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浙江专用2018版高考数学大一轮复习第七章不等式7.4基本不等式及其应用

(浙江专用)2018 版高考数学大一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本 不等式及其应用教师用书

1.基本不等式 ab≤

a+b
2

(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a +b ≥2ab(a,b∈R). (2) + ≥2(a,b 同号). (3)ab≤? (4) 2
2 2

b a a b

?a+b?2 (a,b∈R). ? ? 2 ?
≥?

a2+b2 ?a+b?2

? (a,b∈R). ? 2 ?

以上不等式等号成立的条件均为 a=b. 3.算术平均数与几何平均数 设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均数为

a+b
2

,几何平均数为 ab,基本不等式可叙述为两个

正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知 x>0,y>0,则 (1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,x+y 有最小值 2 p.(简记:积定和最小) (2)如果和 x+y 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最大值 .(简记:和定积最大) 4 【知识拓展】 不等式的恒成立、能成立、恰成立问题 (1)恒成立问题:若 f(x)在区间 D 上存在最小值,则不等式 f(x)>A 在区间 D 上恒成立?

p2

f(x)min>A(x∈D);
若 f(x)在区间 D 上存在最大值,则不等式 f(x)<B 在区间 D 上恒成立?f(x)max<B(x∈D).
1

(2)能成立问题:若 f(x)在区间 D 上存在最大值,则在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f(x)>A 成立?f(x)max>A(x∈D); 若 f(x) 在区间 D 上存在最小值,则在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f(x)<B 成立 ?

f(x)min<B(x∈D).
(3)恰成立问题:不等式 f(x)>A 恰在区间 D 上成立?f(x)>A 的解集为 D; 不等式 f(x)<B 恰在区间 D 上成立?f(x)<B 的解集为 D. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 1 (1)函数 y=x+ 的最小值是 2.( × )

x

4 π (2)函数 f(x)=cos x+ ,x∈(0, )的最小值等于 4.( × ) cos x 2 (3)“x>0 且 y>0”是“ + ≥2”的充要条件.( × ) 1 3 (4)若 a>0,则 a + 2的最小值为 2 a.( × )

x y y x

a

(5)不等式 a +b ≥2ab 与

2

2

a+b
2

≥ ab有相同的成立条件.( × )

(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.( √ )

1.(教材改编)设 x>0,y>0,且 x+y=18,则 xy 的最大值为( A.80 B.77 C.81 答案 C 解析 ∵x>0,y>0,∴ 即 xy≤( D.82

)

x+y
2

≥ xy,

x+y
2

) =81,

2

当且仅当 x=y=9 时,(xy)max=81. 2.(教材改编)已知 x>0,a>0,当 y=x+ 取最小值时,x 的值为( A.1 B.a C. a 答案 C 解析 y=x+ ≥2 a, D.2 a

a x

)

a x

2

当且仅当 x= 即 x= a时,

a x

a y=x+ 有最小值 2 a. x
3.若 a>0,b>0,且 a+b=4,则下列不等式恒成立的是( 1 1 A. ≤ ab 4 C. ab≥2 答案 D 1 1 解析 4=a+b≥2 ab(当且仅当 a=b 时,等号成立),即 ab≤2,ab≤4, ≥ ,选项 A, ab 4 1 1 a+b 4 2 2 2 C 不成立; + = = ≥1,选项 B 不成立;a +b =(a+b) -2ab=16-2ab≥8,选项 D 1 1 B. + ≤1 )

a b
2

D.a +b ≥8

2

a b

ab

ab

成立. 4.(2016·宁波期末)若正数 x,y 满足 x +4y +x+2y=1,则 xy 的最大值为________. 答案 2- 3 4
2 2

解析 由题意得 1=x +4y +x+2y≥4xy+2 2· xy, 则 xy≤ 6- 2 6- 2 2 2- 3 ,则 xy≤( )= . 4 4 4
2 2

题型一 利用基本不等式求最值 命题点 1 通过配凑法利用基本不等式 例 1 (1)已知 0<x<1,则 x(4-3x)取得最大值时 x 的值为________. 5 1 (2)已知 x< ,则 f(x)=4x-2+ 的最大值为________. 4 4x-5 (3)函数 y=

x2+2 (x>1)的最小值为________. x-1

2 答案 (1) (2)1 (3)2 3+2 3 1 1 3x+?4-3x? 2 4 解析 (1)x(4-3x)= ·(3x)(4-3x)≤ ·[ ]= , 3 3 2 3 2 当且仅当 3x=4-3x,即 x= 时,取等号. 3

3

5 (2)因为 x< ,所以 5-4x>0, 4 1 1 则 f(x)=4x-2+ =-(5-4x+ )+3≤-2+3=1. 4x-5 5-4x 1 当且仅当 5-4x= ,即 x=1 时,等号成立. 5-4x 1 故 f(x)=4x-2+ 的最大值为 1. 4x-5

x2+2 ?x2-2x+1?+?2x-2?+3 (3)y= = x-1 x-1
= ?x-1? +2?x-1?+3 x-1 3 +2≥2 3+2. x-1
2

=(x-1)+

3 当且仅当(x-1)= ,即 x= 3+1 时,等号成立. ?x-1? 命题点 2 通过常数代换法利用基本不等式 1 1 例 2 已知 a>0,b>0,a+b=1,则 + 的最小值为________.

a b

答案 4 解析 ∵a>0,b>0,a+b=1, 1 1 a+b a+b b a ∴ + = + = 2+ +

a b

a

b

a b

≥2+2 引申探究

b a 1 1 1 · =4,即 + 的最小值为 4,当且仅当 a=b= 时等号成立. a b a b 2

1 1 1.若条件不变,求(1+ )(1+ )的最小值.

a

b

1 1 a+b a+b b a 解 (1+ )(1+ )=(1+ )(1+ )=(2+ )·(2+ )

a

b

a

b

a

b

=5+2( + )≥5+4=9. 1 当且仅当 a=b= 时,取等号. 2 1 1 2.已知 a>0,b>0, + =4,求 a+b 的最小值.

b a a b

a b

1 1 1 1 解 由 + =4,得 + =1. a b 4a 4b 1 1 1 b a 1 ∴a+b=( + )(a+b)= + + ≥ +2 4a 4b 2 4a 4b 2 1 当且仅当 a=b= 时取等号. 2 · =1. 4 a 4b

b

a

4

1 1 3.若将条件改为 a+2b=3,求 + 的最小值.

a b

解 ∵a+2b=3, 1 2 ∴ a+ b=1, 3 3 1 1 1 1 1 2 1 2 a 2b ∴ + =( + )( a+ b)= + + + a b a b 3 3 3 3 3b 3a ≥1+2

a 2b 2 2 · =1+ . 3b 3a 3

当且仅当 a= 2b 时,取等号. 思维升华 (1) 应用基本不等式解题一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“三相

等”. 所谓“一正”是指正数, “二定”是指应用基本不等式求最值时, 和或积为定值, “三 相等”是指满足等号成立的条件. (2)在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式, 然后再利用基本不等式. (3)条件最值的求解通常有两种方法:一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系, 然后代入代数式转化为函数的最值求解; 二是将条件灵活变形, 利用常数“1”代换的方法构 造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值. (1)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是________. (2)已知 x,y∈(0,+∞),2 答案 (1)5 (2)4 1 3 解析 (1)方法一 由 x+3y=5xy,可得 + =1, 5y 5x 1 3 ∴3x+4y=(3x+4y)( + ) 5y 5x 9 4 3x 12y 13 12 = + + + ≥ + =5. 5 5 5y 5x 5 5 3x 12y 1 当且仅当 = ,即 x=1,y= 时,等号成立, 5y 5x 2 ∴3x+4y 的最小值是 5. 3y 方法二 由 x+3y=5xy,得 x= , 5y-1 1 ∵x>0,y>0,∴y> , 5
x-3

1 y 1 m =( ) ,若 + (m>0)的最小值为 3,则 m=________. 2 x y

5

1 9 4 13?y- ?+ + -4y 5 5 5 9y ∴3x+4y= +4y= +4y 5y-1 5y-1 13 9 = + · 5 5 13 ≥ +2 5 1 +4(y- ) 1 5 y- 5 36 =5, 25 1 5

1 当且仅当 y= 时等号成立,∴(3x+4y)min=5. 2 (2)由 2
x-3

1 y =( ) 得 x+y=3, 2

1 m 1 1 m + = (x+y)( + ) x y 3 x y 1 y mx = (1+m+ + ) 3 x y 1 ≥ (1+m+2 m) 3 (当且仅当 = ,即 y= mx 时取等号), 1 ∴ (1+m+2 m)=3, 3 解得 m=4. 题型二 基本不等式的实际应用 例 3 某公司购买一批机器投入生产, 据市场分析, 每台机器生产的产品可获得的总利润 y(单 位:万元)与机器运转时间 x(单位:年)的关系为 y=-x +18x-25(x∈N ),则该公司年平 均利润的最大值是________万元. 答案 8
2 *

y mx x y

y 25 解析 年平均利润为 =-x- +18 x x
25 =-(x+ )+18,

x

25 ∵x+ ≥2

x

x· =10, x x

25

y 25 ∴ =18-(x+ )≤18-10=8, x
25 当且仅当 x= 即 x=5 时,取等号.

x

思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值.
6

(3)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元.若每批生产 x 件, 则平均仓储时间为 天, 且每件产品每天的仓储费用为 1 元. 为使平均到每件产品的生产准备 8 费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品________件. 答案 80 解析 设每件产品的平均费用为 y 元,由题意得

x

y=

800 x + ≥2 x 8

800 x · =20. x 8

800 x 当且仅当 = (x>0),即 x=80 时“=”成立. x 8 题型三 基本不等式的综合应用 命题点 1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题 1 1 2 2 例 4 (1)(2016·杭州二模)正实数 x,y 满足: + =1,则 x +y -10xy 的最小值为_____.

x y

(2)(2016·山西忻州一中等第一次联考)设等差数列{an}的公差是 d,其前 n 项和是 Sn,若 a1 =d=1,则

Sn+8 的最小值是________. an

9 答案 (1)-36 (2) 2 1 1 解析 (1) + =1? x+y=xy,

x y

x +y -10xy=(x+y)2-12xy=(xy)2-12xy=(xy-6)2-36,
由 x+y=xy≥2 xy,得 xy≥4, 故(x +y -10xy)min=-36. (2)an=a1+(n-1)d=n,Sn=
2 2

2

2

n?1+n?
2



n?1+n? Sn+8 ∴ = an
1 (2 2 16 2

+8

n
9

1 16 = (n+ +1)≥ 2 n

n· +1)= , n 2

当且仅当 n=4 时取等号. ∴

Sn+8 9 的最小值是 . an 2

命题点 2 求参数值或取值范围

7

3 1 m 例 5 (1)已知 a>0,b>0,若不等式 + ≥ 恒成立,则 m 的最大值为( a b a+3b A.9 B.12 C.18 D.24

)

(2)已知函数 f(x)= 范围是________.

x2+ax+11 * (a∈R),若对于任意的 x∈N ,f(x)≥3 恒成立,则 a 的取值 x+1

8 答案 (1)B (2)[- ,+∞) 3 3 1 m 解析 (1)由 + ≥ , a b a+3b 3 1 9b a 得 m≤(a+3b)( + )= + +6.

a b

a

b

9b a 9b a 又 + +6≥2 9+6=12(当且仅当 = 时等号成立),

a

b

a

b

∴m≤12,∴m 的最大值为 12. (2)对任意 x∈N ,f(x)≥3 恒成立,即
*

x2+ax+11 8 ≥3 恒成立,即知 a≥-(x+ )+3. x+1 x

8 17 * 设 g(x)=x+ ,x∈N ,则 g(2)=6,g(3)= . x 3 17 8 8 ∵g(2)>g(3),∴g(x)min= ,∴-(x+ )+3≤- , 3 x 3 8 8 ∴a≥- ,故 a 的取值范围是[- ,+∞). 3 3 思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立: 对所给不等式(或式子)变形, 然后利用 基本不等式求解. (2)条件不等式的最值问题:通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解. (3)求参数的值或范围:观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得参数的值 或范围. (1)(2016·杭州四地六校联考 ) 已知函数 f(x) = x + + 2 的值域为 ( -∞, 0]∪[4,+∞),则 a 的值是( A. 1 3 B. 2 2 C.1 D.2 )

a x

(2)已知各项均为正数的等比数列{an}满足 a7=a6+2a5,若存在两项 am,an 使得 aman=4a1, 1 4 则 + 的最小值为(

m n

)

A.

3 5 B. 2 3

9 C. 4

25 D. 6

答案 (1)C (2)A
8

解析 (1)由题意可得 a>0, ①当 x>0 时,f(x)=x+ +2≥2 a+2,当且仅当 x= a时取等号; ②当 x<0 时,f(x)=x+ +2≤-2 a+2, 当且仅当 x=- a时取等号,

a x a x

?2-2 a=0, 所以? ?2 a+2=4,

解得 a=1,故选 C.
6 5 4

(2)由各项均为正数的等比数列{an}满足 a7=a6+2a5,可得 a1q =a1q +2a1q , 所以 q -q-2=0, 解得 q=2 或 q=-1(舍去). 因为 aman=4a1,所以 q 所以 2
m+n-2
4 2

m+n-2

=16,

=2 ,所以 m+n=6.

1 4 1 1 4 所以 + = (m+n)( + ) m n 6 m n 1 n 4m = (5+ + ) 6 m n

n 4m 3 · )= . m n 2 n 4m 当且仅当 = ,即 m=2,n=4 时等号成立, m n
1 ≥ (5+2 6 1 4 3 故 + 的最小值等于 . m n 2

8.利用基本不等式求最值

1 2 典例 (1)已知 x>0,y>0,且 + =1,则 x+y 的最小值是________.

x y

3 (2)函数 y=1-2x- (x<0)的值域为________.

x

错解展示 1 2 解析 (1)∵x>0,y>0,∴1= + ≥2 2

x y

xy



∴ xy≥2 2,∴x+y≥2 xy=4 2, ∴x+y 的最小值为 4 2.

9

3 3 (2)∵2x+ ≥2 6,∴y=1-2x- ≤1-2 6.

x

x

3 ∴函数 y=1-2x- (x<0)的值域为(-∞,1-2 6].

x

答案 (1)4 2 现场纠错

(2)(-∞,1-2 6]

解析 (1)∵x>0,y>0, 1 2 ∴x+y=(x+y)( + )

x y

y 2x =3+ + ≥3+2 2(当且仅当 y= 2x 时取等号), x y
∴当 x= 2+1,y=2+ 2时,(x+y)min=3+2 2. 3 3 (2)∵x<0,∴y=1-2x- =1+(-2x)+(- )≥1+2

x

x

3 ?-2x?· =1+2 6,当且仅 -x

当 x=-

6 3 时取等号,故函数 y=1-2x- (x<0)的值域为[1+2 6,+∞). 2 x (2)[1+2 6,+∞)

答案 (1)3+2 2

纠错心得 利用基本不等式求最值时要注意条件:一正二定三相等;多次使用基本不等式要 验证等号成立的条件.

1.已知 a,b∈R,且 ab≠0,则下列结论恒成立的是( A.a+b≥2 ab C.| + |≥2 答案 C 解析 因为 和 同号,所以| + |=| |+| |≥2. B. + ≥2 D.a +b >2ab
2 2

)

a b b a

a b b a

a b b a

a b b a
2

a b

b a

2.设非零实数 a,b,则“a +b ≥2ab”是“ + ≥2”成立的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B

2

a b b a

)

10

解析 因为 a,b∈R 时,都有 a +b -2ab=(a-b) ≥0, 即 a +b ≥2ab,而 + ≥2?ab>0, 所以“a +b ≥2ab”是“ + ≥2”的必要不充分条件,故选 B. 1 1 x y 3.(2016·余姚模拟)已知 x>0,y>0,lg 2 +lg 8 =lg 2,则 + 的最小值是( x 3y A.2 B.2 2 答案 C 解析 因为 lg 2 +lg 8 =lg 2,所以 x+3y=1, 1 1 1 1 3y x 所以 + =( + )(x+3y)=2+ + ≥4, x 3y x 3y x 3y 3y x 1 1 当且仅当 = ,即 x= ,y= 时,取等号. x 3y 2 6 4.(2016·平顶山至阳中学期中)若函数 f(x)=x+ ( ) B.1+ 3 D.4 1
x y
2 2 2 2

2

2

2

a b b a

a b b a

)

C.4 D.2 3

x-2

(x>2)在 x=a 处取最小值,则 a 等于

A.1+ 2 C.3 答案 C

解析 当 x>2 时,x-2>0,f(x)=(x-2)+ 当 x-2= 1

1 +2≥2 x-2

?x-2?×

1 +2=4,当且仅 x-2

x-2

(x>2),即 x=3 时取等号,即当 f(x)取得最小值时,x=3,即 a=3,故选 C. )

5.已知 x>0,y>0,且 4xy-x-2y=4,则 xy 的最小值为( A. 2 2 B.2 2 C. 2 D.2

答案 D 解析 ∵x>0,y>0,x+2y≥2 2xy, ∴4xy-(x+2y)≤4xy-2 2xy, ∴4≤4xy-2 2xy, 即( 2xy-2)( 2xy+1)≥0, ∴ 2xy≥2,∴xy≥2. 1 2 *6.设 a>b>c>0,则 2a + + A.2 B.4 C.2 5 D.5 1

ab a?a-b?

-10ac+25c 的最小值是(

2

)

11

答案 B 1 2 解析 2a + + 1 2 -10ac+25c ab a?a-b?

1 2 2 =(a-5c) +a -ab+ab+ +

ab

1 a?a-b? 1

1 2 =(a-5c) +ab+ +a(a-b)+

ab

a?a-b?

≥0+2+2=4, 当且仅当 a-5c=0,ab=1,a(a-b)=1 时,等号成立, 即取 a= 2,b= 2 2 ,c= 时满足条件. 2 5 )

1 1 1 9 *7.(2016·吉林九校第二次联考)若正数 a, b 满足 + =1, 则 + 的最小值是( a b a-1 b-1 A.1 B.6 C.9 D.16 答案 B

1 1 a 1 9 解析 ∵正数 a,b 满足 + =1,∴b= >0,解得 a>1.同理可得 b>1,所以 + = a b a-1 a-1 b-1 1

a-1



1 = +9(a-1)≥2 a-1 -1 a-1

9

1

a

a-1

·9?a-1?=6,当且仅当

1

a-1

=9(a-1),即 a

4 = 时等号成立,所以最小值为 6.故选 B. 3 π 1 4 8.(2016·浙江省五校高三第二次联考)对任意的 θ ∈(0, ),不等式 2 + 2 ≥|2x 2 sin θ cos θ -1|成立,则实数 x 的取值范围是( A.[-3,4] 3 5 C.[- , ] 2 2 答案 D 解析 因为
2

) B.[0,2] D.[-4,5]

1 4 + 2 2 sin θ cos θ
2 2 2

= =

sin θ +cos θ 4?sin θ +cos θ ? + 2 2 sin θ cos θ cos θ 4sin θ + +5≥2× 2 2 sin θ cos θ
2 2 2 2

cos θ 4sin θ · +5=9, 2 2 sin θ cos θ

2

2

cos θ 4sin θ 2 当且仅当 2 = ,即 tan θ = 时等号成立, 2 sin θ cos θ 2 所以|2x-1|≤9,解得-4≤x≤5,故选 D. 9.(2016·唐山一模)已知 x,y∈R 且满足 x +2xy+4y =6,则 z=x +4y 的取值范围为
2 2 2 2

12

________. 答案 [4,12] 解析 ∵2xy=6-(x +4y ),而 2xy≤ ∴6-(x +4y )≤
2 2 2 2 2 2

x2+4y2
2



x2+4y2
2



∴x +4y ≥4(当且仅当 x=2y 时取等号). 又∵(x+2y) =6+2xy≥0, 即 2xy≥-6,∴z=x +4y =6-2xy≤12 (当且仅当 x=-2y 时取等号). 综上可知 4≤x +4y ≤12. 10. (2016·潍坊模拟)已知 a, b 为正实数, 直线 x+y+a=0 与圆(x-b) +(y-1) =2 相切, 则
2 2 2 2 2 2 2

a2

b+1

的取值范围是________.

答案 (0,+∞) 解析 ∵x+y+a=0 与圆(x-b) +(y-1) =2 相切, |b+1+a| ∴d= = 2, 2 ∴a+b+1=2,即 a+b=1, ∴ ?1-b? ?b+1? -4?b+1?+4 = = b+1 b+1 b+1 4
2 2

a2

2

2

=(b+1)+

b+1

-4≥2 4-4=0.

又∵a,b 为正实数,∴等号取不到. ∴

a2

b+1

的取值范围是(0,+∞).

*11.(2016·东莞模拟)函数 y=loga(x+3)-1(a>0,且 a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在 1 2 直线 mx+ny+1=0 上,其中 m,n 均大于 0,则 + 的最小值为________.

m n

答案 8 解析 y=loga(x+3)-1 的图象恒过定点 A(-2,-1), 由 A 在直线 mx+ny+1=0 上. 得-2m-n+1=0 即 2m+n=1. 1 2 2m+n 2?2m+n? n 4m n 4m 1 1 ∴ + = + = + +4≥2 4+4=8(当且仅当 = ,即 m= ,n= 时等 m n m n m n m n 4 2 号成立).
13

1 4y+2z 12.(2017·浙江联考)若正数 x,y,z 满足 3x+4y+5z=6,则 + 的最小值为 2y+z x+z ________. 答案 解析 = 7 3 1 4y+2z 1 6-3?x+z? + = + 2y+z x+z 2y+z x+z

1 6 + -3, 2y+z x+z

令 2y+z=a,x+z=b, 则 2(2y+z)+3(x+z)=3x+4y+5z=2a+3b=6, 即 + =1, 3 2 1 6 a b 原式=( + )( + )-3 a b 3 2 1 b 2a 7 = + + ≥ . 3 2a b 3 13. 某项研究表明: 在考虑行车安全情况下, 某路段车流量 F(单位时间经过测量点的车辆数, 单位: 辆/小时)与车辆速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶, 单位: 米/秒), 平均车长 l(单位: 米)的值有关,其公式 F= 76 000v . v +18v+20l
2

a b

(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为________辆/小时. (2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时. 答案 (1)1 900 (2)100 解析 (1)当 l=6.05 时,F= 76 000 ≤ 121 v+ +18 2 76 000 =1 900, 121 v· +18

v

v

当且仅当 v=11 时取最大值. (2)当 l=5 时,F= 76 000 ≤2 000, 100 v+ +18

v

当且仅当 v=10 时取等号, ∴最大车流量比(1)中增加 2 000-1 900=100(辆/小时). 14.运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米,按交通法规限制 50≤x≤100(单位: 千米/时).假设汽油的价格是每升 2 元,而汽车每小时耗油(2+ )升,司机的工资是每小 360 时 14 元. (1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式;
14

x2

(2)当 x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值. 130 解 (1)设所用时间为 t= (h),

x

y=

130 x 130 ×2×(2+ )+14× ,x∈[50,100]. x 360 x

2

所以这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是

y=

2 340 13 + x,x∈[50,100]. x 18

2 340 13 (2)y= + x≥26 10, x 18 2 340 13 当且仅当 = x,即 x=18 10时,等号成立. x 18 故当 x=18 10时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为 26 10元.

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