当前位置:首页 >> 数学 >>

2014年9月高中数学联赛模拟试题1


(1)设 n 为不小于 3 的正整数,公差为 1 的等差数列 a1 , a 2 ,…, a n 和首项为 1 的 等比数列 b1 ,b2 ,…,bn 满足 b1 ? a1 ? b2 ? a2 ? … ? bn ? an ,求正整数 n 的最大值; (2)对任意给定的不小于 3 的正整数 n ,证明:存在正整数 x ,使得等差数列 ?am ? :
x n ? x n ?1 ? 1 ,x n ? 2 x n ?1 ? 1 , …,x n ? nx n ?1 ? 1 和等比数列 ?bm ? :xn ,(1 ? x) x n ?1 , …,

x(1 ? x)n ?1 满足 b1 ? a1 ? b2 ? a2 ? … ? bn ? an .
解: (1)设 an ? a1 ? n ? 1 , bn ? b2n?1 ,依题意得,

1 ? a1 ? b2 ? a1 ? 1 ? b22 ? a1 ? 2 ? b23 ? a1 ? 3 ? b24 ? a1 ? 4 ? b25 ? a1 ? 5 …,
…… 2 分 从而 1 ? b2 ? 2 ? b2 2 ? 3 ? b23 ? 4 ? b2 4 ? 5 ? b25 ? 6 ? …, 即 1 ? b2 ? 2 ①, 2 ? b2 ? 3 ②, 3 ? b2 ? 4 ③, 2 ? b2 ? 5 ④,
5 3 3 4

5 ? b2 ? 6 ⑤,…,由①②③④得, 3 ? b2 ? 5 ;因为 6 ? 3 ,所以由
5 3

5

3

4

①②③④⑤得, b2 不存在了,从而正整数 n 的最大值为 5; (2)依题意,am ? xn ? xn?1 ? 1 ? (m ? 1) xn?1 ,bm ? xn 1 ? 1 x

…… 6 分

? ?

m?1

,且 m ? 1 ,2,…,n ,
am ? am 1 ? 1 , x x

一方面,当 x ? N* 时, am ? xn ,因此, am?1 ? am ? xn?1 ? am ? 结合 a1 ? b2 ? 1 ? b2 及 ?bm ? 是公比为 1 ? 1 的等比数列可得, x

? ?

1 ? b 1 ? 1 ? b ,…, a2 ? a 1 1 ? 1 ? b 21 ? 1 ? b , 3 a3 ? a2 1 ? 3 4 x x x x
从而对任意的 m ? 1,2,…, n ? 1 ,都有 am ? bm?1 ; 另一方面,因为 bm ? am ? xn 1 ? 1 x …… 11 分

? ? ? ?

? ? ? ?

? ?

m?1

? xn ? xn?1 ? 1 ? (m ? 1) xn?1

? xn?m?1 ?1 ? x ?
3 的正整数)

m?1

? xn ? mxn?1 ? 1 ( m ? 1,2,…, n ,其中 n 为给定的不小于

? x ?1 ? x ?

n ?1

? xn ? nxn?1 ? 1

? xn ? (n ? 1) xn?1 ?

n(n ? 1) n ? 2 x ? … ? x ? x n ? nx n ?1 ? 1 2

S

数学参考答案

第 1 页(共 9 页)

?

n(n ? 1) n ? 2 x ? … ? x ? 1 ? x n ?1 (*) 2

显然,(*)式左边是关于 x 的 n ? 2 次式,右边是关于 x 的 n ? 1 次式, 只要正整数 x 充分大, (*) 式即可成立,从而 m ? 1, 2, …, 都有 bm ? am . n 时, 综上,必存在正整数 x ,满足 b1 ? a1 ? b2 ? a2 ? … ? bn ? an . …… 16 分

S

数学参考答案

第 2 页(共 9 页)


相关文章:
2014年9月高中数学联赛模拟试题1.doc
2014年9月高中数学联赛模拟试题1 - (1)设 n 为不小于 3 的正整数,
2014高中数学联赛模拟试题(含答案).doc
2014高中数学联赛模拟试题(含答案) - 2013 年全国高中数学联赛模拟试题(02) 第一试 一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.把答案填在题中的横线上...
2014年全国高中数学联赛试题及解答.doc
2014年全国高中数学联赛试题及解答 - 2014 年全国高中数学联合竞赛试题(A 卷) 一试 一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分) 1 1 1. 若...
2015年全国高中数学联赛模拟试题及答案 1.pdf
2015年全国高中数学联赛模拟试题及答案 1_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015 年...2015年9月13日全国高中数... 1页 免费 全国高中数学联赛省级预... 15页 ...
2014年全国高中数学联赛模拟卷(1)(一试+二试_附详细解答).doc
2014年全国高中数学联赛模拟卷(1)(一试+二试_附详细解答)_数学_高中教育_教育专区。2014 年全国高中数学联赛模拟卷(1)第一试 (考试时间:80 分钟 满分:120 ...
2014全国高中数学联赛试题.doc
2014全国高中数学联赛试题 - 2014 全国高中数学联赛试题 一、填空题 1、若正数 a , b 2 ? log2 a ? 3 ? log3 b ? log(a ? b) ,则 1 1 ?...
2014全国高中数学联赛试题 (1).doc
2014全国高中数学联赛试题 (1)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2014
全国高中数学联赛模拟试题(一).doc
全国高中数学联赛模拟试题() - 全国高中数学联赛模拟试题() (命题人:吴伟朝) 第、 选择题: (每小题 6 分,共 36 分) 1、方程 6×(5a2+b2...
2014年全国高中数学联赛试题及答案.doc
2014年全国高中数学联赛试题及答案 - 声明:本资料未经过编辑加工,可能存在错误,敬请谅解。 更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦) 》 2014 ...
2017年全国高中数学联赛模拟试题01.doc
2017年全国高中数学联赛模拟试题01_学科竞赛_高中教育...9.(本小题满分 16 分).试求实数 a 的取值范围...___. x?3 1 1 1 解: 2014 .注意到 f1 ( ...
2015年9月13日全国高中数学联赛竞赛一试试题(A卷).doc
2015年9月13日全国高中数学联赛竞赛试题(A卷)_学科竞赛_高中教育_教
全国高中数学联赛模拟试题函数.doc
全国高中数学联赛模拟试题函数 - 全国高中数学联赛模拟试题分类汇编(集合函数)
2015年全国高中数学联赛模拟试题及答案解析(2)_图文.pdf
2015年全国高中数学联赛模拟试题及答案解析(2) - 2015 全国高中数学联赛模拟试题 02 一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.在如下图所示的正方体 ABCD ? ...
2014年9月高中数学联赛预赛试题2.doc
2014 年 9 月高中数学联赛预赛试题 2 一、填空题(共 8 小题,每小题
2014年全国高中数学联赛模拟试题(2卷)(附详细解答).doc
2014 年全国高中数学联赛模拟卷(1)第一试 (考试时间:80 分钟 满分:120 分) 姓名:___考试号:___得分:___ 一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分...
2011-2014年全国高中数学联赛一试和加试试题及参考答案.doc
2011-2014年全国高中数学联赛一试和加试试题及参考答案 - 2011 年全国高中数学联合竞赛一试题(A 卷) 考试时间:2011 年 10 月 16 日 8:009:20 一、...
2017年全国高中数学联赛模拟试题05.doc
1 ,则 | P 2013 P 2014 |? 4.设动点 P(t ,0), Q(1, t) ,其中...x 与椭圆 C: 2017 年全国高中数学联赛模拟试题 05 加试 (时间:9:40-12:10...
2017年全国高中数学联赛模拟试题04.doc
?1, 2,?, 2014? 的 n 元子集,且 A 中任两数皆是“联盟”数对,则 n...年全国高中数学联赛模拟试题 04 加试 (时间:9:40-12:10 满分:180) 一、 (...
2014年全国高中数学联赛真题(A卷)参考答案解析.pdf
2014年全国高中数学联赛真题(A卷)参考答案解析 - 2014 年全国高中数学联合竞赛一试(A 卷) 参考答案及评分标准 说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准. 填空题...
2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题01.doc
2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题一 先做后对答案 2014 年高中数学联赛江苏...log 2 y ? 1 ,则 S 的最小值为___ 9.设 ?ABC 内接于半径为 R 的⊙...
更多相关标签: