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2016高中数学第二章指数函数、对数函数和幂函数2.2.2换底公式课件湘教版必修1_图文

第2章—— 2.2 对数函数 2.2.2 [学习目标] 换底公式 1.能记住换底公式,并会证明换底公式. 2.会利用换底公式解决一些对数式的化简、求值、证明问题. 3.能综合利用对数的相关知识解决问题. 1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测 挑战自我,点点落实 重点难点,个个击破 当堂训练,体验成功 [预习导引] 1.对数的换底公式 logcN log N 换底公式: a = (a>0,a≠1,c>0,c≠1,N>0). logca lg N ln N 最常用的换底公式是 logaN= 和 logaN= . lg a ln a 2.换底公式的两个重要推论 n (1)loga b =mlogab. m n 1 (2)logab= . logba 要点一 利用换底公式求值或化简 例1 求解下列各题: lg 2 (1)化简(log43+log83)lg 3; ?lg 3 lg 3 ?lg 2 解 方法一 原式=?lg 4+lg 8?lg 3 ? ? ? lg 3 lg 3 ? lg 2 ?· =? + ?2lg 2 3lg 2 ? lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 2 1 1 5 = · + · = + = . 2lg 2 lg 3 3lg 2 lg 3 2 3 6 方法二 原式=(log223+log233)· log32 ?1 ? 1 5 5 ? ? =? log23+ log23?· log32= log23· log32= . 2 3 6 6 ? ? (2)已知log1227=a,求log616的值. 解 方法一 由 log1227=a,得 =a, 2lg 2+lg 3 3-a ∴lg 2= lg 3. 2a 3-a 4× 4?3-a? lg 16 4lg 2 2a ∴log616= = = = . lg 6 lg 2+lg 3 3-a 3+a 1+ 2a 3lg 3 方法二 由于log1227=log1233=3log123=a, a ∴log123= . 3 3 3 于是 log312= ,即 1+2log32= . a a 3-a 因此 log32= . 2a 4 4 而 log616=4log62= = log26 1+log23 4?3-a? 4 = = = . 1 2a 3+a 1+ 1 + log32 3-a 4 4?3-a? 故 log616= . 3+a 规律方法 1.利用对数的换底公式计算化简时,通常有以下 几种思路: 一是先依照运算性质:利用对数的运算法则及性质进行部分 运算,最后再换成同一底. 二是一次性地统一换为常用对数,再化简、通分、求值. 三是将式子中的对数的底数及真数改写为幂的形式,然后 n m n 利用变形 loga b = logab. m 对出现的对数进行化简,当底数和真数都较小时,容易发现 它们之间的关系,然后再借助对数的运算法则求值. 2.对于换底公式,除了正用以外,也要注意其逆用以及变形 应用. 跟踪演练1 (1)求值:log89· log2732. lg 9 lg 32 2lg 3 5lg 2 10 解 方法一 log89· log2732= · = · = . lg 8 lg 27 3lg 2 3lg 3 9 方法二 log89· log2732=log2332· log3325 2 5 10 = log23·log32= . 3 3 9 (2)已知log23=a,log37=b,试用a,b表示log1456. log27 log27 解 ∵log23=a,∴log37= = =b. log23 a ∴log27=ab. log256 log28+log27 3+log27 3+ab ∴log1456= = = = . log214 log22+log27 1+log27 1+ab 要点二 利用对数的换底公式证明等式 2 1 2 例 2 已知 a,b,c 均为正数,3 =4 =6 ,求证: + = . a b c 证明 不妨设3a=4b=6c=m,则m>0且m≠1, a b c 于是a=log3m,b=log4m,c=log6m. 1 1 1 则由换底公式可得 =logm3, =logm4, =logm6, a b c 2 1 于是 + =2logm3+logm4=logm(32×4) a b 2 =logm36=2logm6= . 因此等式成立. c 规律方法 1.在已知条件中出现幂值相等的形式时,通常可 以设出幂值的结果,然后将指数式转化为对数式,然后结合 对数的换底公式、运算法则等进行化简和变形. 2.由于对数的运算法则都是针对同底数的对数才能成立的, 因此变换底数是解决对数式证明问题的重要环节,当出现的 1 对数的底数不同,但真数相同时,可利用性质logab= 进 logba 行变换. 跟踪演练2 已知2m=5n=10,求证:m+n=mn. 证明 由已知可得m=log210,n=log510, 1 1 因此 =lg 2, =lg 5, m n 1 1 于是 + =lg 2+lg 5=lg 10=1, m n n+m 即 =1,故 m+n=mn. mn 要点三 对数换底公式的综合应用 1 1 例 3 (1)已知 11.2 =1 000,0.011 2 =1 000,求 - 的值; a b a b 解 ∵11.2a=1 000,∴lg 11.2a=lg 1 000, 即a· lg 11.2=3, 1 1 于是 = lg 11.2. a 3 1 1 同理可得 = lg 0.011 2. b 3 1 1 1 1 于是 - = lg 11.2- lg 0.011 2 3 a b 3 1 11.2 1 1 = lg = lg 1 000= ×3=1. 3 0.011 2 3 3 (2)设logac,logbc是方程x2-3x

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