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函数。导数及其应用知识点及例题_图文

第二单元
第4讲 第5讲 第6讲 第7讲

函数、导数及其应用

函数的概念及其表示 函数的单调性与最值 函数的奇偶性与周期性 二次函数

第8讲
第9讲 第10讲

指数与对数的运算
指数函数、对数函数、幂函数 函数的图像与性质的综合

第11讲 第12讲 第13讲

函数与方程 函数模型及其应用 变化率与导数、导数的运算

第14讲 导数在研究函数中的应用
第15讲 利用导数研究函数的最值、优化问题、方

程与不等式 第16讲 定积分与微积分基本定理

单元网络

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核心导语
一、函数 1.函数三要素——理解三要素之间的关系是理解函数概 念的关键,结合图像理解更清楚. 2.函数表示方法——注意表示方法中函数的自变量、因 变量以及对应关系的呈现方式. 3.函数性质——给出图像能够分析函数性质是重点,也 是化抽象问题为具体问题的根本. 4.基本初等函数(Ⅰ)——了解各函数的关系,记忆基本 运算法则,学会画图、识图及用图. 5.函数应用——函数零点、指数函数、对数函数、分段 函数模型的应用,关键是建立函数模型.

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核心导语

二、导数 1.基本问题——导数的概念、几何意义,导数的运 算.难点是商式的求导公式、复合函数的求导法则. 2.利用导数研究函数性质——导数与函数单调性的关系, 导数与函数极值的关系,闭区间时图像连续的函数的最值, 实际应用题的最值.

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使用建议
使用建议 1.编写意图 由于函数与导数是高中数学最重要的知识之一,在高 考中占有重要的位置,因此在编写本部分时,重视了下列 几个方面:第一,把函数与导数部分按照知识的发展顺序 化为13个讲次,每个讲次突出解决几个重要的考点,并配 备适量的变式练习和课时作业;第二,重视了基础知识、 基本方法和基本技能的训练,根据一轮复习的特点,在选 题上以高考中的基本类型题目、各地模拟试题中的中等难 度试题、课本改编题目、有训练价值的传统经典题目为主, 这些题目的目的就是加强基础训练;第三,突出了重点, 在概念性的讲次、运算技能要求较高的讲次、高考重点考 查的讲次、数学思想方法要求较高的讲次,适当增加了例 题和变式训练的题量,并设置A、B作业;
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使用建议
第四,为矫正学生常见的解题错误,规范学生的解题过 程,增强学生使用数学思想方法指导解题的思想意识, 鼓励学生创造性解题的积极性,在各个讲次特设“易错 究源”“答题模板”“思想方法”栏目之一. 2.教学指导 根据一轮复习的特点以及该部分的具体特点,提出 如下几点教学建议供教师参考:(1)重视基础知识、基 本方法的复习:各个讲次设置的知识聚焦、知识拓展栏 目,要在学生自主解答的前提下,对其中的重点内容进 行强调,使学生熟练掌握基本知识和解决问题的基本方 法.(2)强化基本技能的训练、着眼于能力的养成:在 函数、导数这种以概念、性质、公式为主要知识体系的 板块中,重要的基本技能就是运算的技能、画函数图像 的技能,主要的能力就是运算能力、逻辑推理能力.
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使用建议
在复习中要在例题的讲解中贯穿技能训练过程和能力养成过 程,根据实际情况,如果学生能够自主解答的问题就要放心 大胆地交给学生完成,教师的主要任务就是抓住技能训练点、 能力养成点,强化技能训练和能力养成. (3)注重解题中数学思想方法的挖掘:数学思想出现在解题 的过程中,学生在解题中使用数学思想方法的大多数情况是 由以前的解题经验得出的,而不是自觉使用数学思想指导解 题、寻找解题的突破口的,在例题和习题教学中要注意挖掘 解题过程中使用的各种数学思想方法,并强调数学思想对解 题的指导意义,引导学生逐步养成学生自觉使用数学思想方 法指导解决数学问题的思想意识. 3.课时安排 本单元共13讲,2个45分钟滚动基础训练卷,一个突破高考 解答题,包括测试卷讲评,建议16课时左右完成复习任务.
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第4讲 函数的概念及其表示

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考试说明

1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和 值域;了解映射的概念. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如 图像法、列表法、解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数,并能简单应用(函数分段不超过 三段).

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第4讲
双 向 固 基 础

函数的概念及其表示

1.函数的概念 (1)概念:设集合 A 是一个非空的数集,如果按照某种确 定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x ,都有 唯一确定 ________ 的数 f(x)与它对应, 那么就称对应关系 f 为集合 A 上 的一个函数,记作 y=f(x),x∈A,其中 x 叫做自变量, x 的 定义域 ,与 x 的值相对应的 y 取值范围 A 叫做函数 f(x)的________ 值叫做函数值,函数值的集合 {f(x)|x∈A} 叫做函数 f(x) 的 值域 . ________

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第4讲
双 向 固 基 础

函数的概念及其表示

(2)函数定义域的求法: 类型 2n f(x),n∈N 1 与[f(x)]0 f(x) logaf(x) f(x)g(x) tanf(x)
*

满足的条件
f(x)≥0 ________

f(x)≠0 f(x)>0 f(x)>0 且 f(x)≠1 且 g(x)>0 ____________ f(x)>0 且 f(x)≠1 ____________ π f(x)≠kπ + (k∈Z) 2 ______________________
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第4讲
双 向 固 基 础

函数的概念及其表示

(续表) 类型 满足的条件 f(g(x)), 交集 a≤g(x)≤b 的解集与 g(x)定义域的______ f(x)的定义域为[a,b] 四则运算组成的函数 各个函数定义域的________ 交集 实际问题 使实际问题有________ 意义

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第4讲
双 向 固 基 础

函数的概念及其表示

(3)求函数值域的方法: 方法 公式法(配方法) ____________ 性质法 ____________ 单调性法 换元法

基本不等式法 ____________

反解自变量法 ____________

判别式法 ____________
数形结合法 ____________

示例 y=x2+x-2 y=sin x,y=lg x y=x+ x-2 y=sin2x+sin x+1 1 y=x+ (x>-1) x+1 x y= x+1 x2-2x+3 y= 2 x +x+1 3-sin x y= 2-cos x

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第4讲
双 向 固 基 础

函数的概念及其表示

2.函数的表示法 列表法 . 解析法 、________ 图像法 、________ (1)基本表示方法:________ (2)分段函数:在定义域的不同范围内函数具有不同的解析式,这类函 分段函数 . 数称为____________ 分段函数是一个函数, 分段函数的定义域是各段定义 并集 ,值域是各段值域的________ 并集 . 域的________ (3)求函数解析式的方法: 方法 待定系数法 ________ 换元法 配凑法 ________ 示例 f(x)=ax+b 的图像过点(1, 1), (4,2) f(sin x)=2sin2x-cos 2x ? 1? 2 1 ? f x+x ?=x + 2 x ? ? f(x)+2f(-x)=x+1

对偶方程法 ________________

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第4讲
双 向 固 基 础

函数的概念及其表示

3.映射 设 A,B 都是非空的集合,如果按照某种确定的对应 关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有 唯一确定 的元素 y 与之对应, ______________ 那么就称对应 f: A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射.

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第4讲
双 向 固 基 础

函数的概念及其表示

—— 链接教材 ——
1.如图 241 所示,把截面半径为 20 cm 的圆形木头锯 成矩形木料,如果矩形的一边长为 x cm,面积为 y cm2,则 y 关于 x 的函数关系式是______________.
[答案] y=x 1600-x2

[解析] 矩形的对角线为 40 cm,则矩形的另一条 边长为 1600-x2 cm,故矩形的面积 y=x 1600-x2 cm2,所以所求的函数关系式是 y=x 1600-x2.

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第4讲
双 向 固 基 础

函数的概念及其表示

10-x 2. 函数 f(x)= 的定义域是________. x-5
[答案] (-∞,5)∪(5,10]

[解析] 若函数有意义,则 10-x≥0 且 x-5≠0, 即 x≤10 且 x≠5,所以其定义域为(-∞,5)∪(5,10].

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第4讲
双 向 固 基 础

函数的概念及其表示

3. 从集合 A={a,b,c}到集合 B={1,2,3},可以 建立的不同映射的个数是________.
[答案] 27

[解析] 集合 A 中的元素 a,b,c 各有三种对应方 法,故可以建立的不同映射的个数是 3?3?3=27.

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第4讲
双 向 固 基 础

函数的概念及其表示

—— 疑 难 辨 析 ——
1.函数概念的理解 (1)只要对应关系和定义域确定下来,函数就是确定 的.( ) ? 1? (2) 函 数 y = ln ?1+ x ? + 1-x2 的 定 义 域 为 (0 , ? ? 1].( ) [答案] .(1)√ (2)√

[解析] (1)值域是由对应法则和定义域确定的, 因此只 要对应关系和定义域确定了,函数也就确定了. 1 1 2 (2)实数 x 满足 1+x >0 且 1-x ≥0.不等式 1+x >0, x+1 即 x >0, 解得 x>0 或 x<-1; 不等式 1-x2≥0 的解集为 -1≤x≤1.故所求函数的定义域是(0,1].
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第4讲
双 向 固 基 础

函数的概念及其表示

2.函数的表示方法 ? ?x,x≤0, (1)函数 f(x)=? 2 是两个函数.( ) ? ?x ,x>0 (2)下列各组函数是同一个函数的是②③.( ) x2 ①f(x)=x,f(x)= x ;②f(x)=x2,f(t)=t2; ③f(x)=|x|,f(x)= x2;④f(x)=2ln x,f(x)=ln x2.

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第4讲
双 向 固 基 础

函数的概念及其表示

[答案] (1)?

(2)√
? ?x,x≤0, f(x)=? 2 是分段函数,它是一 ? x , x >0 ?

[解析] (1)函数

个函数, 只不过在定义域的不同段上自变量和函数值之间 有着不同的对应关系. (2)①中两个函数的定义域不同,不是同一个函数; ②③中的两个函数在对应关系和定义域上都相同, 是同一 个函数;④中两个函数的定义域不同,不是同一个函数.

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第4讲
双 向 固 基 础

函数的概念及其表示

3.映射概念的核心 (1)从集合 A 到集合 B 的映射中, 必须保证集合 A 中 的任何一个元素在集合 B 中都有唯一确定的元素与之对 应,但集合 B 中的元素可以在集合 A 中没有元素与之对 应.( ) (2)映射 f:A→B 确定一个函数.( )

[答案] (1)√

(2) ?

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第4讲
双 向 固 基 础

函数的概念及其表示

[解析] (1)根据映射的概念,在映射 f:A→B 中,集 合 A 中的元素都得在集合 B 中有到唯一确定的元素与之 对应(集合 A 中的元素不能有“剩余”), 但集合 B 中的元 素可以在集合 A 中没有元素与之对应(集合 B 中的元素可 以有“剩余”). (2)在函数定义中要求集合 A,B 是非空的数集,但在 映射中集合 A,B 没有这个要求,也就是说函数是一种特 殊的映射.

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第4讲

函数的概念及其表示

?

探究点一

函数和映射概念的理解

点 面 讲 考 向

例 1 下列各项中两个函数相等的是( ) A.f(x)=ln x2,g(x)=2ln x B.f(x)=x,g(x)=( x)2 C.f(x)=cos x?tan x,g(x)=sin x D.f(x)=x2,g(x)= x4 (2)下列从集合 A 到集合 B 的对应中是映射的是( ) A.A=B=N*,对应关系 f:x→y=|x-3| ? ?1(x≥0), B.A=R,B={0,1},对应关系 f:x→y=? ? ?0(x<0) 1 C.A=Z,B=Q,对应关系 f:x→y=x D.A={0,1,2,9},B={0,1,4,9,16},对应关系 f:a→b=(a-1)2
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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:判断定义域和对应关系是否 相同.推理:根据指数函数、根式、三角函数的知识逐个 进行判断. 结论: 定义域和对应关系相同的是相等的函数. (2)分析:判断集合 A 中的任一个元素是否对应集合 B 中唯一的元素.推理:根据选项中的集合 A,B 与对应关 系逐项判断.结论:符合映射定义的即为所求结果.
[答案] (1)D (2) B

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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

[解析] (1)选项 A,B,C 中的两个函数均是定义域不 同,只有选项 D 中的两个函数是相等的函数. (2)A 中,对于集合 A 中的元素 3,在 f 的作用下得 0, 但 0?B,即集合 A 中的元素 3 在集合 B 中没有元素与之对 应,所以这个对应不是映射.B 中,对于集合 A 中任意一 个非负数,在集合 B 中都有唯一元素 1 与之对应;对于 A 中任意一个负数, 在集合 B 中都有唯一元素 0 与之对应. 所 以这个对应是映射.C 中,集合 A 中的元素 0 在集合 B 中 没有元素与之对应,故不是映射.D 中,在 f 的作用下, 集合 A 中的元素 0, 1, 2 分别对应到集合 B 中的元素 1, 0, 1,但集合 A 中的元素 9 应该对应 64,但 64?B,故这个对 应不是映射.

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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

[归纳总结] 两个函数相等只要定义域和对应关系相 同即可. 判断从集合 A 到集合 B 的对应 f 是否是映射要抓 住两点:集合 A 中的元素是否只对应集合 B 中唯一的元 素;集合 A 中的元素是否有剩余.

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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

变式题 已知函数 f(x)=4π x2(x∈[a,8])和函数 S(r)=4 π r2(r∈[2,b])是同一函数,则对应的实数 a,b 的积 ab= ( ) A.2 B.8 C.16 D.-16

[答案]

C

[解析] 注意到两个函数的对应法则相同, 若它们为 同一函数,则定义域也相同,观察给出的定义域的区间 形式可知,a=2 且 b=8,所以 ab=16.

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第4讲

函数的概念及其表示

?

探究点二

函数的定义域、值域的求法

点 面 讲 考 向

例 2 (1)[2013· 江西卷] 函数 y= xln(1-x)的定 义域为( ) A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1] (2)已知函数 f(x)的定义域是[0,4],则函数 f(2x-1) 的定义域是________.

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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

[思考流程](1)分析:求自变量的取值范围.推理: x≥0 且 1-x>0.结论:解不等式组得出定义域. (2)分析:即求 f(2x-1)中自变量的取值范围.推理: 2x-1 相当于函数 f(x)中的 x,即 0≤2x-1≤4.结论:解不 等式即得所求定义域.

[答案] (1)B

?1 5? (2)?2,2? ? ?

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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

[解析] (1)x≥0 且 1-x>0,得 x∈[0,1). 1 5 (2) 由 0≤2x - 1≤4 ,解得 2 ≤ x ≤ 2 ,故所求的定义域为 ?1 5? ? , ? . ?2 2?

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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

[归纳总结]求函数的定义域就是求自变量的取值 范围,要注意根据相关的知识列出自变量满足的不等式 (组).如果 f(x)的定义域为[a,b],则 f(g(x))的定义域是 a≤g(x)≤b 的解集;如果函数 f(g(x))的定义域为[a,b], 则 f(x)的定义域是 y=g(x)在[a,b]上的值域.

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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

2x+1 变式题 (1)[2013· 南昌一模] 函数 f(x)= 2 的定 2x -x-1 义域是( ) ? ? ? ? 1? 1? A.?x?x≠2? B.?x?x>-2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 ? D.?x?x>- 且x≠1 ? C.?x?x≠-2 且x≠1 2 ? ? ? ? ? ? (2)如果函数 f(2-4x)的定义域是[1,4],则函数 f(x)的 定义域是________.

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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

[答案] (1)D

(2) [-14,-2]

1 [解析] (1)2x+1≥0 且 2x2-x-1≠0, 即 x≥- 且 x≠ 2 ? ? ? 1 1 ? ? .(2)当 1≤x≤4 时, - 或 1, 故其定义域是 x?x>-2 且x≠1 2 ? ? ? -14≤2-4x≤-2,故函数 f(x)的定义域是[-14,-2].

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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

2-sin x 例 3 (1)函数 y= 的值域是( ) 2+sin x ?1 ? A.[-1,1] B.?3,3? ? ? C.[1,3] D.[1,+∞) (2)函数 y=x-2 x+2的值域是________.

[思考流程] (1)分析: 用 y 表示 sin x. 推理: 根据|sin x|≤1 得关于 y 的不等式.结论:解不 等式即得 y 的取值范围, 即为所求函数的值域. (2)分析: 应用换元法. 推理: 令 t = x +2 , 即把函数 y=x-2 x+2转化成关于 t 的二次 函数.结论:根据自变量 t 的取值范围确定这 个函数的值域.
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第4讲

函数的概念及其表示

[答案] (1)B (2)[-3,+∞)

点 面 讲 考 向

2-sin x 2-2y [解析] (1)由 y= ,解得 sin x= .又由 2+sin x y+1 2-2y |sin x|≤1 得 ≤1, y +1 1 2 两边平方后整理,得 3y -10y+3≤0,解得3≤y ≤3, ?1 ? 故所求函数的值域为?3,3?. ? ? (2)设 x+2=t,则 x=t2-2 且 t∈[0,+∞),此 时 y=t2-2t-2=(t-1)2-3≥-3,故其值域是[-3, +∞).
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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

[归纳总结] 求函数的值域的方法有很多, 如反解自变量法(例 3(1))、换元法(例 3(2))、性 质法、判别式法、基本不等式法、数形结合法 等,但要注意一般函数的值域可以使用导数的 方法求解,因此这里我们只掌握几个特殊的类 型的函数值域求法即可.

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第4讲

函数的概念及其表示

2x2-x+2 变式题函数 y= 2 的值域是 x +x+1 ________.
点 面 讲 考 向

[答案] [1,5]
[解析] 因为 x2+x+1>0 恒成立,所以函数的定义 2x2-x+2 域为 R.由 y= 2 得(y-2)x2+(y+1)x+y-2= x +x+1 0(*),当 y-2=0,即 y=2 时,(*)即 3x+0=0,所以 x=0∈R;当 y-2≠0,即 y≠2 时,因为 x∈R 时方程 (y-2)x2+(y+1)x+y-2=0 恒有实根, 所以 Δ=(y+1)2-4?(y-2)2≥0, 所以 1≤y≤5 且 y≠2, 所以原函数的值域为[1,5].
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第4讲

函数的概念及其表示

?

探究点三

函数解析式的常见问题

点 面 讲 考 向

例 4 (1)已知下列命题: ①若 f(x+1)=2x2+1,则 f(x)=2x2-4x+3; ②若 f(2-x)=x2,则 f(x)=(2-x)2; x ③若 2f(x)-f(-x)=x+1,则 f(x)=3+1; ?1? 1 ? ? ④若 f(x)满足 2f(x)+f x =3x,则 f(x)=2x-x . ? ? 其中真命题的序号是________. (2)已知函数 f(x)=x2,g(x)为一次函数,且一次项系 数大于零. 若 f(g(x))=4x2-20x+25, 则 g(x)=________.

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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:根据已知求 f(x).推理:换元、 构造方程组解之. 结论: 根据求解结果得出真命题的序号. (2)分析:求一次函数的系数 a,b.推理:根据 f(g(x)) =4x2-20x+25 得关于 a,b 的方程组.结论:解方程组 即得.

[答案] (1)①②③④

(2)2x-5

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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

[解析] (1)①令 t=x+1,则 x=t-1,所以 f(t)=2(t-1)2 +1=2t2-4t+3,所以 f(x)=2x2-4x+3.②令 t=2-x,则 x =2-t,代入已知得 f(t)=(2-t)2,所以 f(x)=(2-x)2.③因为 2f(x)-f(-x)=x+1, 用-x 去替换式中的 x, 得 2f(-x)-f(x) ?1? x =-x+1,联立解得 f(x)=3+1.④2f(x)+f?x ?=3x,把上式中 ? ? ?1? 1 3 1 ? ? 的 x 换成x ,得 2 f x +f(x)=x ,联立解得 f(x)=2x-x . ? ? (2)由 g(x)为一次函数,设 g(x)=ax+b(a>0), 因为 f(g(x))=4x2-20x+25,所以(ax+b)2=4x2-20x+ 25, 即 a2x2+2abx+b2=4x2-20x+25,解得 a=2,b=-5, 故 g(x)=2x-5.
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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

[归纳总结]求函数的解析式就是把不同形式的函数 1 关系化为 f(x)的形式,通过换元,即用-x,x 代替 x 等手段 实现解题的目的,在已知函数类型时可以通过待定系数的 方法求解函数的解析式.

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第4讲

函数的概念及其表示

变式题(1)图 242 中的图像所表示的函数的解析式为(

)

点 面 讲 考 向

图 242 3 A.y= |x-1|(0≤x≤2) 2 3 3 B.y=2-2|x-1|(0≤x≤2) 3 C.y=2-|x-1|(0≤x≤2) D.y=1-|x-1|(0≤x≤2) (2) 若 f(x) = ax + b(a≠0) 且 af(x) + b = 9x + 8 , 则 f(x) = ________.
[答案] (1)B (2) 3x+2 或-3x-4
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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

[解析] (1)图像是直线段的函数是一次函数,根据给出的 点的坐标分别求出这两部分的函数解析式,再和选项中的函 数解析式比较即可.或者根据选择题的特点进行检验,从图 像上看出 x=0 时 y=0,代入各个选项就可以排除 A,C;x 3 =1 时 y=2,代入选项 D 就可以排除. (2)因为 af(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=9x+8, 2 ? ? ?a =9, ?a=3, ? ?a=-3, 则? 解得? 或? 所以 f(x)=3x+2 ? ? ? ab + b = 8 , b = 2 b =- 4 , ? ? ? 或 f(x)=-3x-4.

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第4讲

函数的概念及其表示

?

探究点四

简单的分段函数及其应用

点 面 讲 考 向

例 5 (1)[2013· 湖北卷] 小明骑车上学,开始时匀 速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后为了赶时 间 加 快 速度 行 驶 , 与 以 上 事件 吻 合 得最 好 的 图像 是 ( )

图 243
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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

(2)[2013· 济 南 模 拟 ] 已 知 ? ?2? ? 3sin π x,x≤0, ? 则 f?3?的值为( ) ? ? ? ?f(x-1)+1,x>0, 1 1 A.2 B.-2 C.1 D.-1

f ( x) =

[思考流程] (1)分析:不同的时间段内有不同的函 数关系.推理:第一段匀速且慢,第二段停止,第三 段匀速且快,因此第一段函数图像为直线段,但倾斜 程度比第三段小,第二段为水平线段.结论:结合图 像作出判断. 2 (2)分析: 代入函数解析式求解. 推理: 在第二段, 3 1 代入后出现 f (- ) , 利用第一段的解析式求解. 结论: 3 计算后得出结果.
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第4讲

函数的概念及其表示

[答案] (1)C
点 面 讲 考 向

(2)B

[解析 ] (1)由题意可知函数图像最开始为“斜率 为负的线段”,接着为“与 x 轴平行的线段”,最后 为“斜率为负值,且小于之前斜率的线段”.观察选 项中的图像可知 C 选项中的图像符合. π 2 1 (2)f(3)=f(-3)+1= 3sin(- 3 )+1=- 1 2.

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第4讲

函数的概念及其表示

易错究源

2.忽视函数定义域致误

例 (1)已知 2x2+y2=6x,则 x2+y2 的取值范围是( A.(-∞,9] B.[9,+∞) C.[0,9] D.(0,9] (2)已知 f(cos x)=cos 2x,则 f(x)=________.
多 元 提 能 力

)

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第4讲

函数的概念及其表示

多 元 提 能 力

错解 (1)根据已知 y2=6x-2x2,① 代入 x2+y2 得 x2+y2=-x2+6x.根据二次函数的性质, 当 x=3 时,函数 f(x)=-x2+6x 取得最大值 9,故 x2+y2 的取值范围是(-∞,9].② (2)因为 f(cos x)=cos 2x=2cos2x-1,所以 f(x)=2x2- 1.③ [错因] ①处,在得出 y2=6x-2x2 后,首先要根据 y2 ≥0 求出 x 的取值范围. ②处,求出的是在 x∈R 的情况下的取值范围. ③处,忽视代换后的函数定义域.

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第4讲

函数的概念及其表示

[答案]

(1)C

(2)2x2-1(-1≤x≤1)

多 元 提 能 力

[解析] (1)根据已知 y2=6x-2x2, 由于 y2≥0, 故 6x-2x2≥0,解得 0≤x≤3.把 y2=6x-2x2 代入 x2+ y2 得 x2+y2=-x2+6x.根据二次函数的性质, 当 x =3 时,函数 f(x)=-x2+6x 取得最大值 9;当 x=0 时, f(x)=-x2+6x 取得最小值 0.故函数的值域是[0,9], 即 x2+y2 的取值范围是[0,9]. (2)因为 f(cos x)=cos 2x=2cos2x-1,所以 f(x) =2x2-1(-1≤x≤1).

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第4讲

函数的概念及其表示

[备选理由] 例 1 是函数值域的灵活运用, 可在探究点 二中结合函数值域求法使用,例 2 为新定义下的函数概念 和性质的综合创新问题,可在探究点 1 或 4 中使用.

教 师 备 用 题
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第4讲

函数的概念及其表示

例 1 【配例 3 使用】 f(x)=x2-2x, g(x)=ax+2(a>0), 对?x1∈[-1,2],?x0∈[-1,2],g(x1)=f(x0),则 a 的取 值范围是( ) 1 1 A.(0,2 ] B. [2,3] C.[3,+∞) D.(0,3]

[答案]A

教 师 备 用 题

[解析] 函数 f(x)的值域是[-1,3],函数 g(x)的值域是[2 -a,2+2a],根据题意函数 g(x)的值域是函数 f(x)值域的子集, 1 故有 2-a≥-1 且 2+2a≤3,即 a≤2.又 a>0,故 a 的取值范 1 围是(0,2 ].
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第4讲

函数的概念及其表示

例 2 [配例 1 或例 5 使用] [2013· 福建卷] 设 S, T 是 R 的两个非空子集,如果存在一个从 S 到 T 的函数 y =f(x)满足:(1)T={f(x)|x∈S};(2)对任意 x1,x2∈S,当 x1<x2 时,恒有 f(x1)<f(x2) ,那么称这两个集合“保序同 ) 构”.以下集合对不是“保序同构”的是( ) A.A=N*,B=N B.A={x|-1≤x≤3},B={x|x=-8 或 0<x≤10} C.A={x|0<x<1},B=R D.A=Z,B=Q
教 师 备 用 题
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第4讲

函数的概念及其表示

教 师 备 用 题

[解析] D 函数 f(x)为定义域 S 上的增函数,值域为 T. 构造函数 f(x)=x-1,x∈N*, 如图①,则 f(x)的值域为 N,且为增函数,故 A 选项正 ? ?-8,x=-1, 确.构造函数 f(x)=?5 如图②,满足 (x+1),-1<x≤3, ? ?2 1 题设条件,故 B 选项正确.构造函数 f(x)=tan(x-2)π , 0<x<1,如图③,满足题设条件,故 C 选项正确.假设存在 函数 f(x),f(x)在定义域 Z 上是增函数,值域为 Q,则存在 a<b 且 a,b∈Z,使得 f(a)=0,f(b)=1.因为区间(a,b)内的 整数至多有有限个,而区间(0,1)内的有理数有无数多个, 所以必存在有理数 m∈(0,1),
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第4讲

函数的概念及其表示

方程 f(x)=m 在区间(a,b)内无整数解,这与 f(x)的值域 为 Q 矛盾,因此满足题设条件的函数 f(x)不存在,故 D 选 项错误.

教 师 备 用 题
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第5讲 函数的单调性与最值

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考试说明

1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质.

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第5讲
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函数的单调性与最值

1.函数的单调性 (1)定义: 如果对于定义域内某个区间 D 上的任意两个自变量的 值 x1,x2,当Δ x= x2-x1>0 时,都有Δ y=f(x2)-f(x1) >0,那么就说函数 增函数 ; f(x)在区间 D 上是________ 如果对于定义域内某个区间 D 上的 任意两个自变量的值 x1, x2 , 当Δ x= x2-x1>0 时, 都有Δ y=f(x2)-f(x1) <0, 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是________ 减函数 .若函数 y=f(x)在某 个区间上是增函数或减函数, 则就说函数 f(x)在这一区间上具有 单调区间 ,此时 单调性 ,这一区间叫作函数 f(x)的___________ (严格的)________ 单调 也说函数是这一区间上的________ 函数.

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第5讲
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函数的单调性与最值

(2)增减函数定义的等价形式: 设 x1 , x2∈D, 那么(x1-x2)[f(x1) 增函数 是等价的;(x1- -f(x2)]>0 与函数 f(x)在区间 D 上是________ 减函数 是等价的; x2)[f(x1)-f(x2)]<0 与函数 f(x)在区间 D 上是________ f(x1)-f(x2) 增函数 >0 与函数 f(x)在区间 D 上是 ________是等价的; x 1 -x 2 f(x1)-f(x2) 减函数 是等价的. <0 与函数 f(x)在区间 D 上是________ x 1 -x 2 (3)定义法证明函数单调性的一般步骤:①任取 x1,x2∈D, 且Δ x= x2-x1>0;②作差Δ y= f(x2)-f(x1);③变形(通常是因式分 解和配方); ④定号(即判断Δ y= f(x2)-f(x1)的正负); ⑤下结论(即 指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的增减性).
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第5讲
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函数的单调性与最值

(4)判断函数单调性的方法: 区间 D 上的增函数 区间 D 上的减函数 Δ x= x2-x1>0? Δ x= x2-x1>0? 定义法 ________ ________ Δ y= f(x2) -f(x1)>0 Δ y= f(x2) -f(x1)<0 图像法 函数图像______ 函数图像______ 上升 下降 小于 零 导数法 导数________ 零 导数________ 大于 运算法 增函数+增函数 减函数+减函数 复合函数法 内外层单调性______ 内外层单调性______ 相同 相反

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第5讲
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函数的单调性与最值

2.函数的最值 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满 足:

存在 (1)对于任意的 x∈I, 都有 f(x)≤M, ________ x0 ∈I , 使得 f(x0) =M,则称 M 是函数 y=f(x)的最大值.

都有 f(x)≥M, (2)对于任意的 x∈I, ________ 存在 x0∈I, 使得 f(x0) =M,则称 M 是函数 y=f(x)的最小值.

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第5讲
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函数的单调性与最值

—— 链接教材 ——

1.函数 f(x)= 别是________.

2 在[-6,-2]上的最大值和最小值分 x-1

2 2 [答案][ - ,- ] 7 3 2 [解析] 函数 f(x)= 在[-6,-2]上单调递减, x-1 2 2 最大值为 f(-6)=-7,最小值为 f(-2)=-3.

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函数的单调性与最值

2.某汽车租赁公司的月收益 y 元与每辆车的月租金 x2 x 元的函数关系为 y=- +162x-21 000,则每辆车的 50 月租金为________元时,租赁公司收益最大,最大收益 为________元.
[答案] 4050 307 050

162 [解析] 根据二次函数性质, 当 x= 1 =4050 时, 2?50 y 最大,代入计算得最大值为 307 050 元.

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函数的单调性与最值

3. 如图 251 所示,动物园要建造一面靠墙的 2 间 面积相同的矩形熊猫居室,如果可供建造围墙的材料总 长为 30 m,那么宽为________ m 时,建造的每间熊猫居 室的面积最大,最大面积是________ m2.

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函数的单调性与最值

[答案] 5

37.5

[解析] 设一间矩形熊猫居室的宽为 x m,面积为 y 2 30 - 3 x 30 - 3 x - 3 ( x -10x) 2 m, 则长为 2 m, 那么 y=x 2 = 2 -3(x-5)2+75 = ,所以当 x=5 时,y 有最大值 37.5. 2 故宽为 5 m 时才能使所建造的每间熊猫居室面积最大, 最大面积是 37.5 m2.

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函数的单调性与最值

—— 疑 难 辨 析 ——
1.单调性和最值概念中的易混点 (1)函数的单调性是函数在定义域上的整体性质.( ) (2)如果函数在定义域 I 上的区间 D1,D2 上单调递增,则 该函数的单调递增区间是 D1∪D2.( ) (3)函数的最值是函数在定义域上的整体性质.( )
[答案] (1) ? (2)? (3)√

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函数的单调性与最值

[解析] (1)根据函数单调性的定义,函数的单调性是函数 在其定义域上的局部性质. (2)函数在定义域上具有不同的单调递增区间时,在每个 区间上函数是单调递增的,但在这些区间的并集上函数未必 是单调递增的,因此一个函数在定义域上具有几个不同的单 调区间时,这些单调区间是并列的,但不能使用并集. (3)根据函数最值的定义,函数的最值是函数在其定义域 上的整体性质.

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函数的单调性与最值

2.常见函数的单调性 (1)一次函数 y=kx+b:当 k>0,y=kx+b 在 R 上是 增函数;当 k<0,y=kx+b 在 R 上是减函数.( ) (2)二次函数 y=ax2+bx+c:当 a>0 时,y=ax2+bx ? ? ? b? b +c 在?-∞,-2a?上是减函数, 在?-2a,+∞?上是增函 ? ? ? ? ? b? 2 数; 当 a<0 时, y=ax +bx+c 在?-∞,-2a?上是增函数, ? ? ? ? b 在?-2a,+∞?上是减函数.( ) ? ? k k (3)反比例函数 y=x:当 k>0 时,y=x在(-∞,0)和 k (0,+∞)上是减函数;当 k<0 时,y=x在(-∞,0)和(0, +∞)上是增函数.( )
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函数的单调性与最值

[答案] (1)√

(2)√

(3)√

[解析] 根据一次函数、二次函数、反比例函数的性质可 得.

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函数的单调性与最值

) 1 (2)当函数 y=f(x)恒为正或恒为负时,函数 y= f(x) 与函数 y=f(x)的单调性相反.( ) (3)函数 y=f(x)与函数 y=f(x)+C(C 为常数)的单调性 相同.( ) (4)当 C>0(C 为常数)时,y=f(x)与 y=C· f(x)的单调性 相同;当 C<0(C 为常数)时,y=f(x)与 y=C· f(x)的单调性 相反.( ) (5)函数 f(x),g(x)都是增(减)函数,则 f(x)+g(x)仍是 增(减)函数.( )
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3.函数性质方面的易错易混结论 (1)函数 y=-f(x)与 y=f(x)的单调性相反.(

第5讲
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函数的单调性与最值

(6)若 f(x)>0,g(x)>0 且 f(x)与 g(x)都是增(减)函数, 则 g(x)· g(x)也是增(减)函数; 若 f(x)<0, g(x)<0 且 f(x)与 g(x) 都是增(减)函数,则 f(x)?g(x)是减(增)函数.( ) (7)设 f(x)>0, 若 f(x)在定义域上是增函数, 则 f(x), 1 n k ? f(x)(k>0) , f (x)(n>1) 都 是 增 函 数 , 而 是减函 f (x) 数.( ) n

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第5讲
双 向 固 基 础

函数的单调性与最值

[答案] (1)√

(2)√

(3)√

(4)√

(5)√

(6)√

(7)√

[解析] 根据函数单调性的定义、不等式的性质可得.

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第5讲

函数的单调性与最值

?

探究点一

函数单调性的判断

点 面 讲 考 向

例 1 (1)[2012· 广东卷] 下列函数中,在区间(0,+ ∞)上为增函数的是( ) A.y=ln(x+2) B.y=- x+1 ?1?x 1 ? ? C.y= 2 D.y=x+x ? ? (2)已知 f(x)在区间(-∞, +∞)上是减函数, a, b∈R 且 a+b≤0,则下列表达正确的是( ) A.f(a)+f(b)≤-[f(a)+f(b)] B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b) C.f(a)+f(b)≥-[f(a)+f(b)] D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)

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第 5讲

函数的单调性与最值

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析: 需要知道基本函数的单调性. 推 理:根据选项中的各个函数的性质进行判断.结论:结 合选项选择答案. (2)分析:需要得出 f(a),f(b),f(-a),f(-b)满足的 不等关系.推理:利用 a+b≤0 和函数 f(a)的单调性得 出不等关系.结论:结合得出的不等关系和不等式的性 质得答案.

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函数的单调性与最值

[答案] (1)A
点 面 讲 考 向

(2)D

[解析] (1)根据函数图像,B 选项在(0,+∞)上为减函 数,C 选项中的函数在(0,+∞)上也是减函数,D 选项中 的函数在(0,+∞)上有减区间也有增区间,所以 A 是正确 选项. (2)a+b≤0 可转化为 a≤-b 和 b≤-a, 由于函数 f(x) 在 区 间 ( -∞ , + ∞) 上是减函数,所以 f(a)≥f( - b) , f(b)≥f(-a),两式相加即得.

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第 5讲

函数的单调性与最值

点 面 讲 考 向

[归纳总结 ] 基本初等函数的性质是判断函数单调 性的重要方法之一,要熟练掌握常见函数(一次函数、二 次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数)的单 调性,这些函数的单调性也是判断简单的复合函数单调 性的基础.函数单调性的定义是等价关系,已知函数在 某个区间上单调时,可以根据自变量的大小确定函数值 的大小.

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第5讲

函数的单调性与最值

(
点 面 讲 考 向

变式题 下列函数中,在区间 (0 , 1) 上是增函数的是 ) A.y=|x| B.y=3-x 1 C.y=x D.y=-x2+4

[答案] A

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函数的单调性与最值

点 面 讲 考 向

[解析] 因为-1<0, 所以一次函数 y=-x+3 在 R 1 上单调递减,反比例函数 y=x 在区间(0,+∞)上单调递 减,二次函数 y=-x2+4 在区间(0,+∞)上单调递减, 只有 y=|x|在区间(0,1)上单调递增.

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第5讲

函数的单调性与最值

?

探究点二

函数单调区间的求解

点 面 讲 考 向

例 2 求下列函数的单调区间: (1)y=|x-1|+|2x+4|-4;(2)y=-x2+2|x|+3.

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第 5讲

函数的单调性与最值

点 面 讲 考 向

[思考流程] 条件:已知具体的函数解析式.目标: 求函数的单调区间.方法:根据分段函数中各段的单调 区间确定整个函数单调区间,作出函数图像帮助解题.

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第5讲

函数的单调性与最值

点 面 讲 考 向

?3x-1(x>1), ? 解:(1)y=|x-1|+|2x+4|-4=?x+1(-2≤x≤1), ?-3x-7(x<-2), ? 其图像如图所示.

由函数的图像可知,函数在[-2,+∞)上是增函数, 在(-∞,-2]上是减函数.
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第5讲

函数的单调性与最值

2 ? - x +2x+3(x≥0), ? 2 (2)y =- x + 2|x| + 3 = ? 2 其图像 ? ?-x -2x+3(x<0),

点 面 讲 考 向

如图所示.

由函数的图像可知,函数在(-∞,-1],[0,1]上是增 函数,在[-1,0],[1,+∞)上是减函数.

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第 5讲

函数的单调性与最值

点 面 讲 考 向

[ 归纳总结 ] 求函数单调区间的一个基础而重要的 方法是画出函数图像,借助函数图像进行直观求解.

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第 5讲

函数的单调性与最值

点 面 讲 考 向

变式题求函数 y=|-x +2x+3|的单调区间.

2

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第5讲

函数的单调性与最值

点 面 讲 考 向

解:先作出函数 y=-x2+2x+3 的图像,由于绝对值的作 用,把 x 轴下方的图像沿 x 轴对折到 x 轴的上方,所得函数的 图像如图所示.

由函数的图像可知,函数的单调递减区间是(-∞,-1], [1,3],单调递增区间是[-1,1],[3,+∞).

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第5讲

函数的单调性与最值

?

探究点三

利用函数单调性求参数范围

点 面 讲 考 向

例 3 (1)若函数 f(x)=4x2-kx-8 在区间[5,8]上是 单调函数,则 k 的取值范围是( ) A.(-∞,40] B.[40,64] C.(-∞,40]∪[64,+∞) D.[64,+∞) (2)已知函数 f(x)=e|x-a|(a 为常数).若 f(x)在区间[1, +∞)上是增函数,则 a 的取值范围是________.

[思考流程] (1)分析:单调增或单调减.推理:根据 二次函数的对称轴确定 k 满足的不等式.结论:解不等 式得 k 的取值范围. (2)分析:即[1,+∞)为函数 f(x)单调递增区间的子 区间.推理:函数 f(x)的递增区间即 t=|x-a|的递增区 间.结论:得出 a 的取值范围.
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函数的单调性与最值

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)C

(2)(-∞,1]

k k k [解析] (1)图像的对称轴为直线 x= ,则 ≤5 或 ≥8, 8 8 8 得 k≤40 或 k≥64. (2)令 t=|x-a|,则 t=|x-a|在区间[a,+∞)上单调递 增,又 y=et 为增函数,所以要使函数 f(x)=e|x-a|在[1,+ ∞)上单调递增,则有 a≤1,所以 a 的取值范围是(-∞, 1].

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第 5讲

函数的单调性与最值

点 面 讲 考 向

[归纳总结] 当已知函数在某个区间上单调时,说明 这个区间是函数单调区间的子区间,根据集合之间的关 系得出参数满足的不等式即可求出参数的取值范围.

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函数的单调性与最值

点 面 讲 考 向

变式题 (1)若函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞, 4]上是减函数,则实数 a 的取值范围是( ) A.a≤-3 B.a≥-3 C.a≤5 D.a≥3 ax+1 (2)若 f(x)= 在区间(-2,+∞)上是增函数,则 a x +2 的取值范围是( ) ?1 ? A.(-2,+∞) B.?2,+∞? ? ? ? 1? C.(-∞,-2) D.?-∞,2? ? ?

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函数的单调性与最值

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)A

(2)B

[ 解析 ] (1) 图像的对称轴为直线 x = 1 - a ,则 1 - a≥4,解得 a≤-3(对称轴不能在直线 x=4 的左侧). ax1+1 (2)设 x1>x2>-2, 则 f(x1)>f(x2), 即 f(x1)-f(x2)= x1+2 ax2+1 2ax1+x2-2ax2-x1 (x1-x2)(2a-1) - = = x2+2 (x1+2)(x2+2) (x1+2)(x2+2) 1 >0,则 2a-1>0,即 a>2. a(x+2)+1-2a 1-2a 另解:f(x)= =a+ 在(-2, x+2 x+2 1 +∞)上为增函数,则 1-2a<0,解得 a>2.
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第5讲

函数的单调性与最值

?

探究点四

利用函数单调性求函数最值

点 面 讲 考 向

例 4 已知定义在 R 上的函数 f(x)对任意实数 x,y 恒 2 有 f(x)+f(y)=f(x+y), 且当 x>0 时, f(x)<0, 又 f(1)=- . 3 (1)求证:f(x)为奇函数; (2)求证:f(x)在 R 上是减函数; (3)求 f(x)在[-3,6]上的最大值与最小值.

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函数的单调性与最值

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)条件: 对任意实数 x, y 恒有 f(x)+f(y) =f(x+y).目标:求证 f(x)是奇函数.方法:特殊赋值法 求 f(0),再用自变量赋值法加以证明. (2)条件: 函数 f(x)是奇函数, 当 x>0 时, f(x)<0.目标: 求证 f(x)在 R 上是减函数.方法:根据单调性的定义. 2 (3)条件:f(x)是 R 上单调递减的奇函数,f(1)=-3. 目标:求 f(x)在[-3,6]上的最值.方法:根据已知函数 值和函数的性质求解.

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第5讲

函数的单调性与最值

点 面 讲 考 向

解:(1)证明:令 x=y=0,可得 f(0)+f(0)=f(0+0)= f(0),从而 f(0)=0. 令 y=-x, 可得 f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0, 即 f(- x)=-f(x),故 f(x)为奇函数. (2)证明:设 x1,x2∈R,且 x1>x2,则 x1-x2>0,于是 f(x1-x2)<0.所以 f(x1)-f(x2)=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)=f(x1- x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)<0. 所以 f(x)为减函数. (3)由(2)知, 所求函数的最大值为 f(-3), 最小值为 f(6). f( - 3) =- f(3) =- [f(2) + f(1)] =- [2f(1) + f(1)] =- 3?f(1)=2,f(6)=-f(-6)=-[f(-3)+f(-3)]=-4, 即 f(x)在[-3,6]上的最大值为 2,最小值为-4.

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第5讲

函数的单调性与最值

点 面 讲 考 向

[ 归纳总结 ] 函数的最值和函数的单调性是紧密相连 的,求函数最值时一般是先确定函数的单调性,根据函数 的单调性确定函数在什么位置取得最值.

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第 5讲

函数的单调性与最值

点 面 讲 考 向

变式题 已知函数 f(x)=-4x2+4ax-4a-a2 在区间[0, 1]内有一最大值-5,求 a 的值. a 解:对称轴为直线 x=2. a (1)当 <0, 即 a<0 时, [0, 1]是 f(x)的递减区间, 则 f(x)max 2 =f(0)=-4a-a2=-5,得 a=1 或 a=-5 故 a=-5. a (2)当2>1, 即 a>2 时, [0, 1]是 f(x)的递增区间, 则 f(x)max =f(1)=-4-a2=-5,得 a=1 或 a=-1,故 a 不存在. a a (3)当 0≤ ≤1,即 0≤a≤2 时,则 f(x)max=f =-4a= 2 2 5 5 -5,得 a=4. 综上,a=-5 或4.
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第5讲

函数的单调性与最值

思想方法

3.函数中的新定义问题

多 元 提 能 力

例 (1)[2013· 宜宾二诊] 设函数 f(x)的定义域为 D,若存在非 零实数 n,使得对于任意 x∈M(M?D),有 x+n∈D,且 f(x+ n)≥f(x),则称 f(x)为 M 上的 n 高调函数.如果定义域为[-1,+ ∞)的函数 f(x)=x2 为[-1,+∞)上的 k 高调函数,那么实数 k 的 取值范围是________. (2)[2013· 淄博模拟] 若函数 f(x)满足?m∈R,m≠0,对定义 域内的任意 x,f(x+m)=f(x)+f(m)恒成立,则称 f(x)为 m 函数, 现给出下列函数: 1 ①y=x ;②y=2x;③y=sin x;④y=ln x. 其中为 m 函数的是________.(把你认为正确的所有序号都 填上)

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第5讲

函数的单调性与最值

[答案] (1)[2,+∞)

(2)②③

多 元 提 能 力

[解析] (1)即(x+k)2≥x2 在[-1,+∞)上恒成立,即 2kx+k2 ≥0 在 x∈[-1,+∞)上恒成立,故实数 k 满足 2k>0 且-2k+k2 ≥0,解得 k≥2. 1 1 1 1 (2)①若 f(x)=x ,则由 f(x+m)=f(x)+f(m)得 = + ,即 x+m x m -m 1 1 1 2 2 = - = ,即 x + mx + m =0,该式不对任意 x m x+m x x(x+m) 恒成立,所以不存在常数 m 使 f(x+m)=f(x)+f(m)成立,所以① 不是 m 函数.②若 f(x)=2x,由 f(x+m)=f(x)+f(m)得,2(x+m) =2x+2m,此式恒成立,所以②是 m 函数.③若 f(x)=sin x,由 f(x+m)=f(x)+f(m)得 sin(x+m)=sin x+sin m,当 m=2π 时,f(x +m)=f(x)+f(m)恒成立,所以③是 m 函数.
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第5讲

函数的单调性与最值

④若 f(x)=ln x,则由 f(x+m)=f(x)+f(m)得 ln(x+m)=ln x+ ln m, 即 ln(x+m)=ln mx, 所以 x+m=mx, 要使 x+m=mx 成立, ? ?m=1, 则有? 则方程组无解,所以④不是 m 函数,所以为 m 函数 ? ?m=0, 的序号是②③.
多 元 提 能 力

[规律解读] 函数中的新定义问题的本质是把新定义 转化为我们已知的函数的某种性质,通过对函数性质的 研究得出新定义要解决的问题.

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第5讲

函数的单调性与最值

[备选理由] 例 1 为简单的复合函数的单调性,例 2 为使 用函数的单调性确定函数最值问题,可在相应探究点中使用.

教 师 备 用 题
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第5讲

函数的单调性与最值

例 1 【配例 2 使用】 的单调区间.

求函数 y=log0.7(x2-3x+2)

解:根据复合函数的单调性的判断方法可得,单调增 区间为(2,+∞),单调减区间为(-∞,1).

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第5讲

函数的单调性与最值

例 2 【配例 4 使用】 [2013· 榆林二模] 对于函数 f(x) 与 g(x),若区间[a,b]上|f(x)-g(x)|的最大值 称为 f(x)与 g(x) ... 1 2 2 的“绝对差”,则 f(x)= ,g(x)=9x -x 在[1,4]上的 x+1 “绝对差”为( ) 271 23 A. B. 72 18 29 13 C.45 D. 9
教 师 备 用 题

[答案] D

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第5讲

函数的单调性与最值

[解析]

1 2 2 令 h(x)= - x +x,x∈[1,4],所以 h′(x)= x+1 9

-1 4 - x+1.令 h′(x)>0,得 1<x<2;令 h′(x)<0,得 2<x<4. (x+1)2 9 所以 h(x)在[1, 4]上先增后减, 所以 h(x)在 x=1 或 x=2 或 x=4 23 13 29 处取得最值.又 h(1)= ,h(2)= ,h(4)= ,故函数的绝对 18 9 45 13 差为 9 .
教 师 备 用 题
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第6讲 函数的奇偶性与周期性

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考试说明
1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用 简单函数的周期性. 3.会运用函数图像理解和研究函数的性质.

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第6讲
双 向 固 基 础

函数的奇偶性与周期性

1.函数的奇偶性 (1)定义:一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x, f(-x)=f(x) ,那么 f(x)就叫作偶函数;一般地,对于函 都有_______________ f(-x)=-f(x) , 数 f(x)的定义域内的任意一个 x, 都有________________ 那么 f(x) 就叫作奇函数. (2)性质:①奇函数的图像关于坐标原点 ________对称,偶函数的图像 y 轴 对称;②奇函数在关于坐标原点对称的区间上若有 关于________ 相同 ,偶函数在关于 y 轴对称的区间上 单调性,则其单调性________ 相反 ;③在公共定义域上两个偶函 若有单调性,则其单调性________ 奇 函数,两个 偶 数之和是________ 函数,两个奇函数之和是________ 偶 偶函数之积是________ 函数,两个奇函数之积是偶函数.

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第6讲

函数的奇偶性与周期性

双 向 固 基 (3)函数奇偶性的判断方法: 础 奇函数

偶函数

定义法

图像法

f(-x)=-f(x), f(-x)=f(x), f(-x)+f(x)=0, f(x) =0, f(-x)-______ f(-x) -1 =______( f(x)≠ f(-x) f (x ) =1(f(x)≠0) f(x) 0) 图像关于坐标原点对称 图像关于 y 轴对称

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第6讲
双 向 固 基 础

函数的奇偶性与周期性

2.函数的周期性 (1)定义:一般地,对于函数 f(x),如果存在不为零 的实数 T,使得对于定义域内的任意一个 x 都满足 f(x +T)=f(x),我们就称函数 f(x)为周期函数,称 T 为这个 周期 .对于周期函数 f(x),如果在它的周期 函数的________ 中存在一个最小的正数, 那么这个最小的正数就叫作 f(x) 最小 正周期. 的________ (2)简单性质: ①如果 T 是函数 f(x)的周期,则 nT(n∈Z,n≠0)都 周期 ; 是它的________ ? T? ? T? ②T 是函数 f(x)的周期?f?x+2 ?=f?x-2 ?. ? ? ? ?

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第6讲
双 向 固 基 础

函数的奇偶性与周期性

—— 链接教材 ——
1 1 1.函数 f(x)=x ,f(x)=x ,f(x)=x+x ,f(x)=x2中偶函数 的个数是________.
4 5

[答案] 2

1 [解析] f(x)=x ,f(x)=x2为偶函数.
4

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第6讲
双 向 固 基 础

函数的奇偶性与周期性

2. 若 f(x)是偶函数且在(0, +∞)上为增函数, 则函数 f(x) 在(-∞,0)上为________.
[答案] 减函数

[解析] 根据偶函数图像关于 y 轴对称作出判 断.

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第6讲
双 向 固 基 础

函数的奇偶性与周期性

3. 若奇函数 f(x)在区间[a,b]上是减函数,则它在[-b, -a]上是________函数;若偶函数 f(x)在区间[a,b]上是增函 数,则它在[-b,-a]上是________函数.
[答案] 减 减

[解析] 根据奇偶函数图像的对称性可得. 疑难辨析 1.(1)√ (2)? (3)? [解析] (1)根据 函数奇偶性的定义,f(x),f(-x)必须同时有意义,故具 备奇偶性的函数首先其定义域关于坐标原点对称,但 定义域关于坐标原点对称的函数未必具有奇偶性. (2)函数按照奇偶性分为四类,即奇函数、偶函数、 既是奇函数又是偶函数(f(x)=0, x∈R)、 非奇非偶函数. (3)当奇函数 y=f(x)在 x=0 处有定义时一定有 f(0) =0,但奇函数在 x=0 处未必有定义.
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第6讲
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函数的奇偶性与周期性

—— 疑 难 辨 析 ——
1.函数的奇偶性的认识 (1)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域在 x 轴上 是关于坐标原点对称的.( ) (2) 函数按照奇偶性分类可以分为奇函数、偶函数两 类.( ) (3)如果函数 y=f(x)是奇函数,则一定有 f(0)=0.( )

[答案] (1)√

(2)?

(3)?

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第6讲
双 向 固 基 础

函数的奇偶性与周期性

[解析] (1)根据函数奇偶性的定义, f(x),f(-x) 必须同时有意义, 故具备奇偶性的函数首先其定义域 关于坐标原点对称, 但定义域关于坐标原点对称的函 数未必具有奇偶性. (2)函数按照奇偶性分为四类,即奇函数、偶函 数、既是奇函数又是偶函数(f(x)=0,x∈R)、非奇非 偶函数. (3)当奇函数 y=f(x)在 x=0 处有定义时一定有 f(0)=0,但奇函数在 x=0 处未必有定义.

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第6讲
双 向 固 基 础

函数的奇偶性与周期性

2.函数的周期性的认识 (1)函数的周期性是函数在定义域上的整体性质.( (2)函数的周期只能是正数.( )
[答案] (1)√ (2)?

)

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双 向 固 基 础

函数的奇偶性与周期性

[解析] (1)根据函数周期性的定义,函数的周期 性是对定义域内任意自变量都成立的一个性质, 故是 定义域上的整体性质. (2)函数的周期可以是负数.

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第6讲

函数的奇偶性与周期性

?

探究点一

函数奇偶性的判断
3

点 面 讲 考 向

1 例 1 已知函数: ①f(x)=x -x ; ②f(x)=x2-x3; ③f(x) = x2-1 + 1-x2 ; ④y = 2x-1 + 1-2x ; ⑤y = ?x2+2(x>0), ? ?0(x=0), ?-x2-2(x<0). ? 其中仅仅是奇函数的是________,非奇非偶函数的 是________,既是奇函数又是偶函数的是________.

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第6讲

函数的奇偶性与周期性

点 面 讲 考 向

[思考流程] 分析: 即得出 f(-x)=f(x)或 f(-x)=-f(x) 是否成立.推理:根据函数解析式进行运算.结论:根 据运算结果得出答案.

[答案]

①⑤

②④



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第6讲

函数的奇偶性与周期性

点 面 讲 考 向

[解析] ①原函数的定义域为{x|x≠0}, 并且对于定义域内 1 1 3 3 的每一个 x 都有 f(-x)=(-x) - =-x -x =-f(x),从而 -x 函数 f(x)为奇函数. ②由于 f(-1)=2,f(1)=0,f(-1)≠f(1),f(-1)≠-f(1), 从而函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数. ③f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称.又 f(-1)= f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0,故 f(x)既是奇函数又是偶函数. 1 ④定义域为 , 不关于原点对称, 故该函数不具有奇偶性. 2 ⑤定义域为 R,关于原点对称,当 x>0 时,-x<0,f(- x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x);当 x<0 时,-x>0,f(- x)=(-x)2+2=-(-x2-2)=-f(x);当 x=0 时,f(0)=0,也 满足 f(-x)=-f(x). 故该函数为奇函数.
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第6讲

函数的奇偶性与周期性

点 面 讲 考 向

[归纳总结] 按照奇偶性可将函数分为四类(奇函数、 偶函数、既是奇函数又是偶函数、不是奇函数也不是偶 函数),判断一个函数具备奇偶性,须按照定义证明定义 域内任意一个自变量满足奇偶函数的定义,说明一个函 数不是奇函数(或偶函数),只要找到一个自变量的值, 不满足函数奇偶性的定义即可.

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第6讲

函数的奇偶性与周期性

点 面 讲 考 向

1-x2 变式题 下列函数:①f(x) = , x∈[ - 1 , |x+2|-2 0)∪(0,1];②f(x)=|x-1|+|x+1|;③f(x)=0,x∈[-6, -2]∪[2,6]. 其中仅仅是奇函数的是________,仅仅是偶函数的 是________,既是奇函数又是偶函数的是________.

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第6讲

函数的奇偶性与周期性

[答案] ①
点 面 讲 考 向





[解析] ①定义域为[-1,0)∪(0,1],则|x+2|-2=x, 1-x2 ∴f(x)= x . 1- x 2 ∵f(-x)=-f(x),∴f(x)= x 为奇函数. ②原函数的定义域为 R,对于定义域内的每一个 x 都 有 f(-x)=|-x-1|+|-x+1|=|x+1|+|x-1|=f(x), ∴函数 f(x)为偶函数. ③∵f(-x)=-f(x)且 f(-x)=f(x),∴f(x)既是奇函数又 是偶函数.

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第6讲

函数的奇偶性与周期性

?

探究点二

函数的单调性与奇偶性

点 面 讲 考 向

例 2 (1)已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递 ?1? 增,则满足 f(2x-1)<f?3?的 x 的取值范围是( ) ? ? ?1 2? ?1 2? A.?3,3? B.?3,3? ? ? ? ? ?1 2? ?1 2? C.?2,3? D.?2,3? ? ? ? ? (2)若奇函数 f(x)是定义在(-1,1)上的增函数,则关 于 a 的不等式 f(a-2)+f(a2-4)<0 的解集是________.

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第6讲

函数的奇偶性与周期性

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:需要得出关于 x 的不等式.推 理:利用函数是偶函数的特点,分 2x-1≥0,2x-1<0, 即可得出关于 x 的不等式.结论:解不等式后整合得出 结论. (2)分析:需要得出关于 a 的代数不等式.推理:根 据奇函数及其单调性得出不等式.结论:解不等式组即 得.

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第6讲

函数的奇偶性与周期性

[答案] (1)A

(2)( 3,2)

点 面 讲 考 向

1 [解析] (1)当 2x-1≥0,即 x≥2时,由函数 f(x)在区间 ?1? 1 ? ? [0,+∞)上单调递增,且 f(2x-1)< f?3?,得 2x-1< ,即 3 ? ? 2 1 2 x< .故 ≤x< ; 3 2 3 1 当 2x-1<0, 即 x< 时, 由于函数 f(x)是偶函数, 故 f(2x 2 ?1? 1 ? ? -1)=f(1-2x), 此时 1-2x>0.由 f(2x-1)< f 3 , 得 1-2x<3, ? ? 1 1 1 即 x>3,故3<x<2. ?1 2? 综上可知,x 的取值范围是?3,3?. ? ?
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第6讲

函数的奇偶性与周期性

点 面 讲 考 向

(2)由已知得 f(a-2)<-f(a2-4),因为 f(x)是奇函数, 故-f(a2-4)=f(4-a2),所以 f(a-2)<f(4-a2). 又 f(x) 是 定 义 在 ( - 1 , 1) 上 的 增 函 数 , 从 而 ?-3<a<2, ?a-2<4-a2, ? ? ?-1<a-2<1, 解 得 ?1<a<3, 即 3 ?-1<a2-4<1, ?- 5<a<- 3或 3<a< 5, ? ? <a<2.

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第6讲

函数的奇偶性与周期性

点 面 讲 考 向

[归纳总结] 本例(1)也可以通过偶函数的一个拓展性 结论解决,即对于偶函数有 f(x)=f(|x|),根据这个结论, ?1? ?1? f(2x-1)<f?3??f(|2x-1|)<f?3?,进而转化为求解不等式|2x ? ? ? ? 1 -1|<3, 解这个不等式即可; 本例(2)不要忽视了函数的定 义域.

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第6讲

函数的奇偶性与周期性

点 面 讲 考 向

π 变式题 设函数 f(x)=x +x, x∈R, 当 0≤θ≤ 时, 2 f(msin θ )+f(1-m)>0 恒成立,则实数 m 的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(-∞,0) ? 1? C.?-∞,2? D.(-∞,1) ? ?
3

[答案] D

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第6讲

函数的奇偶性与周期性

点 面 讲 考 向

[解析] 函数 f(x)是奇函数,则不等式 f(msin θ ) +f(1-m)>0,即 f(msin θ )>f(m-1),即 msin θ >m π m-1 -1 在 θ∈0,2 上恒成立. 当 m>0 时, 即 sin θ > m m-1 恒成立, 只要 0> m 即可, 解得 0<m<1; 当 m=0 时, m-1 不等式恒成立;当 m<0 时,只要 sin θ < m ,即 m-1 1< m 即可,解得 0>-1,这个不等式恒成立,此时 m<0.综上可知 m<1.

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第6讲

函数的奇偶性与周期性

?

探究点三

函数的奇偶性与周期性

点 面 讲 考 向

例 3 (1)函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任 意 x∈R 都有 f(x+6)=f(x)+f(3-x),则 f(180)的值为 ( ) A.180 B.-180 C.0 D.不确定 (2)函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)与 f(x-1)都是 奇函数,则( ) A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函数

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第6讲

函数的奇偶性与周期性

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:需要把 f(180)化为可求的函数值.推 理:根据函数是奇函数,且满足 f(x+6)=f(x)+f(3-x),推证函 数的周期性. 结论: 根据函数的周期性把 f(180)值的转化为可求 函数的值. (2)分析: 需要得出选项中的函数具备奇偶性的特征. 推理: 根据函数 f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数可得两个函数等式,通过 换元的方法变换这两个等式可以得到 f(x)的两种不同的表示方 法,等量代换后就得到一个新的函数等式,再变换这个函数等 式即可得到函数的周期性.结论:根据选项和这个周期即可得 出结论.

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第6讲

函数的奇偶性与周期性

[答案] (1)C

(2)D

点 面 讲 考 向

[解析] (1)由于 f(x+6)=f(x)+f(3-x)对任意实数 x 恒成 立, 把 x 换为 3-x 得 f(9-x)=f(3-x)+f(x), 两式相减得 f(x +6)=f(9-x),把 x 换为 x-6,得 f(x)=f(15-x).又 f(x)是 奇函数,则 f(x)=-f(x-15)=-f(30-x)=f(x-30),即 f(x) =f(x+30),所以 f(x)是周期为 30 的周期函数,从而 f(180) =f(0)=0. (2)由题知 f(-x+1)=-f(x+1),f(-x-1)=-f(x-1). 由 f(-x+1)=-f(x+1)?f(-x+2)=-f(x), 由 f(-x-1)=-f(x-1)?f(-x-2)=-f(x), 所以 f(-x+2)=f(-x-2), 即 f(x+2)=f(x-2), 由此可 得 f(x+4)=f(x),即函数 f(x)是以 4 为周期的周期函数. 因此 f(x+3)=f(x-1),故函数 f(x+3)是奇函数.
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第6讲

函数的奇偶性与周期性

点 面 讲 考 向

[归纳总结] 在抽象函数中推证函数周期性时,要特别注意 自变量赋值法、消元法、递推法的应用.

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第6讲

函数的奇偶性与周期性

点 面 讲 考 向

变式题 (1)定义在 R 上的函数 f(x)既是奇函数, 又是 周期函数,T 是它的一个正周期.若将方程 f(x)=0 在闭 区间[-T,T]上的根的个数记为 n,则 n 可能为( ) A.0 B.1 C.3 D.5 (2)设 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,若 2a-3 f( - 1)< - 1 , f(2011) = ,则实数 a 的取值范围是 a+1 ________.

[答案] (1)D (2)(-∞,-1)∪(4,+∞)

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第6讲

函数的奇偶性与周期性

点 面 讲 考 向

[解析] (1)定义在 R 上的函数 f(x)是奇函数,f(0)=0. 又是周期函数, T 是它的一个正周期, ∴f(T)=f(-T)=0, T T T T T f(-2 )=-f(2 )=f(-2 +T)=f(2 ) ,∴f(- 2 ) T =f(2 )=0,则 n 可能为 5. (2)f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数, f(-1)< 2a-3 2a-3 -1?f(1)>1,f(2011)=f(1)= ? >1,解得 a< a+1 a+1 -1 或 a>4.

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第6讲

函数的奇偶性与周期性

?

探究点四

函数性质的综合应用

点 面 讲 考 向

例 4 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=- f(x),且在区间[0,2]上是增函数.若方程 f(x)=m(m>0) 在区间[-8,8]上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,则 x1 +x2+x3+x4=________.
[思考流程] 分析: 需要得出 x1, x2 , x3 , x4 的规律. 推 理:利用已知推证函数的单调性和周期性以及函数图像 的对称性.结论:得出方程 f(x)=m 实根的对称性即得结 论.

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第6讲

函数的奇偶性与周期性

[答案] -8
点 面 讲 考 向

[解析] ①由“R 上的奇函数 f(x)”可知函数图像关于坐标 原点对称,且 f(0)=0;由“在区间[0,2]上是增函数”可知函 数 f(x)在[-2,0]上是增函数,从而可以得出函数 f(x)在[-2, 2]上单调递增.可以画出函数在[-2,2]上的特征图像.②由 “f(x-4)=-f(x)”可得 f(4-x)=f(x),可知函数 f(x)的图像关 于直线 x=2 对称. ③由①②可得函数在[-2, 6]上的特征图像.

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第6讲

函数的奇偶性与周期性

点 面 讲 考 向

④f(x-4)=-f(x)?f(x-8)=-f(x-4)=f(x),即函数以 8 为周期.这样就清楚了函数 f(x)图像的特征,如图所示,根据 图像不难看出方程 f(x)=m(m>0)在[-8, 8]上有两根关于直线 x = 2 对称,有两根关于直线 x =- 6 对称,故四个根的和为 2?(-6)+2?2=-8.

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第6讲

函数的奇偶性与周期性

点 面 讲 考 向

[归纳总结 ] 函数的性质主要就是单调性、奇偶性和周期 性.偶函数在其定义域关于坐标原点对称的区间上的单调性相 反,奇函数在其定义域关于坐标原点对称的区间上的单调性相 1 同.函数的周期性通常以 f(x+a)=-f(x),f(x+a)= ,f(x f(x) +a)=f(x+b)等方式呈现,再结合奇偶性,其呈现形式更多, 但基本的解题思想就是变换给出的函数关系式,使之符合函数 周期性的定义.

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第6讲

函数的奇偶性与周期性

点 面 讲 考 向

变式题 定义在(-∞,+∞)上的偶函数 f(x)满足 f(x +1)=-f(x),且 f(x)在[-1,0]上是增函数,下面有关于 f(x)的五个命题:①f(x)是周期函数;②f(x)的图像关于直 线 x=1 对称;③f(x)在[0,1]上是增函数;④f(x)在[1, 2] 上为减函数;⑤f(2) = f(0) .其中正确命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4

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第6讲

函数的奇偶性与周期性

[答案] C
点 面 讲 考 向

[解析] 因为 f(x+1)=-f(x), 所以 f(x+2)=-f(x+1)=f(x), 即函数 f(x)是以 2 为周期的周期函数,故命题①正确.由 f(2- x)=f(-x)=f(x),得函数 f(x)的图像关于直线 x=1 对称,命题 ②正确.偶函数在其定义域关于坐标原点对称的区间上的单调 性相反,故命题③不正确.根据周期性,函数在[1,2]上的单 调性与在[-1,0]上的单调性相同,故命题④不正确.根据周 期性,命题⑤正确.

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第6讲

函数的奇偶性与周期性

易错究源

3.忽视定义域导致奇偶性判断错误
)

多 元 提 能 力

1-x 例(1)函数 f(x)= + 1+x( 1-x A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 (2)函数 f(x)=(x-1)0-1 是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数

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第6讲

函数的奇偶性与周期性

多 元 提 能 力

1-x 错解 (1)由于 f(x)= + 1+x= 1-x+ 1+x,① 1- x 所以 f(-x)=f(x),所以 f(x)是偶函数. (2)由于 f(x)=(x-1)0-1=1-1=0,② 所以函数 f(x)既是奇函数又是偶函数. 1-x [错因] ①处忽视了变形的等价性,等式 + 1+x= 1-x 1-x+ 1+x的左端要求-1≤x<1,右端要求-1≤x≤1. ②处忽视了对 x 取值的限制,(x-1)0 有意义需 x-1≠0, 即 x≠1.

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第6讲

函数的奇偶性与周期性

[答案] (1)D (2)D
[解析] (1)函数 f(x)的定义域是[-1,1),不关于坐标原点 对称,故其既不是奇函数也不是偶函数. (2)注意 x-1=0 时, (x-1)0 无意义, 故函数的定义域是(- ∞,1)∪(1,+∞),不关于坐标原点对称,故函数 f(x)既不是 奇函数也不是偶函数.

多 元 提 能 力

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第6讲

函数的奇偶性与周期性

[备选理由] 函数性质的难点是复杂的分段函数、抽象 函数的性质,下面题目从不同的侧面说明如何解决复杂的 分段函数、抽象函数的性质,以及性质的应用,可在相应 探究点中使用.

教 师 备 用 题
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第6讲

函数的奇偶性与周期性

例 1 【配例 3 使用】 设函数

? ?1,x为有理数, D(x)=? ? ?0,x为无理数,

则下列结论中错误的是( ) A.D(x)的值域为{0,1} B.D(x)是偶函数 C.D(x)不是周期函数 D.D(x)不是单调函数

教 师 备 用 题
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第6讲

函数的奇偶性与周期性

[答案] C

教 师 备 用 题

[解析] 根据定义,函数的值域是{0,1},选项 A 中的结论正确.若 x 是无理数,则-x 也是无理数,此 时 D(-x)=D(x),若 x 是有理数,则-x 也是有理数, 此时 D(-x)=D(x).所以 D(x)是偶函数,选项 B 中的 结论正确.对任意的非零有理数 T,显然当 x 是有理数 时,x+T 也是有理数,此时 D(x+T)=D(x)=1;若 x 是无理数,则 x+T 也是无理数,此时也有 D(x+T)= D(x),所以函数 D(x)是周期函数,且任何非零有理数都 是其周期,所以选项 C 中“函数 D(x)不是周期函数” 的说法不正确. 根据单调性的定义可知函数不是单调函 数,选项 D 中的结论正确.
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第6讲

函数的奇偶性与周期性

例 2【配例 4 使用】 已知函数 f(x)是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数, 且对任意实数 x 都有 xf(x+1)=(1 5 +x)f(x),则 f(2)的值是( ) 1 A.0 B. 2 5 C.1 D.2
教 师 备 用 题
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第6讲

函数的奇偶性与周期性

[答案] A

1+x 1 [解析] 若 x≠0,则有 f(x+1)= x f(x),取 x=- , 2 1 1-2 1 1 1 1 则有 f( )=f(- )+1= f(- )=-f(- ).又∵f(x)是偶函 2 2 1 2 2 -2 3 1+2 1 1 1 5 3 数,∴f(-2)=f(2),由此得 f(2)=0.因此 f(2)=f(2+1)= 3 2
教 师 备 用 题

3 5 3 5 1 f(2)=3 f(2)=3f(2+1)=

1 =5 f(2)=0.
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第7讲 二次函数

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考试说明

1.掌握二次函数的图像与性质(单调性、对称性、顶点、 最值). 2.了解二次函数的广泛应用.

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二次函数

1.二次函数的图像与性质 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0)

图像

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二次函数

b -2a
2 b 4ac-b (- , ) 2a 4a

[-

b ,+∞) 2a [- 4ac-b2 4a b ,+∞) 2a

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二次函数

2.二次函数的解析式求法 示例 图像过点(0,1),(1,3), 2 ax + bx + c 一般式 y=_______________ (2,7)
a(x-h)2+k 顶点式 y=_______________

名称

表达式

图像顶点(-1,1),过点 (0,2)

零点式 y=_______________ a(x-x1)(x-x2) 零点 1,2,过点(0,2)

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二次函数

—— 链接教材 ——

1. 若函数 f(x)=4x2-kx-8 在[5,20]上是单调函数, 则实数 k 的取值范围是________.
[答案] (-∞,40]∪[160,+∞)

k k [解析] 二次函数的对称轴方程是 x=8,故只要8≤5 k 或 ≥20,即 k≤40 或 k≥160. 8

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二次函数

2. 定义在 R 上的奇函数 f(x), 若 x≥0 时, f(x)=x(1+x), 则 x<0 时,f(x)=________.
[答案] x(1-x)

[解析] x<0 时,-x>0,f(x)=-f(-x)=-(-x)(1 -x)=x(1-x).

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二次函数
2

?x1+x2? ? 3.对函数 f(x)=x +x,x1,x2∈R,不等式①f? ≤ ? 2 ? ? ? ?x1+x2? f(x1)+f(x2) ?x1+x2? f(x1)+f(x2) ? ? ? ? ; ② f < ; ③ f ≥ ? ? ? 2 2 2 ? 2 ? ? ? ?

f(x1)+f(x2) ; 2 ?x1+x2? f(x1)+f(x2) ? ④f? .其中一定成立的是________. ? ?> 2 2 ? ?

[答案] ①

f(x1)+f(x2) [解析] 图像开口向上,故 ≥ 2 ?x1+x2? ? f? ? 2 ?. ? ?
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二次函数

—— 疑 难 辨 析 ——
1.二次函数的图像 (1) 二次函数 y = ax2+ bx + c(a≠0) 的图像恒过定点 (0 , c).( ) (2)如果二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与 x 轴有两 个不同的交点,则该图像截 x 轴所得线段的长度为 b2-4ac .( ) a
[答案] (1)√ (2)?

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二次函数

[解析] (1)当 x=0 时,y=c. (2)设 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴的交点坐标为(x1, 0), (x2,0),则 x1,x2 为方程 ax2+bx+c=0 的两个实根,故 b c x1+x2=-a,x1x2=a,所以二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的 图 像 截 x 轴 所 得 的 线 段 的 长 度 为 | x1 - x2 | = 2 b -4ac b c 2 2 (x1-x2) -4x1x2= (-a) -4?a= . |a|

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二次函数

2.二次函数的性质 (1)二次函数 y=x2+mx+1 在[1,+∞)上单调递增的充 要条件是 m≥-2.( ) (2)若二次函数 f(x)满足 f(2-x)=f(x),则该二次函数在 x =1 处取得最大值.( )
[答案] (1)√ (2)?
2

m [解析] (1)二次函数 y=x +mx+1 在区间[- , +∞) 2 m 上单调递增, 在[1, +∞)上单调递增的充要条件是- ≤1, 2 即 m≥-2. (2)二次函数 f(x)满足 f(2-x)=f(x), 则该函数图 像关于直线 x=1 对称,此时该函数在 x=1 处取得最大值 或最小值,不一定是最大值.
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二次函数

3.已知二次函数的解析式 (1)二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图像过点(0,0)的充 要条件是 c=0.( ) (2)已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的两个零点可以 确定函数的解析式.( )
[答案] (1)√ (2)?

[解析] (1)若二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图像过 点(0,0),则 0=c;反之,若 c=0,则点(0,0)适合函数 的解析式. (2)确定二次函数的解析式需要三个独立的条件, 两个 零点不能确定函数的解析式.

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二次函数

?

探究点一

二次函数的解析式的求法

点 面 讲 考 向

例 1 已知二次函数图像的顶点坐标是(-2,-1), 图像经过点(1,0),求这个二次函数的解析式. [思考流程] 条件:二次函数图像的顶点坐标,函数 图像过的点.目标:二次函数的解析式.方法:设出二 次函数解析式,根据条件得关于二次函数系数的方程组 解之.

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二次函数

点 面 讲 考 向

解:方法一:设所求解析式为 y=ax2+bx+c(a≠0),由 ? ?a=1, ? b 9 ?-2a=-2, ? ? ? 4 2 已知得?4ac-b 解得?b=9, ? ? 4a =-1, ? 5 ? c=-9, ?0=a+b+c, ? ? 1 4 5 所以,所求解析式为 y= x2+ x- . 9 9 9

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方法二: 设所求解析式为 y=ax2+bx+c(a≠0), 依题意 ? ?a=1, ? 9 ? ?- b =-2, ? ? 2a 4 ? ? 得 4a-2b+c=-1,解得 b=9, ? ? ? ? 5 ?a+b+c=0, c=-9, ? ? 1 2 4 5 所以,所求解析式为 y= x + x- . 9 9 9

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方法三:设所求解析式为 y=a(x-h)2+k,由已知得 y 1 2 =a(x+2) -1,将点(1,0)的坐标代入得 a=9, 1 1 2 4 2 所以,所求解析式为 y=9(x+2) -1,即 y=9x +9x 5 -9.

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二次函数

点 面 讲 考 向

[归纳总结] 二次函数常用的表达式:(1)一般式 y= a· x2+bx+c(a≠0);(2)顶点式 y=a(x-h)2+k(a≠0),其 2 4 ac - b b 中 h =- 2a , k = 4a ; (3) 两根式 y = a(x - x1)(x - x2)(a≠0),其中 x1,x2 是抛物线与 x 轴交点的横坐标, 如果没有交点,则不能这么表示.

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二次函数

点 面 讲 考 向

变式题 若二次函数的图像与 x 轴交于点 A(-3, 0), 对称轴是直线 x=1,顶点到 x 轴的距离为 2,求该二次 函数的解析式.

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二次函数

点 面 讲 考 向

解:设所求函数解析式为 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), ?9a-3b+c=0, ?9a-3b+c=0, ?9a-3b+c=0, ? ? ? b ?- =1, ?- b =1, ?- b =1, 由已知得? 2a 即? 2a 或? 2a ??4ac-b2? ?4ac-b2 ?4ac-b2 ? ? ?? ? =2, ? =2 =-2, 4 a 4 a ?? 4a ? ? ? ? ? ?a=-1, ? ?a=1, 8 8 ? ? ? ? 1 1 解得?b=4, 或?b=-4, ? ? ? 15 ? 15 c= 8 , c=- 8 , ? ? ? ? 1 2 1 15 1 2 1 15 所以,所求解析式为 y=8x -4x- 8 或 y=-8x +4x+ 8 .
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二次函数

?

探究点二

二次函数的图像与性质的应用

点 面 讲 考 向

例 2 (1)设 abc>0, 则二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图 像可能是( )

图 271 (2)已知函数 f(x)=x2-2tx+1 在区间[2,5]上单调且 有最大值 8,则实数 t 的值为________.

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二次函数

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:由系数的关系入手.推理:由 于二次函数的开口方向由 a 的正负确定,因此分 a>0, a<0 求解.结论:结合选项中函数图像的对称轴,以及 函数图像与 y 轴的交点进行逐个判断得出结论. (2)分析:由单调性及最值确定出 t 的值.推理:当 函数在已知区间单调递增时,函数在 x=5 处取得最大 值;当函数在已知区间单调递减时,函数在 x=2 处取得 最大值.结论:根据最大值列方程得出符合要求的 t 值.

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二次函数

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9 [答案] (1)D (2) 5 [解析] (1)若 a>0,则 bc>0,根据选项 C,D,c<0,此时有 b b<0,二次函数的对称轴方程是 x=-2a>0,选项 D 有可能; 若 a<0,根据选项 A,c<0,此时只能 b>0,二次函数的对称轴 b 方程是 x=-2a>0,与选项 A 不符合;根据选项 B,c>0,此 b 时只能 b<0,二次函数的对称轴方程 x=-2a<0,与选项 B 不 符合.

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二次函数

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(2)函数 f(x)=x2-2tx+1 图像的对称轴是直线 x=t,函数 在区间[2,5]上单调,故 t≤2 或 t≥5. 若 t≤2,则函数 f(x)在区间[2,5]上是增函数,故 f(x)max 9 =f(5)=25-10t+1=8, 解得 t=5; 若 t≥5, 函数 f(x)在区间[2, 3 5]上是减函数,此时 f(x)max=f(2)=4-4t+1=8,解得 t=-4, 与 t≥5 矛盾. 9 综上所述,只能是 t=5.

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二次函数

点 面 讲 考 向

[归纳总结] (1)解答根据函数图像判断一些结论的题 目时,要根据函数图像上的特殊点,函数图像上反映出 的函数性质进行判断,必要时,要根据不同的情况进行 分类讨论.(2)二次函数在一个闭区间内单调时,这个二 次函数的对称轴不在这个区间内部 ( 可以在区间的端 点),当函数在一个闭区间上单调时,这个函数的最大值 和最小值就是区间的两个端点值.

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二次函数

点 面 讲 考 向

变式题 (1)[2013· 保 定 一 模 ] 已 知 函 数 f(x) = 2 ? ?x +ax,x≤1, ? 2 在 R 上单调递减,则实数 a 的取值范围是 ? ?ax +x,x>1 ( ) A.a>-2 B.-2<a<-1 1 C.a≤-2 D.a≤-2 (2)[2013·焦 作 二 模 ] 已 知 数 列 {an} 满 足 an = ,则数列{an}( A.有最大值 a1,最小值 a3 B.有最大值 a1,最小值 a4 C.有最大值 a1,最小值不存在 D.最大值不存在,有最小值 a4 )

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二次函数

[答案] (1)C
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(2)B

a [解析] (1)第一段函数在(-∞,1]上单调递减时- ≥1, 2 1 即 a≤-2; 第二段函数在(1, +∞)上单调递减时 a<0 且-2a 1 ≤1, 即 a≤-2; 同时要满足端点值 1+a≥a+1.综上可知 a≤ -2.

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二次函数

点 面 讲 考 向

1 n-1 1 n - 1 2 1 1 n -1 (2)an=( ) ? =[ ( ) ] - ( ) 2 2 3 2 1 = -36. 1 - 1 1 1 1 1 - 由于(2)n 1=1,2,4,8,16,?,故只要比较(2)n 1 1 1 =4,8时 an 的大小即可. 1 n -1 1 1 4 1 n -1 1 当(2) =4时,a3=-48=-192;当(2) =8时,a4 5 =-192.故最小项为 a4,不难知道最大项为 a1.

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二次函数

?

探究点三

二次函数的实际应用

点 面 讲 考 向

例 3 已知某商品的价格上涨 x%, 销售的数量就减少 mx%,其中 m 为正的常数. 1 (1)当 m=2时,该商品的价格上涨多少,就能使销 售的总金额最大? (2)如果适当地涨价,能使销售总金额增加,求 m 的 取值范围.

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二次函数

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[思考流程] (1)条件:商品的价格上涨 x%,销售的 1 数量就减少 2 x%. 目标:求 x 为何值时销售的总金额最 大.方法:列出销售总金额关于 x 的函数,求 x 为何值 时函数值最大. (2)条件:商品的价格上涨 x%,销售的数量就减少 mx%.目标: 求 m 的取值范围, 使 x>0 时, 函数单调递增. 方 法:在函数的定义域内存在单调递增区间的 m 的范围即 为所求.

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二次函数

点 面 讲 考 向

解:(1)设商品现在定价 a 元,卖出的数量为 b. 由题设:当价格上涨 x%时,销售总额为 y=a(1+x%)· b(1- mx%), ab 即 y=10 000[-mx2+100(1-m)x+10 000]. 100 根据已知 x≥0 且 mx≤100,即 0≤x< m . 1 ab 当 m= 得 y= [-(x-50)2+22 500], 当 x=50 时, ymax 2 20 000 9 =8ab,即该商品的价格上涨 50%时,销售总金额最大.

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二次函数

点 面 讲 考 向

ab (2)二次函数 y= [-mx2+100(1-m)x+10 000], 在区 10 000 ? ?50(1-m) ? 50(1-m)? ? ? ? ? 间?-∞, 上单调递增,在区间 ,+∞ ? ? ? m m ? ? ? ? 100 上单调递减.适当地涨价能使销售总金额增加,即在(0, m ) 内存在一个区间,使函数 y 在此区间上是增函数,所以 50(1-m) >0,解得 0<m<1,即 m 的取值范围是(0,1). m

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二次函数

点 面 讲 考 向

[ 归纳总结 ] 二次函数在实际问题中具有广泛的应 用, 求解这类问题的关键是列出实际问题的函数关系式, 然后根据问题的要求利用二次函数的性质得出数学结 果,再把数学结果翻译为对实际问题的解释.

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二次函数

点 面 讲 考 向

变式题如图 272 所示,有一座抛物线形拱桥,在正常水位 时水面 AB 的宽为 20 m, 水位上升 3 m 时, 水面 CD 的宽是 10 m. (1)建立如图所示的平面直角坐标系,求此抛物线的解析式. (2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开 往乙地,已知甲地距此桥 280 km(桥长忽略不计).货车正以 40 km/h 的速度开往乙地,当行驶 1 h 后,忽然接到紧急通知:前方 连降暴雨,造成水位以 0.25 m/h 的速度持续上涨(货车接到通知 时水位在 CD 处, 当水位达到桥拱最高点 O 时, 禁止车辆通行). 试 问:如果货车按原来速度行驶,能否安全通过此桥?若能,请说 明理由;若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过多少?

图 272
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第7讲

二次函数

点 面 讲 考 向

解: (1)设抛物线的解析式为 y=ax2(a≠0), 桥拱最高点 O 到 水面 CD 的距离为 h m,则 D(5,-h),B(10,-h-3),所以 1 ? ? ? a=-25, ?25a=-h, ? 解得? 所以抛物线的解析式为 y=- ? ?100a=-h-3, ? ?h=1, 1 2 25x . 1 (2)由 CD 处涨到点 O 的时间为0.25=4(h),货车按原来的速 度行驶的路程为 40?1+4?40=200<280, 所以货车按原来速度 行驶,不能安全通过此桥. 设货车速度提高到 x km/h,则 40+4x>280,即 x>60,故要 使货车安全通过此桥,其速度应超过 60 km/h.
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第7讲

二次函数

答题模板 1.利用大题小做的方法求解二次函数在动区间 上的解析式
例 母题 已知二次函数 f(x)=x2-2x+2, 当 x∈[t, t+1]时, 记 f(x)的最小值为 g(t),求 g(t)的解析式. 子题 (1)当 t<0 时,求 g(t)的解析式; (2)当 0≤t≤1 时,求 g(t)的解析式; (3)当 t>1 时,求 g(t)的解析式.

多 元 提 能 力

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第7讲

二次函数

[解答规范] 函数 f(x)=x2-2x+2 图像的对称轴为 x=1.(3 分) (1)当 t<0,即 t+1<1 时,g(t)=f(t+1)=t2+1.(6 分) (2)当 0≤t≤1,即 t≤1≤t+1 时,g(t)=f(1)=1.(9 分) (3)当 t>1 时,g(t)=f(t)=t2-2t+2.(12 分)
多 元 提 能 力

[步骤解读]求二次函数 y=ax2+bx+c 在指定区间内的最 值的一般解题步骤: (1)确定函数图像的对称轴. (2)根据二次函数的单调性和图像, 将函数的最大(小)值分情 况讨论: ①当 a>0 时,最大值有两种情况,最小值有三种情况; ②当 a<0 时,最大值有三种情况,最小值有两种情况. (3)分别计算出每个区间上函数的最大(小)值.
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第7讲

二次函数

[ 备选理由 ] 虽然二次函数不是高中的考试大纲要求 的内容,但二次函数在高中数学中的重要地位是毋庸置疑 的,下面的两个例题可以作为综合提高学生解决二次函数 问题的能力来用.

教 师 备 用 题
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第7讲

二次函数

3 2 例 1 【配例 2 使用】 已知函数 f(x)=ax- x 的最大 2 ?1 1? 1 1 值不大于6,又当 x∈?4,2?时,f(x)≥8,求 a 的值. ? ?

教 师 备 用 题
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二次函数

教 师 备 用 题

3 1 2 1 a 2 1 2 解:f(x)=- (x- ) + a ,由已知得 a ≤ ,解得 2 3 6 6 6 a -1≤a≤1,函数 f(x)的图像的对称轴为 x=3. ?1 1? 3 当-1≤a<4时,?4,2?是 f(x)的单调递减区间.又 f(x) ? ? 1 1 3 a 3 1 ≥8,即 f(x)min=f(2)=2-8≥8,得 a≥1,与-1≤a<4矛 盾,即不存在这样的 a 值. 3 a 当4≤a≤1 时,函数 f(x)的图像的对称轴为 x=3,此 ?1 1? 1 a 1 1 ? ? 时 ≤ ≤ ,结合图像知区间 4,2 的端点 离对称轴的距 4 3 3 2 ? ? 1 3 a 3 1 离大,故 f(x)min=f(2)=2-8≥8,得 a≥1,而4≤a≤1, 则 a=1.综上,a=1.
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第7讲

二次函数

例 2 【总结使用】 设关于 x 的一元二次方程 ax2+x +1=0(a>0)有两个实根 x1,x2. (1)求(1+x1)(1+x2)的值; (2)求证:x1<-1,且 x2<-1; ? x1 ? 1 (3)如果x ∈?10,10?,试求 a 的最大值. ? ? 2

教 师 备 用 题
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二次函数

教 师 备 用 题

1 1 解:(1)(1+x1)(1+x2)=1+(x1+x2)+x1x2=1-a+a=1. (2) 证 明:令 f(x) = ax2 + x + 1 , 由 Δ = 1 - 4a≥0 得 1 1 0<2a≤ ,所以抛物线 f(x)的对称轴 x=- ≤-2<-1. 2 2a 又 f(-1)=a>0,所以 f(x)的图像与 x 轴的交点都在点 (-1,0)的左侧,故 x1<-1,且 x2<-1. 1 x2 (3)由(1),x1= -1=- . 1+x2 1+x2 ?1 ? x1 1 1 ? 1 10? 因为x =- ∈?10,10?,所以-x ∈?11,11?, 1+x2 ? ? ? ? 2 2 ? 1+x2 1 1?2 1 1 ? 所以 a=x x =- x2 =- -(x )-2? +4, ? ? 2 1 2 2 1 1 1 故当- = 时,a 取得最大值为 . x2 2 4
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第8讲 指数与对数的运算

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考试说明

1.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌 握幂的运算. 2.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一 般对数转化成自然对数或常用对数, 了解对数在简化运算中的 作用.

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第8讲
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指数与对数的运算

1.根式

方根

奇数 偶数
意义

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指数与对数的运算

根式 被开方数
a a

根指数

? ?a(a≥0) ? ? ?-a(a<0)

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指数与对数的运算

n

am

1 n am
意义

0

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指数与对数的运算

3.无理数指数幂 α 无理数指数幂 a (a>0 , α 是无理数 ) 是一个确定的实 数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 4.对数 如果 ax=N(a>0,a≠1),那么数 x 叫作以 a 为底 N 的 对数 ,记作:x=logaN.其中 a 叫作底数,N 叫作真 概念 ________ 数,logaN 叫作对数式

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第8讲
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指数与对数的运算

logaN=x
对数


1

0 1

N

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指数与对数的运算

logaM+logaN

logaM-logaN
nlogaM logcb logca n mlogab

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第8讲 指数与对数的运算
双 向 固 基 础


—— 链接教材 ——

1.若 x+x 1=3,则 x2-x 2=________.


[答案] ± 3

5
- -

[解析] 把 x+x 1=3 两边平方,可得 x2+x 2=7,故 (x-x-1)2=x2-2+x-2=5,所以 x-x-1=± 5,所以 x2 -x-2=(x+x-1)(x-x-1)=± 3 5.

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第8讲 指数与对数的运算
双 向 固 基 础

2. 化简 loga blogb clogc a 的结果是________.

[答案] 1

[解析] 利用对数的换底公式可得.

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第8讲 指数与对数的运算
双 向 固 基 础

3. 若 xlog34=1,则 4x+4-x=________.

10 [答案] 3

[解析] 由 xlog34=1,得 x=log43,所以 4x+4 x= 1 1 10 4log43+4-log43=4log43+4log43=3+3= 3 .


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第8讲
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指数与对数的运算

—— 疑 难 辨 析 ——
1.根式 (1) (-2)5=-2.( 4 (2) (-10)4=-10.( 4 (3) (a-b)4=a-b.(
[答案] (1)√ (2)?

5

) ) )

(3)?

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第8讲
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指数与对数的运算

[解析] (1) (-2)5=-2. 4 (2) (-10)4=|-10|=10. ? ?a-b(a≥b), 4 4 (3) (a-b) =|a-b|=? ? ?b-a(a<b).

5

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指数与对数的运算

2.分数指数幂 (1) (2) (-2)3= (3)
[答案] (1) ? (2)? (3)√

( 5 .( )

)

(

)

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指数与对数的运算

[ 解 析 ] (1) 6
2



3

-1 = - 1 ;



(-1) = 1=1. 5 5 3 3 (2) (-2) =- 2 = (3) (- 1 2


6

. ) 2÷160.75+

=(0.4) 1-(2


2 5 2 3 2) ÷2 +1=2.

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指数与对数的运算

3.对数 (1)lg(lg 10)=0.( ) (2)lg(ln e)=0.( ) (3)若 lg x=1,则 x=10.( (4)若 log22=x,则 x=1.(
[答案] (1) √ (2) √

) )

(3)√

(4)√

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第8讲
双 向 固 基 础

指数与对数的运算

[解析] (1)由底数的对数等于 1,1 的对数等于 0, 得 lg(lg 10)=lg 1=0. (2)与(1)同理 lg(ln e)=lg 1=0. (3)底数的对数等于 1. (4)底数的对数等于 1.

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第8讲

指数与对数的运算

?

探究点一
例1

指数幂的化简与求值

化简下列各式: 3
3

点 面 讲 考 向

(1) 3-2 2+ (1- 2) + (1- 2)4; 1 ? 7? 0 4 3 0.25 ? ? (2)1.5 - 3 ? -6 + 8 ? 2 + ( 2 ? 3 )6 - ? ? ? 2? 2 ?- ?3; 3
? ?

4

(3) 3

a ? 5 2 b 6

3

3

5 4

b3 a3



(4) 1- 3? 4+2

3.
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第8讲

指数与对数的运算

点 面 讲 考 向

[思考流程] 条件:已知的各个数式.目标:得出具 体数值或者最简结果.方法:根据根式、分数指数幂的 运算法则进行计算.

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第8讲

指数与对数的运算

点 面 讲 考 向

解: (1) 原式= ( 2-1)2 + (1 - 2) + |1 - 2| = ( 2-1)+(1- 2)+( 2-1)= 2-1. (2) 原式= 4?27=110. (3)原式= (4) 原 式 = - 6 (4-2 3)(4+2 6 . ( 3-1)2(4+2 6 3) = - =2+

3 3)=- 16-12=- 2.

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第8讲

指数与对数的运算

点 面 讲 考 向

[归纳总结] 在进行根式、指数幂的化简中要准确使 用运算法则,按照从指数运算到乘除运算再到加减运算 的三级运算法则进行,在含有嵌套的根式中注意从内到 外逐次把其化为分数指数幂.

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第8讲

指数与对数的运算

变式题 化简下列各式:
点 面 讲 考 向

(1) (x-2) + (x-2)3;

2

3

4 3 1 3 3 3 (4)7 3-3 24-6 9+ 3 3.

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第8讲

指数与对数的运算

点 面 讲 考 向

解:(1) (x-2) + (x-2)3=|x-2|+(x-2)= ? ?2(x-2),x≥2, ? ? ?0,x<2. 10 1 -1 -4 -3 (2)原式=0.4 -1+(-2) +2 +0.1= 4 -1+16 1 1 143 + + = . 8 10 80

2

3

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第8讲

指数与对数的运算

点 面 讲 考 向

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第8讲

指数与对数的运算

?

探究点二

对数式的化简与求值

点 面 讲 考 向

例 2 化简下列各式: (1)lg 25+lg 2?lg 50+(lg 2)2;

(lg 3)2-lg 9+1(lg 27+lg 8-lg 1000) (3) ; lg 0.3?lg 1.2 (4)(log23+log49+log827+?+log2n3 )log9 32.
n

n

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第8讲

指数与对数的运算

点 面 讲 考 向

[思考流程] 条件:已知各式.目标:得出各式的运 算结果.方法:根据对数的运算法则进行运算.

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第8讲

指数与对数的运算

点 面 讲 考 向

解:(1)原式=2lg 5+lg 2?(1+lg 5)+(lg 2)2=2lg 5 +lg 2(1+lg 5+lg 2)=2lg 5+2lg 2=2.

(3)原式= 3 (1-lg 3)· 2(lg 3+2lg 2-1) 3 = =- . 2 (lg 3-1)· (lg 3+2lg 2-1)
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第8讲

指数与对数的运算

点 面 讲 考 向

(4) 1 lg 3 lg 32 lg 3 5lg 2 5 =nlog23?nlog932=lg 2? lg 9 =lg 2?2lg 3=2.

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第8讲

指数与对数的运算

点 面 讲 考 向

[ 归纳总结 ] 对数式的化简求值的关键是用好对数 的性质、运算法则、换底公式等,按照各级运算的顺序 顺次进行计算.

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指数与对数的运算

变式题
点 面 讲 考 向

化简下列各式:
2

1 (1) (log25) -4log25+4+log2 ; 5 1 (2)|1+lg 0.001|+ (lg3)2-4lg 3+4+lg 6-lg 0.02; (3)log(2- 3)(2+ 3); log5 2· log49 81 (4) . 1 3 log25 3?log7 4

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第8讲

指数与对数的运算

点 面 讲 考 向

解: (1) 原式= |log25 - 2| + log25- 1 = log25 -2 - log25 =-2. (2)原式=|1-3|+|lg 3-2|+lg 300=2+2-lg 3+lg 3+2=6. 1 (3)原式=log(2- 3) =log(2- 3)(2- 3)-1= (2- 3) -1. 1 lg 2 4lg 3 2?lg 5?2lg 7 (4)原式= =-3. -lg 3 2lg 2 2lg 5 ?3lg 7

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第8讲

指数与对数的运算

?

探究点三

指数﹑对数运算的综合应用

点 面 讲 考 向

例 3 解答下列各题: 1 2 (1)已知 4 =5 =100,求a+b的值; (2)已知 log147=a, 14b=5, 求用 a, b 表示的 log3528 的结果.
a b

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第8讲

指数与对数的运算

点 面 讲 考 向

1 2 [思考流程] (1)条件:4 =5 =100.目标:求a+b的 值.方法:以对数表示 a,b,然后按照对数的换底公式 和对数的运算法则、性质得出结果. (2)条件: 已知 a, b.目标: 以 a, b 表示 log3528.方法: 使用对数的换底公式、 对数的运算法则和性质, 把 log3528 表示为 a,b 的某种运算结果.
a b

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第8讲

指数与对数的运算

点 面 讲 考 向

1 解: (1) 由已知得 log4100 = a , log5100 = b ,即 a = 1 2 1 2 log1004 , b = log1005 , b = log10025 , ∴ a + b = log1004 + log10025=1. (2)∵14b=5,∴log145=b, 142 log14 7 2-a log1428 ∴log3528= = = . log1435 log145+log147 a+b

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第8讲

指数与对数的运算

点 面 讲 考 向

[归纳总结] 指数式和对数式可以互相转化,在指数 式与对数式的综合性问题中要特别注意这种转化关系的 应用.对数的换底公式可以实现对数底数的统一,是解 决对数运算的重要公式之一,要注意其应用.

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第8讲

指数与对数的运算

点 面 讲 考 向

变式题 解答下列各题: (1)设 2a=3,3b=7,用 a,b 表示 log4256 的值; (2)已知 2logmx=logkx+lognx(x>0 且 x≠1),求证:n2 =(kn)logkm.

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第8讲

指数与对数的运算

解:(1)由已知得 log23=a,log37=b,可得 log32
点 面 讲 考 向

1 =a, ab+3 log356 log37+3log32 所以 log4256= = = . log342 log32+log37+1 ab+a+1 (2)证明: 因为 2logmx=logkx+lognx, 即 logmx2=logkx 2lg x lg x lg x +lognx,所以 lg m =lg k+lg n.又 x≠1,则 lg x≠0,所以 lg(kn) 2 1 1 2 2lg n lg m lg m=lg k+lg n,即lg m=lg k?lg n?lg(kn)= lg k , 所以 logknn2=logkm,故 n2=

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第8讲

指数与对数的运算

易错究源

4.如何避免指数、对数运算中的错误

多 元 提 能 力

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第8讲

指数与对数的运算

多 元 提 能 力

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第8讲

指数与对数的运算

[错因] ①处,错误使用 a

n

n

? ?|a|,n为偶数, =? ? ?a,n为奇数.

多 元 提 能 力

1 ②处,错误使用对数恒等式,其中 ,不等于3, 对数恒等式中指数的底数和对数的底数必须是同一个数.

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指数与对数的运算

[答案] (1)

6

(2) 1

[解析]
多 元 提 能 力

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第8讲

指数与对数的运算

[备选理由] 指数运算和对数运算中也有一些技巧性较 高的问题,解答这类问题需要综合运用指数和对数的运算 法则和性质,以及对数式的变换.下面的两个例题就是以 此为目的选取的,可以供提高学生的运算能力之用.

教 师 备 用 题
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第8讲

指数与对数的运算

例 1 【配例 1 使用】 3 5-2 3 (2) 13; 2 1+3 7 3 2 3+ 1-3

化 简 : (1)

3

5+2

13 +

7 3.

教 师 备 用 题
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第8讲

指数与对数的运算

解:(1)设 x= 5+2 13+ 5-2 3 3 则 x =( 5+2 13)3+ 3 (5+2 13)2(5-2 13)+ 3 3

3

3

13,

教 师 备 用 题

3 (5+2 13)(5-2 13) +( 5-2 13)3 3 3 =10-9( 5+2 13+ 5-2 13) =10-9x, ∴x3+9x-10=0,即(x-1)(x2+x+10)=0, ∴x=1,即原式=1.

2

3

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第8讲

指数与对数的运算

教 师 备 用 题

7 3 2 7 3 (2)设 + 1 - = x , 由公式 ( a + b ) 3 3 3 2 7 2 7 3 3 = a + b + 3ab(a + b) 得 (1 + 3 3 ) + (1 - 3 3)+ 3 2 7 2 7 3? (1+ )(1- )?x=x3,即 x3+x-2=0, 3 3 3 3 即(x-1)(x2+x+2)=0. ∵x2+x+2>0,∴x-1=0,即 x=1, ∴原式=1. 2 1+3

3

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第8讲

指数与对数的运算

例 2【配例 2 使用】 设 a,b,c 为正数,且满足 a2 +b2=c2. b+ c a-c (1)求证:log2 (1+ a )+log2(1+ b )=1. b+c 2 (2)设 log4(1+ a )=1,log8(a+b-c)= ,求 a,b,c 3 的值.

教 师 备 用 题
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第8讲

指数与对数的运算

b+c a-c 解:(1)证明:左边=log2 (1+ a )?(1+ b )= (a+b)2-c2 (a+b)2-(a2+b2) log2 = log2 = ab ab log22=1=右. a+b+c (2)由 log4 a =1,得-3a+b+c=0,① 2 由 log8(a+b-c)= ,得 a+b-c=4,②, 3 ①+②得 b-a=2.③ 由题设 a2+b2=c2,④ 由①得 c=3a-b,代入④得 2a(4a-3b)=0. 因为 a>0,所以 4a-3b=0.⑤ 由③⑤得 a=6,b=8,则 c=10.
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教 师 备 用 题

双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第9 讲

指数函数、对数函数、 幂函数

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考试说明
1.了解指数函数模型的实际背景. 2.理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握 指数函数图像通过的特殊点. 3.知道指数函数是一类重要的函数模型. 4.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握 指数函数图像通过的特殊点. 5.知道对数函数是一类重要的函数模型. 6.了解指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 互为反函数 (a>0,且 a≠1). 7.了解幂函数的概念. 1 1 2 3 8.结合函数 y=x,y=x ,y=x ,y= x ,y=x2的图像, 了解它们的变化情况.
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第 9讲
双 向 固 基 础

指数函数、对数函数、幂函数

1.指数函数的概念、图像与性质
概念 底数 函数 y=ax(a>0,a≠1)叫作指数函数 a>1 0<a<1

图像

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第 9讲
双 向 固 基 础

指数函数、对数函数、幂函数

(续表)

R
(0,+∞)
(0,1) 增 减

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指数函数、对数函数、幂函数

(0,+∞)
R
(1,0)




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指数函数、对数函数、幂函数

x

α

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第 9讲
双 向 固 基 础

指数函数、对数函数、幂函数

(1,1)

[0,+∞) 减

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第 9讲
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指数函数、对数函数、幂函数

4.反函数 (1)概念:当一个函数的自变量和函数值一一对应时,变 换 x,y 的位置,并把这个函数的因变量作为新函数的自变量, 而把这个函数的自变量作为新函数的因变量, 我们称这两个函 数互为反函数. (2)指数函数 y=ax(a>0,a≠1)与对数函数 y=loga x(a>0, a≠1)互为反函数.由于在反函数中是交换了 x,y 的位置,故 互为反函数的两个函数的定义域和值域互换, 即原函数的值域 是其反函数的定义域,原函数的定义域是其反函数的值域.

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第 9讲
双 向 固 基 础

指数函数、对数函数、幂函数

—— 链接教材 ——

2 1 . 已知函数 f(x) = a - x 是奇函数,则实数 a = 2 +1 ________.
[答案] 1
[解析] 利用对任意 x,x∈Rf(-x)=-f(x)解得,或者 使用 f(0)=0 得出再验证其为奇函数.

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第 9讲
双 向 固 基 础

指数函数、对数函数、幂函数

3 2.若 loga4<1(a>0,且 a≠1),则实数 a 的取值范围是 ________.

3 [答案]( 0, )∪(1,+∞) 4
3 3 [解析] 若 a>1,loga4<0,不等式 loga4<1 一定成立;若 3 3 0<a<1,则 loga4<1=logaa,根据对数函数性质可得 a<4,故 3 3 0<a<4.所以 a 的取值范围是( 0,4)∪(1,+∞).

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第 9讲
双 向 固 基 础

指数函数、对数函数、幂函数

3.已知幂函数 y=f(x)的图像过点(2, 2),则函数 f(x) =________.
[答案]

1 [解析] 设 f(x)=x ,则 2=2 ,所以 α= ,故函数 2
α α

f ( x) =

.

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第 9讲
双 向 固 基 础

指数函数、对数函数、幂函数

—— 疑 难 辨 析 ——
1.指数函数 (1)函数 y=2· 3x,y=2x+2 都是指数函数.( ) (2)若函数 y=(a2-3a+3)ax 是指数函数,则实数 a =2.( ) (3)函数 f(x)=ax-2+3(a>0, 且 a≠1)的图像恒过定点 (3,3).( )
[答案] (1)? (2) √ (3)?

[解析] (1)根据指数函数的定义可知. (2)根据指数函数的定义, 实数 a 应满足 a2-3a+3=1, a>0,a≠1 这三个条件,解得 a=2. (3)当 x-2=0,即 x=2 时,y=4,故函数 f(x)=ax-2 +3(a>0,且 a≠1)的图像恒过定点(2,4).
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第 9讲
双 向 固 基 础

指数函数、对数函数、幂函数

2.对数函数 x (1)函数 y=2log2 x,y=log5 是对数函数.( 5 (2)log2 0.3<log0.2 0.3.( ) (3)函数 y=loga x 与 y= 关于 x 轴对称.( ) )

(a>0, 且 a≠1)的图像

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第 9讲
双 向 固 基 础

指数函数、对数函数、幂函数

[答案] (1)?

(2)√

(3)√

[解析] (1)根据对数函数的定义可知都不是对数函数. (2)由于 log20.3<log21=0,log0.20.3>log0.21=0, ∴log20.3<log0.20.3. (3)根据对数的换底公式和对数的运算性质, y= = =-logax, 这样函数 y=logax 与 y= 的图像 上任意相同的自变量对应着互为相反数的 y 值, 这样的两个 函数的图像关于 x 轴对称.

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双 向 固 基 础

指数函数、对数函数、幂函数

3.幂函数 α (1)当 α=0 时,函数 y=x 的图像是一条直线.( ) (2)幂函数的图像都经过点(0,0)和(1,1).( ) α α (3)若幂函数 y=x 是奇函数,则 y=x 是定义域上的增 函数.( ) (4)幂函数的图像不可能出现在第四象限.( )

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第 9讲
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指数函数、对数函数、幂函数

[答案] (1) ?

(2) ? (3)?

(4) √

[解析] (1)当 α=0 时, 函数 y=xα 的图像是一条直线(去掉 点(0,1)). (2)如幂函数 y=x-1 的图像不过点(0,0). (3)如幂函数 y=x-1 在定义域上不是增函数. (4)当 x>0 时,xα >0,故幂函数的图像不可能出现在第四 象限.

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指数函数、对数函数、幂函数

?

探究点一
例1

指数函数的图像与性质及应用

(1)[2013· 宁波五校月考] 已知函数 f(x)=x-4+

点 面 讲 考 向

9 ,x∈(0,4),当 x=a 时,f(x)取得最小值 b,则函数 x+1 ?1?|x+b| g(x)=?a? 的图像为( ) ? ?

图 291

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第 9讲

指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 向

1 ? ?2x- ,x>4, x (2)[2013· 开封二检] 函数 f(x)=? 记a ? ?f(x+2),x≤4. ? 1? =f?log 22?,b=f(log 23),c=f(log 27),则( ) ? ? A.a>b>c B.b<a<c C.a<c<b D.a>c>b

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第 9讲

指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 向

[思考流程](1)分析:需要知道 a,b 的取值或取值 范围. 推理: 根据函数 f(x)取得最值时的 x 值及最值确定. 结 论:根据 a,b 的值确定函数图像的形状. (2)分析:需要把 a,b,c 中的自变量转化到(4,+∞) 上.推理:根据函数解析式逐次递推转化.结论:根据函 数在(4,+∞)上的单调性和自变量的大小作出判断.

[答案] (1)B

(2)D

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指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 向

9 9 [ 解析 ] (1)f(x) = x - 4 + = (x + 1) + - 5≥2 x+1 (x+1) 9 (x+1)? -5=1,当且仅当 x+1=3,即 x=2 (x+1) 1 时等号成立,故 a=2,b=1,所以函数 g(x)=(2)|x+1|,其 1 |x| 图像可以看作将函数 y= (2) 的图像向左平移一个单位得到, 为选项 B 中的图像. (2)a=f(-2)=f(0)=f(2)=f(4)=f(6)=f(log264), b=f(2log23)=f(2+2log23)=f(log236),c=f(log249), 函数 f(x)在 x>4 时单调递增,故 a>c>b.

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第 9讲

指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 向

[归纳总结]分析指数函数图像时要从函数图像经过 的定点、函数图像的单调性方面入手,在函数是复合函数 的情况下要通过图像变换得出要求的函数图像.指数函数 性质中应用最多的是其单调性,要根据底数的大小确定其 单调性,然后应用到具体的问题中.

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第 9讲

指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 向

1 变式题 (1)[2012· 四川卷] 函数 y=a -a(a>0,且 a≠ 1)的图像可能是( )
x

图 292

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第 9讲

指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 向

(2)设 y=f(x)在(-∞, 1]上有定义, 对于给定的实数 K, ? ?f(x),f(x)≤K, 定义 fK(x)=? 给出函数 f(x)=2x+1-4x, ? ?K,f(x)>K, 若对于任意 x∈(-∞,1],恒有 fK(x)=f(x),则( ) A.K 的最大值为 0 B.K 的最小值为 0 C.K 的最大值为 1 D.K 的最小值为 1

[答案]

(1)D

(2)D

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第 9讲

指数函数、对数函数、幂函数

[解析] (1)若 a>1,则 f(x)为增函数,排除 C,D.而 0
点 面 讲 考 向

1 <a<1,图像与 y 轴的交点应该在(0,1)内,A,B 也不符 合,故 a>1 不合题意. 1 若 0<a<1,则 f(x)为减函数,排除 A,B,此时a>1, 故图像与 y 轴的交点应该在负半轴,排除 C.

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第 9讲

指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 向

(2)根据给出的定义,fK(x)的含义是在函数 y=f(x),y =K 中取小. 若对任意的 x∈(-∞,1]恒有 fK(x)=f(x),等价于对任 意的 x∈(-∞,1]恒有 f(x)≤K,等价于函数 f(x)在(-∞, 1]上的最大值小于或等于 K. 令 t=2x∈(0,2],则函数 φ(t)=-t2+2t=-(t-1)2+ 1≤1, 故函数 f(x)在(-∞,1]上的最大值为 1,即 K≥1.所以 K 有最小值 1.

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指数函数、对数函数、幂函数

?

探究点二

对数函数的图像与性质及应用

点 面 讲 考 向

例 2 图像是(

(1)[2013· 日照一模] 函数 f(x)=lg(|x|-1)的大致 )

图 293 (2)若实数 a,b,c 满足 loga2<logb2<logc2,则下列关系 中不可能成立 的是( ) ..... A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.a<c<b

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第 9讲

指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析: 需要知道函数的单调性. 推理: 根据对数函数的底数、函数 f(x)的性质得出函数单调性和 函数图像的对称性.结论:根据函数图像变换法则得出函 数图像. (2)分析:需要得出在已知条件下 a,b,c 的各种可能 关系.推理:根据对数函数性质和对数的运算法则确定关 系.结论:结合选项得出结论.

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指数函数、对数函数、幂函数

[答案] (1)B (2)A
点 面 讲 考 向

[解析] (1)易知 f(x)为偶函数,故只考虑 x>1 时 f(x)= lg(x-1)的图像,将函数 y=lg x 的图像向 x 轴正方向平移 一个单位得到 y=lg(x-1)的图像, 再根据偶函数的性质得 到 f(x)的图像. (2)当 logc2<0 时,根据不等式的性质和对数的换底公式可 得 log2c<log2b<log2a<0,可得 c<b<a<1;当 loga2>0 时,根 据 不 等 式 的 性 质 和 对 数 的 换 底 公 式 可 得 log2a>log2b>log2c>0,可得 a>b>c>1;当 loga2<0,logb2>0 时, 可得 0<a<1, b>c>1, 此时 a<c<b; 当 logb2<0, logc2>0, 时,可得 0<b<a<1,c>1,可得 b<a<c.综上可得,只有选 项 A 中的关系式不可能成立.
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第 9讲

指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 向

[归纳总结] 对数函数中真数大于 0,根据底数确 定其单调性,在定义域和单调性确定的情况下,其他函数 与对数函数复合后的函数图像就可以大致确定下来. 对数 函数中应用最广泛的是其单调性, 其中底数与 1 的大小关 系是单调性发生变化的分界点, 在使用对数函数性质时要 注意底数的大小变化对函数单调性的影响.

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第 9讲

指数函数、对数函数、幂函数

变式题 (1)[2013· 福建卷] 函数 f(x)=ln(x2+1)的图像 大致是( )
点 面 讲 考 向

图 294 (2)[2013· 温州三模] 若函数 y=loga(x2-ax+1)有最小 值,则 a 的取值范围是( ) A.0<a<1 B.0<a<2 且 a≠1 C.1<a<2 D.a≥2
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第 9讲

指数函数、对数函数、幂函数

[答案] (1)A
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(2)C

[解析] (1)f(x)是定义域为 R 的偶函数,图像关于 y 轴对称,又过点(0,0),故选项 A 中的图像大致符合. (2)若 0<a<1, 则函数 y=loga(x2-ax+1)有最小值时 x2-ax+1 有最大值,这不可能;当 a>1 时,x2-ax+1 有大于零的最小值, 则 a2-4<0, 即-2<a<2, 故得 1<a<2.

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第 9讲

指数函数、对数函数、幂函数

?

探究点三

幂函数的图像与性质及应用
4

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例 3 (1)幂函数 f(x)的图像过点(3, 27),则 f(x) 的解析式是( ) 4 A.f(x)= x5 4
3

5 B.f(x)= x3 4 )

C.f(x)=- x D.f(x)= x3 (2)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A.y=x+1 B.y=-x2 1 C.y=x D.y=x|x|

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第 9讲

指数函数、对数函数、幂函数

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[思考流程](1)分析: 只要确定幂函数中的幂指数即 可.推理:把已知点的坐标代入幂函数的解析式.结论: 确定其幂指数 α 的值. (2)分析:需要逐个进行判断.推理:根据奇函数的定 义、幂函数的性质推断选项中函数的性质.结论:根据推 断作出选择.

[答案] (1)D

(2)D

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指数函数、对数函数、幂函数

4 4 α [解析] (1)设 f(x)=x ,图像过点(3, 27),则 3 = 27
α

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3 4 3 = ,故 α= ,所以 f(x)= x . 4 (2)根据奇偶性的定义和基本初等函数的性质易知 A 是 非奇非偶的增函数;B 是偶函数;C 是奇函数且在(-∞, 2 ? ?x ,x≥0, 0), (0, +∞)上是减函数; D 中函数可化为 y=? 2 ? ?-x ,x<0, 易知是奇函数且是增函数.

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第 9讲

指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 向

[归纳总结]幂函数中幂指数是常数,底数是自变量, 确定幂函数的解析式就是确定其幂指数.幂函数的单调性 和奇偶性可以根据其解析式作出判断.

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指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 向

变式题 若幂函数 y=xm-2(m∈N)的图像与 x,y 轴都无交 点,且关于 y 轴对称,则 m 的值为________.

[答案] 0 或 2
[解析] ∵图像与 x,y 轴都无交点,∴m-2≤0,即 m≤2. 又 m∈N,∴m=0,1,2. ∵幂函数图像关于 y 轴对称,∴m=0 或 m=2.

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指数函数、对数函数、幂函数

?

探究点四

三种函数的图像与性质的综合


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例 4 [2013· 福 州 期 末 ] 若 函 数 f(x) = ax 2 , g(x) = loga|x|(a>0,a≠1),且 f(3)· g(-3)<0,则函数 f(x),g(x)在同 一坐标系内的大致图像是( )

图 295
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第 9讲

指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 向

[思考流程]分析:需要确定底数 a 的取值范围.推 理:根据 f(3)· g(-3)<0 和指数函数、对数函数的性质确 定.结论:根据底数取值范围,通过函数图像变换得出结 论.

[答案] B

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指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 向

[解析] 因为 f(3)g(-3)=aloga3<0,故 0<a<1.故为选项 B 中的图像.

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指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 向

[归纳总结] (1)在解决三种函数的图像交汇的问题时, 要善于利用函数的性质(单调性、奇偶性、定义域、值域等) 确定各个函数图像的可能情况,再综合试题提供的信息对 函数图像作出判断. (2)在比较数值大小时要根据数值的特点确定使用的函 数类型,底数相同则使用指数函数、指数相同则使用幂函 数、数值是对数式则使用对数函数.比较多个数值的大小 时要善于确定中间值,利用中间值进行第一次比较,然后 再根据函数性质进行第二次、第三次比较.

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第 9讲

指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 向

变式题 [2013· 石家庄二检] 设方程 10x=|lg(-x)|的两 个根分别为 x1,x2,则( ) A.x1x2<0 B.x1x2=0 C.x1x2>1 D.0<x1x2<1

[答案] D

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指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 向

[解析] 如图所示,显然 x1<0,x2<0.不妨设 x1<x2,则 =lg(-x1), =-lg(-x2), 此时 < , 即 lg(- x1)<-lg(-x2),所以 lg(x1x2)<0,所以 0<x1x2<1.

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指数函数、对数函数、幂函数

易错究源

5.函数图像与性质使用不当致误

例 (1)[2013· 新课标全国卷Ⅱ] 设 a=log36,b=log510, c=log714,则( ) A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c 5 9 0.1 (2)设 a=2 ,b=ln ,c=log3 ,则 a,b,c 的大小关 2 10 系是( ) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a

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第 9讲

指数函数、对数函数、幂函数

错解 (1)a=log36=1+log32,b=log510=1+log52,c= log714=1+log72. 根据对数函数的图像可知 log32<log52<log72, 所以 a<b<c. ① (2)0<a<1,b>1,c<0,所以 c<a<b.②
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第 9讲

指数函数、对数函数、幂函数

[错因] ①处错用函数图像得出不等式. ②处错误使用了指数函数、对数函数的性质.

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指数函数、对数函数、幂函数

[答案] (1)D (2)A
[解析] (1)a=log36=1+log32,b=log510=1+log52,c =log714=1+log72. 方法一:根据对数函数的图像可知 log32>log52>log72, 所以 a>b>c. 1 1 方 法 二 : a - b = log32 - log52 = log 3 - log 5 = 2 2 log25-log23 >0,同理 b-c>0,所以 a>b>c. log25?log23 9 5 (2)根据对数函数的性质 c=log310<log31=0, b=ln2>ln 5 1=0 且 ln2<ln e=1,根据指数函数的性质 a=20.1>1,故 c<b<a.
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第 9讲

指数函数、对数函数、幂函数

[备选理由]高考中指数函数、 对数函数、 幂函数往往是 与函数的奇偶性、不等式的解、函数与方程、不等式等问题 综合进行考查的,下面的例题就是基于这个考虑设置的.

教 师 备 用 题
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指数函数、对数函数、幂函数

例 1 【配例 2 使用】已知 x1 是方程 x+lg x =3 的根,x2 是方程 x+10x=3 的根,那么 x1+x2 的值为( ) A.6 B.3 C.2 D.1

教 师 备 用 题
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指数函数、对数函数、幂函数

[答案]B

[解析] 由题有 lg x=3-x,10x=3-x,令 y1=lg x,y2=3 -x,y3=10x,在同一坐标系中作出它们的简图,如图所示.

教 师 备 用 题

∵x1 是方程 x+lg x=3 的根,x2 是方程 x+10x=3 的根, ∴x1,x2 分别对应图中 A,B 两点的横坐标. ∵函数 y=lg x 与 y=10x 的图像关于直线 y=x 对称, ∴线段 AB 的中点 C 在直线 y=x 上, ? ?y=x, 3 ? ∴有 解得 x=2,∴x1+x2=3. ? y = 3 - x , ?
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第 9讲

指数函数、对数函数、幂函数

例 2 【配例 3 使用】 [2012· 湖南卷] 已知两条 8 直线 l1:y=m 和 l2:y= (m>0),l1 与函数 y= 2m+1 |log2x|的图像从左至右相交于点 A,B,l2 与函数 y= |log2x|的图像从左至右相交于点 C,D.记线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a,b,当 m 变化时, b ) a的最小值为( A.16 2 B.8 2 C.8 4
教 师 备 用 题

3

D.4 4

3

[答案]B
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指数函数、对数函数、幂函数

[解析] 线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a, b,由已知可求出 A,B,C,D 四点的横坐标,可得 a=|xA -xC|= b 所以a= ,b=|xB-xD|= = . ,

教 师 备 用 题
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第 9讲

指数函数、对数函数、幂函数

? 1? 8 4 1 令 t=m+ =?m+2?+ - ≥ 1 2 2m+1 ? ? m+ 2 ? 1? 4 1 1 ? ? m+2 2 - =4-2, 1 2 ? ? m+2

8 b 所以a=2m+ ≥ 2m+1 8 2.
教 师 备 用 题

=8

2,所以最小值为

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第10讲 函数的图像与性质的 综合

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考试说明

1.掌握基本初等函数的图像特征,能熟练运用基本初 等函数的图像解决问题. 2.掌握图像的作法:描点法和图像变换. 3.会运用函数的图像理解和研究函数的性质.

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第10讲
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函数的图像与性质的综合

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函数的图像与性质的综合

y=f(x+a)

y=f(x-a)

y=f(x)+h

y=f(x)-h

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函数的图像与性质的综合

y=-f(x)

y=f(-x)
y=f(x)

y=-f(-x)

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函数的图像与性质的综合

y=|f(x)|

y=f(|x|)

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函数的图像与性质的综合

y=f(ax)

y=af(x)

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函数的图像与性质的综合

2.函数图像的识别 (1)确定函数的定义域、值域. (2)确定函数的性质(单调性、奇偶性、周期性等). (3)确定函数图像上的特殊点(与坐标轴的交点、 过的定 点等). (4)综合分析得出函数图像的可能形状. 3.函数图像的应用 (1)研究函数性质:在已知函数图像后,函数图像上表 达出了函数的全部性质, 可以根据函数图像得出函数性质. (2)数形结合解题:在与函数有关的问题中,画出函数 图像,数形结合寻找解题思路.

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函数的图像与性质的综合

—— 链接教材 ——

1 . 函数 y = logax 与函数 ________对称.

的图像关于直线

[答案] .y=0
[解析] =-logax,故两个函数图像关于 x 轴,即直线 y=0 对称.

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双 向 固 基 础

函数的图像与性质的综合

2. 函数 y=a 与函数 对称.

x

?1?x y=?a? 的图像关于直线________ ? ?

[答案] x=0
[解析]
?1?x y=?a? =a-x,故两个函数的图像关于 ? ?

y 轴,即

直线 x=0 对称.

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函数的图像与性质的综合

3.函数 y=log2x 与函数 y=2x 的图像关于直线________ 对称.
[答案] y=x

[解析] 两个函数互为反函数,故两个函数图像关于直线 y =x 对称.

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函数的图像与性质的综合

—— 疑 难 辨 析 ——
1.函数图像的画法
? 1 ? (1)画出两个点(0,1),?-2,0?,通过这两点的直线 ? ?

就是函数 y=2x+1 的图像.( ) (2)作函数 y=x3 的图像时,通过计算发现点(-1, -1),(0,0),(1,1)均在函数图像上,上述三点又在同 一条直线上,则过上述三点的直线就是函数 y=x3 的图 像.( )

[答案] (1) √

(2)?

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函数的图像与性质的综合

[解析] (1)由于一次函数的图像是直线,而不同的两 点确定唯一一条直线,故作一次函数图像时只要画出图像 上的两个点即可. (2)(-1,-1),(0,0),(1,1)只是函数图像上三个特 殊的点,全面了解函数 y=x3,还要在作出其他的点分析其 性质. .

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函数的图像与性质的综合

2.函数图像的变换 (1)把函数 y=f(2x)的图像向右平移 3 个单位得到函数 y =f(2x-3)的图像.( ) (2)设 f(x)=2-x, g(x)的图像与 f(x)的图像关于直线 y=x 对称,h(x)的图像由 g(x)的图像向右平移 1 个单位得到,则 h(x)=-log2(x-1).( ) (3)函数 y=f(x)的图像关于 y 轴对称,函数 y=f(x)的图 像与函数 y=f(-x)的图像关于 y 轴对称,这两种说法是相 同的.( )
[答案] (1)? (2)√ (3)?

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函数的图像与性质的综合

[解析] (1)在所有的函数图像变换中, 变换的是其中的 x, y.把函数 y=f(2x)的图像向右平移 3 个单位后得到的是函数 y =f[2(x-3)]=f(2x-6)的图像. (2)与 f(x)的图像关于直线 y=x 对称的图像对应的函数为 g(x)=-log2x,再向右平移 1 个单位得 h(x)=-log2(x-1)的 图像. (3)不一致,前者是本身的对称,而后者是两个函数图像间的 对称.

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函数的图像与性质的综合

3.函数图像的识别与应用 (1)函数 y= 的图像可能是下图①中的图像. ( )

图 2101 (2)若 x∈{x|log2x=2-x},则 x2>x>1.(

)

[答案] (1) √

(2)√

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函数的图像与性质的综合

[解析] (1)y=

= x4为定义在(-∞,+∞)上的偶

3

函数.又当 x>1 时, >x,故函数 y= 的图像可能是 ①中的图像. (2)设 y1=log2x, y2=2-x, 在同一坐标系中作出其简 图,如图所示.由图知,交点的横坐标 x>1,则有 x2>x>1.

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函数的图像与性质的综合

?

探究点一

函数图像的画法

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x+2 + 例1 (1)函数 y= , y=|lg x|, y=2x 2 的图像对应 x-1 的序号分别为________.

图 2102 |x2-1| (2)已知函数 y= 的图像与函数 y=kx-2 的图像 x-1 恰有两个交点,则实数 k 的取值范围是________.

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函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

[思考流程](1)分析:需要根据基本的函数图像通过 变换得出.推理:变换函数解析式,根据函数图像的变换 方法,通过基本初等函数的图像变化得出.结论:结合给 出的图像填写对应的序号. (2)分析:需要结合图像寻找 k 满足的条件.推理:化 |x2-1| 简函数 y= 的解析式,画出函数图像,数形结合找出 x-1 两个函数图像恰有两个交点时实数 k 满足的条件.结论: 根据实数 k 满足的条件得出其取值范围.
[答案] (1)③①② (2)0<k<1 或 1<k<4

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函数的图像与性质的综合

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x+2 3 3 [解析] (1)y= = +1,由函数 y=x 的图像平移得 x-1 x-1 到,为③中的图像;函数 y=|lg x|的图像由函数 y=lg x 图像 + 沿 x 轴翻折得到,为①中的图像;y=2x 2 的图像由函数 y= 2x 的图像向左平移 2 个单位得到,为序号②中的图像. |x2-1| |(x-1)(x+1)| (2)函数 y= = ,当 x>1 时,y x-1 x-1 |x2-1| |x2-1| = =|x+1|=x+1;当 x<1 时,y= =-|x+1|= x-1 x-1 ? ?-x-1,-1≤x<1, |x2-1| ? 综 上 , 函 数 y = = ? x - 1 x + 1 , x < - 1. ? ?x+1,x>1, ? ?-x-1,-1≤x<1, ?x+1,x<-1, ?
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第10讲

函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

作出函数的图像, 要使该图像与 y=kx-2 的图像有两个 不同的交点, 则直线 y=kx-2 必须在虚线之间, 如图所示. 则 2-(-2) 当直线经过 B(1,2)时,k= =4;经过 D(2,0) 1-0 时,k=1;经过 C(0,-2)时,k=0.综上实数 k 的取值范围 是 0<k<4 且 k≠1,即 0<k<1 或 1<k<4.

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函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

[归纳总结](1)根据已知的基本初等函数的图像,通 过各种变换得到复杂函数的图像是作函数图像的主要方 法,要熟悉“知识聚焦”中列出的十二种函数图像变换的 适用条件;(2)当函数解析式较为复杂时,首先确定函数的 定义域,然后在定义域内化简函数的解析式,再根据化简 后的函数解析式作函数图像.

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函数的图像与性质的综合

变式题[2013· 襄阳调研] 如图 2103 所示,函数 y=f(x) 的图像为折线 ABC,设 f1(x)=f(x),fn+1(x)=f[fn(x)],n∈N*, 则函数 y=f4(x)的图像为________.
点 面 讲 考 向

图 2103

图 2104
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第10讲

函数的图像与性质的综合

[答案]D
[解析]
点 面 讲 考 向
? ?2x+1,-1≤x<0, f1(x)=? ? ?-2x+1,0≤x≤1.

1 解-1≤2x+1<0,得-1≤x<-2,此时 f2(x)=f(f1(x)) =2(2x+1)+1=4x+3, 1 解 0≤2x+1≤1 得-2≤x≤0,此时 f2(x)=f(f1(x))=- 2(2x+1)+1=-4x-1, 1 解-1≤-2x+1<0,得2<x≤1,此时 f2(x)=f(f1(x))= 2(-2x+1)+1=-4x+3,

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函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

1 解 0≤-2x+1≤1 得,0≤x≤2,此时 f2(x)=f(f1(x))= -2(-2x+1)+1=4x-1. 1 ? ?4x+3,-1≤x<-2, ? 1 ? - 4 x - 1 ,- ? 2≤x<0, 所以 f2(x)=? 该函数的图像为连 1 ?4x-1,0≤x≤ , 2 ? ? 1 ?-4x+3,2<x≤1. ? 续的四段折线,同理可得 f3(x)为八段的连续折线,f4(x)为 十六段的连续折线.

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函数的图像与性质的综合

?

探究点二

函数图像的变换

点 面 讲 考 向

例 2 (1)[2013· 北京卷] 函数 f(x)的图像向右平移 1 个单位 长度,所得图像与曲线 y=ex 关于 y 轴对称,则 f(x)=( ) A.ex+1 B.ex-1 C.e-x+1 D.e-x-1 (2)函数 y=f(3-x)与函数 y=f(1+x)的图像关于直线 x=a 对称,则 a=________.

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函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

[思考流程]分析:通过逆变换求解.推理:顺次进 行变换.结论:得出变换后函数图像对应的解析式. (2)分析:需要得出其中一个函数关于直线 x=a 对称 的函数解析式后加以比较.推理:求出函数 y=f(3-x)的 图像关于直线 x=a 对称的图像对应的函数解析式.结论: 与函数 y=f(1+x)的解析式比较可得 a 值.

[答案] (1)D

(2)1

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函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

[解析] (1)函数 f(x)的图像可以看作把 y=ex 的图像关 于 y 轴对称, 再把图像向左平移 1 个单位长度得到, 故其解 - + - - 析式是 f(x)=e (x 1)=e x 1. (2)函数 y=f(3-x)的图像关于直线 x=a 对称的图像对 应的函数解析式是 y=f[3-(2a-x)]=f(3-2a+x), 与 y=f(1 +x)比较得 3-2a=1,解得 a=1.

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函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

[归纳总结] (1)在根据函数图像的各种变换求解函数 解析式时,一定要注意变换的先后顺序,不同的顺序可能 产生不同的结果.(2)函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对 称可得出 f(a+x)=f(a-x)或 f(x)=f(2a-x), 但这只是函数 y=f(x)图像本身的对称性, 与函数 y=f(a-x)和 y=f(a+x) 的对称性是不同的, 函数 y=f(a-x)与 y=f(a+x)的图像关 于直线 x=0 对称,不是关于直线 x=a 对称.

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函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

变式题(1)把函数 y=lg x 的图像向左平移 2 个单位,然 1 后将各个点的横坐标缩小为原来的 ,再把各点的纵坐标扩 2 大到原来的 2 倍,则得到的函数图像的解析式是 _________________. (2)已知图像变换:①关于 y 轴对称;②关于 x 轴对称; 1 ③右移 1 个单位;④左移 1 个单位;⑤右移2个单位;⑥左 1 移2个单位;⑦横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变;⑧ 横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变.由 y=ex 的图像经 - 过上述某些变换可得 y=e1 2x 的图像,这些变换可以依次是 ________.(请填上变换的序号)

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第10讲

函数的图像与性质的综合

[ 答 案 ] (1)y = 2lg(2x + 2) ④⑧①或④①⑧(填一组即可)
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(2)①⑧⑤ 或 ①③⑧ 或

[解析] (1)函数 y=lg x 的图像向左平移 2 个单位后所得 图像对应的解析式为 y=lg(x+2),将各点的横坐标缩小为 1 原来的2所得图像对应的解析式为 y=lg(2x+2),再把各点 的纵坐标扩大到原来的 2 倍所得图像对应的解析式为 y= 2lg(2x+2). (2)方法一:函数 y=ex 的图像关于 y 轴对称得到函数 y =e-x 的图像,然后横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变 1 -2x - 得 y=e 的图像,最后向右移 个单位得函数 y=e1 2x 的图 2 像.
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函数的图像与性质的综合

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方法二:函数 y=ex 的图像关于 y 轴对称得到函数 y= e-x 的图像,然后右移 1 个单位得函数 y=e1-x 的图像, 最后横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变得到 y=e1-2x 的图像. 方法三:函数 y=ex 的图像向左平移 1 个单位得 y= ex+1 的图像,然后横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不 + - 变得函数 y=e1 2x 的图像,最后关于 y 轴对称得 y=e1 2x 的 图像. 方法四:函数 y=ex 的图像向左平移 1 个单位得 y= ex+1 的图像,然后关于 y 轴对称得 y=e1-x 的图像,最 后横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变得函数 y=e1-2x 的图像.
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第10讲

函数的图像与性质的综合

?

探究点三

函数图像的识别

点 面 讲 考 向

例3 为( )

(1)[2013· 山东卷] 函数 y=xcos x+sin x 的图像大致

图 2105

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函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

(

x2 (2)[2013· 石家庄质检] 函数 y= -cos 2x 的图像大致是 3 )

图 2106

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函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

[思考流程]分析:需要判断函数性质.推理:根据 解析式推断函数性质(单调性、奇偶性、取值趋势等 ).结 论:结合选项解题即可.

[答案] (1)D

(2)C

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函数的图像与性质的综合

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[解析] (1)函数是奇函数, 图像关于坐标原点对称. 当 π 0<x< 时,显然 y>0,而当 x=π 时,y=-π <0,据此排 2 除选项 A,B,C,故正确选项为 D. (2)函数是偶函数,排除选项 A.当 x→+∞时,y→+ π ∞,排除选项 D.当 x= 时,y>0,排除选项 B.故正确选项 4 为 C.

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函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

[归纳总结]函数图像的分析判断主要依据两点:一 是函数的性质,如函数的奇偶性、单调性、值域、定义域 等;二是根据特殊点的函数值,采用排除法得出正确的选 项.

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第10讲

函数的图像与性质的综合

变式题 [2013· 济南质检] 设函数 f(x)=2x, 则如图 2?10 ?7 所示的函数图像对应的函数是( )
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A.y=f(|x|) C.y=-f(-|x|)

图 2107 B.y=-|f(x)| D.y=f(-|x|)

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第10讲

函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

[答案] C

[解析] 图中是函数 y=-2 的图像.

-|x|

的图像,即函数 y=-f(-|x|)

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第10讲

函数的图像与性质的综合

?

探究点四

函数图像与函数性质的综合

点 面 讲 考 向

例 4 [2013· 吉林实验中学模拟] 定义在 R 上的函数 y=f(x) ? 3? 满足 f(x)+f?x+2?=0,且函数 y=f(x+1)的图像关于点(-1,0) ? ? 2a-3 成中心对称. 若 f(1)≥1, f(2)= , 则 a 的取值范围是( ) a+1 2 A.-1<a≤3 B.a<-1 2 2 C.a<-1 或 a≥3 D.a≤3

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第10讲

函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

[思考流程] 分析: 需要知道 f(2)与 f(1)的关系. 分析: 根据函数图像的对称性分析推断函数的奇偶性,根据奇偶 性推断 f(2)与 f(1)的关系后得出关于 a 的不等式.结论:解 不等式得 a 的取值范围.

[答案] A

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第10讲

函数的图像与性质的综合

[解析] 由
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? 3? f(x)+f?x+2?=0,可得 ? ?

? 3? f(x+3)=-f?x+2?= ? ?

f(x),即函数 f(x)的一个周期为 3.把函数 y=f(x+1)的图像向 右平移一个单位可得函数 y=f(x)的图像,故函数 y=f(x)的 图像关于点(0,0)中心对称,即函数 y=f(x)是奇函数,所以 2a-3 3a-2 f(2)=f(-1)=-f(1)≤-1,即 ≤-1,即 ≤0,解 a+1 a+1 2 得-1<a≤ . 3

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第10讲

函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

[归纳总结]函数的图像与性质不是相互孤立的,如 果已知函数图像的某种特征则可以得到函数的解析式满 足的某种关系, 反之从函数解析式满足的某种关系也可以 得出函数图像的某种特征. 在解决函数图像与性质的综合 类试题时要从这两个方面进行分析思考.

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函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

变式题 已知函数 f(x)的图像向左平移 1 个单位后关于 y 轴对称,当 x2>x1>1 时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0 恒成立.设 ? 1? a=f?-2?,b=f(2),c=f(3),则 a,b,c 的大小关系为( ) ? ? A.c>a>b B.c>b>a C.a>c>b D.b>a>c

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第10讲

函数的图像与性质的综合

[答案] D
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[解析] 由于函数 f(x)的图像向左平移 1 个单位后得到的 图像关于 y 轴对称,故函数 y=f(x)的图像本身关于直线 x= 1 5 1 对称,所以 a=f(-2)=f(2).当 x2>x1>1 时,[f(x2)-f(x1)](x2 -x1)<0 恒成立,等价于函数 f(x)在(1,+∞)上单调递减, 所以 b>a>c.

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第10讲

函数的图像与性质的综合

答题模板
例 母题

2.利用大题小做的方法求解函数综合性问题
-2x+b 已知定义在 R 上的函数 f(x)= x+1 是奇 2 +a

多 元 提 能 力

函数. (1)求实数 a,b 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成 立,求实数 k 的取值范围. 子题 (1)根据定义域求实数 a 的值; (2)f(-x)=-f(x)对任意 x 恒成立时,实数 a,b 应满足 的条件; (3)求函数 f(x)在 R 上的单调性; (4)3t2-2t-k>0 对任意 t 恒成立时,k 满足什么条件?
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第10讲

函数的图像与性质的综合

多 元 提 能 力

解: (1)由于函数 f(x)的定义域是 R, 2x+1+a≠0 恒成立, 所以 a>0.(1 分) (2)因为 f(x)是 R 上的奇函数,所以对?x∈R 恒有 f(- - -2 x+b -2x+b -1+b· 2x x) = - f(x) , 即 -x+1 = - x+1 ,即 =- 2 +a 2 +a 2+a· 2x -2x+b ,(3 分) 2x+1+a 整理得(2b-a)· 22x+(2ab-4)· 2x+(2b-a)=0,上式对任 意 x 恒成立的充要条件是 2ab-4=0 且 2b-a=0, 解得 a= ± 2,故 a=2,此时 b=1.(6 分)

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第10讲

函数的图像与性质的综合

多 元 提 能 力

1-2x 1 1 (3)由(2)知 f(x)= =-2+ x , 2+2x+1 2 +1 易知 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.(7 分) (4)f(x)是奇函数,从而不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2).(8 分) 又因为 f(x)为 R 上的减函数,由上式推得: 所以 t2-2t>k-2t2,即对一切 t∈R,有 3t2-2t-k>0, (10 分) 1 所以 Δ=4+12k<0,解得 k<- .(12 分) 3

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第10讲

函数的图像与性质的综合

多 元 提 能 力

[步骤解读] (1)根据函数 f(x)是 R 上的奇函数, 确定 a, b 满足的方程以及限制条件,求出 a,b 的值,确定函数 f(x) 的解析式; (2)根据函数 f(x)的解析式,确定函数 f(x)的单调性; (3)根据函数 f(x)的单调性,把不等式 f(t2-2t)+f(2t2- k)<0 转化为恒成立的二次不等式; (4)根据二次不等式恒成立的条件确定实数 k 满足的不 等式解之.

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第10讲

函数的图像与性质的综合

[备选理由] 函数图像的重点是函数图像的识别及函数 图像与性质的综合,下面两个例题供选用.

教 师 备 用 题
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第10讲

函数的图像与性质的综合

x3 例 1 【配例 3 使用】 [2013· 四川卷] 函数 y= x 的 3 -1 图像大致是( )

教 师 备 用 题
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第10讲

函数的图像与性质的综合

[答案]C
[解析] 函数的定义域是{x∈R|x≠0},排除选项 A.当 x<0 时,x3<0,3x-1<0,故 y>0,排除选项 B. 当 x→+∞时,y>0 且 y→0,故为选项 C 中的图像.

教 师 备 用 题
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第10讲

函数的图像与性质的综合

例 2 【配例 4 使用】 如图放置的边长为 1 的正 方形 PABC 沿 x 轴滚动. 设顶点 P(x, y)的轨迹方程为 y=f(x), 则 f(x)的最小正周期为________; y=f(x)在其两个相邻零点

间的图像与 x 轴所围区域的面积为________. 说明:“正方形 PABC 沿 x 轴滚动”包括沿 x 轴正方 向和沿 x 轴负方向滚动.沿 x 轴正方向滚动指的是先以顶 点 A 为中心顺时针旋转,当顶点 B 落在 x 轴上时,再以顶 点 B 为中心顺时针旋转,如此继续.类似地,正方形 PABC 可以沿 x 轴负方向滚动.

教 师 备 用 题

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第10讲

函数的图像与性质的综合

[答案]4

π +1

[解析] 如图所示,我们把点 P 首先放在点 P0,此时点 P 在 以点 A 为圆心、1 为半径的圆弧 C1 上,自变量的范围由点 P0 到点 A,然后点 P 在以点 B 为圆心、 2为半径的圆弧 C2 上,自 变量的范围从点 A 到点 C,然后点 P 在以点 C 为圆心、1 为半 径的圆弧 C3 上,自变量的范围由点 C 到点 P1,此后就是周期 变化, 所以这个函数的最小正周期为 4, 两个相邻零点之间的面 积,
教 师 备 用 题
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第10讲

函数的图像与性质的综合

1 等于一个以 1 为半径的半个圆的面积、 一个以 2为半径的4 1 个圆的面积及两个直角边长为 1 的等腰三角形的面积之和, 即 2 1 π +4π ( 2)2+1=π +1.

教 师 备 用 题
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第11讲 函数和方程

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考试说明

1.结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联 系,判断一元二次方程根的存在性与根的个数. 2.根据具体函数的图像,能够用二分法求相应方程的近 似解.

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第11讲
双 向 固 基 础

函数与方程

1.函数的零点(1)一般函数 y=f(x)的零点 对于函数 y=f(x),把使 函数零点的概 ________ f(x)=0 的实数 x 叫作 念 函数 y=f(x)的零点 实数根 方程 f(x)=0 有________ 方程的根与函 ?函数 y=f(x)的图像与 交点 ?函数 y 数零点的关系 x 轴有________ 零点 =f(x)有________ 图像在[a,b]上连续不 f(a)f(b)<0 ,则 y 函数零点的存 断,若________ 在性定理 =f(x)在(a,b)内存在零 点 解方程 f(x)=0 函数存在零点 使用零点存在性定理 的判断方法 数形结合
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第11讲
双 向 固 基 础

函数与方程

(2)二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的零点 (其中 Δ=b2-4ac, b x0=- ) 2a

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第11讲
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函数与方程

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第11讲
双 向 固 基 础

函数与方程

2.二分法求方程的近似解

一分为二

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第11讲
双 向 固 基 础

函数与方程

—— 链接教材 ——
1.函数 f(x)=ln x+2x-6 的零点的个数是________.

[答案]1
[解析] 函数 f(x)单调递增且 f(2)<0,f(3)>0,故存在 唯一零点.

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第11讲
双 向 固 基 础

函数与方程

2. 如果函数 f(x)=ex 1+4x-4 的零点在区间(n,n+ 1)(n 为整数)内,则 n=________.


[答案] 0

[解析] 函数 f(x)单调递增且 f(0)<0, f(1)>0, 故其零点在 区间(0,1)内.

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第11讲
双 向 固 基 础

函数与方程

3. 若函数 f(x)=x2-4x+a 存在两个不同的零点,则 实数 a 的取值范围是________.
[答案] (-∞,4)

[解析] Δ=16-4a>0,解得 a<4.

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第11讲
双 向 固 基 础

函数与方程

—— 疑 难 辨 析 ——
1.函数的零点 (1) 函 数 y = f(x) 在 区 间 (a , b) 内 存 在 零 点 , 则 f(a)· f(b)<0.( ) (2)若图像连续不断的函数 y=f(x)在区间(a,b)上单 调且 f(a)· f(b)<0,则函数 y=f(x)在区间(a,b)内存在唯一 零点.( ) (3)若定义在 R 上的奇函数 y=f(x)存在零点,则零 点的个数一定是奇数.( )
[答案] (1)? (2)√ (3)√

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第11讲
双 向 固 基 础

函数与方程

[解析] (1)函数 y=f(x)在区间(a,b)内存在零点不一定 有 f(a)· f(b)<0,也可能 f(a)· f(b)>0,f(a)· f(b)=0.如函数 f(x) =x2-1 在区间(-2,2)内存在零点,但 f(-2)· f(2)>0;函 数 f(x)=x2-x 在区间(0,2)内存在零点,但 f(0)· f(2)=0.(2) 根据零点存在性定理可知,函数 y=f(x)在区间(a,b)内存 在零点, 再根据单调性可得零点唯一. (3)定义在 R 上的奇 函数 y=f(x)一定有 f(0)=0.如果函数 y=f(x)还有其他的零 点,根据奇函数图像的对称性可得零点一定成对出现,故 其零点个数必然是奇数.

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第11讲
双 向 固 基 础

函数与方程

2.二次函数的零点 (1)二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)存在一个正零点、 一个负零点的充要条件是 ac<0.( ) (2)二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的两个零点分别在 ?f(m)>0, ? 区间(m,n),(n,p)内的充要条件是?f(n)<0, ( ) ?f(p)>0. ? (3)若二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在闭区间[m,n] ?af(m)≥0, ? ?af(n)≥0, 内存在两个不同的零点,则?b2-4ac>0, ( ) ? ?m≤- b ≤n. 2a ?
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第11讲
双 向 固 基 础

函数与方程

[答案] (1) √(2)?

(3)√

[解析] (1)数形结合知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) 存在一个正零点、一个负零点的充要条件是 af(0)<0 ,即 ac<0.(2)数形结合知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的两个 ?af(m)>0, ? 零点分别在区间(m, n), ( n, p)内的充要条件是?af(n)<0, ?af(p)>0. ? (3)数形结合可知结论正确.

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第11讲
双 向 固 基 础

函数与方程

3.二分法求方程的近似解 (1) 二分法求方程的近似解是一种无限逼近的数学思 想.( ) (2)如果方程在区间 [a ,b]内有解,使用二分法求解 n b-a 次后,得到的近似解的精确度是 2n .( )

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第11讲
双 向 固 基 础

函数与方程

[答案] (1)√

(2)√

[解析] (1)根据二分法的具体方法可知是无限逼近的数学 思想方法.(2)根据对分区间的方法可知,进行 n 次对分后, b -a 区间的长度是 2n , 区间内任意一个数值作为方程的近似解, b-a 这个数值与方程的精确解的误差都不超过 n . 2

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第11讲

函数与方程

?

探究点一

函数零点所在区间的判断

点 面 讲 考 向

例1 (1)[2013· 惠州模拟] 已知函数 f(x)=3x+x-9 的 零点为 x0,则 x0 所在的区间为( ) ? 3 ? 1 1? 1? A.?-2,-2? B.?-2,2? ? ? ? ? ?1 3? ?3 5? C.?2,2? D.?2,2? ? ? ? ?

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第11讲

函数与方程

点 面 讲 考 向

1 (2)[2013· 河南名校联考] 设函数 f(x)=3x-ln x,则 y =f(x)( ) ?1 ? A.在区间?e ,1?,(1,e)内均有零点 ? ? ?1 ? B.在区间?e ,1?,(1,e)内均无零点 ? ? ?1 ? C.在区间?e ,1?内有零点,在区间(1,e)内无零点 ? ? ?1 ? D.在区间?e ,1?内无零点,在区间(1,e)内有零点 ? ?

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第11讲

函数与方程

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析: 需要确定区间端点值的符号. 推 理:具体计算各选项中区间端点值的符号.结论:根据函 数零点存在性定理作出判断. (2)分析:需确定函数的单调性,计算区间端点的函数 值.推理:利用导数方法确定单调性,具体计算区间端点 值的符号.结论:根据函数零点的存在性定理作出判断.
[答案](1)D (2)D

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第11讲

函数与方程

点 面 讲 考 向

3 [解析] (1)因为 f(x)为 R 上的单调递增函数, f( )= 27 2 3 5 5 3 5 +2-9<0,f(2)= 243+2-9>0,所以2<x0<2. 1 1 x-3 (2)函数图像是连续的,f′(x)=3-x = 3x ,可知函 数在区间 (0 , 3) 内单调递减,如果存在零点则是唯一 1 1 1 1 1 的.又 f( )= -ln >0,f(1)= >0,f(e)= e-ln e<0, e 3e e 3 3 1 所以函数在区间( ,1)内无零点,在区间(1,e)内有零 e 点.

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第11讲

函数与方程

点 面 讲 考 向

[归纳总结]判断函数零点所在区间的基本依据是函 数零点的存在性定理.值得注意的是,图像连续的函数在 区间(a,b)端点的函数值同号时,函数在区间(a,b)上也可 能存在零点, 一个特殊情况是“在区间(a, b)上单调的函数, 如果在区间端点的函数值同号, 在 ( a, b)上一定没有零点”.

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第11讲

函数与方程

?

探究点二

函数零点个数问题

点 面 讲 考 向

例 2 (1)[2013·青 岛 模 拟 ] 已 知 函 数 f(x) = ? ?x,x≤0, ? 2 若函数 g(x)=f(x)-m 有三个不同的零点,则 ? ?x -x,x>0, 实数 m 的取值范围为( ) ? 1 ? ? 1 ? A.?-2,1? B.?-2,1? ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? C.?-4,0? D.?-4,0? ? ? ? ?

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第11讲

函数与方程

点 面 讲 考 向

(2)[2013· 北京西城区二模] 已知函数 f(x)=x-[x],其 中[x]表示不超过实数 x 的最大整数.若关于 x 的方程 f(x) =kx+k 有三个不同的实根,则实数 k 的取值范围是( ) ? 1? ?1 1? A.?-1,-2?∪?4,3? ? ? ? ? ? 1? ?1 1? B.?-1,-2?∪?4,3? ? ? ? ? ? 1 ? 1? ?1 C.?-3,-4?∪?2,1? ? ? ? ? ? 1 ? 1? ?1 D.?-3,-4?∪?2,1? ? ? ? ?

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第11讲

函数与方程

点 面 讲 考 向

[思考流程] 分析: 需要得到关于 m(k)满足的条件. 推 理:作出函数图像,数形结合得出 m(k)满足的不等式.结 论:解不等式得 m(k)的取值范围.

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第11讲

函数与方程

[答案] (1)C (2)B

点 面 讲 考 向

[解析] (1)问题等价于方程 f(x)=m 有三个不同的解, 等价于函数 y = f(x) 与 y = m 的图像有三个不同的公共 点.在同一坐标系中画出函数 y=f(x),y=m 的图像(如图 1 所示),观察其交点个数,显然当-4<m<0 时,两个函数 图像有三个不同的公共点.

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第11讲

函数与方程

点 面 讲 考 向

(2)当 0≤x<1 时,f(x)=x,又 f(x+1)=(x+1)-[x+1] =x-[x]=f(x),故函数 f(x)是以 1 为周期的周期函数.在 同一坐标系中分别作出函数 y=f(x),y=kx+k 的图像,可 知当方程 f(x)=kx+k 有三个不同的实根时,k 满足 3k+ 1 1 k≥1 且 2k+k<1, 或-3k+k≥1 且-2k+k<1, 解得 ≤k< 4 3 1 或-1<k≤-2.

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第11讲

函数与方程

点 面 讲 考 向

[归纳总结]函数的零点、方程的根都可以转化为函 数图像的交点,数形结合法是解决函数零点、方程根的分 布、零点个数、方程根的个数的一个有效方法.在解决函 数零点问题时,既要注意利用函数的图像,也要注意根据 函数零点的存在性定理、函数的性质等进行相关的计算, 把数与形紧密结合起来.

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第11讲

函数与方程

变式题 已知函数
点 面 讲 考 向

? ?x+1,x≤0, f(x)=? 则函数 ? ?log2x,x>0,

y=f[f(x)

+1]的零点个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5

[答案]C

[解析] f(x)=0 时,x=-1 或 x=1,故 f[f(x)+1]=0 时,f(x)+1=-1 或 1.当 f(x)+1=-1,即 f(x)=-2 时, 1 解得 x=-3 或 x=4;当 f(x)+1=1,即 f(x)=0 时,解 得 x=-1 或 x=1.故函数 y=f[f(x)+1]有 4 个不同的零 点.

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第11讲

函数与方程

?

探究点三

二次函数的零点问题

点 面 讲 考 向

例 3 已知二次函数 f(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2) 在区间(-1,1)内存在零点,试求实数 a 的取值范围

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第11讲

函数与方程

点 面 讲 考 向

[思考流程] 条件: f(x)在区间(-1, 1)内存在零点. 目 标:求实数 a 的取值范围.方法:方法一,根据数形结合 思想列出各种情况下实数 a 满足的不等式解之;方法二, 直接求出方程 f(x)=0 的根,得出实数 a 满足的不等式解 之.

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第11讲

函数与方程

点 面 讲 考 向

解:方法一:(1)若存在两个零点, ?Δ =[2(1-a)]2+12a(a+2)>0, ? ?-1<a-1<1, 3 则? ?f(-1)=3-2(1-a)-a(a+2)>0, ? ?f(1)=3+2(1-a)-a(a+2)>0, 2 4 a ? ? +4a+1>0, ?-2<a<4, 1 即? 解得-1<a<1 且 a≠- . 2 2 ?1-a >0, 2 ? ?a +4a-5<0,

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第11讲

函数与方程

点 面 讲 考 向

(2)若只存在一个零点. ① 若 是 变 号 零 点 , 根 据 零 点 存 在 性 定 理 , 有 f( - 1)f(1)<0 , 即 [3 + 2(1 - a) - a(a + 2)][3 - 2(1 - a) - a(a + 2)]<0,整理得(a+5)(a+1)(a-1)2<0,解得-5<a<-1. ②若是不变号零点,则根据 Δ=[2(1-a)]2+12a(a+2) a-1 1 1 =0,解得 a=-2,此时满足-1< 3 <1,故 a=-2. (3)若 x=-1 或 x=1 之一为其零点. 当 f(-1)=0 时,a=± 1.若 a=1,则 f(x)=0 的另一个 零点是 x=1,此时不符合要求;若 a=-1,则 f(x)=0 的 1 另一个零点是-3,符合要求.当 f(1)=0 时,a=1 或-5. 若 a=1,则 f(x)=0 的另一个零点是 x=-1,此时不符合 要求;若 a=-5,则 f(x)=0 的另一个零点是-5,不符合 要求.故 a=-1.综上所述,所求 a 的取值范围是(-5,1).
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第11讲

函数与方程

点 面 讲 考 向

a+2 方法二: f(x)=0 的根 x1=a, x2=- , 只要-1<x1<1 3 或-1<x2<1 即满足要求,即-1<a<1 或-5<a<1,所以所求 的 a 的取值范围是(-5,1).

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第11讲

函数与方程

点 面 讲 考 向

[归纳总结]二次函数在一个开区间内存在零点的情 况是较为复杂的,特别是在一个开区间内存在一个零点的 情况,其中含有三种可能:(1)一个不变号零点;(2)区间端 点不是函数零点,在该区间内函数存在一个变号零点;(3) 区间端点是函数零点,在区间内存在一个零点.上述几种 情况只使用函数零点的存在性定理是不够的,还要结合函 数、方程的知识进行综合分析.

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第11讲

函数与方程

点 面 讲 考 向

变式题 设 f(x)=3ax2+2bx+c,若 a+b+c=0,f(0)>0, f(1)>0,求证: a (1)a>0 且-2<b<-1; (2)函数 y=f(x)在(0,1)内有两个零点.

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第11讲

函数与方程

点 面 讲 考 向

证明:(1)因为 f(0)>0,f(1)>0.所以 c>0,3a+2b+c>0.由条 件 a+b+c=0,消去 b,得 a>c>0.由条件 a+b+c=0,消去 c, b 得 a+b<0,2a+b>0.故-2<a<-1. 2 3 ac - b b (2)抛物线 f(x)=3ax2+2bx+c 的顶点坐标为(-3a, 3a ), 1 1 b b 2 在-2<a<-1 的两边同乘-3, 得3<-3a<3.又因为 f(0)>0, f(1)>0, a2+c2-ac b b 而 f-3a=- <0,所以方程 f(x)=0 在区间(0,-3a)与 3a b (- ,1)内分别有一实根.故函数 y=f(x)在(0,1)内有两个 3a 零点.

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第11讲

函数与方程

?

探究点四

函数零点的应用

点 面 讲 考 向

例 4 [2013· 湖南卷] 设函数 f(x)=ax+bx-cx,其中 c>a>0,c>b>0. (1)记集合 M={(a,b,c)|a,b,c 不能构成一个三角形 的三条边长,且 a=b},则(a,b,c)∈M 所对应的 f(x)的零 点的取值集合为________. (2)若 a,b,c 是△ABC 的三条边长,则下列结论正确 的是________.(写出所有正确结论的序号) ①?x∈(-∞,1),f(x)>0; ②?x∈R,使 ax,bx,cx 不能构成一个三角形的三条边 长; ③若△ABC 为钝角三角形,则?x∈(1,2),使 f(x)=0.
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第11讲

函数与方程

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[思考流程]分析:需要确定构成或者不能构成三角 形的条件.推理:研究函数 f(x)的性质.结论:根据要求 确定答案.

[答案] (1){x|0<x≤1} (2)①②③

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函数与方程

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[解析] (1)因为 a=b, 所以函数 f(x)=2ax-cx.又因为 a,b,c 不能构成一个三角形,且 c>a>0,c>b>0,故 a ? ?a?x ? x x x +b=2a<c.令 f(x)=2a -c =0, 即 f(x)=c ?2?c ? -1?=0, ? ? ? ? ?a? x 1 a 1 ? ? 故可知 c = 2 . 又 0< c < 2 ,结合指数函数的性质可知 ? ? 0<x≤1,即取值集合为{x|0<x≤1}. ?? ? ? ?b?x x x x x a x (2)f(x)=a +b -c =c ??c ? +?c? -1?, 因为 c>a>0, ? ? ? ? ? ? a b c>b>0,所以 0<c <1,0<c <1.当 x∈(-∞,1)时,

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函数与方程

?a?x a ?b?x b ?a?x ?b?x a b ? ? ? ? 有 c > c, c >c ,所以?c ? +?c ? >c +c .又 ? ? ? ? ? ? ? ?

a,b,c 为三

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?a?x ?b?x 角形三边,则有 a+b>c,故对?x∈(-∞,1),?c ? +?c ? - ? ? ? ? ?? ? ? ?b?x x x x x a x 1>0, 即 f(x)=a +b -c =c ??c ? +?c ? -1?>0, 故①正确. 取 ? ? ?? ? ? ?a?2 ?b?2 a b ?a?3 ?b?3 ?a?2 ?b?2 x=2,则?c ? +?c ? <c +c ;取 x=3,则?c ? +?c ? <?c ? +?c ? ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a?n ?b?n 由此递推, 必然存在 x=n 时, 有?c ? +?c ? <1, 即 an+bn<cn, ? ? ? ?

故②正确.对于③,因为 f(1)=a+b-c>0,f(2)=a2+b2- c2<0(C 为钝角),所以根据零点存在性定理可知,?x∈(1, 2),使 f(x)=0,故③正确.

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函数与方程

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[归纳总结] 函数零点的重要应用之一就是二分法求方 程的近似解, 其中每一次判断方程的根所在的区间都是根据 函数零点的存在性定理得出的.如果函数是单调的,函数零 点是函数值正负的分界点, 这点在某些函数问题中具有重要 作用.

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函数与方程

思想方法


4.数形结合思想在函数零点问题中的应用
”表

(1)[2013· 山西大学附中月考 ] 规定记号“

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示一种运算,即:a b=a2+2ab-b2.设函数 f(x)=x 2,且关于 x 的方程为 f(x)=lg|x+2|(x≠-2)恰有四个互不相 等的实数根 x1,x2,x3,x4,则 x1+x2+x3+x4 的值是( ) A.-4 B.4 C.8 D.-8

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函数与方程

(2)[2013· 滨州模拟] f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥

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0 时, =f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为( A.1-2a B.2a-1 - - C.1-2 a D.2 a-1

则关于 x 的函数 F(x) )

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函数与方程

[答案] (1)D (2)A
[解析] (1)函数 f(x)=x2+4x-4,由于函数 y=f(x),函数 y=lg|x+2|的图像均关于直线 x=-2 对称,故四个根之和为 -8.
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函数与方程

(2)画出函数 f(x)的图像,如图所示.当 0<a<1 时,直 线 y=a 与函数 y=f(x)的图像交点的横坐标即为函数 f(x)的零 点.根据图像可得两个函数图像共有 5 个交点,其中 2 个交 点关于直线 x=3 对称、2 个交点关于直线 x=-3 对称,这 四个交点的横坐标之和为零,第五个交点的横坐标 x 满足 =a,即 log2(-x+1)=a,解得 x=1-2a.
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函数与方程

多 元 提 能 力

[规律解读] 在把函数进行分拆后, 函数的零点问题可以 转化为两个函数图像的交点问题,函数的零点个数就是两个 函数图像交点的个数,函数的零点就是两个函数图像交点的 横坐标.在解决函数零点之和问题时,根据函数图像的对称 性,可以整体求解两个零点之和,而不必求出这两个零点具 体的数值.

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函数与方程

[备选理由] 例 1 综合函数图像交点与方程的根,例 2 综合方程的根与函数的其他知识, 这两个例题都具有较强的 综合性,可在适当的探究点使用.

教 师 备 用 题
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函数与方程

例1

【配例 2 或例 3 使用】

[2012· 山东卷] 设函数 f(x)

1 =x ,g(x)=ax2+bx(a,b∈R,a≠0),若 y=f(x)的图像与 y=g(x) 的图像有且仅有两个不同的公共点 A(x1,y1),B(x2,y2),则下列 判断正确的是( ) A.当 a<0 时,x1+x2<0,y1+y2>0 B.当 a<0 时,x1+x2>0,y1+y2<0 C.当 a>0 时,x1+x2<0,y1+y2<0 D.当 a>0 时,x1+x2>0,y1+y2>0
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第11讲

函数与方程

[答案]B
[解析] 当 y=f(x)的图像与 y=g(x)的图像有且仅有两个 不同的公共点,a<0 时,作出点 A 关于原点的对称点 C,则 C 点的坐标为(-x1, -y1), 由图像知-x1<x2, -y1>y2, 故 x1+x2>0, y1+y2<0.同理当 a>0 时,有 x1+x2<0,y1+y2>0.

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函数与方程

【配例 2 或例 3 使用】 [2012· 福建卷] 对于实数 a 2 ? ?a -ab,a≤b, 和 b,定义运算“*”:a*b=? 2 设 f(x)=(2x-1)*(x ? ?b -ab,a>b. -1),且关于 x 的方程 f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数 根 x1,x2,x3,则 x1x2x3 的取值范围是________.

例2

教 师 备 用 题
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函数与方程
? 3 ? ,0? ?

?1- [答案]? ? 16 ?

[解析] 根据新运算符号得到函数 f(x)的解析式为 f(x)=(2x-1)*(x-1)= 2 ? ?(2x-1) -(2x-1)(x-1)(2x-1≤x-1), ? 化简 2 ? ?(x-1) -(2x-1)(x-1)(2x-1>x-1), 得
2 ? ?2x -x(x≤0), f(x)=? 2 画出函数 ? ?-x +x(x>0),

f(x)的图像(如图所示).

教 师 备 用 题
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函数与方程

教 师 备 用 题

如果 f(x)=m 有三个不同的实数解, 即直线 y=m 与函数 f(x) 的图像有三个交点,如图所示,当直线 y=m 过抛物线 f(x) =-x2+x 的顶点且与 x 轴平行时,此时有两个交点,抛物 1 线顶点的纵坐标为 y= .设三个交点从小到大分别为 x1, x2 , 4 1- 3 1 2 x3 , 所以 x1 即为方程 2x -x= 小于 0 的解, 解得 x1= , 4 4 1- 3 1 1 1- 3 1 此时 x2=x3= ,所以 x1?x2?x3= ? ? = .y 2 4 2 2 16 =m 与函数 f(x)有 2 个交点的最低位置是当 y=m 与 x 轴重 合时,此时 x1?x2?x3=0,所以当方程 f(x)=m 有三个不等 ?1- 3 ? ? ? 实根时,x1?x2?x3∈? ,0? ? 16 ?
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第12讲 函数模型及其应用

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考试说明

1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知 道直线上升、 指数增长、 对数增长等不同函数类型增长的含义. 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段 函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.

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第12讲
双 向 固 基 础

函数模型及其应用

1.函数模型的增长特点 (1)使用函数模型描述不同变化: 函数模型是描述客观世界变化规律的基本数学模型,不 同的变化规律需要用不同的函数模型来描述,不同函数模型 的增长变化规律是不同的. (2)指数函数、对数函数、幂函数模型的增长特点: 在区间(0,+∞)上,尽管函数 y=ax(a>1),y=logax(a>1) 和 y=xn(n>0)都是增函数,但它们的增长速度不同,随着 x 的 越快 ,会超过并远远大 增大,y=ax(a>1)的增长速度越来________ 于 y=xn(n>0)的增长速度, 而 y=logax(a>1)的增长速度则会越 n 越慢 . ax 来________ 因此, 总会存在一个 x0, 当 x>x0 时, 就有log ________ . ax<x <

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第12讲
双 向 固 基 础

函数模型及其应用
函数解析式 f(x)=ax+b(a,b 为常数, 一次函数型 a≠0) f(x)=ax2+bx+c(a,b,c 二次函数型 为常数,a≠0) f(x)=bax+c(a,b,c 为常 指数函数型 数,a>0 且 a≠1,b≠0)

2.常见的函数模型 函数模型

函数解析式 f(x)=blogax+c(a,b,c 为 对数函数型 常数,a>0 且 a≠1,b≠0) f(x)=axn+b(a,b 为常数, 幂函数型 a≠0)
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函数模型

第12讲
双 向 固 基 础

函数模型及其应用

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第12讲
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函数模型及其应用

—— 链接教材 ——
1 .已知函数模型①y = 0.25x ;②y = log2x + 1 ;③y = 1.002x.随着 x 的增大,增长速度的大小关系是________.
[答案] ③>①>②
[解析] 根据指数函数、幂函数、对数函数的增长速 度关系可得.

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第12讲
双 向 固 基 础

函数模型及其应用

2.一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如 图 2121 所示(假设汽车能实现瞬间加速), 在直线 t=t0(0≤t0 ≤5)左侧部分图形的阴影面积的实际意义是________.

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双 向 固 基 础

函数模型及其应用

[答案] 在[0,t0]时间段内汽车行驶的路程

[解析] 根据速率与时间的关系可得.

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函数模型及其应用

3. 要建造一个容积为 1200 立方米,深为 6 米的长 方形无盖蓄水池,池壁的造价是每平方米 95 元,池底的造 价是每平方米 135 元,则该蓄水池的最低造价是________ 元.
[答案] (22 800 2+27 000)

[解析] 设水池总造价为 y 元,水池长度为 x 米,则 y 2400 1200 2400 = 12x + x ? 95 + 6 ? 135 ≥ 2 12x? x ? 95 + 200?135=22 800 2+27 000.

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函数模型及其应用

—— 疑 难 辨 析 ——
1.函数模型的增长特点 (1)f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当 x∈(4,+∞) 时,恒有 h(x)<f(x)<g(x).( ) (2)在(0,+∞)上 x10 000>2x 恒成立.( )
[答案] (1)√ (2) ?

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第12讲
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函数模型及其应用

[解析] (1)画出函数的图像,如图所示,当 x∈(4,+ ∞)时, 指数函数的图像位于二次函数图像的上方, 二次函 数图像位于对数函数图像的上方,故 h(x)<f(x)<g(x).

(2)函数 y=x10 000 为幂函数,y=2x 为指数函数,根据 幂函数与指数函数的变化趋势,存在一个 x0,当 x>x0 时, 有 x10 000<2x.

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函数模型及其应用

2.常见函数模型 (1)二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a, b, c 为常数, a≠0). 当 ? ? b a>0 时,函数 f(x)在?-2a,+∞?上是增长的,且增长速度是变化 ? ? 的.( ) (2)指数型函数模型 f(x)=a· bx+c(a, b, c 为常数, a≠0, b>0, 且 b≠1),这个函数在 a>0,b>1 的情况下是增长的,而且增长的 速度很快,且底数越大增长速度越快.( ) (3)对数型函数模型 f(x)=mlogax+n(m,n,a 为常数,m≠0, a>0,且 a≠1),这个函数模型在 m>0,底数 a>1 时是增长的,但 是增长的速度越来越缓慢,底数越大越明显.( )

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[答案] (1) √

(2)√

(3)√

b , 2a +∞)上是增长的,其导函数 f′(x)=2ax+b,因此增长速度 是变化的. (2)根据指数函数性质得, 在 a>0, b>1 的情况下是增长 的,其导函数是 f′(x)=(aln b)· bx,由于 aln b>0,故其增长 的速度很快,且底数越大增长越快. (3)根据对数函数性质可知,当 m>0,底数 a>1 时,是 m 增长的, 其导数是 f′(x)= , 所以其增长的速度越来越缓 xln a 慢,底数越大,越明显. [解析] (1)根据二次函数性质知当 a>0 时, f(x)在 [-
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第12讲

函数模型及其应用

?

探究点一

一次、二次函数模型的应用

点 面 讲 考 向

例 1[2013· 汕头期末] 某种上市股票在 30 天内每股的 交易价格 P(元)、 日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的对应关系 分别如下:有序数对(t,P)落在图 2122 中的折线上,日 交易量 Q(万股)与时间 t(天)的部分数据如下表所示. (1)根据图中的图像, 写出该种股票每股交易价格 P(元) 与时间 t(天)所满足的函数关系式; (2)根据表中数据确定日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的 一次函数关系式;

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函数模型及其应用

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(3)用 y(万元)表示该股票日交易额,写出 y 关于 t 的 函数关系式,并求这 30 天中第几天日交易额最大,最大值 为多少? (注:各函数关系式都要写出定义域)

图 2122 第 t 天 4 10 16 22 Q(万股) 36 30 24 18

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[思考流程]条件:P,t 关系的图像,Q,t 函数关系 的部分数据.目标:P,t 函数关系,Q,t 函数关系,y,t 函数关系以及 y 的最大值.方法:利用函数图像、函数对 应值,通过待定系数法求解函数关系,利用二次函数求解 最值.

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* ? ?k1t+b1(0<t≤20,t∈N ), P(t)=? 由图像, 可得 * ? ?k2t+b2(20<t≤30,t∈N ),

解: (1)设
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b1=2, ? b2=8, ? ? ? ? ? b = 2 , 20 k + b = 6 , ? 1 ? 2 2 ? ? 及 解得? 1 及? 1 ? ? ?20k1+b1=6 ?30k2+b2=5, ?k1= ?k2=- ? 5 ?

10,

故所

?1 * t + 2 ( 0< t ≤ 20 , t ∈ N ), ?5 求 P 满足的函数关系式为 P(t)=? ?- t +8(20<t≤30,t∈N*). ? 10 (2)依题意设 Q(t)=k3t+b3(0<t≤30,t∈N*),把前两组数据代 ? ? ?4k3+b3=36, ?k3=-1, 入得? 解得? 故 Q 关于 t 的一次函数关系 ? ? ?10k3+b3=30, ?b3=40, 式是 Q(t)=-t+40(0<t≤30,t∈N*).

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函数模型及其应用
*

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1 1 (3)依题意, 当 0<t≤20, t∈N 时,y=(5t+2)(-t+40)=-5(t -15)2+125. 1 1 当 20<t≤30,t∈N*时,y=(-10t+8)(-t+40)=10(t-60)2 - 40. 故 y 关 于 t 的 函 数 关 系 式 是 y = ? 1 2 * - ( t - 15 ) + 125 ( 0< t ≤ 20 , t ∈ N ), ? 5 ? 若 0<t≤20,t∈N*, ? 1 (t-60)2-40(20<t≤30,t∈N*). ?10 1 * 则 t=15 时,ymax=125(万元);若 20<t≤30,t∈N ,则 y<10(20 -60)2-40=120(万元).所以第 15 天日交易额最大,最大为 125 万元.
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函数模型及其应用

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[归纳总结]函数建模的关键是找到一个影响求解目 标的变量,以这个变量为自变量表达其他需要的量,综合 各种条件建立函数模型.在实际问题的函数模型中要特别 注意函数的定义域,它是由实际问题决定的,不是由建立 的函数解析式决定的.

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变式题[2013· 厦门模拟] 图 2123 是某种称为“凹槽” 的机械部件的示意图, 图(2)是凹槽的横截面(阴影部分)示意 图,其中四边形 ABCD 是矩形,弧 CmD 是半圆,凹槽的横 截面的周长为 4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比, 比 例系数为 3,设 AB=2x,BC=y. (1)写出 y 关于 x 的函数表达式,并指出 x 的取值范围; (2)求当 x 取何值时,凹槽的强度最大.

图 2123

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解:(1)易知半圆 CmD 的半径为 x,故半圆 CmD 的弧 4-(2+π )x 长为π x,所以 4=2x+2y+π x,得 y= , 2 4-(2+π )x 4 依题意知 0<x<y,得 0<x< ,所以 y= 2 4+π 4 (0<x< ). 4+π

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(2)依题意,设凹槽的强度为 T,横截面的面积为 S, π x2 则 有 T = 3 S = 3 ( 2xy- ) = 3 2 2? ? 3π 2 4 -( 2 + π ) x π x ? ? - 2 ? = 3 [ 4x - (2 + 2 )x ]=- ?2x? 2 ? ? 3(4+3π ) 4 2 8 3 4 4 x- + .因为 0< < , 2 4+3π 4+3π 4+3π 4+π 4 所以,当 x= 时凹槽的强度最大. 4+3π

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?

探究点二

指数、对数型函数模型的应用

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例 2 一片树林的现有木材储蓄量为 7100 m3. (1)要使木材储蓄量 20 年后翻两番,即达到 28 400 m3, 求木材储蓄量的年均增长率. (2)如果年均增长率为 8%,那么几年可以翻两番? (参考数据: lg 2=0.301 0, lg 3=0.477 1, lg 5=0.699 0, 100.03≈1.072)

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[思考流程](1)条件:如题干所述.目标:年均增产 率.方法:根据指数函数建模,然后解模. (2)条件:年均增长率.目标:求木材储蓄量翻两番的 时间.方法:根据指数函数建模,然后利用对数解模.

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解:(1)设年均增长率为 x,由题意得 28 400=7100(1 +x)20, ∴ (1 + x)20 = 4 ,则有 20lg(1 + x) = 2lg 2 ,即 lg(1 + x)≈0.030 10, ∴1+x≈1.072,得 x≈0.072≈7.2%.故木材储蓄量的 年均增长率约为 7.2%. (2)设 y 年可以翻两番,则 28 400=7100(1+0.08)y, 即 1.08y=4, 2lg 2 0.6020 ∴y= ≈ ≈18.02,故约 18 年可翻两番. lg 1.08 0.0334

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[归纳总结]本例是平均增长率问题,也是指数函数 模型.解决本例要理解翻两番指的是为原来的四倍,在计 算时要注意用常用对数, 这是计算增长率问题的一个重要 计算方法.

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函数模型及其应用

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变式题 有一个湖泊受污染, 其湖水的容量为 V 立方米, 每天流入湖的水量等于流出湖的水量,都为 r 立方米.现假 p 设下雨和蒸发平衡, 且污染物和湖水均匀混合, 用 g(t)= r + p r [g(0)- r ]e-vt(p≥0)表示在 t 时刻一立方米湖水中所含污染 物的克数(我们称其湖水污染质量分数),g(0)表示湖水污染 初始质量分数. (1)当湖水污染质量分数为常数时,求湖水污染初始质 量分数; p (2)证明:当 g(0)< r 时,湖水的污染程度越来越严重.

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解:(1)设 0≤t1<t2,因为 g(t)为常数, 所以 g(t1)=g(t2),
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即 (2) 设 0<t1<t2

p =0,则 g(0)= r . , 则 g(t1) - =

g(t2)



.因为

p p g(0)- r <0,0<t1<t2,所以 g(t1)<g(t2),所以当 g(0)< r 时,湖 水的污染越来越严重.

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?

探究点三

分段函数模型的应用

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例3 [2013· 佛山一模] 某工厂生产某种产品, 每 日的成本 C(单位:万元)与日产量 x(单位:吨)满足函数 关系式 C=3+x,每日的销售额 S(单位:万元)与日产 量 x 的函数关系式为 k ? ?3x+ +5(0<x<6), x - 8 S=? ? ?14(x≥6). 已知每日的利润 L=S-C,且当 x=2 时,L=3. (1)求 k 的值; (2)当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最 大,并求出最大值.
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[思考流程](1)条件:S,x 的函数关系,初始值(2, 3).目标:k 值.方法:代入初始值,得方程解之. (2)条件:S,x 的函数关系,模型 L=S-C.目标:L 的最大值.方法:分段求解最值后整合结果.

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k ? ?2x+ +2,0<x<6, x - 8 解:(1)由题意可得 L=? ? ?11-x,x≥6. k 因为 x=2 时,L=3,所以 3=2?2+ +2, 2-8 解得 k=18.

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18 18 (2)当 0<x<6 时,L=2x+ +2=2(x-8)+ +18 x-8 x-8 18 18 =-[2(8-x)+ ]+18≤-2 2(8-x)· +18 8-x 8-x =6, 18 当且仅当 2(8-x)= ,即 x=5 时取得等号; 8-x 当 x≥6 时,L=11-x≤5. 所以当 x=5 时,L 取得最大值 6. 即当日产量为 5 吨时,每日的利润可以达到最大值 6 万元.

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函数模型及其应用

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[归纳总结]分段函数模型是在不同的区间上有不同 的解析式,其定义域是各段自变量取值范围的并集,值域 是各段函数值取值范围的并集.分段函数是一类重要的函 数,生活中很多实例都是分段函数模型,如出租车票价与 里程之间的关系,纳税与收入之间的关系等.解决此类问 题主要是构造分段函数,然后分步解决,要特别注意定义 域和端点值.

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函数模型及其应用

答题模板

3.解答函数应用题的思维流程

多 元 提 能 力

例 某单位用 2160 万元购得一块空地, 计划在该地块上 建造一栋至少 10 层、每层 2000 平方米的楼房.经测算,如 果将楼房建为 x(x≥10)层, 则每平方米的平均建筑费用为 560 +48x(单位: 元). 为了使楼房每平方米的平均综合费用最少, 该楼房应建为多少层? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平 购地总费用 均购地费用= ) 建筑总面积

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第12讲

函数模型及其应用

多 元 提 能 力

[解答规范] 设楼房每平方米的平均综合费用为 f(x)元, 2160?10 000 10 800 则 f(x)=(560+48x)+ =560+48x+ x 2000x (x≥10,x∈N),(4 分) 10 800 f′(x)=48- x2 .(6 分) 令 f′(x)=0 得 x=15.(7 分) 当 x>15 时,f′(x)>0;当 10<x<15 时,f′(x)<0.(9 分) 因此当 x=15 时,f(x)取得最小值 f(15)=2000.(10 分) 答:为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房 应建为 15 层.(12 分)

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第12讲

函数模型及其应用

多 元 提 能 力

[步骤解读] (1)弄清变量之间的关系; (2)确定求解目标和自变量; (3)建立函数模型; (4)解函数模型; (5)把函数模型的解翻译为对实际问题的解释. 其中最为关键的是确定自变量及其取值范围, 自变量选 取的基本原则是这个量能够完全表达出求解目标.

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第12讲

函数模型及其应用

[备选理由] 下面是近年来单纯从函数应用角度命题的 一个难度极大的题目,由于难度大,我们在正文没有选用, 作为备用,可以根据情况灵活处理.

教 师 备 用 题
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第12讲

函数模型及其应用

例 【配例 3 使用】 [2012· 湖南卷] 某企业接到生产 3000 台某产品的 A,B,C 三种部件的订单,每台产品需要这三种部件 的数量分别为 2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产 A 部件 6 件,或 B 部件 3 件,或 C 部件 2 件.该企业计划安排 200 名工人分成三组分别生产这三种部件,生产 B 部件的人数与生产 A 部件的人数成正比,比例系数为 k(k 为正整数). (1)设生产 A 部件的人数为 x,分别写出完成 A,B,C 三种部 件生产需要的时间; (2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数 k 的值, 使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组 教 方案.
师 备 用 题
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第12讲

函数模型及其应用

解: (1)设完成 A, B, C 三种部件的生产任务需要的时间(单 位:天)分别为 T1(x),T2(x),T3(x),由题设有 2?3000 1000 T1(x)= = x , 6x 2000 T2(x)= kx , 1500 T3(x)= , 200-(1+k)x 其中 x,kx,200-(1+k)x 均为 1 到 200 之间的正整数.
教 师 备 用 题
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第12讲

函数模型及其应用

教 师 备 用 题

(2)完成订单任务的时间为 f(x)=max{T1(x),T2(x),T3(x)},其 ? ? 200 ? ? ? ? * ? ? 0 < x < , x ∈ N 定义域为 x? .易知,T1(x),T2(x)为减函数,T3(x) 1+k ? ? ? ? ? 2 为增函数.注意到 T2(x)=k T1(x),于是 ①当 k=2 时,T1(x)=T2(x),此时 ? 1500 ? ?1000 ? ? ?. , f(x)=max{T1(x),T3(x)}=max x 200 - 3 x ? ? ? ? 1000 1500 由函数 T1(x),T3(x)的单调性知,当 x = 时,f(x)取得 200-3x 400 400 250 最小值,解得 x= 9 .由于 44< 9 <45,且 f(44)=T1(44)= 11 , 300 f(45)=T3(45)= 13 ,f(44)<f(45),故当 x=44 时完成订单任务的时 250 间最短,且最短时间为 f(44)= 11 .
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第12讲

函数模型及其应用

②当 k>2 时,T1(x)>T2(x),由于 k 为正整数,故 k≥3,此 时 1500 1500 375 ≥ = . 200-(1+k)x 200-(1+3)x 50-x 375 记 T(x)= ,φ(x)=max{T1(x),T(x)},易知 T(x)是增函 50-x 数 , 则 f(x) = max{T1(x) , T3(x)}≥max{T1(x) , T(x)} = φ(x) = ? 375 ? ?1000 ? 1000 ? ? , max x . 由函数 T1(x) , T(x) 的单调性知,当 x = 50 - x ? ? ? ? 375 400 400 时,φ (x)取最小值,解得 x= .由于 36< <37,且 11 11 50-x 250 250 375 250 φ (36)=T1(36)= 9 > 11 , φ(37)=T(37)= 13 > 11 , 故此时完 250 成订单任务的最短时间大于 11 .
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教 师 备 用 题

第12讲

函数模型及其应用

③当 k<2 时,T1(x)<T2(x),由于 k 为正整数,故 k=1,此 时
? 750 ? ?2000 ? ? f(x)=max{T2(x),T3(x)}=max x ,100-x?. ? ? ? ?

教 师 备 用 题

2000 750 由函数 T2(x),T3(x)的单调性知,当 x = 时 f(x)取 100-x 800 最小值,解得 x= ,类似②的讨论,此时完成订单任务的最 11 250 250 短时间为 ,大于 .综上所述,当 k=2 时,完成订单任务的 9 11 时间最短,此时,生产 A,B,C 三种部件的人数分别为 44,88, 68.

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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第13讲 变化率与导数、导数 的运算

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考试说明

1.了解导数概念的实际背景. 2.理解导数的几何意义. 1 3. 能根据导数定义求函数 y=C(C 为常数), y=x, y= x , 1 y=x ,y=x ,y=x ,y= x的导数. 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算 法则求简单函数的导数, 能求简单复合函数(仅限于形如 f(ax +b)的复合函数)的导数.
2 3

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双 向 固 基 础

1.变化率与导数 (1)平均变化率: 对于函数 y=f(x), f(x2)-f(x1) Δ y = ,叫作函 x2-x1 Δx 平均 数 y=f(x)从 x1 到 x2 的________ 变化率 表示函数 y=f(x)图像上两点 (x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的 斜率 ________ 函数 y=f(x)表示变速运动的质 点的运动方程, f(x2)-f(x1) 就是该质点在 x2-x1 平均 速度 [x1,x2]上的________
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概念

几何 意义

物理 意义

第13讲
双 向 固 基 础

变化率与导数、导数的运算

2.导数

导数

f(x+Δ x)-f(x) Δx

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第13讲
双 向 固 基 础

变化率与导数、导数的运算

(续表)

斜率
y-y0=f′(x0)(x-x0)

瞬时 速度

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第13讲
双 向 固 基 础

变化率与导数、导数的运算

nxn

-1

axln a
1 log e x a

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第13讲
双 向 固 基 础

变化率与导数、导数的运算

(续表)

f′(x)±g′(x)

f′(x)g(x)-f(x)g′(x) g2(x)

y′u?u′x

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第13讲
双 向 固 基 础

变化率与导数、导数的运算

—— 链接教材 ——
1.往气球中充入空气,气球的体积从 1 L 增大到 2 L 时,气球半径 r 的平均变化率约为________.

[答案] 0.16
3 3V [解析] r(V)= ,故气球的体积从 1 L 增大到 4π r(2)-r(1) 2 L 时,气球半径 r 的平均变化率为 ≈ 2-1 0.16.

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第13讲
双 向 固 基 础

变化率与导数、导数的运算

2. 已知将 1 吨水净化到 x%时所需费用(单位:元)为 5284 c( x) = (80<x<100),当净化到 98%时费用的瞬时变化 100-x 率为________.

[答案] 1321(元/吨)
5284 [解析] c′(x)= ,代入计算可得. (100-x)2

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第13讲
双 向 固 基 础

变化率与导数、导数的运算

3. y=sin(π x+φ)的导数是________.

[答案]

y′=π cos(π x+φ)

[解析] y′=π cos(π x+φ).

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第13讲
双 向 固 基 础

变化率与导数、导数的运算

—— 疑 难 辨 析 ——
1.平均变化率 (1)函数 y=f(x)表示某种实际问题的增长规律, 其平 f(x2)-f(x1) 均变化率 就是该实际问题在[x1, x2]上的 x2-x1 平均增长率.( ) (2)若一质点按规律 s=8+t2 运动,则在[2,2.1]内 相应的平均速度是 4.1.( ) [答案] (1) √ (2)√
[解析] (1)根据平均变化率的概念知正确. (8+2.12)-(8+22) (2)v= =4.1. 2.1-2 .
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第13讲
双 向 固 基 础

变化率与导数、导数的运算

2.导数的概念 (1)f′(x0)=[f(x0)]′.(

)

[答案] (1) ?

(2)√

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第13讲
双 向 固 基 础

变化率与导数、导数的运算

[解析] (1)f′(x0)是函数 y=f(x)在点 x0 处的导数值, 这个值 不一定为 0;[f(x0)]′是 y=f(x)在点 x0 处函数值的导数,也就 是常数的导数,[f(x0)]′=0. (2)根据导数的概念知其正确

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第13讲
双 向 固 基 础

变化率与导数、导数的运算

3.导数的几何与物理意义 (1)曲线 y=f(x)上某点处的切线与曲线 y=f(x)过某点的 切线意义是相同的.( ) (2)物体的运动方程是 s=-4t2+16t,在某一时刻的速 度为 0,则相应的时刻 t=2.( )

[答案] (1) ×

(2)√

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第13讲
双 向 固 基 础

变化率与导数、导数的运算

[解析] (1)曲线上某点处的切线只有一条, 但过某点的 切线可以不止一条. (2)s′=-8t+16,由-8t+16=0 得 t=2.

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第13讲
双 向 固 基 础

变化率与导数、导数的运算

4.导数的计算 (1)[f(ax+b)]′=f′(ax+b).( ) (2)f0(x)=sin x,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f1′(x),?,fn+1(x) =f′n(x),则 f2014(x)=sin x.( )
[答案] (1) × (2) ×

[解析] (1)[f(ax+b)]′是对函数 f(ax+b)求导, 根据复 合函数求导公式 [f(ax + b)] ′= f′(ax + b)· (ax + b)′ = a· f′(ax +b),当 a≠1 时,[f(ax+b)]′=f′(ax+b)显然不成立. (2)由题意 f1(x)=cos x,f2(x)=-sin x,f3(x)=-cos x, f4(x)=sin x, 即{fn(x)}是周期为 4 的函数列, 故 f2014(x) =f2(x)=-sin x.

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第13讲

变化率与导数、导数的运算

?

探究点一

利用导数的定义求函数的导数

例 1 利用导数定义证明:偶函数的导数是奇函数.
点 面 讲 考 向

[思考流程]条件:函数 y=f(x)是偶函数.目标:证 明其导数为奇函数.方法:根据导数、偶函数、奇函数的 定义进行推理.

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第13讲

变化率与导数、导数的运算

点 面 讲 考 向

=-f′(-x), 即对函数 f(x)的定义域内的任意 x 有 f′(-x)=-f′(x), 即 f′(x)是奇函数.

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第13讲

变化率与导数、导数的运算

点 面 讲 考 向

[归纳总结]使用导数定义求导数或者证明一些问题 时,要紧紧扣住 f′(x)= 函数的导数是偶函数. .同理可以证明奇

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第13讲

变化率与导数、导数的运算

点 面 讲 考 向

变式题 已知函数 f′(1)=2, 则 =________.
[答案] -4

f(1-2Δ x)-f(1) Δx

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第13讲

变化率与导数、导数的运算

点 面 讲 考 向

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第13讲

变化率与导数、导数的运算

?

探究点二
例2

利用求导公式及运算法则求导

点 面 讲 考 向

求下列函数的导数: x4 x3 x 1 (1)y= 4 + 3 +2+x;(2)y=ln x+x ; cos x x; (3)y=(2x+1)e (4)y= x e

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第13讲

变化率与导数、导数的运算

点 面 讲 考 向

[思考流程]条件:求导公式及求导法则.目标:求 所给函数的导数.方法:使用基本初等函数的导数公式和 四则运算法则进行求导.

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第13讲

变化率与导数、导数的运算

点 面 讲 考 向

x4 x3 x x4 x3 x 解:(1)y′=( + + +x)′=( )′+( )′+( )′+(x)′ 4 3 2 4 3 2 =x3+x2+x+1. 1 1 1 1 (2)y′=(ln x+ x)′=(ln x)′+(x )′=x -x2. (3)y′ = [(2x + 1)ex]′ = (2x + 1)′ex + (2x + 1)(ex)′ = 2ex + (2x +1)ex=(2x+3)ex. (cos x)′ex-cos x(ex)′ cos x (4)y′ = ( ex ) ′ = =- (ex)2 sin x+cos x . ex

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第13讲

变化率与导数、导数的运算

点 面 讲 考 向

[归纳总结] 运用基本初等函数的导数公式和导数 的四则运算求导时要根据法则一步一步地进行,不要跳 步,以减少不必要的错误.

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第13讲

变化率与导数、导数的运算

点 面 讲 考 向

变式题 求下列函数的导数: + (1)y=22x 1+ln(3x+5); - (2)y=(x2+2x-1)e2 x.

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第13讲

变化率与导数、导数的运算

点 面 讲 考 向

解: (1)y′ = (22x 1)′ + [ln(3x +5)]′ = (22x 1ln 2)(2x +1)′ + (3x+5)′ 2x+2 3 =2 ln 2+ . 3x+5 3x+5 (2)y′=(x2+2x-1)′e2-x+(x2+2x-1)(e2-x)′=(2x+2)e2-x - - +(x2+2x-1)· (-e2 x)=(3-x2)e2 x.
+ +

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第13讲

变化率与导数、导数的运算

?

探究点三

导数的几何意义及应用

点 面 讲 考 向

例 3 (1)[2013· 保定模拟] 设函数 f(x)在 R 上是可导 的偶函数,且满足 f(x-1)=-f(x+1),则曲线 y=f(x) 在 x=10 处的切线的斜率为( ) A.-1 B.0 C.1 D .2 (2)[2013· 江门调研] 曲线 y=ln(2x)上任意一点 P 到 直线 y=2x 的距离的最小值是________.

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第13讲

变化率与导数、导数的运算

点 面 讲 考 向

[思考流程](1)分析:即求 f′(10)的值.推理:利用 偶函数的导数是奇函数, 把要求解

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