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4第四讲 概率与统计 文科


第四讲

概率与统计
第一节 概率

考试要求: (1)事件与概率① 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意 义,了解频率与概率的区别.② 了解两个互斥事件的概率加法公式.(2)古典概型 ①理解古典概 型及其概率计算公式.②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.(3)随机数与 几何概型①了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率.②了解几何概型的意义.

题型一 古典概率
例 1 已知集合 A ? {?2,0,1,3}, 在平面直角坐标系中,点 M ( x , y ) 的坐标 x ? A, y ? A .

?x ? y ? 5 ? 0 ? (1)求点 M 不在 x 轴上的概率; (2)求点 M 正好落在区域 ? x ? 0 上的概率. ?y ? 0 ?
点拨: 本题主要考查概率的概念和古典概率的求法以及不等式组表示平面区域的考查. 解. 集合 A={-2,0,1,3}, 点 M ( x , y ) 的坐标 x ? A, y ? A ,

(-2,-2) , (-2,0) , (-2,1) , (-2,3) ; (0,-2) , ? 点 M 的坐标共有: 4 ? 4 ? 16 个,分别是: (0,0) , (0,1) , (0,3) ; (1,-2) , (1,0) , (1,1) , (1,3) ; (3,-2) , (3,0) , (3,1) , (3,3) (1)点 M 不在 x 轴上的坐标共有 12 种: (-2,-2) , (-2,0) , (-2,1) , (-2,3) ; (1,-2) , (1,0) , (1,1) , (1,3) ; (3,-2) , (3,0) , (3,1) , (3,3) 所以点 M 不在 x 轴上的概率是 P 1 ?

12 3 ? . 16 4

?x ? y ? 5 ? 0 ? (2)点 M 正好落在区域 ? x ? 0 上的坐标共有 3 种: (1,1) , (1,3) , (3,1). ?y ? 0 ?
故 M 正好落在该区域上的概率为 P2 ?

3 16

易错点: 事件总数及所求事件个数的计算不准确. 变式与引申 1:曲线 C 的方程为

x2 y2 ? =1,其中 m、n 是将一枚骰子先后投掷两次所得点数,事件 A= m2 n2


{方程

x2 y2 ? =1 表示焦点在 x 轴上的椭 圆} ,那么 P ( A) = m2 n2

例 2 一个袋中有 4 个大小相同的小球,其中红球 1 个,白球 2 个,黑球 1 个,现从袋中有放回 地取球,每次随机取一个,求: (1)连续取两次都是白球的概率; (2)若取一个红球记 2 分,取一个白球记 1 分,取一个黑球记 0 分,连续取三次分数之和为 4 分的概率.
1

解: (1)设连续取两次的事件总数为 M :(红,红),(红,白 1),(红,白 2),(红,黑), (白 1,红) , (白 1,白 1) , (白 1,白 2) , (白 1,黑) ; (白 2,红) , (白 2,白 1) , (白 2,白 2) , (白 2,黑) , (黑,红), (黑,白 1),(黑,白 2),(黑,黑),所以 M ? 16 . 设事件 A:连续取两次都是白球, (白 1,白 1) , (白 1,白 2) , (白 2,白 1) , (白 2,白 2) 共 4 个, 所以, P ( A) ?

4 1 ? . 16 4

(2)连续取三次的基本事件总数为 N: (红,红,红) , (红,红,白 1) , (红,红,白 2) , (红, 红,黑) ,有 4 个; (红,白 1,红) , (红,白 1,白 1) ,等等也是 4 个,如此, N ? 64 个; 设事件 B:连续取三次分数之和为 4 分;因为取一个红球记 2 分,取一个白球记 1 分,取一个黑球 记 0 分,则连续取三次分数之和为 4 分的有如下基本事件: (红,白 1,白 1) , (红,白 1,白 2) , (红,白 2,白 1) , (红,白 2,白 2) , (白 1,红,白 1) , (白 1,红,白 2) , (白 2,红,白 1) , (白 2,红,白 2) , (白 1,白 1,红) , (白 1,白 2,红) , (白 2,白 1,红) , (白 2,白 2,红) , (红,红,黑) , (红,黑,红) , (黑,红,红) , 共 15 个基本事件, 所以, P( B) ?

15 . 64

变式与引申 2: 先后随机投掷 2 枚正方体骰子,其中 x 表示第 1枚骰子出现的点数, y 表
111

示第 2 枚骰子出现的点数.
2 ⑴求点 P( x, y) 在直线 y ? x ? 1 上的概率; ⑵求点 P( x, y) 满足 y ? 4 x 的概率.

例 3 某商场举行抽奖活动,从装有编号为 0,1,2,3 四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球,两 个小球号码相加之和等于 5 中一等奖,等于 4 中二等奖,等于 3 中三等奖.则 (1)中三等奖的概率= ; (2)中奖的概率= . 解:两个小球号码相加之和等于 3 中三等奖,两个小球号码相加之和不小于 3 中奖, 设“中三等奖”的事件为 A, “中奖”的事件为 B,从四个小球任选两个共有 (0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)六种不同的方法. (1)两个小球号码相加之和等于 3 的取法有 2 种: (0,3) 、 (1,2) , 故中三等奖的概率 P 1 ?
2 6

? .
3

1

(2)方法一: 两个小球号码相加之和等于 3 的取法有 2 种: (0,3) 、 (1,2) ; 两个小球号码相加之和等于 4 的取法有 1 种: (1,3) ; 两个小球号码相加之和等于 2 的取法有 1 种: (2,3) ; 故中奖的概率 P ? ? ? 2 ?
6 6 6 2 1 1 4 6

? .
3

2

方法二: 两个小球号码相加之和等于 1 的取法有 1 种: (0,1) ; 两个小球号码相加之和等于 2 的取法有 1 种: (0,2) ; 故中奖的概率 P2 ? 1 ?
2 6 2

? .
3

变式与引申 3: 甲、乙两校各有 3 名教师报名支教,其中甲校 2 男 1 女,乙校 1 男 2 女.
2

(I)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名教师性 别相同的概率; (II)若从报名的 6 名教师中任选 2 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名教师来自同一学 校的概率. 题型二 几何概率 例 4 在区间 [ ?

1 ? ? , ] 上随机取一个数 x , 即 x ? [ ? , ] 时, 要使 cos x 的值介于 0 到 2 2 2 2 2 ? 1 ? ? ? ? 之间, 需使 ? ? x ? ? 或 ? x ? , 区间长度为 , 由几何概型知 cos x 的值介于 0 到 之 3 2 2 3 3 2
解: 在区间 [ ?

1 , ] 上随机取一个数 x , cos x 的值介于 0 到 之间的概率为( 2 2 2 1 2 1 2 A. B. C. D. 3 ? 2 3

? ?

).

? ?

?
1 间的概率为 3 ?

?

3

故选 A.

易错点: cos x 的值介于 0 到

1 之间时, x 值的计算. 2

变式与引申 4: 取一根 5 米长的绳子,拉直后随机在某一位置剪断,剪得的 2 段长都不小于 2 米的概率为 . 例 5 已知函数 的概率是

f ( x) ? ? x 2 ? ax ? b ,



a, b

都是从区间[0,4]任取的一个数,则 f (1) ? 0

解: 此题为几何概型,分母为正方形的面积 16,分子为三角形的面积= ∴所求的概率=

1 9 ? 3? 3 ? 2 2

9 32

易错点: 不知道 f (1) ? 0 所表示的含义. 变式与引申 5: 设有关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 . (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数, b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数,则上述方程 有实根的概率 .
2 2

3] 任取的一个数, b 是从区间 [0, 2] 任取的一个数,则上述方程有实根的概 (2)若 a 是从区间 [0,
率 .

变式与引申 6. 已知 ? ? ( x, y ) x ? y ? 10, x ? 0, y ? 0 , A ? ( x, y ) x ? 5, y ? 0, x ? y ? 0 , 若向区域 ? 上随机投 1 个点,求这个点落入区域 A 的概率= . 本节主要考查: (1)古典概型及其概率计算公式; (2) 几何概型的意义及其计算公式; (3)互斥事件的 概率加法公式计算一些事件的概率. 点评: (1)古典概型应注意用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率; (2) 几何概型应注意题目中求的是相应的长度比,还是面积比,体积比;
3

?

?

?

?

第二节 统计、统计案例
统计与统计案例是高中数学的重要学习内容,它是一种处理问题的方法,在工农业生产和社 会生活中有着广泛的应用, 渗透到社会的方方面面, 统计的基础知识成为每个公民的必备常识. 由 于中学数学中所学习统计与统计案例内容是基础的,高考对这一部分内容的考查注重考查基础知 识和基本方法.该部分在高考试卷中,一般是 2—3 个小题或一个解答题,难度值在 0.5~0.8.

考试要求:统计:(1)随机抽样:① 理解随机抽样的必要性和重要性.② 会用简单随机抽 样方法从总体中抽取样本;了解分层抽样和系统抽样方法.(2):用样本估计总体① 了解分布的 意义和作用,会列频率分布表,会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,理解它们各自的特 点.② 理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差.③ 能从样本数据中提取基本的数 字特征(如平均数、标准差),并给出合理的解释.④ 会用样本的频率分布估计总体分布,会用 样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想.⑤ 会用随机抽样的 基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.(3)变量的相关性:① 会作两个有关 联变量的数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关关系.② 了解最小二乘法的思想,能根 据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.
统计案例:了解下列一些常见的统计方法,并能应用这些方法解决一些实际问题.(1)独立 性检验了解独立性检验(只要求 2×2 列联表)的基本思想、方法及其简单应用.(2)回归分析: 了解回归的基本思想、方法及其简单应用. 题型一 抽样方法 例 1(1)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150、150、400、300 名学生,为了解学生的就 业倾向,用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取 40 名学生进行调查,应在丙专业抽取的 学生人数为 . (2)利用简单随机抽样的方法,从 n 个个体(n>13)中抽取 13 个个体,依次抽取,若第二次 抽取后,余下的每个个体被抽取的概率为

1 ,则在整个抽样过程中,每个个体被抽取的概率为 36

点拨: (1)在分层抽样中应注意总体中各个层次人数的比例,在样本中应保持比例不变(2)简 单随机抽样过程中,每一次的抽取,剩下的个体被抽到的概率都是一样的,所以应先求 n. 解: (1)总体甲:乙:丙:丁=3:3:8:6,所以样本中丙专业抽取的学生人数= 40 ?

8 =16 3+3+8+6

(2)由题意得:

11 1 ? 解得 n ? 398 , n ? 2 36

∴在整个抽样过程中,每个个体被抽取的概率为

13 . 398

易错点:(1) 把样本中的各层次的比例算错.(2)误认为在简单随机抽样的每一次抽取中个体 被抽到的概率不同导致错误. 变式与引申 1:某公司生产三种型号的轿车,产量分别为 1200 辆,6000 辆和 2000 辆.为检验该公 司的产品质量,现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取 ____,
4

____, ____辆. 变式与引申 2:经问卷调查,某班学生对摄影分别执“喜欢” 、 “不喜欢”和“一般”三种态度,其 中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多 12 人,按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影, 如果选出的 5 位“喜欢”摄影的同学、1 位“不喜欢”摄影的同学和 3 位执“一般”态度的同学, 那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多 人. 题型二 统计图表问题 例 2 从一条生产线上每隔 30 分钟取一件产品,共取了 n 件,测得其产品尺寸后,画得其频率 直方图如下.尺寸在[15,45)内的频数为 46. 频率 组距 (1)求 n 的值; (2)求尺寸在[20,25)内产品的个数. 0.04 点拨:用样本频率分布去估计总体分布. 0.016 解:(1)由题意得,尺寸在[10,15)内的 概率 是 5×0.016=0.08.所以尺寸在[15,45)内的概率 产品尺寸

46 10 15 20 25 30 35 40 45 =0.92,∴n=50. n 图 4 ? 2 ?1 (2)尺寸在[20,25)内的概率是 0.04×5=0.2. 故在该区间内产品的个数是 50×0.2=10(个) 易错点:在直方图中频率每一个长方形的面积,而不是其高度. 变式与引申 3: ⑴有一个容量为 100 的样本,数据的分组及各组的频数如下: [12.5,15.5] ,6; [15.5,18.5] ,16; [18.5,21.5] ,18; [21.5,24.5] ,22; [24.5,27.5) ,20; [27.5,30.5) ,10; [30.5,33.5) ,8. ①列出样本的频率分布表;②画出频率分布直方图;③估计数据小于 30.5 的概率
为 1-0.08=0.92.由 题型三 平均数、标准差(方差)的计算问题 例 3 一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下: 9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为( ) A.9.4,0.484 B.9.4,0.016 C.9.5,0.04 D.9.5,0.016 点拨:本题考查平均数与方差的计算公式; 解: x ?

9.4 ? 3 ? 9.6 ? 9.7 ? 9.5 , 5 1 s 2 ? [( 9.4 ? 9.5) 2 ? 3 ? (9.6 ? 9.5) 2 ? (9.7 ? 9.5) 2 ] ? 0.016 答案:D 5

易错点:没理解记忆,公式记错. 变式与引申 4: x 是 x1 , x2

, x100 的平均数, a 是 x1 , x2


, x40 的平均数, b 是 x41 , x42

, x100 的

平均数,则 x , a , b 之间的关系为

变式与引申 5:某人 5 次上班途中所花时间(单位:分钟)分别为 x 、 y 、10、11、9.已知这 组数据的平均数为 10,方差为 2,则 x ? y 的值为( A.1 B.2 题型四 线性回归分析 C.3 ) D.4
5

例 4 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的生产能 耗 y (吨标准煤)的几组对照数据:

x y

3 2.5

4 3

5 4

6 4.5

(1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性 回归方程 y ? bx ? a ; (3)已知该厂技术改造前 100 吨甲产品能耗为 90 吨标准煤;试根据(2)求出的线性回归方程, 预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤? 点拨:本题中散点图好作,本题的关键是求 y 关于 x 的线性回归方程 y ? bx ? a ,它既可以由给出 的回归系数公式直接计算,也可以遵循着最小二乘法的基本思想――即所求的直线应使残差平方 和最小,用求二元函数最值的方法解决. 解: (1)散点图如图 4 ? 2 ? 2 ; (2)方法一:设线性回归方程为 y ? bx ? a ,则
f (a, b) ? (3b ? a ? 2.5)2 ? (4b ? a ? 3) 2 ? (5b ? a ? 4) 2 ? (6b ? a ? 4.5)2 ? 4a 2 ? 2a(18b ? 14) ? (3b ? 2.5)2 ? (4b ? 3)2 ? (5a ? 4)2 ? (6b ? 4.5)2

∴a ?

7 ? 9b ? 3.5 ? 4.5b 时, f (a, b) 取得最小值, 2

图 4-2-2 , 即
0.5[(3b ? 2)2 ? (b ? 1)2 ] ? 5b2 ? 7b ? 5 2

(1.5b ? 1)2 ? (0.5b ? 0.5)2 ? (0.5b ? 0.5)2 ? (1.5b ? 1)2



∴b ? 0.7, a ? 0.35 时,

f ? a, b? 取得最小值.所以线性回归方程为 y ? 0.7 x ? 0.35 .
方法二:由系数公式可知, x ? 4.5, y ? 3.5, b ?
a ? 3.5 ? 0.7 ?

66.5 ? 4 ? 4.5 ? 3.5 66.5 ? 63 ? ? 0.7 5 86 ? 4 ? 4.52

9 ? 0.35 ,所以线性回归方程为 y ? 0.7 x ? 0.35 . 2

(3) x ? 100 时, y ? 0.7 x ? 0.35 ? 70.35 ,所以预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降 低 19.65 吨标准煤. 易错点:本题容易用错计算回归系数的公式,或是把回归系数和回归常数弄颠倒了. 变式与引申 6: 为了分析某个高三学生的学习状态,对其下一阶段的学习提供指导性建议.现对 他前 7 次考试的数学成绩 x 、物理成绩 y 进行分析.下面是该生 7 次考试的成绩. 数学 物理 88 8 99 4 88 3 99 1 111 7 110 8 99 2 99 6 110 8 110 4 110 0 110 1 111 2 110 6
6

(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定?请给出你的证明; (2)已知该生的物理成绩 y 与数学成绩 x 是线性相关的,若该生的物理成绩达到 115 分,请你估 计他的数学成绩大约是多少?并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性,给出该生在学习数学、 物理上的合理建议. 本节主要考查: (1)三种抽样方法;总体分布的估计;线性回归等. (2)解答概率统计试题时 要注意分类与整合、化归与转化思想的运用. 点评: (1)简单随机抽样方法应注意抽样的公平性,分层抽样应注意每个层次个体的比值; (2) 用样本频率分布去估计总体分布;用样本的某种数学特征去估计总体相应数学特征.解题途径: 应用所掌握的基础知识进行计算.(3)进行总体平均数的估计与总体方差的估计. 解题途径:利 用样本的平均数与方差分别作为总体的期望值和方差的估计.(4)线性回归分析.解题途径:先 作出散点图,再根据公式确定回归方程中的参数 a , b ,并可以根据求出的方程做预测或给出建议.

7

第三节

概率与统计的综合应用

近几年高考中,概率与统计的应用题多出现在解答题中,难度以中档和中档偏易为多,难度值在 0.5~0.8.命题形式以学生生活实践为背景材料进行考查. 考试要求: (1)以大纲为准则,考查相关概率在实际问题中的应用; (2)理解各种统计方法; (3)会分析样本数据,并会求数据的特征数字(如平均数、标准差) ; (4)会用正确的算法求解 概率统计和其他数学知识的交汇(如三角函数、框图、算法、几何等)问题. 题型一 随机抽样方法及其应用 例 1 (1)用系统抽样方法从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本,将 160 名学生从 1—160 编号,按编号顺序平均分成 20 组(1—8 号,9—16 号,?,153—160 号) ,若第 16 组抽出的号码 是 126,则第 1 组用抽签方法确定的号码是 . 点拨:本题考查随机抽样的系统抽样.三种抽样方法均为等概率抽样,系统抽样是按简单随机抽 样抽取第一个样本,再按相同的间隔抽取其他样本,即抽取号码成等差数列.公式为 m ? (n ? 1)l ? p,(l 为间隔长, n 为组数, p 为第一个样本号 ) .

50 岁以上 解: n ? 16, l ? 8, m ? 126,? p ? 6. 20 40 岁以下 易错点:式中的第几组的组号应减“1”. % 变式与引申 1:⑴某单位 200 名职工的年龄分布情况 50 30 如图所示,现要从中抽取 40 名职工作样本,用系统抽样法,将全 % 40—50 % 体职工随机按 1-200 编号,并按编号顺序平均分 岁 为 40 组(1-5 号,6-10 号,?,196-200 号). 图 4 ? 3 ?1 若第 5 组抽出的号码为 22,则第 8 组抽出的号码应是 .若用分层抽样方法,则 40 岁以下年龄 段应抽取 人. ⑵从 2004 名学生中选取 50 名组成参观团,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽样从 2004 人 中剔除 4 人,剩下的 2000 人再按系统抽样的方法进行,则每人入选的概率( )

A. 不全相等

B. 均不相等

C. 都相等且为 25 1002

D. 都相等且为 1 40

频率

题型二 分析样本数据,并求数据的特征数字(如平均数,标准差) 组距 例 2 为了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校 100 名 高三学生的视力情况,得到频率直方图如图 4 ? 3 ? 2 所示,由于 不慎将部分数据丢失,但知道前 4 组的频数成等比数列,后 6 组 的频数成等差数列,设最大频率为 a ,视力在 4.6 到 5.0 之间的 学生数为 b ,求 a , b 的值. 0.3 视力 0.1 点拨: (1)此题数据是以图形给出,注意观察图中数据及变化 O 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 情况; (2)看清图中横、纵坐标的实际意义; (3)结合等差与等比 图 4?3?2 数列知识,本题有一定的综合性. 解:组距=0.1, 4.3 ~ 4.4 的频数 ? 100 ? 0.1? 0.1 ? 1 , 4.4 ~ 4.5 的频数 ? 3 . 前 4 组频数成等比数列,? 4.5 ~ 4.6 的频数 ? 9 , 4.6 ~ 4.7 的频数 ? 27 . 又 后 6 组频数成等差数列,设公差为 d ,? 6 ? 27 ?

6 ? (6 ? 1) ? d ? 100 ? 13 ? 87 , 2
8

? d ? 5 ,从而 4.6 ~ 5.0 的频数 ? 27 ? (27 ?5) ? (27 ? 10) ? (27 ? 15) ? 78 . ? a ? 0.27, b ? 78 . 频率 ? ? 易错点:要注意 1 频数= ? 组距 ? 样本容量;2 区别频数与频率,审清题意. 组距 变式与引申 2:如图 4 ? 3 ? 3(1)(2) ,样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分 A B x x 别为 xA和xB ,样本标准差 15
15

分别为 s A 和s B ,则( ).
10

10

A. xA ? xB , sA ? sB B. x A ? x B , s A ? s B C. x A ? x B , s A ? s B D. x A ? x B , s A ? s B
O

5
O
2

4

6

N

图 4 ? 3 ? 3(1)
2 4

图 4 ? 3 ? 3(2)
6
N

550 500 题型三 概率与统计和其他数学知识交汇(如三角函数、框图算法、几何等) 450 例 3 如下图 4 ? 3 ? 4(1) 是某公司金融危机时员工的月工资条形统计图,从左到右的各条形表 400 350

示的员工人数依次记为 A1, A2 ,

, A10 (如 A2 表示工资为 [2500,2550) 内的人数, (单位:元) ).
3

on.DSMT4

2

图 4 ? 3 ? 4(2) 是统计图 4 ? 3 ? 4(1) 中工资在一定范围内员工人数的一个算法流程图。现要 0

2800 元)的员工人数, 统计月工资在 2600 ~ 2800 元(含 2600 元,不含 250 200 那么在流程图中 人数/人 150 的判断框内应填 600 ? 100 写的条件是( )550 ? 50 A. i ? 9 500 ? n.3 O 450 ? B. i ? 8 400 ? C. i ? 7 350 ? D. i ? 6 ?
300 点拨: (1) 250 要认真读题,明 200 确每个变量表示 150 的实际意义; (2)100 50

开始 输入 A1 , A2 ,
s ? 0, i ? 4

, A10

i ? i ?1

图 4 ? 3 ? 3(2)
?

是 否

s ? s ? Ai

? ? ?

输出s
工资/元
2450 2500 2550 2600 2650 2700 2750 2800 2850 2900 2950

可以把选项逐一 放入判断框理解.

O

图 4 ? 3 ? 4(1)

图 4 ? 3 ? 4(2)

解:现要统计的是月工资在 2600 ~ 2800 元之间的员工人数,即是要计算 A4 , A5 , A6 , A7 的和,所以流 程图中空白框应是 i ? 8 ,当 i ? 8 时就会返回进行叠加运算,当 i ? 8 将数据直接输出,不再进行任何 的返回叠加运算,此时已把数据 A4 , A5 , A6 , A7 叠加起来送到 s 中输出,故选 B. 易错点:本题在统计中的条形图与算法流程图的交汇处命题,有一定的综合性,若不认真读 图和审题容易出错.
9

变式与引申 3:某班班主任为了解班上女生的月消费情况, 随机抽查了 5 名本班女生,她们近两周的消费金额如下表所示: 女 生 消费金额 1 2 3 4 5 开始 输入 a1 , a 2 ,
S ? 0, i ? 1

a1

a2

a3

a4

a5

, a5

图 4 ? 3 ? 5 是统计该 5 名女生近两周消费金额总数的程序框图,则 判断框中应填 , s? .

i ? i ?1

是 否 输出s

s ? s ? ai

图 4?3?5
题型四 线性回归方程与相关系数实际应用 例 4 某地 10 户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表: 年收入 x (万元) 年饮食支出 y (万元)

2
0.9

4
1.4

4
1.6

6 2.0

6 2.1

6 1.9

7 1.8

7 2.1

8 2.2

10 2.3

(1)根据表中数据,确定家庭的年收入和年饮食支出的相关关系; (2)如果某家庭年收入为 9 万元,预测其年饮食支出. 点拨:通过所给数据,判断变量间的线性关系;若线性相关,用最小二乘思想求出线性回归方程. 解: (1)由题意知,年收入 x 为解释变量,年饮食支出 y 为预报变量,作散点图(如图所示) . 从图中可以看出,样本点呈条状分布,年收入和年饮食支出有比较好的 线性相关关系,因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系.
∵ x ? 6 , y ? 1.83 , ? xi2 ? 406 , ? yi2 ? 35.13 , ? xi yi ? 117.7 ,
i ?1 i ?1 i ?1 10 10 10

∴b ? 0.172 , a ? y ? bx ? 1.83 ? 0.172 ? 6 ? 0.798 .

从而得到回归直线方程为 y ? 0.172x ? 0.798 . (2) y ? 0.172 ? 9 ? 0.798 ? 2.346 万元. 答图 4 ? 2 ? 2

易错点:此题对计算能力的要求较高,若计算不慎,失分很严重. 变式与引申 4: (1) (2011 年高考山东卷。文)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表 广告费用 x(万元) 销售额 y(万元) 4 49 2 26 3 39 5 54

? 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额 ? ?a ? ? bx ? 中的 b 根据上表可得回归方程 y

10

A.63.6 万元

B.65.5 万元

C.67.7 万元

D.72.0 万元

(2)某企业上半年产品的产量与单位成本资料如下: 月 份 1 2 73 2 3 72 3 4 71 4 3 73

产量(千件) 单位成本(元)

① 求线性回归方程; ② 指出产量每增加 1000 件时,单位成本平均变动多少? ③ 假定产量为 6000 件时,单位成本为多少元? 本节主要考查: (1)用简单随机抽样方法从总体中抽取样本,了解分层抽样和系统抽样方法 及其应用;考查在应用问题中构造抽样模型,识别模型,收集数据等能力和方法.(2)用样本估计 总体是统计学的基本思想,以考查频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差、标准差为主,用随 机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题, 了解一些基本的统计思想 ( . 3) 作两个相关变量数据的散点图,判断两个变量的线性相关性,了解最小二乘法的思想,会求给出 公式下的相关系数及线性回归方程;考查看图、作图和运算求解等基本数学能力.(4)利用古典概 型解决统计中的某些问题. 点评: (1)概率与统计中的部分内容是实施新课标后新增内容,也是高考考点之一.主要考查 随机抽样方法的应用(如例 1) ,数据的数字特征(如例 2,习题 2、3) ,概率统计与其他知识(算 法、不等式)综合应用(如例 3,习题 5)相关系数与线性回归及独立性检验(如例 4).(2)在 随机抽样中,简单随机抽样、系统抽样和分层抽样都是等概率抽样,但这三种方法适用范围各不 相同,简单随机抽样适用于总体个数较少的,系统抽样适用于总体个数较多的,而分层抽样适用 于总体由差异比较明显的几部分组成的.(3)平均数反映了数据取值的平均水平;标准差、方差描 述了一组数据围绕平均数的波动的大小,标准差、方差越大,数据的分散程度越大,越不稳定; 标准差、方差越小,数据的分散程度越小,越稳定.(4)求回归方程时,先判定变量的相关性,若 变量不线性相关,求出回归方程也毫无意义.(5)概率与统计实际应用中,很多数据都是图、表的 形式给出的,背景有考生共有的生活气息.题目篇幅长,要善于看图、作图、理解图所传递的信息, 对数据的精确处理要求有较强的计算能力.

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