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2.5等比数列前n项和公式的推导_图文

细节决定成败 态度决定一切

复习:等比数列 {an} 复习:
等比数列: (1) 等比数列: (2) 通项公式 通项公式:
(3)a , G

an+1 an =q (定值) n-1 an=a1? q (a ≠ 0, q ≠ 0).
1

, b 成等比数列

G

2

= ab , ( ab > 0 )

(4) 重要性质 重要性质:

an= am?qn-m
m+n=p+q

an?am = ap?aq

注:以上 m, n, p, q 均为自然数

预备知识: 预备知识:

Sn = a1 + a2 +…+an Sn-1=a1+a2+…+an-1(n >2) an= Sn – Sn-1 (n 》2)

问题:如何来求麦子的总量? 问题:如何来求麦子的总量?
即求: 即求:1,2,22,······,263的和; , 的和; 令:S 令:S64=1+2+22+······+262+263 得: 2S64= 2+22+23+······ +263+264


错位相减得: 错位相减得: S64= 264 – 1 > 1.8 ×1019
以小麦千粒重为40麦子质量超过7000亿吨! 以小麦千粒重为40麦子质量超过7000亿吨! 40麦子质量超过7000亿吨
麦粒总质量达7000亿吨——国王是拿不出的。 国王是拿不出的。 麦粒总质量达7000亿吨 7000亿吨 国王是拿不出的

等比数列的前n项和
设等比数列 a1 , a 2 , a 3 , L , a n , L

它的前n项和是 即

S n = a1 + a2 + a3 + L + an
2 n?2

S n = a1 + a1q + a1q + L + a1q

+ a1q

n ?1

.
n



⑴×q, 得 q,

qS n =
⑴-⑵,得 由此得q≠1时,

a1q + a1q +L+ a1q
2

n?2

(1 ? q ) ? S n

+ a1q + a1q .
n

n?1



a1 ? 1 ? q n Sn = 1? q

(

= a1 ? a1 q ,

)

说明:这种求和方法称为错位相减法

当q≠1时,

a1 ? 1 ? q n Sn = 1? q

(

)



a1q n = a1q n ?1 ? q = a n q ,
a1 ? anq Sn = 1? q

(

)



显然,当q=1时,

S n = na1

等比数列的前n项和表述为:

Sn =

{

na1 ,

( q=1).
n

a1 ? an q a1 ? 1 ? q = , 1? q 1? q

(

)

(q≠1).

合比定理: 合比定理:
(一) 用等比定理推导 因为 所以

当 q = 1 时 S n = n a1

Sn = a1 + a2 + a3 + …….+ an-1 + an = a1 + a1q + a1q2 +…..+ a1qn-2 + a1qn-1 = a1+ q ( a1 + a1q + ….+ a1qn-3 + a1qn-2 ) = a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn – an )
a1 ( 1 – q n ) 1–q

Sn =

(q≠ 1)
递推公式: 递推公式:

因式分解: 因式分解: Sn= a1+a1q +a1q2 +…+a1qn-2 + a1qn-1 = a1(1+q +q2 +…+qn-2 + qn-1)

证法一: 证法一: Sn=a1+a2+…+ an =a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1 ……① ① qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1 +a1qn ……② ② (1 ? q n ) a ① - ②得 Sn-qSn=a1-a1qn ? sn = 1 1? q 证法二: 证法二: Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1 =a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2) a1 ? a n q =a1+q(Sn-an) ? sn = 1? q

a2 a3 证法三: 证法三: Q = =L= a1 a 2 a2 + a3 + L + an ? =q ? a1 + a 2 + L + a n ?1

an =q a n ?1 S n ? a1 a1 ? a n q = q ? sn = 1? q Sn ? an

例1、求下列等比数列前8项的和
(1 ) 1 1 1 , , ,L 2 4 8

( 2 ) a 1 = 27 , a 9 =

1 ,q < 0 243

解:

1 1 ,q = ( 1 ) 因为 a = 1 2 2
Sn = 1? ? 1? 1 ? ?? ? 2? ? 2? ? 1? 1? 1 2
8?

所 当n = 8时 以
? ? 5 ? = 2 5 2 6 5

1 1 = 2 × q8 7 (2 由 1 = 27, a9 = ) a ,可 : 得 2 3 4 243

又由q < 0,可得 :

q=?

于是当n = 8时

8 ? ? 1? ? 2 ? ??? ? ? 7 1 ? 3? ? ? 6 0 ? ? =1 4 Sn = 1 8 1 1? (? ) 3

1 3

例 、在等比数列{a n } 2 中,求满足下列条件的 量:
(1) a 1 = a 3 = 2 , 求 s n

( 3 ) a 1 = 1, a n = ? 512 , s n = ? 341 .求 q 和 n
1 (2 ) Q q 1 2 n = 5 a 解: 1) Qa= =, a3 =,21 = ?an ( a (3)将 1 =1 an = ?512,2 n = ?341 入 n = a11?q q 可 , S 代 S 得 ∴q2 = 1 q n ? 1±1 即 = a1 1 ? q n 说明:1.1?q(?512n)q 一定要注意q的取值,应把它 代入 a n = 在 用 , s式= a 1利 公 , 得: ? =1 , ? 当q341 = 作 列 一4 数解考,L ?2 Sn = na1 = 2n 时 4 数1? q 要 . 来12:q = 所 为 素 2,2, , 以 常 列 得 q。 1 为 第 虑 a 5 = a1 q = × 2 = 8 在 2 ?1量a1,qn ? 512Sn中 n (只 三 个 , 所? q 2[ ?( 1× ] 知 可 二 ) 2. a qn变 a1 (1以,)n, an , 1=?1,?2)n?1 求 n , 因 an = 五 为 1 1 q 并? 2n 据1?体 意 1?(?1 且5 要 择 当 公 。 ×n1= 10 根 具 题 ,选 ) 适 的 式 解 : 得 1 31 s5 = 2 = × 25 ? 1 = 1? 2 2 2

1 ( 2 ) q = 2 , n = 5 , a 1 = .求 a n 和 s n 2

(

)

当q = ?1 S = 时,

(

)

(

=

)

=1? (?1)

例 :商场今年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量 3某
比 一 的 售 增 10% 那 从 年 , 约 几 上 年 销 量 加 , 么 今 起 大 年 可 总 售 达 30000台 结 保 到 位 ? 使 销 量 到 ( 果 留 个 )
5000台 5000×(1+10%)=5000×1.1台 5000×(1+10%) ×(1+10%)

分析:第1年产量为 第2年产量为 第3年产量为

……
n ?1

= 5000 × 1.12台

第n年产量为

5000 × 1.1 台

则n年内的总产量为:

5 + 5 × 1.1 + 5 ×1.12 + L + 5 × 1.1n ?1

例 :商场今年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量 3某
比 一 的 售 增 10% 那 从 年 , 约 几 上 年 销 量 加 , 么 今 起 大 年 可 总 售 达 30000台 结 保 到 位 ? 使 销 量 到 ( 果 留 个 )
分析:本例相当于在等 比数列{a n } ,求满足 S n = 30000的n值。
解: 由题意可知,从今年起 ,每年的销售量成等比 数列 a1 = 5000, q = (1 + 10%) = 1.1, S n = 30000

由公式得: 30000 =
整理得 1 . 1 n = 1 . 6

5000 (1 ? 1 . 1 n ) 1 ?1 .1

两边取对数,得

n lg 1 . 1 = lg 1 . 6 ,

用计算器算得

n=

lg 1 . 1 lg 1 . 6



0 .2 0 . 041

≈5

答:从今年起,大约 5年可使总销售量达到 30000台。

如果生命是树,那么理想 是根,勤奋是叶,毅力是 干,成功是果。如果能在 奋斗目标的指引下,勤奋、 执著地去追索成功,你的 生命之树才会开花结果。

复习
等差数列 等比数列
an+1 =q an

定义 通项 公式 性质

an +1 ? an = d
a n = a1 + ( n ? 1)d

an = a1q
(m, n, r, s ∈ N*)

n?1

a n = a m + ( n ? m) d
m+ n = r + s

an = amqn?m

am + an = ar + as

aman = ar as

Sn

n(n ? 1) Sn = na1 + d 2

n(a1 + an ) Sn = 2

等比数列前n项和
S n = a1 + a2 + a3 + L + an ?1 + an 这种求和的方法,2 Sn = a1 + a1q + a1q 2 + La1q n? + a1q n?1 就是错位相减法!



qSn = a1q + a1q 2 + a1q3 + L+ a1q n?1 + a1q n ②

①—② ,得
(1 ? q ) S n = a1 + 0 + L + 0 ? a1q
(1 ? q ) S n = a1 ? a1q n
n

等比数列前n项和
? na1 (q =1) ? a1(1? qn ) Sn = ? (q ≠ 1) ? 1? q ?

q ≠ 1时,

注意:

a1 ? an q a1 ? a1q Sn = = 1? q 1? q
n

1. 使用公式求和时,需注意对 q = 1和 q ≠ 1 的情况加以讨论;

2. a1 , a n , n, q , S n中, 知三求二 .

等比数列的前n项和公式
已知 a1 、n、 q时 已知 a1 、an、 q时

? a1 (1 ? q n ) ( q ≠ 1) ? ? 1? q Sn = ? ?na ( q = 1) 1 ? ?

? a1 ? an q (q ≠ 1) ? 1? q Sn = ? ?na1 (q = 1) ?

等比数列前n项和
a1 (1 ? q n ) a1 n a1 3. 当q ≠ 1时, S n = =? q + . 1? q 1? q 1? q

特点: 可以看成是一个指数式和一个常数 : 之和,并且其系数与该常数是互为相反数. 即

Sn = aq ? a(a ≠ 0, q ≠ 0, n∈ N ) n 如:若Sn = 3q + a,求a的值。
n *

4. S n是等比数列的前n项和, 则S m , S 2 m ? S m , S3m ? S 2 m 也成等比数列.

等比数列前n项和公式的推导欣赏
(一) 用等比性质推导

Q

当q ≠ 1时,



当 q = 1 时 Sn = n a1

等比数列前n项和公式的推导欣赏
(二)借助和式的代数特征进行恒等变形

S n = a1 + a 2 + a3 + ... + a n
= a1 + q (a1 + a 2 + a3 + ... + a n ?1 )

= a1 + q ( S n ? a n )
当q≠1时, 当q=1时,
a1 ? a n q Sn = 1? q

S n = na1

等比数列前n项和公式 等比数列前 项和公式 你了解多少? 你了解多少?

等比数列前n项和公式: (1) 等比数列前n项和公式: 利用“错位相减法”推 na 1 (q=1) 导 na 1 (q=1) Sn= Sn= n

{

a1(1? q ) (q=1)
1-q

{

a1 ? anq
1-q

(q=1)

等比数列前n项和公式的应用: (2) 等比数列前n项和公式的应用: 1.在使用公式时.注意q的取值是利用公式的前提 是利用公式的前提; 1.在使用公式时.注意q的取值是利用公式的前提; 在使用公式时 2.在使用公式时,要根据题意,适当选择公式。 在使用公式时,要根据题意,适当选择公式。

1 、求等比数列, x, x2 , x3,L 1 的前 项和 n. n s
2、 家 厂 年 销 量 a万 , 划 以 10内 某 电 去 的 售 是 台 计 在 后 每 年 上 年 加10% 问 今 起10年 该 电 一 比 一 增 , 从 年 内 家 厂 销 总 是 少 台 的 售 量 多 万

3 (1)在 比 列{an} ,a1 + an = 66, a2an?1 = 128, 、 等 数 中 sn = 126, 求n、q (2)设 比 列{an} 前n项 为sn , 若sn = 14, 等 数 的 和 s2n = 126, 求s3n

1 、求等比数列, x, x2, x3,L 1 的前 项和 n ? n s
解:由已知条件得, a1 = 1, q = x

当 x ≠ 1 时, S n = 当

x = 1 时, S n = na1 = n
( x ≠ 1) ( x = 1)

1× (1? x n ) 1? x

=

1? x n 1? x

? 1? x n ? 1? x 所以 S n = ? ?n ?

变 : 数 1, 2 x, 3 x2 , 4 x3,L, nxn?1 式 求 列 的 n项 sn ? 前 和

2、 家 厂 年 销 量 a万 , 划 以 10内 某 电 去 的 售 是 台 计 在 后 每 年 上 年 加10% 问 今 起10年 该 电 一 比 一 增 , 从 年 内 家 厂 销 总 是 少 台? 的 售 量 多 万
解:由题意得,从今年 起,每年家电厂的销售 总量组成等比数列。

a1 = a(1 + 10%) = 1.1a,q = 1 + 10% = 1.1,n = 10

所以 S 10 =

1 . 1 a × (1 ? 1 . 110 ) 1?1 .1

= 1 . 1a (1 . 110 ? 1)

答:从今年起 10年内该家电厂的销售总 量是1.1a (1.110 ? 1)万台.

?a1 + an = 66 (1 解:)? ?a2 an ?1 = 128
2

3 (1)在 比 列{an} ,a1 + an = 66, a2an?1 = 128, 、 等 数 中 sn = 126, 求n、q
?a1 + an = 66 即? ?a1an = 128

? a1 = 2 ? a1 = 64 或? ∴ a1 , a n是方程 x ? 66 x + 128 = 0的两根 解得: ? ? a n = 64 ? a n = 2

Qa1 ≠an ,∴q ≠ 1
2 ? 64 q 1? q



若 a1 = 2 , a n = 64 , 则 s n = 即 = 126 , 即 q = 2

a1 ? a n q 1? q

= 126

又 Q a n = a1 q n ?1 ,∴ 64 = 2 × 2 n ?1 ,∴ n = 6


若 a1 = 64 , a n = 2 , 则同理可得 q =

1 2

,n = 6

综上所述 , n = 6 , q =

1 2

或2

(2)设 比 列{an} 前n项 为sn , 若sn = 14, 等 数 的 和 s2n = 126, 求s3n
解:若 q = 1, 则 s n = na1 = 14 , s 2 n = 2 na1 = 126 ∴q ≠1 矛盾

?s = a1 1 ? q n = 14 ? n 1?q ∴? a1 2n ?s2n = 1?q 1 ? q = 126 ?

(

(

)



)


n

两式相比得: + q = 9 ∴ q = 8 1
n



代入

a1 得: 1?q

= ?2
a1 1? q

∴ s3 n =

a1 1? q

(1 ? q ) =
3n

[1 ? (q ) ]= ?2(1 ? 8 ) = 1022
n 3 3


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