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高三理科数学一轮总复习第六章 数列

第六章 高考导航 数 列 考试要求 1.数列的概念和简单表示法 ( 1)了解数列的概念和几种简单的表 示方法(列表、图象、通项公式) ; 重难点击 本章重点:1.等差数列、等比 数列的定义、通项公式和前 n 项 命题展望 仍然会以客观题考查等差 数列与等比数列的通项公式和 前 n 项和公式及性质,在解答 题中,会保持以前的风格,注 重数列与其他分支的综合能力 的考查,在高考中,数列常考 常新,其主要原因是它作为一 个特殊函数,使它可以与函数、 不等式、解析几何、三角函数 等综合起来,命出开放性、探 索性强的问题,更体现了知识 (2) 和公式及有关性质; 2. 注重提炼一些重要的思想和方 法,如:观察法、累加法、累乘 了解数列是自变量为正整数的一类函数. 2.等差数列、等比数列 (1)理解等差数列、等比数列的概念; 法、待定系数法、倒序相加求和 法、错位相减求和法、裂项相消 ( 2)掌握等差数列、等比数列的通项 公式与前 n 项和公式; ( 3)能在具体问题情境中识别数列的 等差关系或等比关系,并能用有关知识解 决相应的问题; ( 4)了解等差数列与一次函数、等比 数列与指数函数的关系. 求和法、分组求和法、函数与方 程思想、数学模型思想以及离散 与连续的关系. 本章难点: 1. 数列概念的理 解;2.等差等比数列性质的运用; 交叉命题原则得以贯彻;又因 3.数列通项与求和方法的运用. 为数列与生产、生活的联系, 使数列应用题也倍受欢迎. 知识网络 6.1 数列的概念与简单表示法 典例精析 题型一 归纳、猜想法求数列通项 【例 1】根据下列数列的前几项,分别写出它们的一个通项公式: (1)7,77,777,7 777,? 2 4 6 8 (2) ,- , ,- ,? 3 15 35 63 (3)1,3,3,5,5,7,7,9,9,? 7 7 7 7 【解析】(1)将数列变形为 ·(10-1), (102-1), (103-1),?, (10n-1), 9 9 9 9 7 故 an= (10n-1). 9 (2)分开观察,正负号由(-1)n +1 确定,分子是偶数 2n,分母是 1× 3,3× 5,5× 7, ?,(2n-1)(2n+1),故 数列的通项公式可写成 an =(-1)n +1 2n . ( 2n ? 1)( 2n ? 1) (3)将已知数列变为 1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,?. 故数列的通项公式为 an=n+ 1 ? ( ?1) n . 2 【点拨】 联想与转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法, 观察归纳是由特殊到一般的有效手段, 本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项序数的一般规律,从而求得通项. 【变式训练 1】如下表定义函数 f(x): x f(x) 1 5 2 4 3 3 4 1 5 2 ) 对于数列{an},a1=4,an=f(an-1),n=2,3,4,?,则 a2 008 的值是( A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】a1=4,a2=1,a3=5,a4=2,a5=4,?,可得 an+4=an. 所以 a2 008=a4=2,故选 B. ? ? S ( n ? 1), 题型二 应用 an= ? 求数列通项 S n ? S n?1 ( n ? 2) ? ? 1 【例 2】已知数列{an}的前 n 项和 Sn,分别求其通项公式: (1)Sn=3n-2; 1 (2)Sn= (an+2)2 (an>0). 8 【解析】(1)当 n=1 时,a1=S1=31-2=1, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n 1-2)=2× 3n 1, - - 又 a1=1 不适合上式, ? ?1(n ? 1), 故 an= ? n?1 ? ?2 ? 3 (n ? 2) 1 (2)当 n=1 时,a1=S1= (a1+2)2,解得 a1=2, 8 1 1 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= (an+2)2- (an-1+2)2, 8 8 所以(an-2)2-(an-1+2)2=0,所以(an+an-1)(an-an-1-4)=0, 又 an>0,所以 an-an-1=4, 可知{an}为等差数列,公差为 4, 所以 an=a1+(n-1)d=2+(n-1)·4=4n-2, a1=2 也适合上式,故 an=4n-2. ? ? S ( n ? 1), 【点拨】本例的关键是应用 an= ? 求数列的通项,特别要注意验证 a1 的值是否满足 S ? S n?1 ( n ? 2) ? ? n 1 “n≥2”的一般性通项公式. 【变式训练 2】已知 a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),则数列{an}的通项公式是( A.2n-1 n+1 n-1 B.( ) n an+1 n+1 = . an n C.n2 D.n ) 【解析】由 an=n(an+1-an)? an an-1 a2 n n-1 3 2 所以 an= × × ?× = × × ?× × =n,故选 D. a1 n-1 n-2 2 1 an-1 an-2 题型三 利用递推关系求数列的通项 【例 3】已知在数列{an}中 a1=1,求满足下列条件的数列的通项公式: an + (1)an+1= ;(2)an+1=2an+2n 1. 1+2an 【解析】(1)因为对于一切 n∈N*,an≠0, an 1 1 1 1 因此由 an+1= 得 = +2,即 - =2. 1+2an an+1 an an+1 an 1 1 1 1 所以{ }是等差数列, = +(n-1)·2=2n-1,即 an= . an an a1 2n-1 an+1 an an+1 an (2)根据已知条件得 n+1= n+1,即 n+1- n=1. 2 2 2 2 2n-1 an an 1 - 所以数列{ n}是等差数列, n= +(