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【2013烟台一模】山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试 数学理 Word版含答案_图文

山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试

数学(理)试题
注意事项: 1.本试题满分 150 分,考试时间为 120 分钟。 2.使用答题纸时, 必须使用 0. 毫米的黑龟墨水签字笔书写,作图时,可用 2B 铅笔. 5 要 字迹工整,笔迹清晰,超出答题区书写的答案无效;在草稿纸,试题卷上答题无效。 3.答卷前将密封线内的项目填写清楚。 一、选择题:本大题共 12 小题;每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一个选项符合题目要求,把正确选项的代号涂在答题卡上. 1.已知 i 是虚数单位,若 z (i ? 1) ? i ,则|z|等于

A.1 【答案】C

B.

3 2

C.

2 2

D.

1 2

由 z (i ? 1) ? i , 得 z ?

i (i ? 1 i) ? 2 i i 1 1 ? ? ? ? i , 所 以 i ?1 (? i ? i) ( 1 1 ) 2 2 2

1 1 2 ,选 C. z ? ( )2 ? ( )2 ? 2 2 2
2.若集合 M={x∈N*| x<6},N= ? x || x ? 1|? 2? ,则 M ?(?R N ) = A. (-∞,-1) 【答案】D B. ?1, 3 ? C. (3,6) D.{4,5}

M ? {1, 2,3, 4,5}
(?R N ) ? {x x ? ?1或x ? 3} ,

,

N ? {x ?2 ? x ? 1 ? 2} ? {x ?1 ? x ? 3}







3.已知幂函数 y=f(x)的图象过点(

1 2 , ) ,则 log2f(2)的值为 2 2
C.2 D.-2

A.

1 2

B.-

1 2
1 2

【答案】A

( 设幂函数为 f ( x) ? x , f ( ) ? ) 则

?

1 2

?

?

2 2

, 解得 ? ?

1 , 所以 f ( x ) ? x , 2

所以 f (2) ?

2 ,即 log 2 f (2) ? log 2 2 ?
2 x 2 ?1

4.已知函数 f ( x) ? e A. k? ? 4 4 【答案】C

,若 f [cos( B. k? ?

?
2

1 ,选 A. 2

? ? )] ? 1 ,则 ? 的值为
C.

?
4
2 4

?

4

k? ? ? 2 4

D. k? ?

?
4

(其中 k∈Z)

由 f ( x) ? e

2 x 2 ?1

cos 2( ? ? ) ? cos(? ? 2? ) ? ? cos 2? ? 0 2 k? ? ?? ? , k ? Z ,选 C. 2 4

?

2 ? 1 , 得 2 x 2 ? 1 0 即 2 c o s ? ? ? ) ? 1, 所 以 ? , ( 0 2

?

, 所 以

2? ?

?

2

? k? , k ? Z

, 即

5.下列说法错误的是: A.命题“若 x2—4x+3=0,则 x=3”的逆否命题是“若 x≠3,则 x2-4x+3≠0” B.“x>l”是“|x|>0”的充分不必要条件 C.若 p∧q 为假命题,则 p、g 均为假命题 D.命题 P:″ ?x ? R ,使得 x2+x+1<0”,则 ?P :" ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0"
2

【答案】C 若 p∧q 为假命题,则 p、g 至少有一个为假命题,所以 C 错误。选 C. 6.若函数 f(x)=2sin ?x(? ? 0) 在区间 [? A.

? ?

, ] 上单调递增,则 ? 的最大值等于 3 4
C.2 D.3

2 3

B.

3 2

【答案】B

T T , ] 上递增,所以要使函数 f(x)=2sin ?x(? ? 0) 在区间 4 4 ? ? ? T 4? 2? 4? 3 ,所以 T ? ,解得 ? ? , [? , ] 上单调递增,则有 ? ? ? ,即 T ? ? 3 4 3 4 3 ? 3 2 3 所以 ? 的最大值等于 ,选 B. 2
因为函数在 [? 7.若回归直线方程的斜率的估计值是 1.23,样本点的中心为(4,5) ,则回归直线的方程是 ^ ^ A. y =1.23x+4 【答案】C 根据点斜式方程可得 y ? 5 ? 1.23( x ? 4) ,即 y ? 1.23x ? 0.08 ,选 B. 8.如右图,某几何体的三视图均为边长为 l 的正方形,则该几何体的体积是 B. y =1.23x+5 C. y =1. 23x+0. 08 D. y =0. 08x+1. 23

A.

5 6

B.

2 3

C.1 【答案】A

D.

1 2

由题意三视图对应的几何体如图所示, 所以几何体的体积为正方体的体积减去一个三棱锥的体积,即 1 ? ? ?1?1?1 ?
3

1 1 3 2

5 ,选 6

A. 9.若点 P 是以 A ? 10 ,0 、 B 10 ,0 为焦点,实轴长为 2 2 的双曲线与圆 x2+y2 =10 的一 个交点,则|PA|+ |PB|的值为 A. 2 2 C. 4 3 【答案】D 由题意知 2a ? 2 2, c ? 10 ,所以 a ? B. 4 2 D. 6 2

?

? ?

?

2, b2 ? c 2 ? a 2 ? 10 ? 2 ? 8 ,所以双

曲 线 方 程 为

x2 y 2 ? ?1 。 不 妨 设 点 P 在 第 一 象 限 , 则 由 题 意 知 2 8

? PA ? PB ? 2a ? 2 2 2 2 ? 2 , 所 以 ( PA ? PB ) ? PA ? PB ? 2 PA PB , 解 得 ? 2 2 2 ? PA ? PB ? (2c) ? 40 ?
2 PA PB ? 32 , 所 以 ( PA ? PB ) 2 ? PA ? PB ? 2 PA PB ? 72 , 所 以
2 2

PA ? PB ? 72 ? 6 2 ,选 D.
10.函数 f ( x) ? ? cos x lg x 的部分图像是

【答案】A 因为函数为偶函数, 所以图象关于 y 轴对称, 所以排除 B,D.当 x ? 0 f ( x) ? 0 , 排除 D ,选 A.

?x ? 1 ? 11.实数 x,y 满足 ? y ? a ( a ? 1) ,若函数 z=x+y 取得最大值 4,则实数 a 的值为 ?x ? y ? 0 ?
A.2 【答案】A B.3 C.4 D.

3 2

,由 z ? x ? y 得 y ? ? x ? z ,作出不等式对应 的区域,平移直线 y ? ? x ? z ,由图象可知当直线经过点 D 时,直线的截距最大为 4,由

?x ? y ? 4 ?x ? 2 ,解得 ? ,即 D(2,2),所以 a ? 2 ,选 A. ? ?x ? y ? 0 ?y ? 2
12.已知函数 f(x)= ?

?2 x ? 1, ( x ? 0) ? f ( x ? 1) ? 1, ( x ? 0)

,把函数 g(x)=f(x)-x 的零点按从小到大的

顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为 A. a n ?

n(n ? 1) 2

B. a n ? n ? 1 D. a n ? 2 ? 2
n
x﹣1

C. a n ? n(n ? 1) 【答案】B

若 0<x≤1,则﹣1<x﹣1<0,得 f(x)=f(x﹣1)+1=2 x﹣2 若 1<x≤2,则 0<x﹣1≤1,得 f(x)=f(x﹣1)+1=2 +1 x﹣3 若 2<x≤3,则 1<x﹣1≤2,得 f(x)=f(x﹣1)+1=2 +2



若 3<x≤4,则 2<x﹣1<3,得 f(x)=f(x﹣1)+1=2 +3 x﹣n﹣1 以此类推,若 n<x≤n+1(其中 n∈N) ,则 f(x)=f(x﹣1)+1=2 +n, x 下面分析函数 f(x)=2 的图象与直线 y=x+1 的交点 很显然,它们有两个交点(0,1)和(1,2) , x 由于指数函数 f(x)=2 为增函数且图象下凸,故它们只有这两个交点. x x 然后①将函数 f(x)=2 和 y=x+1 的图象同时向下平移一个单位即得到函数 f(x)=2 ﹣1 和 y=x 的图象, 取 x≤0 的部分,可见它们有且仅有一个交点(0,0) . 即当 x≤0 时,方程 f(x)﹣x=0 有且仅有一个根 x=0. x ②取①中函数 f(x)=2 ﹣1 和 y=x 图象﹣1<x≤0 的部分,再同时向上和向右各平移一个单 位, x﹣1 即得 f(x)=2 和 y=x 在 0<x≤1 上的图象,显然,此时它们仍然只有一个交点(1,1) . 即当 0<x≤1 时,方程 f(x)﹣x=0 有且仅有一个根 x=1. x﹣1 ③取②中函数 f(x)=2 和 y=x 在 0<x≤1 上的图象,继续按照上述步骤进行, x﹣2 即得到 f(x)=2 +1 和 y=x 在 1<x≤2 上的图象,显然,此时它们仍然只有一个交点(2,2) . 即当 1<x≤2 时,方程 f(x)﹣x=0 有且仅有一个根 x=2. ④以此类推,函数 y=f(x)与 y=x 在(2,3], (3,4],…(n,n+1]上的交点依次为(3,3) , (4,4) ,…(n+1,n+1) . 即方程 f(x)﹣x=0 在(2,3], (3,4],…(n,n+1]上的根依次为 3,4,…n+1. 综上所述方程 f(x)﹣x=0 的根按从小到大的顺序排列所得数列为 0,1,2,3,4,… 其通项公式为 a n ? n ? 1 ,选 B. 二、填空题:本大题共有 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.把正确答案填在答题卡的相应位 置。 13.执行如右图所示的程序框图,输出的 S 值为

x﹣4

【答案】10 第一次循环, i ? 1, S ? ?1, i ? 2 ;第二次循环, i ? 2, S ? ?1 ? 2 ? 3, i ? 3 ;
2

第三次循环, i ? 3, S ? 3 ? 3 ? ?6, i ? 4 ;
2

第四次循环, i ? 4, S ? ?6 ? 4 ? 10, i ? 5 ,此时不满足条件,输出 S ? 10 .
2

14.若(x2- ) n 的展开式中含 x 的项为第 6 项,设(1-3x)n =ao+a1x+a2x2+…+anxn,则 al+a2+…+an 的值为 【答案】255
k 展开式(x2- ) n 的通项公式为 Tk ?1 ? Cn ( x2 ) n? k (? ) k ? Cnk (? 1)k x2 n? 3 k ,因

1 x

1 x

1 x

为 含 x 的 项 为 第 6 项 , 所 以 k ? 5 , 2 ? 3 ? , 解 得 n ? 8 , 令 x ?1 , 得 n k 1

a0 ? a1 ? ? ? a8 ? (1 ? 3)8 ? 28 ,又 a0 ? 1 ,所以 a1 ? ? ? a8 ? 28 ? 1 ? 255 。

?13 ?7 ? 3 3? 3 ?15 3? 3 4 15. 对大于 l 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”: ? , ?9 , ? , 2 …, ?5 ?11 ?17 ? ?19 ?
仿此,若 m3 的“分裂数”中有一个是 59,则 m 的值为 。 【答案】8 3 3 3 3 即 1 =1,2 =3+5,3 =7+9+11,4 =13+15+17+19,…m 增加 1,累加的奇数个数便 多 1,我们不难计算 59 是第 30 个奇数,若它是 m 的分解,则 1 至 m-1 的分解中,累加的 奇数一定不能超过 30 个,故可列出不等式,进行求解,由 1 ? 2 ?? ? (m ? 1) ? 30且

1 ? 2 ? ? ? (m ? 1) ? m ? 30 ,解得 m ? 8 。
16.给出下列命题:①函数 y ?

x 在区间[1,3]上是增函数; x ?4
2

②函数 f(x)=2x -x2 的零点有 3 个; ③函数 y= sin x(x∈ [?? , ? ] )图像与 x 轴围成的图形的面积是 S= ④若 ? ~N(1, ? ) ,且 P(0≤ ? ≤1)=0.3,则 P( ? ≥2)=0.2.
2

? ?sin xdx ;
?

?

其中真命题的序号是(请将所有正确命题的序号都填上) : 【答案】②④ ① y'?

? x2 ? 4 ? x2 ? 4 ? 0 ,解得 ?2 ? x ? 2 ,即函数的增区间 ,由 y ' ? 2 ( x 2 ? 4) 2 ( x ? 4) 2

为 (?2, 2) ,所以①错误。②正确。③当 ?? ? x ? 0 时, sin x ? 0 ,所以函数 y= sin x (x∈ [?? , ? ] )图像与 x 轴围成的图形的面积是

? ? sin x dx ,所以③错误。④因为
?

?

P(? ? 2) ?

1 ? 2P (0 ? ? ? 1) 1 0.6 ? ? ? 0.2,所以④正确,所以正确的为②④。 2 2

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推

理步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知平面向量 a =(cos ? ,sin ? ) ,b=(cosx,sinx) ,c=(sin ? ,-cos ? ) ,其中 0< ? < ? , 且函数 f(x)=(a· b)cosx+(b· c)sinx 的图像过点( (1)求 ? 的值; (2)先将函数 y=f(x)的图像向左平移

? ,1) 。 6

? 个单位,然后将得到函数图像上各点的横坐 12 ? 标变为原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图像,求函数 y=g(x)在[0, ] 2
上的最大值和最小值.

18. (本小题满分 12 分) 已知公差大于零的等差数列{an}的前 n 项和 Sn,且满足:a2·4=65,a1+a5=18。 a (1)若 1<i<21,a1,ai,a21 是某等比数列的连续三项,求 i 的值; (2)设 bn ?

n ,是否存在一个最小的常数 m 使得 b1+b2+…+bn<m 对于任意的 (2n ? 1) S n

正整数 n 均成立,若存在,求出常数 m;若不存在,请说明理由。

19. (本小题满分 12 分) 如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60o,四边形 ACFE 为矩形, 平面 ACFE⊥平面 ABCD,CF=1。 (1)求证:BC⊥平面 ACFE; (2) M 在线段 EF 上运动, 点 设平面 MAB 与平面 FCB 所成二面角的平面角为 ? (? ≤90o) , 试求 cos ? 的取值范围。

20. (本小题满分 12 分) 从参加某次高三数学摸底考试的同学中,选取 60 名同学将其成绩(百分制) (均为整数) 分成 6 组后,得到部分频率分布直方图(如图) ,观察图形中的信息,回答下列问题。 (1)补全这个频率分布直方图,并估计本次考试的平均分; (2)若从 60 名学生中随机抽取 2 人,抽到的学生成绩在[40,70)记 0 分,在[70,100] 记 1 分,用 X 表示抽取结束后的总记分,求 x 的分布列和数学期望。

21. (本小题满分 13 分)

y2 x2 设 A ( x1, y1 ) b ( x2, y2 ) 是 椭 圆 C : 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0 ) 上 两 点 , 已 知 , a b
? x2 y ? 3 ?x y ? m ? ? 1 , 1 ?, n ? ? , 2 ? ,若 m· 且椭圆的离心率 e= n=0 ,短轴长为 2,O 为坐标 ? b a ? 2 ?b a? ? ?
原点. (1)求椭圆的方程; (2)试问△ AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由。

22. (本小题满分 13 分) 已知函数 (x) f =axlnx 图像上点 (e) 处的切线与直线 y=2x 平行 (e, ) f (其中 e= 2. 71828…) , 2 2 g(x)=x -x -tx-2. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)在[n,n+2](n>0)上的最小值; (3)对一切 x ? ?0, e?,3f(x)≥g(x)恒成立,求实数 t 的取值范围。


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