高考数学试题汇编解三角形

第五节 解三角形 高考试题 考点一 π 12 正弦定理与余弦定理 ) 1.(2013 年湖南卷,理 3)在锐角△ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b.若 2asin B= 3 b,则角 A 等于( (A) (B) π 6 (C) π 4 (D) π 3 解析:根据正弦定理,2sin Asin B= 3 sin B, 所以 sin A= 3 , 2 又△ABC 为锐角三角形, 所以 A= 答案:D 2.(2012 年天津卷,理 6)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 8b=5c,C=2B,则 cos C 等于( (A) ) π .故选 D. 3 7 25 (B)- 7 25 (C)± 7 24 (D) 25 25 解析:由正弦定理得 则 5sin C=8sin 所以 sin C , 2 sin C c 8 = = , sin B b 5 C C (10cos -8)=0. 2 2 C -8=0, 2 在△ABC 中,只能有 10cos 即 cos C 4 = , 2 5 2 所以 cos C=2cos 答案:A C 7 -1= .故选 A. 2 25 2 2 2 3.(2012 年陕西卷,理 9)在△ABC 中,角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,若 a +b =2c ,则 cos C 的最小值为( (A) ) 3 2 (B) 2 2 (C) 1 2 (D)- 1 2 解析:由余弦定理得 cos C= a 2 ? b2 ? c 2 c2 c2 1 = ≥ 2 = , 2ab 2 ab a ? b2 2 当且仅当 a=b,即△ABC 为等腰三角形时取到等号.故选 C. 答案:C 2 4.(2011 年辽宁卷,理 4)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asin Asin B+bcos A= 2 a,则 b 等于( a ) (A)2 3 (B)2 2 (C) 3 2 (D) 2 2 解析:由正弦定理得,sin Asin B+sin Bcos A= 2 sin A, 2 2 即 sin B(sin A+cos A)= 2 sin A, 故 sin B= 2 sin A, 所以 b = 2 .故选 D. a 答案:D 5.(2011 年天津卷,理 6)如图所示,在△ABC 中,D 是边 AC 上的点,且 AB=AD,2AB= 3 BD,BC=2BD,则 sin C 的值为( ) (A) 3 3 (B) 3 6 (C) 6 3 (D) 6 6 解析:设 BD=a,则由题意可得 BC=2a,AB=AD= 3 a, 2 在△ABD 中,由余弦定理得, 3a 2 2 AB 2 ? AD 2 ? BD 2 2 ? 4 ? a 1 cos A= = = , 2 2 AB ? AD ? 3 ? 3 2?? ? 2 a? ? ? ? 所以 sin A= 1 ? cos 2 A = 2 2 , 3 在△ABC 中,由正弦定理得 AB BC = , sin C sin A 3 a 2a 2 所以 = , sin C 2 2 3 解得 sin C= 答案:D 6.(2013 年福建卷,理 13)如图,在△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,AD⊥AC,sin∠BAC= 6 .故选 D. 6 2 2 ,AB=3 2 ,AD=3,则 BD 的长为 3 . 解析:因为 AD⊥AC, 所以∠BAD=∠BAC-90°, 所以 cos∠BAD=cos(∠BAC-90°)=sin∠BAC= 在△ABD 中,由余弦定理得, BD= AB 2 ? AD2 ? 2 AB ? AD cos ?BAD = 3 . 答案: 3 7.(2012 年北京卷,理 11)在△ABC 中,若 a=2,b+c=7,cos B=解析:由余弦定理 b =a +c -2accos B, 2 2 2 2 2 , 3 1 ,则 b= 4 . 得 b =2 +(7-b) -2×2×(7-b)×(整理得 15b=60,即 b=4. 2 2 2 1 ), 4 答案:4 8.(2012 年湖北卷,理 11)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角 C= 解析:由已知得 a +b -c =-ab, cos C= ∴C= 2 2 2 . a 2 ? b2 ? c 2 1 =- , 2 2ab 2π . 3 2π 3 答案: 3 5 9.(2012 年重庆卷,理 13)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cos A= ,cos B= ,b=3,则 c= 5 13 3 5 解析:∵A、B、C 为三角形内角且 cos A= ,cos B= , 5 13 ∴sin A= . 4 12 ,sin B= . 5 13 sin C=sin[π -(A+B)] =sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B = = 4 5 3 12 × + × 5 13 5 13 56 . 65 c b = , sin C sin B 由正弦定理 56 sin C 14 得 c=b× =3× 65 = . 12 5 sin B 13 答案: 14 5 10.(2013 年湖北卷,理 17)在△ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别是 a,b,c.已知 cos 2A-3cos(B+C)=1. (1)求角 A 的大小; (2)若△ABC 的面积 S=5 3 ,b=5,求 sin Bsin C 的值. 解:(1)由 cos 2A-3cos(B+C)=1, 得 2cos A+3cos A-2=0, 即(2cos A-1)(cos A+2)=0. 解得 cos A= 2 1