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三角形四心的向量性质 2

三角形“四心”的向量性质及其应用
一、三角形的重心的向量表示及应用 命题一 已知 A , B , C是 不 共 线 的 三 点 , G 是 △ A B C内一点,若

.则 G 是 △ A B C的重心. G AG ? BG ?C ? 0 证明:如图 1 所示,因为 G , A ? G BG ?C ? 0 所以 G . A ? ? ( G BG ?C ) 以 G B , G C 为邻边作平行四边形 B G C D, 则有 G , DG ?B ? G C 所以 G . D ?? G A 又因为在平行四边形 B G C D中, B C 交 G D 于点 E , 所以 B E? E C, G E?E D. 所以 A E 是 △ A B C的边 B C 的中线. 故G 是△ A B C的重心. 点评:①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义;②把平面几何知识 和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法. 例1 如图 2 所示, △ A B C的重心为 G,O 为坐标原点, OA ? a , OB ? b ,

,, b c表示 O G . OC ? c ,试用 a

解:设 A G 交 B C 于点 M , 则 M 是 B C 的中点,

? a ? OG ? GA ? ? ? b ? OG ? GB ? c ? OG ? GC ?
图2

? a ? b ? c ? OG ? GA ? GB ? GC a ? b ? c ? 3 OG ? 0 而?
1

? OG ?

a?b?c 3

点评: 重心问题是三角形的一个重要知识点, 充分利用重心性质及向量加、 减运算的几何意义是解决此类题的关键. 变式:已知 D 的中点.则 , E , F分 别 为 △ CA , CA , B A B C的边 B . A D ? B EC ?F ? 0 证明:如图的所示,
? ? AD ? ? ? ? BE ? ? CF ? ? 3 GA 2 3 ? ? GB 2 3 ? ? GC 2 ? ?

3 ? AD ? BE ? CF ? ? ( GA ? GB ? GC ) 2
? GA ? GB ? GC ? 0

图3

. 0 . ? A D ? B EC ?F ? 变式引申: 如图 4, 平行四边形 ABC D的中心为 O ,P 为该平面上任意一点, 则P . O ?( P AP ?BP ?CP ?D ) 证明: P O ? ( P A ?P C ), P O? (P B?P D ),
1 . ? P O ?( P AP ?BP ?CP ?D ) 4 1 2 1 2 1 4

点评: (1)证法运用了向量加法的三角形法则, 证法 2 运用了向量加法的平行四边形法则. (2) 若P
A ? O B ? O C ? O D ? 与 O 重合,则上式变为 O 0.

二、三角形的外心的向量表示及应用

?MB ?MC A B C内一点,满足 MA 命题二:已知 G 是 △ ,则点 M 为△
ABC 的外心。 例 2 已知 G、M 分别为不等边△ABC 的重心与外心,点 A,B 的坐标分别为 A(-1,0) ,B(1,0) ,且 GM ∥ AB , (1)求点 C 的轨迹方程; (2)若直线 l 过

2

点(0,1) ,并与曲线交于 P、Q 两点,且满足 OP ? OQ ?0,求直线 l 的方程。
y G B 图5 C M A

x

x y 解 (1) 设C (x,y) , 则G ( , ) , 3 3

其中 x, y ? 0, 由于 GM ∥ AB , 故m ?

y , m y ) , 3

外心 M(0,

? M 为外心

y 2 y2 2 x ? 0 ) ? ( ? y ) ?1 ? () ? MC ,得 ( ? MA 3 3
2 2 x ? y ? 3 (xy?0 ? 轨迹 E 的方程是 3 )

(2)略。 三、三角形的垂心的向量表示及应用

? GB ? GA ? GC ? GB ? GC A B C内一点,满足 GA 命题三:已知 G 是 △ ,则点
G 为垂心。 (2005 全国文 12)

? PB ? PB ? PC 得 PA ? PB ? PB ? PC ? 0 证明:由 PA .
即 PB ? ( PA ? PC ) ? 0 , 即 PB ? CA ? 0 则 PB ? CA , 同理 PA ? BC , PC ? AB
ABC 所以 P 为 ? 的垂心. 点评:本题将平面向量有关运算、 “数量积为零,则两向量所在直线垂直” 、 三角形垂心定义等相关知识巧妙结合。

变式: 若 H 为△ABC 所在平面内一点, 且 HA ? BC ? HB ? CA ? HC ? AB
3

2

2

2

2

2

2

则点 H 是△ABC 的垂心 证明: ? HA ? HB ? CA ? BC
2 2 2 2

A

? ( HA ? HB ) ? BA ? ( CA ? CB ) ? BA
0 得 ( HA ? HB ? CA ? CB ) ? BA ? 即( 0 HC ? HC ) ? BA ?
? AB ? HC
B 图6 H

C

同理 AC , BC ?HB ?HA 故 H 是△ABC 的垂心 四、三角形的内心的向量表示及应用

ABC 命题四:O 是内心 ? 的充要条件是
AB AC BA BC CA CB OA ? ( ?) ? OB ? ( ? ) ? OC ? ( ? ) ? 0 | AB | AC | BA || BC | | CA || CB |
,BC ,CA ABC 变式 1:如果记 AB 的单位向量为 e1 , e2 , e3 ,则 O 是 ? 内心的
? ( e ? e ) ? OB ? ( e ? e ) ? OC ? ( e ? e ) ? 0 1 3 1 2 2 3 充要条件是 OA

,BC ,CA ABC 变式 2:如果记 AB 的单位向量为 e1 , e2 , e3 ,则 O 是 ? 内心的
OA ? b OB ? c OC ? 0 充要条件也可以是 a 。

例 4(2003 江苏)已知 O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三

?OA ?? ( 个点,满足 OP
的内心 。

AB AC ? ), ?? ?,则 P 的轨迹一定通过△ABC ? 0 ,?? AB AC

? OA ? AP 解: 如图 OP 由已知

C O

OP ?OA ?? (

AB AC ? ), AB AC

B
E
4

P

A D 图7

? AP? ?(

AB AB

?

AC ? ? 0 ,?? ) , ?? AC

? ? ?? ? 0 ,??
设?

AB AB

? AD , ?

AC AC

? AE ,

? D、E 在射线 AB 和 AC 上。 ? AP ? AD ? AE ? AP 是平行四边行的对角线。

又 AD ? AE ,
? ADPE 是菱形。 即? 的平分线上。 CAD EAD ? 点 P 在? 故 P 点的轨迹一定通过△ABC 的内心。

五、三角形外心与重心的向量关系及应用 命题五:设△ABC 的外心为 O,则点 G 为△ABC 重心的充要条件为:

1 OG ?( OA ? OB ? OC ) 3
证明:如图 8,设 G 为重心,连结 AG 并延长,交 BC 于 D,则 D 为 BC 的中点。 A

? OA ? AG ? OA ? AD ? OA ? ( AB ? AC ) ∴ OG
O G C B D 1 1 ? OA ? ( OB ? OA ? OC ? OA ) ? ( OA ? OB ? OC ) 图8 3 3

2 3

1 3

?( OA ? OB ? OC ) 反之,若 OG , ? (AB ?AC ) 则由上面的证明可知: AG ? (AB ?AC ), 设 D 为 BC 的中点,则 AD
5

1 3

1 3

1 2

从而 AG ?

2 AD , 3 2 AD,即 G 为重心。 3

∴G 在中线 AD 上且 AG=

六、三角形外心与垂心的向量关系及应用 命题六:设△ ABC 的外心为 O ,则点 H 为△ ABC 的垂心的充要条件是 。 OH ? OA ? OB ? OC 证明:如图 2,若 H 为垂心,以 OB、OC 为邻边作平行四边形 OBDC, 则 OD ? OB ? OC ∵O 为外心, ∴OB=OC, ∴平行四边形 OBDC 为菱形 ∴ OD⊥BC,而 AH⊥BC, ∴ AH∥OD,
A

H

O B D

C

? OD ? OB ? OC ∴存在实数 ? ,使得 AH ? OA ? AH ? OA ? OB ? OC ∴ OH ①。
同理,存在实数 ? , ? ,使得 ② OH ? OB ? BH ? OB ? OC ? OA

? ? ?

图9

??

?? OH ? OC ? CH ? OC ? ? OA ? ? OB ③

比较①、②、③可得, ? , ? ? ? ? ? 1

? OA ? OB ? OC ∴ OH ? OA ? OB ? OC ? OB ? OC 反之,若 OH ,则 AH ,
∵ O 为外心,∴OB=OC
2 2 ∴ AH ? CB ? ( OB ? OC ) ? ( OB ? OC ) ? | OB | ? | OC | ? 0

∴AH⊥CB,同理,BH⊥AC。 ∴ H 为垂心。
6

例 6、已知 H 是△ABC 的垂心,且 AH=BC,试求∠A 的度数 解:设△ABC 的外接圆半径为 R,点 O 是外心。 ∵ H 是△ABC 的垂心 ∴ OH ? OA ? OB ? OC ∴ AH ? OH ? OA ? OB ? OC
2 2 2 2 ∴ AH ? | AH | ? ( OB ? OC ) ? 2 R ( 1 ? 2 cos 2 A )

∵ BC , ? OC ? OB
2 2 2 2 ∴ BC ? | BC | ? ( OC ? OB ) ? 2 R ( 1 ? 2 cos 2 A )

∵AH=BC, ∴ 1 ? 2 cos 2 A ? 1 ? 2 cos 2 A ∴ cos 2 A ? 0 而∠A 为△ABC 的内角, ∴ 0<2A<360° 从而 2A=90°或 270° ∴ ∠A 的度数为 45°或 135°。 七、三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用 命题七:△ABC 的外心、重心、垂心分别为 O、G、H,则 O、G、H 三点共线 (O、G、H 三点连线称为欧拉线) ,且 OG= GH。 证明:如图 10,由命题五、六知,连结 AG 并延长,交 BC 于 D,则 D 为 BC 的中点。
A

1 2

1 OG ?( OA ? OB ? OC ) , , OH ? OA ? OB ? OC 3
?3 OG ∴ OH
∴O、G、H 三点共线,且 OG= GH。
1 2
O B D

H G C

图 10

例 7、已知 O(0,0) ,B(1,0) ,C(b,c) ,是 OBC 的三个顶点。试写 出 OBC 的重心 G,外心 F,垂心 H 的坐标,并证明 G、F、H 三点共线。 (2002 年全国) 解:重心 G 为 ( b ? 1 , c ) ,设 H 点的坐标为 (b, y0 ) 3 3
7

∵ OH ,BC=(b-1,c), ? BC ,故 y ? b(1? b) b ( b ? 1 ) ? cy 0 0? 0 c H 点的坐标为 (b, b(1 ? b) ) c

(b?1 ) ?c , 设外心 F 的坐标为 ( 1 , y ) 由|FO|=|FC|,得 y ? b 1 1 2 c 2
2

所以 F 点的坐标为( ,

) 。

从而可得出 GH=( , ) ,FH=( , ) 2 GH ? FH ,GH∥FH,F、G、H 三点共线。 3 点评:向量不仅是平面解析几何入门内容,而且是解在关数形结合问题的 重要工具。它一般通过概念的移植、转化,将坐标与向量结合起来,从而使一 些难题在思路上获得新的突破。 例 8、已知 P 是非等边△ABC 外接圆上任意一点,问当 P 位于何处时, 2 PA +PB2+PC2 取得最大值和最小值。 解:如图 11,设外接圆半径为 R,点 O 是外心,则
P 2 2 2 PA2+PB2+PC2= ( PO ? OA ) ? ( PO ? OB ) ? ( PO ? OC ) A

2 ? 6 R ? 2 ( PO ? OA ? PO ? OB ? PO ? OC )
2 ? 6 R ? 2 PO ? ( OA ? OB ? OC )
2 ? 6 R ? 2 PO ? OH (由命题六知:H 为垂心, )

B

O

C

图 11

∴当 P 为 OH 的反向延长线与外接圆的交点时,有最大值 6R2+2R·OH 当 P 为 OH 的延长线与外接圆的交点时,有最小值 6R2-2R·OH

8


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