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山东省济宁市某教育咨询有限公司2015届高三数学人教A版一轮复习课件:第6章 第4节 基本不等式_图文

抓 住 2 个 基 础 知 识 点

挖 掘 1 大 技 法

第四节

基本不等式

掌 握 3 个 核 心 考 向

课 堂 限 时 检 测

[考情展望 ]

a+b 1.利用基本不等式 ab≤ 求最值、证明不等 2

式.2.利用基本不等式解决实际问题.

a+b 一、基本不等式 ab≤ 2

a>0,b>0 . 1.基本不等式成立的条件:______________ a=b 时等号成立. 2.等号成立的条件:当且仅当________
a+b 算术平均数 , ab称为正数 3.其中 称为正数 a,b 的_____________ 2

几何平均数 . a,b 的______________

a+b 由公式 a +b ≥2ab 和 ab≤ 可以引申出的常用结论 2
2 2

b a (1)a+b≥2(a,b 同号); b a (2)a+b≤-2(a,b 异号); a+b (3) ≤ ab≤ ≤ 1 1 2 + a b 2
2 2 a + b 2 ≤ (a>0,b>0). 2

?a+b? a2+b2 ? (a>0,b>0)(或 ab≤? ? 2 ? 2 ? ?

二、利用基本不等式求最大、最小值问题 1.如果 x,y∈(0,+∞),且 xy=P(定值).

x=y 时, 那么当______ x+y 有最小值 2 P.(简记: “积定和最小”)
2.如果 x,y∈(0,+∞),且 x+y=S(定值). S2 那么当 x=y 时,xy 有最大值 .(简记:“和定积最大”) 4

1 1.函数 y=x+x(x>0)的值域为( A.(-∞,-2]∪[2,+∞) C.[2,+∞)

)

B.(0,+∞) D.(2,+∞)

【解析】

1 ∵x>0,∴y=x+x≥2

1 x· x=2.

1 当且仅当 x=x,即 x=1 时等号成立. 1 ∴函数 y=x+x(x>0)的值域为[2,+∞).

【答案】

C

2.已知m>0,n>0,且mn=81,则m+n的最小值为 ( ) A.18
【解析】

B.36

C.81

D.243

∵m>0,n>0,mn=81,

∴m+n≥2 mn=2 81=18. 当且仅当 m=n=9 时等号成立.

【答案】

A

3.设 0<x<1,则 x(3-3x)取得最大值时,x 的值为( 1 A. 3 3 C. 4
【解析】 ∵0<x<1,

)

1 B. 2 D. 2 3

?x+?1-x?? ? ?2 3 ∴x(3-3x)≤3· = , ? ? 4 2 ? ?

1 当且仅当 x=1-x,即 x= 时等号成立. 2

【答案】

B

4 .某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 x 元.若每批生产 x 件,则平均仓储时间为 天,且每件产品每天的 8 仓储费用为 1 元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费 用之和最小,每批应生产产品应为________件. 【解析】 设每件产品的平均费用为 y 元,由题意得 800 x =20. x · 8

800 x y= x + ≥2 8

800 x 当且仅当 x = (x>0),当且仅当 x=80 时,“=”成立. 8

【答案】

80

5.(2012· 福建高考)下列不等式一定成立的是(
? 2 1? A.lg?x +4?>lg ? ?

)

x(x>0)

1 B.sin x+ ≥2(x≠kπ,k∈Z) sin x C.x2+1≥2|x|(x∈R) 1 D. 2 >1(x∈R) x +1

【解析】

x+y 应用基本不等式:x,y∈R , ≥ xy(当且仅 2


当 x=y 时取等号)逐个分析,注意基本不等式的应用条件及取等 号的条件.
? 2 1? 1 1 当 x>0 时,x + ≥2· x·=x,所以 lg?x +4?≥lg x(x>0),故选 4 2 ? ?
2

项 A 不正确;运用基本不等式时需保证一正二定三相等,而当 x≠kπ,k∈Z 时,sin x 的正负不定,故选项 B 不正确;由基本不 1 等式可知,选项 C 正确;当 x=0 时,有 2 =1,故选项 D 不 x +1 正确.

【答案】

C

a 6.(2013· 四川高考)已知函数 f(x)=4x+ (x>0,a>0)在 x=3 x 时取得最小值,则 a=________.

【解析】

a f(x)=4x+x≥2

a 4x· x=4 a(x>0,a>0),当且仅

a a 当 4x=x,即 x= 时等号成立,此时 f(x)取得最小值 4 a.又由已 2 知 x=3 时,f(x)min=4 a, a ∴ =3,即 a=36. 2

【答案】

36

考向一 [112]

利用基本不等式求最值 )

(1)(2014· 青岛模拟)下列命题中正确的是( 1 A.y=x+ 的最小值是 2 x 4 B.y=2-3x-x(x>0)的最大值是 2-4 3 4 C.y=sin x+ 2 的最小值是 4 sin x
2

4 D.y=2-3x- (x<0)的最小值是 2-4 3 x

(2)(2014· 贵阳模拟)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是( 24 A. 5 ) 28 B. 5 C. 5 D. 6

【思路点拨】 (1)借助均值不等式的使用条件“一正、二定、 3 1 三相等”逐一判断.(2)将条件变形 + =1,然后注意“1”的代 5x 5y 换.

【尝试解答】

(1)A 不正确,如取 x=-1,则 y=-2. 4 3x· x=2-

? 4? 4 B 正确,因为 y=2-3x-x=2-?3x+x?≤2-2 ? ?

4 3. 4 2 3 当且仅当 3x=x,即 x= 时等号成立. 3 4 C 不正确,令 sin x=t,则 0<t≤1,所以 g(t)=t+ t ,显然
2

g(t)在(0,1]上单调递减,故 g(t)min=g(1)=1+4=5. D 不正确,∵x<0,∴-x>0

? ? 4 ?? 4 ∴y=2-3x-x=2+??-3x?+?-x??≥2+4 3. ? ? ??

4 2 3 当且仅当-3x=-x,即 x=- 时等号成立. 3 3 1 (2)由 x>0,y>0,且 x+3y=5xy,得 + =1. 5x 5y
?3 1? ∴3x+4y=(3x+4y)?5x+5y? ? ?

13 3x 12y 13 = + + ≥ +2 5 5y 5x 5

3x 12y · =5, 5y 5x

当且仅当 x=2y=1 时,等号成立. ∴3x+4y 的最小值为 5.

【答案】

(1)B

(2)C

规律方法 1

1.第?1?题的解题关键是“逐一验证均值不等式

的适用条件”.第?2?小题求解的关键是条件的恰当变形与“1”的 代换,常见错误是条件与结论分别利用基本不等式,导致错选 A, 根本原因忽视等号成立条件. 2.利用基本不等式求函数最值时,注意 “一正、二定、三相 等,和定积最大,积定和最小”.常用的方法为拆、凑、代换、平 方.

对点训练 值是________.

3 4 (1)已知 x>0,y>0,且 x+y=1,且x+ y 的最小

(2)设 x,y 为实数,若 x2+y2+xy=1,则 x+y 的最大值是 ________.

【解析】

(1)∵x>0,y>0,x+y=1,

?3 4? 3y 4x 3 4 ∴x+ y =(x+y)?x+ y ?= x + y +7 ? ?

≥2

3y 4x x· y +7=7+4 3,

3y 4x 当且仅当 x = y 且 x+y=1, 即 x=-3+2 3,y=4-2 3时等号成立, 3 4 ∴ + 的最小值是 7+4 3. x y

(2)由 x2+y2+xy=1,得 1=(x+y)2-xy,
2 ? x + y ? ∴(x+y)2=1+xy≤1+ , 4

2 3 2 3 解得- ≤x+y≤ , 3 3 2 3 ∴x+y 的最大值为 . 3
【答案】 (1)7+4 3 2 (2) 3 3

考向二 [113]

简单的不等式证明

(2013· 课标全国卷Ⅱ)设 a,b,c 均为正数,且 a+b +c=1,证明: 1 (1)ab+bc+ca≤ ; 3 a2 b2 c2 (2) b + c + a ≥1.

【思路点拨】 (1)将 a+b+c=1 两边平方,化简整理,借助 不等式的性质,即得结论. a2 b2 c2 a2 b2 c2 (2)证 b + c + a ≥1,也即证 b + c + a ≥a+b+c. a2 b2 c2 可分别证 b +b≥2a, c +c≥2b, a +a≥2c,然后相加即得.

【尝试解答】 (1)由 a2+b2≥2ab, b2+c2≥2bc, c2+a2≥2ca, 得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 由题设得(a+b+c)2=1. 即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1. 1 所以 3(ab+bc+ca)≤1,即 ab+bc+ca≤ . 3

a2 b2 c2 (2)因为 b +b≥2a, c +c≥2b, a +a≥2c, a2 b2 c2 故 b + c + a +(a+b+c)≥2(a+b+c), a2 b2 c2 即 b + c + a ≥a+b+c. a2 b2 c2 所以 b + c + a ≥1.

规律方法 2 1.“1”的代换是解决问题的关键,代换变形后能 使用基本不等式是代换的前提,不能盲目变形. 2.利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式必须是有 “ 和 ” 式或 “ 积 ” 式,通过将 “ 和 ” 式转化为 “ 积 ” 式或将 “积”式转化为“和”式,达到放缩的效果,必要时,也需要运 用“拆、拼、凑”的技巧,同时应注意多次运用基本不等式时等 号能否取到.

考向三 [114]

基本不等式的实际应用

(2014· 潍坊模拟)如图 6-4-1,某广场要划定一矩形 区域 ABCD,并在该区域内开辟出三块形状大小相同的矩形绿化 区,这三块绿化区四周和绿化区之间设有 1 米宽的走道。已知三 块绿化区的总面积为 800 平方米,求该矩形区域 ABCD 占地面积 的最小值.

图 6-4-1

【思路点拨】

设出小矩形的长和宽,建立矩形区域

ABCD的面积S的表达式,借助不等式求最值.
【尝试解答】 为 y,则 3xy=800, 800 所以 y= ,所以矩形区域 ABCD 的面积 3x
?800 ? S=(3x+4)(y+2)=(3x+4)? 3x +2? ? ?

设绿化区域小矩形的一边长为 x,另一边长

3200 =800+6x+ +8≥808+2 6400=968 3x 3200 40 当且仅当 6x= ,即 x= 时取“=”, 3x 3 ∴矩形区域 ABCD 的面积的最小值为 968 平方米.

规律方法 3

解实际应用题要注意以下几点:

?1?设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数; ?2?根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等 式求得函数的最值; ?3?在求函数的最值时, 一定要在定义域?使实际问题有意义的 自变量的取值范围?内求解.

对点训练

某厂家拟在 2013 年举行促销活动,经调查测算,

该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用 m 万元 k (m≥0)满足 x=3- (k 为常数),如果不搞促销活动,则该产 m+ 1 品的年销售量只能是 1 万件. 已知 2012 年生产该产品的固定投入 为 8 万元,每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元,厂家将每件 产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍(产品成本包括 固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用).

(1)将 2013 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元 的函数; (2)该厂家 2013 年的促销费用投入多少万元时, 厂家的利润最 大?

【解】

(1)由题意知,当 m=0 时,x=1(万件),

2 ∴1=3-k,即 k=2.∴x=3- . m+ 1 8+16x 又∵每件产品的销售价格为 1.5× (万元). x ∴2012 年的利润
? 8+16x? ? ? y=x?1.5× -(8+16x+m) x ? ? ? ? 2 ? ? =4+8x-m=4+8?3-m+1? ?-m ? ? ? 16 ? ? =29-??m+1?+m+1? ?(m≥0). ? ?

16 (2)∵m≥0 时,(m+1)+ ≥2 16=8. m+ 1 16 ∴y≤29-8=21,当且仅当 =m+1,即当 m=3(万元) m+ 1 时,ymax=21(万元). 所以该厂家 2013 年的促销费用投入为 3 万元时, 厂家的利润 最大,最大为 21 万元.

思想方法之十六

消元思想在基本不等式求最值中的巧用

所谓消元思想就是将未知数的个数由多化少,逐一解决的思 a+b 想方法. 由于应用基本不等式“ ab≤ ”求最值时需满足三个 2 条件(一正、二定、三相等),且只限于“二元”范畴之内,故对于 多元求最值问题可采用消元思想,转化为“二元”问题.

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[1 个示范例]

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[1 个对点练]

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(2013· 山东高考)设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2 xy 2 1 2 -z=0,则当 取得最大值时, + - 的最大值为( z x y z )

9 A. 0 B.1 C. D. 3 4 【解析】 含三个参数 x,y,z,消元,利用基本不等式及配

方法求最值. z=x2-3xy+4y2(x>0,y>0,z>0), xy xy 1 1 ∴z= 2 = ≤ =1. 2 x 4 y x -3xy+4y 4-3 + - 3 y x

x 4y 当且仅当y = x ,即 x=2y 时等号成立,此时 z=x2-3xy+4y2 2 1 2 2 1 2 1 2 = 4y - 6y + 4y = 2y ,∴ + - = + - 2 =- 2 + =- x y z 2y y 2y y y
2 2 2 2

?1 ?2 ? -1? +1,∴当 ?y ?

2 1 2 y=1 时,x+ y - z 的最大值为 1.

y2 设 x,y,z 为正实数,满足 x-2y+3z=0,则xz的最小值是 ________.
【解析】 x+3z 由 x-2y+3z=0 可得 y= 2

2 2 y2 x +9z +6xz 所以 = xz 4xz

x 9z 3 = + + 4z 4x 2 ≥2 x 9z 3 · + 4z 4x 2

3 3 = + =3 2 2 当且仅当 x=3z 时取“=”.

【答案】

3

课堂限时检测(三十七)

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