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湖南省长望浏宁四县市2015届高三下学期3月模拟考试 数学(理)

2015 年 3 月长望浏宁高三模拟考试

理科数学试卷
时 考生注意 1 答题前 考生务必将自己的准考证号 姓名填写在答题卡上 考生要认真核对条形码上的准 考证号 姓名 考试科目与考生本人准考证号 姓名是否一 2 第 卷每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用 橡皮擦干净后 作答的答案无效 3 考试结束 监考员将试题卷 答题卡一并收回 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有一个是 符合题目要求的
2 1 集合 A = x ∈ ≥ x ≤ 6 , B = x ∈ R x ? 3 x > 0

:120 分钟

总分 150 分

再选涂其他答案标号



卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答

在试题卷上

{

}

{

}

则 AI B =

A

{x 3

x < 6}


B

{3, 4,5}

C

{x 3 < x

6}

D

{4,5,6}

2 设a∈R A 充要条件

1 < 1是 a >1的 a
B 充分但不必要条件 C 必要但不充分条件 则 f ( ?2) = D 2 D 既不充分也不必要条件

3 已知函数 y = f ( x ) ? x 是偶函数 且 f ( 2) = 1 A 4 3 B 1 C 1

(x 2 + 2)(

1 ? 1) 5 的展开式的常数项是 x2
B 3 C -2 D -3 且 BP =3 PA

A 2

5 如下图 在△OAB 中 P 为线段 AB 上的一点 A x=

uuu r uuu r uuu r OP =x OA y OB

uuu r

uuu r



2 3 1 4

y= y=

1 3 3 4

B x= D x=

1 3 3 4

y= y=

2 3 1 4
第 5 题图 开始
·1 ·

C x=

6 定义运算 a ? b 为执行如图所示的程序框图

输入 a,b 否



输出的 S 值 则 ( 2 cos A 2 7 B -2

π
3

) ? t an

7π 的值为 4
D 1

C -1

已知最小正周期为 2 的函数 f ( x ) 在区间 则函数 f ( x )

[?1, 1] 上的解析式是 f (x ) = x 2

在实数集 R 上的图象与函数 y = g ( x ) = log 5 x 的图象的交点的个数是 A 3 C 5 B 4 D 6

8 已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示 俯视图是 边长为 2 的正三角形 则该三棱锥的侧视图可能为

第 8 题图 9 如图 矩形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A(0,—1) B( π ,—1) C( π ,1) D(0,1) 正弦曲线 f ( x ) = sin x 和余弦曲线 g ( x ) = cos x 在矩形 ABCD 内交于点 F 向矩形 ABCD 区域内随机投掷一点 则该点落在阴影区域内的概率是 A
1+ 2

y
D F

π

B

1+ 2 2π

C

1

π

D C

1 2π

f(x)=sinx
O E

x

g(x)=cosx
A B 第 9 题图 10 若数列 {a n } 满足 存在正整数T 对于任意正整数 n 都有 a n +T

= a n 成立

则称数列 {a n } 为周期

·2 ·

数列 周期为T .已知数列 {a n } 满足 a1 = m ( m > 0)

a n +1

?a n ? 1, a n > 1, ? 则下列结论中错误 的是 =?1 .. ? a ,0 < a n ≤ 1 . ? n

A. 若 a 3 = 4 B. 若 m =

则 m 可以取 3 个不同的值

2
*

则数列 {a n } 是周期为 3 的数列 存在 m > 1 数列 {a n } 周期为T

C. ?T ∈ N 且T ≥ 2 D. ?m ∈ Q 且 m ≥ 2 二

数列 {a n } 是周期数列.

填空题 本大题共 6 小题 考生作答 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 一 选做题 请考生在第 11 12 13 三题中任选两题作答 若全做 则按前两题记分

11 在直角坐标系 xOy 中

直线 l 的参数方程为 ?

?x = t ?y = t + 4

t 为参数

以原点 O 为极点 以 x

轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 C 的极坐标方程为 ρ = 4 2 sin(θ + 的公共点有 个

π
4

)

则直线 l 和曲线 C

12 如右上图 圆O的直径AB = 8 C为圆周上一点

BC = 4 过C作圆的切线 l

过A作直线 l 的

垂线AD D为垂足 AD与圆O交于点E 则线段AE的长为 13 若 2x + 3 y + 4z = 11 ,则 x + y + z 的最小值为________.
2 2 2

二 必做题 14-16 题

?x ≤ y ? 14 设实数 x , y 满足 ? y ≤ 6 ? 2x ?x ≥ 1 ?
的最小值为

向量 a

= ( 2 x ? y , m ), b = ( ? 1,1)

若 a // b

则实数 m

15 已知两定点 A( 1 0)和 B(1 0),动点 P ( x , y ) 在直线 l : y = x + 2 上移动 椭圆 C 以 A B 为焦点且经过点 P 则椭圆 C 的离心率的最大值为 16 . 满足

若 函 数 y = f ( x ) 在 定 义 域 内 给 定 区 间 [。,b] 上 存 在 x 0 (a < x 0 < b )

f (x 0 ) =

f (b ) ? f (a ) 则称函数 y = f ( x ) 是[。,b]上的 平均值函数 b ?a
·3 ·

x 0 是它的一个均值点 例

如 y = x 是[-2 2]上的 平均值函数 1]上的 平均值函数 三 17

O 就是它的均值点 .

若函数 f ( x ) = x

2

? mx ? 1 是[-1

则实数 m 的取值范围是

解答题 本大题共 6 个小题 满分 75 分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 本小题满分 12 分 ALS 冰桶挑战赛 是一项社交网络上发起的筹款活动 活动规定 被邀请者要么在 24 小时内

接受挑战 要么选择为慈善机构捐款 不接受挑战

并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战 然后便可以邀请另外 3 个人参与这项活动.假

则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容

设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的 且互不影响. 若某被邀请者接受挑战后 对其他 3 个人发出邀请 则这 3 个人中 少有 2 个人接受挑战的 概率是多少? 假定 中被邀请到的 3 个人中恰有两人接受挑战.根据活动规定 现记 X 为接下来被邀请

到的 6 个人中接受挑战的人数 求 X 的分布列和数学期望.

18

本小题满分 12 分 如图 摩天轮上一点 P 在 t 时刻距离地面高度满足 y = A sin(ωt + ? ) + b ,

A > 0, ω > 0, ? ∈ [?π , π ] 已知某摩天轮的半径为 50 米
面的高度为 60 米 摩天轮做匀速转动 每 3 分钟转一圈 始位置在摩天轮的最低点处 1 根据条件写出 y 米 关于 t 分钟 的解析式

点 O 距地 点 P 的起

2 在摩天轮转动的一圈内 有多长时间点 P 距离地面超 19 (本小题满分 12 分) 如图 在四棱锥 P ? ABCD 中 第 18 题图

过 85 米至

PD ⊥ 平面ABCD ,四边形 ABCD 是菱形
E 是 PB 上任意一点.

AC = 2 ,

BD = 2 3 , 且 AC , BD 交于点 O
1 求证

P

AC ⊥ DE

2 已知二面角 A ? PB ? D 的余弦值为

15 5

若 E 为 PB

E D O A
第 19 题图

C B

的中点 求 EC 与平面 PAB 所成角的正弦值.
·4 ·

20

本小题满分 13 分 为了加强环保建设 提高社会效益和经济效益 某市计划用若干年时间更换 10000 辆燃油型公

交车

每更换一辆新车

则淘汰一辆旧车

更换的新车为电力型车和混合动力型车

今年初投入了

电力型公交车 128 辆

混合动力型公交车 400 辆

计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加

50% 混合动力型车每年比上一年多投入 a 辆 设 an
动力型公交车的数量 设 Sn 1 求 Sn

bn 分别为第 n 年投入的电力型公交车 混合

Tn 分别为 n 年里投入的电力型公交车 混合动力型公交车的总数量

Tn

并求 n 年里投入的所有新公交车的总数 Fn

2 该市计划用 7 年的时间完成全部更换 求 a 的最小值

21

本小题满分 13 分 如图 已知圆 E: ( x + 3) 2 + y 2 = 16 点 F ( 3,0) P 是圆 E 上任意一点 线段 PF 的垂直平分

线和半径 PE 相交于 Q 求动点 Q 的轨迹Γ 的方程 设直线 l 与( )中轨迹Γ 相交于 A, B 两点, 直线 OA, l , OB 的斜率分别为 k1 , k , k2 (其中

k > 0 ) △ OAB 的面积为 S , 以 OA, OB 为直径的圆的面积分别为 S1 , S 2
构成等比数列, 求

若 k1 , k , k 2 恰好

S1 + S 2 的取值范围 S

·5 ·

第 21 题图

22

本小题满分 13 分 已知 f (x ) = ln x ? ax ? bx
2

(1)若 a = ?1

函数 f ( x ) 在其定义域内是增函数 求 b 的取值范围 求证 平面

(2) f (x ) 的图象与 x 轴交于 A (x 1 ,0), B (x 2 ,0)(x 1 < x 2 ) )两点, AB 中点为 C ( x0 , 0)

f ′(x 0 ) < 0

2015 年 3 月长望浏宁高三模拟考试

理科数学
参考答案
一 选择题 1 D 每小题 5 分 共 50 分 2 C 3 A 4 B 5 D 6 A 7 C 8 B 9 B 10 D 题号 答案 二

填空题

每小题 5 分 共 25 分

11 1 12 4 13 三 17 解答题

121 29

14

2 15

10 5

16

(0,2).

共 75 分 这 3 个人接受挑战分别记为 A
·6 ·

12 分 解法一

B

C

则 A, B, C 分别表示这 3 个人

不接受挑战

这 3 个人参与该项活动的可能结果为 共有 8 种

{ A, B, C}

{ A, B, C} { A, B, C} { A, B, C}
2分 共有 4

{ A, B, C} { A, B, C} { A, B, C} { A, B, C}
其中 种 根据古典概型的概率公式 所求的概率为 P =

少有 2 个人接受挑战的可能结果有

{ A, B, C}

{ A, B, C} { A, B, C} { A, B, C}
3分 4分

4 1 = 8 2

说明 若学生先设 用 ( x, y, z ) 中的 x, y, z 依次表示甲 乙 丙三人接受或不接受挑战的情况 将 所 有 结 果 写 成



( A, B, C )

, 不扣分

( A, B, C )

,

( A, B, C )

( A, B, C ) , ( A, B, C ) , ( A, B, C ) , ( A, B, C ) , ( A, B, C )
因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的 所以每个人接受挑战的概率为
0 6 0 6

1 2

不接受挑战的概率也为
1 6

1 2
5

5分

1 ?1? ?1? 所以 P ( X = 0 ) = C ? ? ? ? = 64 ?2? ? 2?

6 3 ?1? ?1? P ( X = 1) = C ? ? ? ? ? = = ? 2 ? ? 2 ? 64 32
3

?1? P ( X = 2 ) = C62 ? ? ?2? ?1? P ( X = 4 ) = C64 ? ? ?2?

2

? 1 ? 15 ?? ? = 64 ?2? ? 1 ? 15 ?? ? = 64 ?2?
0 2

4

3?1? P ( X = 3) = C6 ?2? ? ?

? 1 ? 20 5 ?? ? = = ? 2 ? 64 16
6 3 ?1? ?? ? = = ? 2 ? 64 32
1

3

4

5?1? P ( X = 5 ) = C6 ?2? ? ?

5

1 6?1? ?1? P ( X = 6 ) = C6 ? 2 ? ? 2 ? = 64 . ? ? ? ?

6

9分 0
1 64

故 X 的分布列为

X P

1
3 32

2
15 64

3
5 16

4
15 64

5
3 32

6
1 64

10 分

所以 E ( X ) = 0 ×

1 3 15 5 15 3 1 + 1× + 2 × + 3 × + 4 × + 5 × + 6 × =3 64 32 64 16 64 32 64

故所求的期望为 3 解法二 因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的 所以每个人接受挑战的概率为
1 2

12 分

不接受挑战的概率也为

1 2

1分

·7 ·

设事件 M 为 这 3 个人中 少有 2 个人接受挑战
?1? 则 P ( M ) = C32 ? ? ?2?
2

?1? ?1? 1 ? ? ? + C33 ? ? = ?2? ?2? 2

3

4分 5分

? 1? 因为 X 为接下来被邀请的 6 个人中接受挑战的人数 所以 X ~ B ? 6, ? ? 2? 1 ?1? ?1? 所以 P ( X = 0 ) = C ? ? ? ? = 64 ?2? ? 2?
0 6 0 6

6 3 ?1? ?1? P ( X = 1) = C ? ? ? ? ? = = ? 2 ? ? 2 ? 64 32
1 6 3

5

?1? P ( X = 2 ) = C62 ? ? ?2? ?1? P ( X = 4 ) = C64 ? ? ?2?

2

? 1 ? 15 ?? ? = 64 ?2? ? 1 ? 15 ?? ? = 64 ?2?
0 2

4

3?1? P ( X = 3) = C6 ?2? ? ?

? 1 ? 20 5 ?? ? = = ? 2 ? 64 16 6 3 ?1? ?? ? = = 2 64 32 ? ?
1

3

4

5?1? P ( X = 5 ) = C6 ?2? ? ?

5

1 6?1? ?1? P ( X = 6 ) = C6 ? 2 ? ? 2 ? = 64 . ? ? ? ?

6

9分 10 分

故 X 的分布列为
X P

0
1 64

1
3 32

2
15 64

3
5 16

4
15 64

5
3 32

6
1 64

所以 E ( X ) = 6 × 18 12 分 又T =

1 =3 2

故所求的期望为 3

12 分 1分 3分

1 由题设可知 A = 50

b = 60



ω

=3

所以 ω =

2 π 3

从而 y = 50sin( 代入 y = 50sin( 因此

2π t + ? ) + 60 再由题设知 t = 0 时 y = 10 3
5分 6分 则有 y = 60 ? 50 cos

2π π t + ? ) + 60 得 sin ? = ?1 从而 ? = ? 3 2 2π t , (t > 0) . 3 2π t > 85 3

y = 60 ? 50cos

2 要使点 P 距离地面超过 85 米 即 cos

8分

2π 1 t<? 3 2

又0 <

2π 2π 2π 4π t < 2π , (t > 0) 解得 < t< , (t > 0) 3 3 3 3
·8 ·

即1 < t < 2 所以 在摩天轮转动的一圈内 点 P 距离地面超过 85 米的时间有 1 分钟. 19 12 分 1 因为 DP ⊥ 平面 ABCD 所以 DP ⊥ AC

10 分 12 分 1分 2分

因为四边形 ABCD 为菱形 所以 BD ⊥ AC 又 BD I PD = D,∴ AC ⊥ 平面PBD.

P
5分

z

∴ AC ⊥ DE. 因为 DE ? 平面PBD,
2 连接 OE , 在 ?PBD 中

EO // PD,
x

E D O B A
y

C


所以 EO ⊥ 平面ABCD, 分别以 OA, OB, OE 所在直线为 x

y轴

z 轴建立如图所示的空间直角坐标系

设 PD = t , 则 A (1, 0, 0 )

t? ? B 0, 3, 0 , C ( ?1, 0, 0 ) , E ? 0, 0, ? , P 0, ? 3, t . 2? ?

(

)

(

)

6分

由 1 知 平面 PBD 的一个法向量为 “1 则?

1,0,0

设平面 PAB 的一个法向量为 “ 2 x, y , z 令 y =1 得 n2 = ? 3,1,

? ?n1 ? AB = 0 ? ?n2 ? AP = 0

得?

? ?? x + 3 y = 0 ? ?? x ? 3 y + tz = 0

? ? ?

2 3? ? ?. t ?

8分

因为二面角 A ? PB ? D 的余弦值为

15 5

所以 cos n1 , n2

=

3 15 = 5 12 4+ 2 t
10 分

解得 t = 2 3 或 t = ?2 3

舍去

所以 P 0, ? 3, 2 3

(

设 EC 与平面 PAB 所成的角为 θ .因为 EC = ?1, 0, ? ∴ sin θ =| cos EC , n2 |=

uuu r

(

) 3)

n2 =

(

3,1,1

)

uuu r

2 3 15 = 5 2 5 15 . 5
12 分

所以 EC 与平面 PAB 所成角的正弦值为 20 13 分 1 设 an

bn 分别为第 n 年投入的电力型公交车 混合动力型公交车的数量
公比为 1 + 50% =
·9 ·

依题意知 数列 {an } 是首项为 128

3 的等比数列 2

1分

数列 {bn } 是首项为 400

公差为 a 的等差数列

2分

3 128[1 ? ( ) n ] 2 = 256[( 3 ) n ? 1] 所以数列 {an } 的前 n 和 S n = 3 2 1? 2
数列 {bn } 的前 n 项和 Tn = 400n + 所以经过 n 年

4分

n(n ? 1) a 2

6分

该市更换的公交车总数 7分 9分 10 分 11 分 解得 a ≥

3 n(n ? 1) Fn = S n + Tn = 256[( ) n ? 1] + 400n + a 2 2
2 因为 256[( ) ? 1]
n

3 2

400n +

n(n ? 1) a (a > 0) 是关于 n 的单调递增函数 2

因此 Fn 是关于 n 的单调递增函数 所以满足 a 的最小值应该是 F7 ≥ 10000 即 256[( ) ? 1] + 400 × 7 +
7

3 2
*

7×6 a ≥ 10000 2

3082 21

12 分 13 分

又a∈N 21

所以 a 的最小值为 147 连结 QF 根据题意 |QP|=|QF| 则|QE|

13 分

|QF|=|QE| 2分

|QP|=

4 >| EF |= 2 3 设其方程为 可知 a = 2

故动点 Q 的轨迹 Γ 是以 E F 为焦点 长轴长为 4 的椭圆
x2 x2 + = 1(a > b > 0) a 2 b2 c = a 2 ? b2 = 3

则b =1

3分 4分

所以点 Q 的轨迹 Γ 的方程为

x2 + y2 = 1 4

( )设直线 l 的方程为 y = kx + m

A( x1 , y1 )

B( x2 , y 2 )

由 ? x2

? y = kx + m ? 可得 (1 + 4k 2 ) x 2 + 8kmx + 4( m 2 ? 1) = 0 2 + y = 1 ? ?4

·10·

由韦达定理有

8 km ? x1 + x 2 = ? ? ? 1 + 4k 2 ? 2 ? x1 x 2 = 4 ( m ? 1) ? 1 + 4k 2 ?
2

且 ? = 16(1 + 4k 2 ? m 2 ) > 0

6分

∵ k1 , k , k 2 构成等比数列 ∴ k = k1k2 = 由韦达定理代入化简得 此时 ? = 16( 2 ? m 2 ) > 0

(kx1 + m)(kx2 + m) x1 x2
∴k =



km( x1 + x 2 ) + m 2 = 0
8分

k2 =

1 4

∵ k >0

1 2

即 m ∈ (? 2 , 2 ) 从而 m ∈ ( ? 2, 0) U (0, 2)

又由 A、O、B 三点不共线得 m ≠ 0 故S =

|m| 1 1 1 + k 2 | x1 ? x 2 | ? | AB | ?d = 2 2 1+ k 2
1 ( x1 + x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? | m | = 2 ? m 2 ? | m | 2
10 分

=


x12 x2 2 + y12 = 2 + y2 =1 4 4

则 S1 + S 2 =

π
4

2 2 ? ( x12 + y12 + x 2 + y2 )=

π

3 3 2 ? ( x12 + x 2 + 2) 4 4 4
12 分

=

3π π 5π ? [( x1 + x 2 ) 2 ? 2 x1 x 2 ] + = 为定值 16 2 4 1 2? m ?| m |
2

S1 + S 2 5π = ? S 4 ∴

5π 4

∴当且仅当 m = ±1 时等号成立 综上 22

S1 + S 2 5π 的取值范围是 [ , + ∞) S 4
13 分 (1)依题意

13 分 ∴ f ′( x ) =

f ( x ) = ln x ? ax 2 ? bx

1 + 2x ? b x

1分

∵ f ( x ) 在 (0, +∞) 上递增 ∴ f ′( x ) = 即b ≤

1 + 2 x ? b ≥ 0 对 x ∈ (0, +∞) 恒成立 x
3分

1 1 + 2 x 对 x ∈ (0, +∞) 恒成立 只需 b ≤ ( + 2 x ) min x x

·11·

∵x>0



1 + 2x ≥ 2 2 x

当且仅当 x =

2 时取 = 2

4分 6分 两式相减 得

∴b ≤ 2 2

∴b 的取值范围为 (?∞, 2 2]

2 2 ? ? ? f ( x1 ) = ln x1 ? ax1 ? bx1 ? ln x1 = ax1 + bx1 (2)由已知得 ? ?? 2 2 ? f ( x2 ) = ln x2 ? ax2 ? bx2 ? ? ? ln x2 = ax2 + bx2

ln

x1 x = a( x1 + x2 )( x1 ? x2 ) + b( x1 ? x2 ) ? ln 1 = ( x1 ? x2 )[a ( x1 + x2 ) + b] x2 x2

8分

由 f ′( x ) =

1 ? 2ax ? b 及 2 x0 = x1 + x2 x



f ′( x0 ) =

x 1 2 2 1 ln 1 + 2ax0 ? b = ? [a( x1 + x2 ) + b] = ? x0 x1 + x2 x1 + x2 x1 ? x2 x2
2(

10 分

x1 ? 1) x1 x2 x 2( x1 ? x2 ) 1 1 [ [ = ? ln ] = ? ln 1 ] x1 ? x2 x1 + x2 x2 x1 ? x2 x1 x2 ( + 1) x2


t=

x1 2t ? 2 , ? (t ) = ? ln t (0 < t < 1) x2 t +1
(t ? 1) 2 <0 t (t + 1) 2



? ′(t ) = ?

∴ ? (t ) 在 (0,1) 上递减 ∴ ? (t ) > ? (1) = 0

x1 ? 1) x2 x ∴ ? ln 1 < 0 x1 x2 +1 x2 2(
又 x1 < x2



2( x1 ? x2 ) x ? ln 1 < 0 x1 + x2 x2

12 分

∴ f ′( x0 ) < 0

13 分

·12·


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