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最新精编高中人教版选修4-5高中数学第08课时不等式的证明方法之——比较法 公开课优质课教学设计

课 题: 第 08 课时 不等式的证明方法之一:比较 法 目的要求: 重点难点: 教学过程: 一、引入: 要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号即可,即利用不等式的性 质: a ? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0 二、典型例题: 例 1、设 a ? b ,求证: a 2 ? 3b 2 ? 2b(a ? b) 。 例 2、若实数 x ? 1 ,求证: 3(1 ? x 2 ? x 4 ) ? (1 ? x ? x 2 ) 2 . 证明:采用差值比较法: 3(1 ? x 2 ? x 4 ) ? (1 ? x ? x 2 ) 2 = 3 ? 3 x 2 ? 3x 4 ? 1 ? x 2 ? x 4 ? 2 x ? 2 x 2 ? 2 x 3 = 2( x 4 ? x 3 ? x ? 1) = 2( x ? 1) 2 ( x 2 ? x ? 1) 1 3 = 2( x ? 1) 2 [( x ? ) 2 ? ]. 2 4 1 3 ? x ? 1, 从而 ( x ? 1) 2 ? 0, 且( x ? ) 2 ? ? 0, 2 4 1 3 ∴ 2( x ? 1) 2 [( x ? ) 2 ? ] ? 0, 2 4 ∴ 3(1 ? x 2 ? x 4 ) ? (1 ? x ? x 2 ) 2 . 讨论:若题设中去掉 x ? 1 这一限制条件,要求证的结论如何变换? 例 3、已知 a, b ? R ? , 求证 a a b b ? a b b a . 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明: 1) 差值比较法: 注意到要证的不等式关于 a , b 对称, 不妨设 a ? b ? 0. ?a ? b ? 0 ? a a b b ? a b b a ? a b b b ( a a ?b ? b a ?b ) ? 0 2)商值比较法:设 a ? b ? 0, ? ,从而原不等式得证。 a a abb a ? 1, a ? b ? 0, ? b a ? ( ) a ?b ? 1. 故原不等式得证。 b b a b 注:比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等 式的步骤是:作差(或作商) 、变形、判断符号。 例 4、 甲、 乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。 甲有一半时间以速度 m 行走,另一半时间以速度 n 行走;乙有一半路程以速度 m 行走,另一半路程以速 度 n 行走。如果 m ? n ,问甲、乙两人谁先到达指定地点。 分析:设从出发地点至指定地点的路程是 S ,甲、乙两人走完这段路程所用 的时间分别为 t1 , t 2 。要回答题目中的问题,只要比较 t1 , t 2 的大小就可以了。 解:设从出发地点至指定地点的路程是 S ,甲、乙两人走完这段路程所用的 时间分别为 t1 , t 2 ,根据题意有 t2 ? S (m ? n) , 2mn t1 t S S 2S ? ? t 2 ,可得 t1 ? m? 1 n ? S , , 2m 2n m?n 2 2 从而 t1 ? t 2 ? 2S S ( m ? n ) S [ 4 m n ? ( m ? n) 2 ] S ( m ? n) 2 ? , ? ?? m?n 2mn 2(m ? n)m n 2(m ? n)m n 其中 S , m, n 都是正数,且 m ? n 。于是 t1 ? t 2 ? 0 ,即 t1 ? t 2 。 从而知甲比乙首先到达指定地点。 讨论:如果 m ? n ,甲、乙两人谁先到达指定地点? 例 5、设 f ( x) ? 2x 2 ? 1, pq ? 0, p ? q ? 1. 求证;对任意实数 a , b ,恒有 pf (a) ? qf (b) ? f ( pa ? qb). (1) 证明 考虑(1)式两边的差。 pf (a) ? qf (b) ? f ( pa ? qb). = p(2a 2 ? 1) ? q(2b 2 ? 1) ? [2( pa ? qb) 2 ? 1] = 2 p(1 ? p)a 2 ? 2q(1 ? q)b 2 ? 4 pqab? p ? q ? 1. ? p ? q ? 1, pq ? 0, (2) ? (2) ? 2 pqa2 ? 2 pqb2 ? 4 pqab ? 2 pq(a ? b) 2 ? 0. 即(1)成立。 三、小结: 四、练习: 五、作业: 1.比较下面各题中两个代数式值的大小: (1 ) x 2 与 x 2 ? x ? 1 ; (2) x 2 ? x ? 1 与 ( x ? 1) 2 . 2.已知 a ? 1. 求证: (1) a 2 ? 2a ? 1; 3.若 a ? b ? c ? 0 ,求证 a b c ? (abc) a b c (2) a ?b ? c 3 2a ? 1. 1? a2 . 4.比较 a4-b4 与 4a3(a-b)的大小. 解: a4-b4 - 4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b)= (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3) = (a-b)[(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)]= - (a-b)2(3a3+2ab+b2) 2 ?? b ? 2b 2 ? = - (a-b) ?? 3 a ? ? ? ? ? 0 (当且仅当 d=b 时取等号) ? ? 3 3 ? ? ? ? ? ? 2 ∴a4-b4 ? 4a3(a-b)。 5.比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小. 6.已知 x≠0,比较(x2+1)2 与 x4+x2+1 的大小. ? x ? 1? 与 ? x ? 1? 的大小. 8. 已知 a≠0, 比较 ?a ? 2a ? 1??a ? 2a ? 1? 与 ?a 7.如果 x>0,比较 2 2 2 2 2 ? a ?