 【解析】 如图,由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积 S =π创(轾 犏 犏 臌125)2 + 15×15 2 + 20×15 2 -π ( 1.5 )2 2 ? 1000(cm2 ) 0.1(m2 ). 20cm 涂100个花盆需油漆: 15cm 0.1×100×100=1000(毫升). 15cm 答:涂100个这样的花盆约需要1000毫升油漆. 柱体体积 以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆 柱的体积公式.它们的体积公式可以统一为 V ? S h(S为底面面积,h为高). 一般柱体的体积也是 V ? Sh, 其中S为底面面积,h为柱体的高. 圆锥体积 圆锥的体积公式是 V ? 1 Sh(其中S为底面面积,h为高), 3 它的体积是同底等高的圆柱的体积的 1 . 3 棱锥体积 探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间 的关系. 等底等高 的三棱锥 体积相等. 三棱锥与同底等高的三棱柱的关系 经过探究得知,棱锥也是同底等高的棱柱体积 的 1,即棱锥的体积 3 V ? 1 Sh(其中S为底面面积,h为高). 3 由此可知,棱柱与圆柱的体积公式类似,都是底 面面积乘高;棱锥与圆锥的体积公式类似,都是底面 面积乘高的 1. 3 台体体积 P 根据台体的特征,如何求台体的体积? 由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截 成的,因此可以利用两个锥体的体 积差,得到圆台(棱台)的体积公式 (过程略) A V = VP-ABCD - VP-A?B?C?D? ? 1 (S? ? S?S ? S)h 3 A? D? S? C? B? h D S C B 棱台(圆台)的体积公式 V ? 1 (S? ? S?S ? S)h, 3 其中 S , S?分别为上、下底面面积,h为棱台 (圆台)的高. 【

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