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2017年浙江省绍兴市高考数学一模试卷(解析版)


2017 年浙江省绍兴市高考数学一模试卷
一、选择题(本题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分,在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A={x∈R||x|<2},B={x∈R|x+1≥0},则 A∩B=( A. (﹣2,1] B.[﹣1,2) C.[﹣1,+∞) ,则 z? =( )

D. (﹣2,+∞) )

2.已知 i 是虚数单位,复数 z= A.25 B.5 C. D.

3.已知 a,b 为实数,则“a=0”是“f(x)=x2+a|x|+b 为偶函数”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 )



4.已知 a>0,且 a≠1,若 ab>1,则( A.ab>b B.ab<b C.a>b D.a<b

5.已知 p>0,q>0,随机变量 ξ 的分布列如下: ξ P 若 E(ξ)= .则 p2+q2=( A. B. C. D.1 ) p q q p

6.已知实数 x,y 满足不等式组 a=( ) C. D.

,若 z=y﹣2x 的最大值为 7,则实数

A.﹣1 B.1

7.已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,过点 M(p,0)的直线交抛物线于 A,B 两点,若 A.2 B. =2 C. ,则 =( )

D.与 p 有关 ?( ﹣ )=0,若|λ ﹣ |的最小值为 2(λ∈R) ,
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8.向量 , 满足| |=4,

则 ? =( A.0 B.4

) C.8 D.16 设 f(x)=min{x2,x3},则( )

9.记 min{x,y}=

A.存在 t>0,|f(t)+f(﹣t)|>f(t)﹣f(﹣t) B.存在 t>0,|f(t)﹣f(﹣t)|>f(t)﹣f(﹣t) C.存在 t>0,|f(1+t)+f(1﹣t)|>f(1+t)+f(1﹣t) D.存在 t>0,|f(1+t)﹣f(1﹣t)|>f(1+t)﹣f(1﹣t) 10.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,棱 AB 的中点为 P,若光线从点 P 出发, 依次经三个侧面 BCC1B1,DCC1D1,ADD1A1 反射后,落到侧面 ABB1A1(不包括边 界) ,则入射光线 PQ 与侧面 BCC1B1 所成角的正切值的范围是( )

A. ( , )

B. (

,4)

C. (

, ) D. (

, )

二、填空题(本大题共 7 小题,共 36 分) 11.双曲线 ﹣ =1 的焦点坐标为 ,离心率为 . ,体积

12 .已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为

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13. T( 已知等差数列{an}, 等比数列{bn}的前 n 项和为 Sn, , 若 Sn= n2+ n n∈N*) n,b1=a1,b2=a3,则 an= ,Tn= . ,b= ,

14.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 A= △ABC 的面积为 ,则 c= ,B= .

15. 将 3 个男同学和 3 个女同学排成一列, 若男同学甲与另外两个男同学不相邻, 则不同的排法种数为 . (用具体的数字作答) .

16.已知正实数 x,y 满足 xy+2x+3y=42,则 xy+5x+4y 的最小值为

17.已知 a,b∈R 且 0≤a+b≤1,函数 f(x)=x2+ax+b 在[﹣ ,0]上至少存在一 个零点,则 a﹣2b 的取值范围为 .

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分) 18.已知函数 f(x)=2sin2x+cos(2x﹣ (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求 f(x)在(0, )上的单调递增区间. ) .

19.如图,已知三棱锥 P﹣ABC,PA⊥平面 ABC,∠ACB=90°,∠BAC=60°,PA=AC, M 为 PB 的中点. (Ⅰ)求证:PC⊥BC. (Ⅱ)求二面角 M﹣AC﹣B 的大小.

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20.已知函数 f(x)= x3﹣ax2+3x+b(a,b∈R) . (Ⅰ)当 a=2,b=0 时,求 f(x)在[0,3]上的值域. (Ⅱ)对任意的 b,函数 g(x)=|f(x)|﹣ 的零点不超过 4 个,求 a 的取值范 围. 21.已知点 A(﹣2,0) ,B(0,1)在椭圆 C: (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)P 是线段 AB 上的点,直线 y= x+m(m≥0)交椭圆 C 于 M、N 两点,若 △MNP 是斜边长为 的直角三角形,求直线 MN 的方程. + =1(a>b>0)上.

22.已知数列{an}满足 an>0,a1=2,且(n+1)an+12=nan2+an(n∈N*) . (Ⅰ)证明:an>1; (Ⅱ)证明: + +…+ < (n≥2) .

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2017 年浙江省绍兴市高考数学一模试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分,在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A={x∈R||x|<2},B={x∈R|x+1≥0},则 A∩B=( A. (﹣2,1] B.[﹣1,2) C.[﹣1,+∞) )

D. (﹣2,+∞)

【考点】交集及其运算. 【分析】由绝对值不等式的解法求出 A,由交集的运算求出 A∩B. 【解答】解:由题意知,A={x∈R||x|<2}={x|﹣2<x<2}=(﹣2,2) , B={x∈R|x+1≥0}={x|x≥﹣1}=[﹣1,+∞) , 则 A∩B=[﹣1,2) , 故选 B

2.已知 i 是虚数单位,复数 z= A.25 B.5 C. D.

,则 z? =(



【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由 【解答】解:∵z= ∴z? = 故选:D. = . , 求解.

3.已知 a,b 为实数,则“a=0”是“f(x)=x2+a|x|+b 为偶函数”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件



【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
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【分析】根据函数奇偶性的定义以及充分必要条件判断即可. 【解答】解:a=0 时,f(x)=x2+b 为偶函数,是充分条件, 由 f(﹣x)=(﹣x)2+a|﹣x|+b=f(x) ,得 f(x)是偶函数, 故 a=0”是“f(x)=x2+a|x|+b 为偶函数”的充分不必要条件, 故选:A.

4.已知 a>0,且 a≠1,若 ab>1,则( A.ab>b B.ab<b C.a>b D.a<b



【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】对 a 进行分类讨论,结合不等式的基本性质及指数函数的单调性判断四 个不等式关系成立与否可得答案. 【解答】解:当 a∈(0,1)时,若 ab>1,则 b<0, 则 a<b 不成立, 当 a∈(1,+∞)时,若 ab>1,则 b>0, 则 ab<b 不成立,a>b 不一定成立, 故选:A.

5.已知 p>0,q>0,随机变量 ξ 的分布列如下: ξ P 若 E(ξ)= .则 p2+q2=( A. B. C. D.1 ) p q q p

【考点】离散型随机变量及其分布列. 【分析】由随机变量 ξ 的分布列的性质列出方程组,能求出结果. 【解答】解:∵p>0,q>0,E(ξ)= . ∴由随机变量 ξ 的分布列的性质得: ,

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∴p2+q2=(q+p)2﹣2pq=1﹣ = . 故选:C.

6.已知实数 x,y 满足不等式组 a=( ) C. D.

,若 z=y﹣2x 的最大值为 7,则实数

A.﹣1 B.1

【考点】简单线性规划. 【分析】根据已知的约束条件 画出满足约束条件的可行域,再用目标函数的几 何意义,通过目标函数的最值,得到最优解,代入方程即可求解 a 值. 【解答】解:作出不等式组 表示的平面区域,如图所示:

令 z=y﹣2x,则 z 表示直线 z=y﹣2x 在 y 轴上的截距,截距越大,z 越大, 结合图象可知,当 z=y﹣2x 经过点 A 时 z 最大, 由 可知 A(﹣4,﹣1) ,

A(﹣4,﹣1)在直线 y+a=0 上,可得 a=1. 故选:B.

7.已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,过点 M(p,0)的直线交抛物线于
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A,B 两点,若 A.2 B.

=2 C.

,则

=(



D.与 p 有关

【考点】抛物线的简单性质. 【分析】设直线方程为 x=my+p,代入 y2=2px,可得 y2﹣2pmy﹣2p2=0,利用向量 条件,求出 A,B 的坐标,利用抛物线的定义,即可得出结论. 【解答】解:设直线方程为 x=my+p,代入 y2=2px,可得 y2﹣2pmy﹣2p2=0 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 y1+y2=2pm,y1y2=﹣2p2, ∵ =2 ,∴(p﹣x1,﹣y1)=2(x2﹣p,y2) ,

∴x1=﹣2x2+p,y1=﹣2y2, 可得 y2=p,y1=﹣2p, ∴x2= p,x1=2p,



=

= ,

故选 B.

8.向量 , 满足| |=4, 则 ? =( A.0 B.4 ) C.8

?( ﹣ )=0,若|λ ﹣ |的最小值为 2(λ∈R) ,

D.16

【考点】平面向量数量积的运算. 【 分 析 】 向 量 , 满 足 | |=4 , |= + = ? ( ﹣ ) =0 , 即 = . |λ ﹣

16λ2﹣2 ≥2 (λ∈R) , 化为:

﹣4≥0 对于 λ∈R 恒成立,必须△≤0,解出即可得出. ?( ﹣ )=0,即 = .

【解答】解:向量 , 满足| |=4, 若|λ ﹣ |= 化为:16λ2﹣2 ∴△= + ﹣64( =

≥2(λ∈R) ,

﹣4≥0 对于 λ∈R 恒成立, ﹣4)≤0,化为
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≤0,

∴ ? =8. 故选:C.

9.记 min{x,y}=

设 f(x)=min{x2,x3},则(



A.存在 t>0,|f(t)+f(﹣t)|>f(t)﹣f(﹣t) B.存在 t>0,|f(t)﹣f(﹣t)|>f(t)﹣f(﹣t) C.存在 t>0,|f(1+t)+f(1﹣t)|>f(1+t)+f(1﹣t) D.存在 t>0,|f(1+t)﹣f(1﹣t)|>f(1+t)﹣f(1﹣t) 【考点】分段函数的应用;函数与方程的综合运用. 【分析】求出 f(x)的解析式,对 t 的范围进行讨论,依次判断各选项左右两侧 函数的单调性和值域,从而得出答案. 【解答】解:x2﹣x3=x2(1﹣x) , ∴当 x≤1 时,x2﹣x3≥0,当 x>1 时,x2﹣x3<0, ∴f(x)= .

若 t>1,则|f(t)+f(﹣t)|=|t2+(﹣t)3|=|t2﹣t3|=t3﹣t2, |f(t)﹣f(﹣t)|=|t2+t3|=t2+t3, f(t)﹣f(﹣t)=t2﹣(﹣t)3=t2+t3, 若 0<t<1,|f(t)+f(﹣t)|=|t3+(﹣t)3|=0, |f(t)﹣f(﹣t)|=|t3+t3|=2t3, f(t)﹣f(﹣t)=t3﹣(﹣t)3=2t3, 当 t=1 时,|f(t)+f(﹣t)|=|1+(﹣1)|=0, |f(t)﹣f(﹣t)|=|1﹣(﹣1)|=2, f(t)﹣f(﹣t)=1﹣(﹣1)=2, ∴当 t>0 时,|f(t)+f(﹣t)|<f(t)﹣f(﹣t) ,|f(t)﹣f(﹣t)|=f(t) ﹣f(﹣t) , 故 A 错误,B 错误; 当 t>0 时,令 g(t)=f(1+t)+f(1﹣t)=(1+t)2+(1﹣t)3=﹣t3+4t2﹣t+2,
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则 g′(t)=﹣3t2+8t﹣1,令 g′(t)=0 得﹣3t2+8t﹣1=0, ∴△=64﹣12=52,∴g(t)有两个极值点 t1,t2, ∴g(t)在(t2,+∞)上为减函数, ∴存在 t0>t2,使得 g(t0)<0, ∴|g(t0)|>g(t0) , 故 C 正确; 令 h(t)=(1+t)﹣f(1﹣t)=(1+t)2﹣(1﹣t)3=t3﹣2t2+5t, 则 h′(t)=3t2﹣4t+5=3(t﹣ )2+ >0,

∴h(t)在(0,+∞)上为增函数,∴h(t)>h(0)=0, ∴|h(t)|=h(t) ,即|f(1+t)﹣f(1﹣t)|=f(1+t)﹣f(1﹣t) , 故 D 错误. 故选 C.

10.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,棱 AB 的中点为 P,若光线从点 P 出发, 依次经三个侧面 BCC1B1,DCC1D1,ADD1A1 反射后,落到侧面 ABB1A1(不包括边 界) ,则入射光线 PQ 与侧面 BCC1B1 所成角的正切值的范围是( )

A. ( , )

B. (

,4)

C. (

, ) D. (

, )

【考点】直线与平面所成的角. 【分析】作点 P 关于平面 BCC1B1 的对称点 P1,采用极限分析法. 【解答】解:根据线面角的定义,当入射光线在面 BCC1B1 的入射点离点 B 距离 越近,入射光线 PQ 与侧面 BCC1B1 所成角的正切值越大, 如图所示,此时 tan∠PHB= ,
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结合选项,可得入射光线 PQ 与侧面 BCC1B1 所成角的正切值的范围是( 故选:C.

, ) ,

二、填空题(本大题共 7 小题,共 36 分) 11.双曲线 ﹣ =1 的焦点坐标为 (﹣4,0) , (4,0) ,离心率为 2 .

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】根据双曲线的标准方程和离心率即可求出答案. 【解答】解:∵双曲线 ∴c2=a2+b2=4+12=16, ∴c=4, ∴双曲线 ﹣ =1 的焦点坐标为(﹣4,0) , (4,0) , ﹣ =1,

离心率 e= = =2, 故答案为: (﹣4,0) , (4,0) ,2

12.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为

2+2

,体积

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【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】如图所示,该几何体为三棱锥,P﹣ABC,其中 PA⊥底面 ABC,AC⊥BC, PA=2,AC=1,BC=2.即可得出. 【解答】解:如图所示,该几何体为三棱锥,P﹣ABC,其中 PA⊥底面 ABC,AC ⊥BC,PA=2,AC=1,BC=2. ∴该几何体的表面积 S= 体积 V= 故答案为:2+2 , . = . + + =2+2 ,

13. T( 已知等差数列{an}, 等比数列{bn}的前 n 项和为 Sn, , 若 Sn= n2+ n n∈N*) n,b1=a1,b2=a3,则 an= 3n﹣1 ,Tn= .

【考点】等比数列的前 n 项和;等差数列的前 n 项和. 【分析】利用 a1=2=b1,n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1,可得 an.b2=a3=8,公比 q=4.再 利用等比数列的求和公式即可得出. 【解答】解:a1=2=b1,

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n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1= n2+ n﹣ n=1 时也成立,∴an=3n﹣1. b2=a3=8,公比 q= =4. ∴Tn= = . .

=3n﹣1.

故答案为:3n﹣1,

14.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 A= △ABC 的面积为 【考点】正弦定理. ,则 c= 1+ ,B= .

,b=



【分析】 由已知利用三角形面积公式可求 c, 利用余弦定理可求 a, 进而可求 cosB 的值,结合 B 的范围即可求得 B 的值. 【解答】解:∵A= ∴解得:c=1+ , =2,可得:cosB= = , ,b= ,△ABC 的面积为 = bcsinA= ×c× ,

∴由余弦定理可得:a= ∵B∈(0,π) , ∴B= . , .

故答案为:1+

15. 将 3 个男同学和 3 个女同学排成一列, 若男同学甲与另外两个男同学不相邻, 则不同的排法种数为 288 . (用具体的数字作答)

【考点】排列、组合的实际应用. 【分析】根据题意,分 2 种情况讨论:①、3 个男同学均不相邻,用插空法分析 可得此时的排法数目, ②、 另外两个男同学相邻, 将这两个男同学看成一个整体, 用捆绑法分析可得此时的排法数目,进而由分类计数原理计算可得答案. 【解答】解:根据题意,分 2 种情况讨论: ①、3 个男同学均不相邻,
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将三名女同学全排列,有 A33=6 种排法,排好后有 4 个空位, 在 4 个空位中,任选 3 个,安排 3 个男同学,有 A43=24 种安排方法, 此时共有 6×24=144 种不同的排法; ②、另外两个男同学相邻,将这两个男同学看成一个整体,考虑 2 人的顺序,有 A22=2 种情况, 将三名女同学全排列,有 A33=6 种排法,排好后有 4 个空位, 在 4 个空位中,任选 2 个,安排甲和这 2 个男同学,有 A42=12 种安排方法, 此时共有 2×6×12=144 种不同的排法; 则共有 144+144=288 种不同的排法; 故答案为:288.

16.已知正实数 x,y 满足 xy+2x+3y=42,则 xy+5x+4y 的最小值为 【考点】基本不等式. 【分析】正实数 x,y 满足 xy+2x+3y=42,可得 y= xy+5x+4y=3x+y+42=3x+ 即可得出. 【解答】解:∵正实数 x,y 满足 xy+2x+3y=42,∴y= <x<21. 则 xy+5x+4y=3x+y+42=3x+ ≥3× +42=3 +31 +42=3

55



>0,解得 0<x<21.则

+31,再利用基本不等式的性质

>0,x>0,解得 0

+31=55,当且仅当 x=1,y=10 时取等号.

∴xy+5x+4y 的最小值为 55. 故答案为:55.

17.已知 a,b∈R 且 0≤a+b≤1,函数 f(x)=x2+ax+b 在[﹣ ,0]上至少存在一 个零点,则 a﹣2b 的取值范围为 【考点】二次函数的性质. 【分析】列出满足条件约束条件,画出满足条件的可行域,进而可得答案.
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[0,3]



【解答】解:由题意,要使函数 f(x)=x2+ax+b 在区间[﹣ ,0]有零点,

只要

,或



其对应的平面区域如下图所示:

则当 a=1,b=﹣1 时,a﹣2b 取最大值 3, 当 a=0,b=0 时,a﹣2b 取最小值 0, 所以 a﹣2b 的取值范围为[0,3]; 故答案为:[0,3].

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分)
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18.已知函数 f(x)=2sin2x+cos(2x﹣ (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求 f(x)在(0,

) .

)上的单调递增区间.

【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 【分析】 (Ⅰ)利用降次公式和两角和与差的公式化简,化为 y=Asin(ωx+φ)的 形式,再利用周期公式求函数的最小正周期, (Ⅱ)最后将内层函数看作整体,放到正弦函数的增区间上,解不等式得函数的 单调递增区间. 【解答】解: (Ⅰ)函数 f(x)=2sin2x+cos(2x﹣ 化简可得:f(x)=1﹣cos2x+ cos2x+ ∴函数的最小正周期 T= (Ⅱ)由 得 ≤x≤ . )上的单调递增区间为(0, ]. ,k∈Z, ) . )

sin2x=1+sin(2x﹣

∴f(x)在(0,

19.如图,已知三棱锥 P﹣ABC,PA⊥平面 ABC,∠ACB=90°,∠BAC=60°,PA=AC, M 为 PB 的中点. (Ⅰ)求证:PC⊥BC. (Ⅱ)求二面角 M﹣AC﹣B 的大小.

【考点】二面角的平面角及求法;空间中直线与直线之间的位置关系. 【分析】 (Ⅰ)通过证明 PA⊥BC,BC⊥AC.得到 BC⊥面 PAC 即可 (Ⅱ)取 AB 中点 O,连结 MO、过 O 作 HO⊥AC 于 H,连结 MH,因为 M 是 PB 的中点,∠MHO 为二面角 M﹣AC﹣B 的平面角.在 Rt△MHO 中,球 tan∠MHO
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即可. 【解答】解: (Ⅰ)证明:由 PA⊥平面 ABC,∴PA⊥BC, 又因为∠ACB=90°,即 BC⊥AC. ∴BC⊥面 PAC,∴PC⊥BC. (Ⅱ)取 AB 中点 O,连结 MO、过 O 作 HO⊥AC 于 H,连结 MH,因为 M 是 PB 的中点,所以 MO∥PA, 又因为 PA⊥面 ABC,∴MO⊥面 ABC.∴∠MHO 为二面角 M﹣AC﹣B 的平面角. 设 AC=2,则 BC=2 ,MO=1,OH= , .

在 Rt△MHO 中,tan∠MHO= 二面角 M﹣AC﹣B 的大小为 300.

20.已知函数 f(x)= x3﹣ax2+3x+b(a,b∈R) . (Ⅰ)当 a=2,b=0 时,求 f(x)在[0,3]上的值域. (Ⅱ)对任意的 b,函数 g(x)=|f(x)|﹣ 的零点不超过 4 个,求 a 的取值范 围. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 【分析】 (Ⅰ)当 a=2,b=0 时,求得 f(x) ,求导,利用导数求得 f(x)单调区 间,根据函数的单调性即可求得[0,3]上的值域; (Ⅱ)由 f′(x)=x2﹣2ax+3,则△=4a2﹣12,根据△的取值范围,利用韦达定理 及函数的单调性,即可求得 a 的取值范围. 【解答】解: (Ⅰ)当 a=2,b=0 时,f(x)= x3﹣2x2+3x,求导,f′(x)=x2﹣4x+3= (x﹣1) (x﹣3) ,
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当 x∈(0,1)时,f′(x)>0,故函数 f(x)在(0,1)上单调递增, 当 x∈(1,3)时,f′(x)<0,故函数 f(x)在(1,3)上单调递减, 由 f(0)=f(0)=0,f(1)= , ∴f(x)在[0,3]上的值域为[0, ]; (Ⅱ)由 f′(x)=x2﹣2ax+3,则△=4a2﹣12, ①当△≤0,即 a2≤3 时,f′(x)≥0,f(x)在 R 上单调递增,满足题意, ②当△>0,即 a2>3 时,方程 f′(x)=0 有两根,设两根为 x1,x2,且 x1<x2, 则 x1+x2=2a,x1x2=3, 则 f(x)在(﹣∞,x1) , (x2,+∞)上单调递增, 在(x1,x2)上单调递减, 由题意可知丨 f(x1)﹣f(x2)丨≤ , ∴丨 ﹣a(x12﹣x22)+3(x1﹣x2)丨≤ , ≤ ,解得:3<a2≤4,

化简得: (a2﹣3)

综合①②,可得 a2≤4, 解得:﹣2≤a≤2. a 的取值范围[﹣2.2].

21.已知点 A(﹣2,0) ,B(0,1)在椭圆 C: (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

+

=1(a>b>0)上.

(Ⅱ)P 是线段 AB 上的点,直线 y= x+m(m≥0)交椭圆 C 于 M、N 两点,若 △MNP 是斜边长为 的直角三角形,求直线 MN 的方程.

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【考点】直线与椭圆的位置关系. 【分析】 (Ⅰ)由直线可知:椭圆的焦点在 x 轴上,又过点 A,B,即可求得 a 和 b 的值,求得椭圆方程; (Ⅱ)将直线方程代入椭圆方程,由韦达定理及弦长公式求得丨 MN 丨,分类, 当 MN 为斜边时, = ,即可求得 m=0,满足题意,当 MN 为直角边 丨 m﹣1 丨, 利用勾股定理即可求得 m 的

时, 两平行线 AB 与 MN 的距离 d= 值,求得直线方程.

【解答】解: (Ⅰ)由题意可知:椭圆 C: 由点 A(﹣2,0) ,B(0,1) , 则 a=2,b=1, ∴椭圆的标准方程: ;

+

=1(a>b>0)焦点在 x 轴上,

(Ⅱ)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 则 ,消去 y,整理得 x2+mx﹣1=0,

则△=2﹣m2>0,x1+x2=﹣2m,x1x2=2m2﹣2, 则丨 MN 丨= 丨 x1﹣x2 丨= = , ,解得:m=0,

①当 MN 为斜边时, 满足△>0,

此时直线 MN 为直径的圆方程为 x2+y2= , 点 A(﹣2,0)B(0,1)分别在圆外和圆内,即在线段 AB 上存在点 P. 此时直线 MN 的方程诶 y= x,满足题意, ②当 MN 为直角边时,两平行线 AB 与 MN 的距离 d= ∴d2+丨 MN 丨 2= 丨 m﹣1 丨 2+(10﹣5m2)=10, 即 21m2+8m﹣4=0, 丨 m﹣1 丨,

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解得:m= ,m=﹣ (舍) , 由△>0,则 m= , 过点 A 作直线 MN:y= x+ 的垂线,可得满足坐标为(﹣ 圆外, 即在线段 AB 上存在点 P, ∴直线 MN 的方程为 y= x+ ,符合题意, 综上可知:直线 MN 的方程为:y= x 或 y= x+ . ,﹣ ) ,垂足在椭

22.已知数列{an}满足 an>0,a1=2,且(n+1)an+12=nan2+an(n∈N*) . (Ⅰ)证明:an>1; (Ⅱ)证明: + +…+ < (n≥2) .

【考点】数列与不等式的综合;数列递推式. 【分析】 (Ⅰ)根据数列的递推关系可得( n+1 ) (an+1+1) ( an+1 ﹣1) = (an﹣1 ) (nan+n+1) ,再根据 an>0,可得 an+1﹣1 与 an﹣1 同号,问题得以证明, (Ⅱ) 先判断出 1<an≤2, 再得到 an2≤ ﹣ )+( ﹣ + n≥2, , 利用放缩法得到 ≤2 (

) ,再分别取 n=2,3,以及 n≥4 即可证明.

【解答】证明: (Ⅰ)由题意得(n+1)an+12﹣(n+1)=nan2﹣n+an﹣1, ∴(n+1) (an+1+1) (an+1﹣1)=(an﹣1) (nan+n+1) , 由 an>0,n∈N*, ∴(n+1) (an+1+1)>0,nan+n+1>0, ∴an+1﹣1 与 an﹣1 同号, ∵a1﹣1=1>0, ∴an>1; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,故(n+1)an+12=nan2+an<(n+1)an2, ∴an+1<an,1<an≤2,
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又由题意可得 an=(n+1)an+12﹣nan2, ∴a1=2a22﹣a12,a2=3a32﹣2a22,…,an=(n+1)an+12﹣nan2, 相加可得 a1+a2+…+an=(n+1)an+12﹣4<2n, ∴an+12≤ ∴ ≤2( ,即 an2≤ + )≤2( ,n≥2, ﹣ )+( ﹣ + ) ,n≥2,

当 n=2 时,

= < ,

当 n=3 时,

+





< ,

当 n≥4 时, + < ,

+

+…+

<2 ( + +

+ ) + ( +

=1+ + + + + ﹣ )

从而,原命题得证

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2017 年 3 月 30 日

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