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2016届高考数学二轮复习 第1部分 专题5 必考点11 空间几何体三视图、表面积及体积课件 文_图文

专题复习·数学(文)

专题五 立体几何
必考点十一 类 型 空间几何体三视图、表面积及体积(重点)
类型一 三视图与直观图的辨识和画法 类型二 有关柱体的三视图与计算 类型三 有关锥体的三视图与计算 类型四 有关组合体的三视图与计算 类型五 球及球的组合体

高考·预测

运筹帷幄之中

1 以三视图为背景的几何体的识别问题. 2 空间几何体与三视图相结合,计算几何体的表面积和体积. 3 球及有关组合体的表面积与体积.

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必记知识 重要结论

常见的一些简单几何体的表面积和体积公式 (1)圆柱的表面积公式:S=2πr2+2πrl=2πr(r+l)(其中 r 为底面半径,l 为 圆柱的高); (2)圆锥的表面积公式:S=πr2+πrl=πr(r+l)(其中 r 为底面半径,l 为母 线长); (3)圆台的表面积公式:S=π(r′2+r2+r′l+rl)(其中 r 和 r′分别为圆台 的上、下底面半径,l 为母线长);

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必记知识 重要结论

(4)柱体的体积公式:V=Sh(S 为柱体的底面面积,h 为高); 1 (5)锥体的体积公式:V= Sh(S 为锥体的底面面积,h 为高); 3 1 (6)台体的体积公式:V= (S′+ S′S+S)h(S′、S 分别为上、下底面面 3 积,h 为高); 4 (7)球的表面积和体积公式:S=4πR2,V= πR3(R 为球的半径). 3

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必记知识 重要结论

1.一个物体的三视图的排列规则 俯视图放在正视图的下面,长度与正视图的长度一样,侧(左)视图放在正 (主)视图的右面,高度与正(主)视图的高度一样,宽度与俯视图的宽度一 样,即“长对正、高平齐、宽相等”.

2.(1)设长方体的相邻的三条棱长为 a、b、c 则对角线长为

a2+b2+c2

(2)棱长为 a 的正方体的体对角线长等于外接球的直径,即 3a=2R. (3)若球面上四点 P、A、B、C 构成的线段 PA、PB、PC 两两垂直,且 PA =a,PB=b,PC=c,则 4R2=a2+b2+c2,把有关元素“补形”成为一 个球内接长方体(或其他图).

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类型一 三视图与直观图的辨识和画法

[ 例 1]

某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不

可能是( D ) 从正视图和侧视图想像直观图,再检验答案.
若下部分是圆柱或四棱柱, 上部分可以是圆柱或者棱柱, A、 B、C 适合题意,若是 D 答案,其正视图应为(如右图)中间 有虚线. 排除法:一一排除.

A 图是两个圆柱的组合体的俯视图; B 图是一个四棱柱与一个圆柱的组合 体的俯视图; C 图是一个底面为等腰直角三角形的三棱柱与一个四棱柱的 组合体的俯视图,采用排除法.

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类型一 三视图与直观图的辨识和画法

分析空间几何体的三视图的要点 (1)根据俯视图确定几何体的底面. (2)根据正(主 )视图或侧(左 )视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实 线和虚线所对应的棱、面的位置. (3)确定几何体的形状,即可得到结果. (4)实物与三视图中某些线段长度的变化也能体现位置关系.

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类型一 三视图与直观图的辨识和画法
自我挑战

1. (2016· 辽宁省五校高三联考)把矩形 ABCD 沿 对角线 BD 折起,形成三棱锥 CABD,其正视 图 和 俯 视 图 如 图 所 示 ,则 侧 视 图 的 面 积为
72 __________ . 25

12 依题意其侧视图是个三角形,由“高平齐”知侧视图高为 ,由 “宽相 5 12 72 等”知底边是 ,所以侧视图的面积为 . 5 25

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类型二 有关柱体的三视图与计算

[ 例 2]

(2016· 唐山市高三模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体 ) 4 B. 3 D. 1 3

的体积等于( 2 A. 3 C.1

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类型二 有关柱体的三视图与计算

( 基本法 )

由三视图知该几何体是直三棱柱截去一个

三棱锥所剩的几何体,底面是直角边为 1 的等腰直角
?1 ? 三角形,高为 2,∴所求体积 V=V 柱-V 锥=? ×1×1? ?2 ?

1 ?1 ? 2 ? ? ×2- × ×1×1 ×2= . 3 ?2 3 ?

利用锥体与柱体体积的关系 1 1 1 V 锥= Sh= V 柱,而 V 柱= ×1×1×2=1. 3 3 2 1 2 ∴所求体积 V= V 柱- V 锥=1- = . 3 3 A

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类型二 有关柱体的三视图与计算

?1?柱体的三视图与计算,首先确定其底面,然后确定高,高往往隐含在 正视图或侧视图中. ?2?一些不规则的几何体,求其体积多采用分割或补形的方法,从而转化 为规则的几何体,而补形又分为对称补形?即某些不规则的几何体,若存 在对称性,则可考虑用对称的方法进行补形 ?、还原补形? 即还台为锥?和 联系补形?某些空间几何体虽然也是规则几何体,不过几何量不易求解, 可根据其所具有的特征,联系其他常见几何体,作为这个规则几何体的 一部分来求解?.

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类型二 有关柱体的三视图与计算
自我挑战

2.(2014· 高考安徽卷)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面 积为( A ) A.21+ 3 C.21 B.18+ 3 D.18

根据题意作出直观图如图,该多面体是由正方体切去 两个角而得到的,根据三视图可知其表面积为
? 2 1 ? 3 7 2 6?2 - ×1×1?+2× ×( 2) =6× + 3=21+ 3. 2 4 2 ? ?

故选 A.

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类型三 有关锥体的三视图与计算

[ 例 3]

(2014· 高考课标卷Ⅰ)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实

线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长 度为( A.6 2 C.4 2 ) B.6 D.4

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类型三 有关锥体的三视图与计算

( 基本法)

根据三视图恢复直观图计算棱长由多面体

的三视图可知该几何体的直观图为一个三棱锥,如图 所示.其中面 ABC⊥面 BCD,△ABC 为等腰直角三角 形,AB=BC=4,取 BC 的中点 M,连结 AM,DM, 则 DM⊥面 ABC,在等腰△ BCD 中,BD=DC=2 5,BC=DM= 4,所 以在 Rt△AMD 中,AD= AM2+DM2= 42+22+42=6,又在 Rt△ABC 中,AC=4 2<6,故该多面体的各条棱中,最长棱为 AD,长度为 6,故 选 B. B

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类型三 有关锥体的三视图与计算

棱锥由三视图还原为直观图时,要分清侧棱、斜高和高,一般来说侧棱> 斜高>高,如果侧棱=高,则侧棱垂直于底面.

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类型三 有关锥体的三视图与计算
自我挑战

3.(2015· 沈阳质检)已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的 尺寸(单位:cm)可得这个几何体的体积是( B ) 4 A. cm3 3 C.3 cm3 8 B. cm3 3 D.4 cm3

由三视图可知该几何体是一个底面为正方形 (边长为 2)、高为 2 的四棱锥,如图所示.由四棱锥的体积公 8 式知所求几何体的体积 V= cm3. 3

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类型四 有关组合体的三视图与计算

[ 例 4]

一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几

何体组成,其体积分别记为 V1,V2,V3,V4,上面两个简单几何体均为 旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有( A.V1<V2<V4<V3 C.V2<V1<V3<V4 B.V1<V3<V2<V4 D.V2<V3<V1<V4 )

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类型四 有关组合体的三视图与计算

(基本法) V1 表示一个圆台的体积,底面直径分别为 2,4,高为 1,故 V1 1 7 = (4π+2π+π)×1= π.V2 表示圆柱的体积,底面直径为 2,高为 2,故 3 3 V2=2π.V3 表示正方体的体积, 棱长为 2, 故 V3=23=8.V4 表示一个棱台的 体积,上、下底面分别为边长是 2、4 的正方形, 1 28 高为 1,故 V4= (4+16+8)×1= . 3 3 比较大小可得 V2<V1<V3<V4.

C

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类型四 有关组合体的三视图与计算

组合体从上、下、左、右、前、后、里、外几种位置分清有哪些几何体 构成,接触面积是什么位置,便于计算.

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类型四 有关组合体的三视图与计算
自我挑战

4.(2016· 兰州高三检测)如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的 体积为( B ) A.10π C.6π B.8π D.9π

由三视图可知该几何体为一个圆柱挖去一个圆锥所得,所以其体积为圆 1 柱的体积减去圆锥的体积,为:4π×3- ×4π×3=8π. 3

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类型五 球及球的组合体

[ 例 5]

如图, 直三棱柱 ABCA1B1C1 的六个

顶点都在半径为 1 的半球面上,AB=AC, 侧面 BCC1B1 是半球底面圆的内接正方形, 则侧面 ABB1A1 的面积为( A.2 C. 2 ) B.1 2 D. 2

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类型五 球及球的组合体

(基本法) 根据题中给定条件寻求所求侧面边长与其他量之间关系. 由题意知,球心在侧面 BCC1B1 的中心 O 上,BC 为截面圆的直径,∴∠ BAC=90° ,△ABC 的外接圆圆心 N 位于 BC 的中点,同理△A1B1C1 的外 x 心 M 是 B1C1 的中点. 设正方形 BCC1B1 边长为 x,Rt△OMC1 中,OM= , 2 x MC1= ,OC1=R=1(R 为球的半径), 2
?x ? ?x ? ∴? ?2+? ?2= 1,即 x= 2,则 AB=AC=1, ?2? ?2?

∴S 矩形 ABB1A1= 2×1= 2. C

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类型五 球及球的组合体

根据大圆的内接正方形寻求球半径与正方形边长的关系. 正方形 BCC1B1 所在的是大圆面, ∴B1C=2,B1C2=2BC2,∴BC= 2, 在 Rt△ABC 中,AB=AC=1, ∴SABB1A1= 2×1= 2.

C

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类型五 球及球的组合体

?1?涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊 点或线作截面,把空间问题化归为平面问题,再利用平面几何知识寻找 几何体中元素间的关系. ?2?球心与截面圆心的连线垂直圆面, 其距离为 d, 常利用直角三角形建立 量的关系,R2=d2+r2.

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类型五 球及球的组合体
自我挑战

5.(2016· 洛阳高三统考)如图是某几何体的三视图,则该几何体的外接球 的表面积为( D ) A.200π C.100π B.150π D.50π

由三视图知,该几何体可以由一个长方体截去 3 个角后得到,该长方体 的长、 宽、 高分别为 5、4、3, 所以其外接球半径 R 满足 2R= 42+32+52
?5 2? 2 ? =50π, =5 2,所以该几何体的外接球的表面积为 S=4πR =4π×? ? 2 ?
2

故选 D.

解题绝招 系列讲座

三视图复原的切、接、割、补

当三视图不是常见规则几何体的图时,可考虑是否通过切、接、割、补 的方法变换而来的. 切、割:把几何体沿某个平面或棱切割掉某些几何体得到新的不规则几 何体,可通过切割面观察. 接、补:在一个几何体的某个部位,接补上某些几何体,形成新的不规 则几何体,可通过正视图、侧视图的图形观察接补上的几何体的形状.

解题绝招 系列讲座

三视图复原的切、接、割、补

[ 例 1]

某多面体的三视图如图所示,则该多面体的各条棱中,最长的棱

的长度及体积分别为( A ) 20 A.2 2, 3 B.2,4 20 C.2 5, 3 16 D. 5, 3

由三视图知,该几何体是棱长为 2 的正方体截去两 个角后得到的,几何体的直视图是多面体 PABCDEF,如图所示.易知其最长棱为正方体的一 1 条面对角线,其长为 2 2. 其体积为 2×2×2 - 3 1 20 ×2×1×2×2× = .故选 A. 2 3

解题绝招 系列讲座

三视图复原的切、接、割、补

解题绝招 系列讲座

三视图复原的切、接、割、补

[ 例 2]

(2014· 高考浙江卷)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此

几何体的表面积是( D ) A.90 cm2 B.129 cm2 C.132 cm2 D.138 cm2

该几何体如图所示,长方体的长、宽、高分别为 6 cm,4 cm,3 cm,直三棱柱的底面是直角三角形, 边长分别为 3 cm,4 cm,5 cm,所以表面积 S = [2× (4× 6 + 4× 3) + 3× 6 + 3× 3] +
? ? ? ? ? 1 2 5×3+4×3+2×2×4×3? ?=99+39=138(cm ). ?