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2015-2016学年贵州省遵义市高二(下)期末数学试卷(文科)

2015-2016 学年贵州省遵义市高二(下)期末数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的 1.设 i 是虚数单位,若复数 z 满足 z(1﹣i)=1+i,则复数 z=( ) A.﹣1 B.1 C.iD.﹣i 2.命题“? x∈R,x2≠x”的否定是( ) A.? x?R,x2≠x B.? x∈R,x2=x C.? x?R,x2≠x D.? x∈R,x2=x 3.为了解 1000 名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为 40 的样本,则 分段的间隔为( ) A.50 B.40 C.25 D.20 4.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 T 的值为( )

A.29 B.30 C.31 D.32

5.容量为 20 的样本数据,分组后的频数如下表

分组

[10,20) [20,30) [30,40)

频数

2

3

4

则样本数据落在区间[10,40]的频率为( )

A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.65

6.“1<x<2”是“x<2”成立的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

[40,50) 5

[50,60) 4

[60,70) 2

7.已知双曲线

=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 3x+4y=0,则双曲线离心率

e=( ) A. B. C. D. 8.设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一 组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为 =0.85x﹣85.71, 则下列结论中不正确的是( )
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A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心( , ) C.若该大学某女生身高增加 1cm,则其体重约增加 0.85kg D.若该大学某女生身高为 170cm,则可断定其体重必为 58.79kg 9.函数 f(x)=3x2+lnx﹣2x 的极值点的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.无数个 10.下面几种推理是合情推理的是( ) (1)由圆的性质类比出球的有关性质; (2)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是 180°,归纳出所有三角形的内角和 都是 180°; (3)某次考试张军成绩是 100 分,由此推出全班同学成绩都是 100 分; (4)三角形内角和是 180°,四边形内角和是 360°,五边形内角和是 540°,由此得凸多边形 内角和是(n﹣2)?180°. A.(1)(2) B.(1)(3) C.(1)(2)(4) D.(2)(4)

11.设 F1、F2 是椭圆

的左、右焦点,P 为直线 x= 上一点,△

F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形,则 E 的离心率为( )
A. B. C. D.
12.设函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数,f(﹣1)=0,当 x>0 时,xf′(x)﹣ f(x)<0,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是( ) A.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) B.(﹣1,0)∪(1,+∞) C.(﹣∞,﹣1)∪(﹣1, 0) D.(0,1)∪(1,+∞)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.曲线 y=x3﹣2x+1 在点(1,0)处的切线方程为_______. 14.在区间[﹣2,3]上随机选取一个数 X,则 X≤1 的概率为_______.

15.已知函数 f(x)= +2ax﹣lnx,若 f(x)在区间

上是增函数,则实数 a 的

取值范围是_______. 16.用长为 18m 的钢条围成一个长方体框架,要求长方形的长与宽之比为 2:1,则该长方 体的体积最大值为_______m3.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.如图:是 y=f(x)= x3﹣2x2+3a2x 的导函数 y=f′(x)的简图,它与 x 轴的交点是(1,
0)和(3,0) (1)求 y=f(x)的极小值点和单调减区间; (2)求实数 a 的值.

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18.已知命题 p:方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,命题 q:关于 x 的方程 x2+2mx+2m+3=0 无实根,若“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,求实数 m 的取值范围. 19.20 名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频数分布直方图如图所示. (Ⅰ)求频数直方图中 a 的值; (Ⅱ)分别球出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数.
20.已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴上,且抛物线上有一点 P(4,m)到焦点的 距离为 6. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)若抛物线 C 与直线 y=kx﹣2 相交于不同的两点 A、B,且 AB 中点横坐标为 2,求 k 的值. 21.已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,左、右焦点分别为 F1、F2,过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,△AF1F2 的周长为 6. (1)求椭圆 C 的方程; (2)当直线 AB 的斜率为 1 时,求△F2AB 的面积. 22.已知函数 f(x)=x2﹣ax﹣alnx(a∈R). (1)当 x=1 时,函数 f(x)取得极值,求函数的单调区间; (2)当 x∈[e,+∞)时,f(x)≥0 恒成立,求 a 的取值范围.
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2015-2016 学年贵州省遵义市高二(下)期末数学试卷(文 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的 1.设 i 是虚数单位,若复数 z 满足 z(1﹣i)=1+i,则复数 z=( ) A.﹣1 B.1 C.iD.﹣i 【考点】复数代数形式的乘除运算.

【分析】由 z(1﹣i)=1+i,得

,然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

【解答】解:由 z(1﹣i)=1+i,



=



则复数 z=i. 故选:C.

2.命题“? x∈R,x2≠x”的否定是( ) A.? x?R,x2≠x B.? x∈R,x2=x C.? x?R,x2≠x D.? x∈R,x2=x 【考点】命题的否定. 【分析】根据全称命题的否定是特称命题,利用特称命题写出命题的否定命题. 【解答】解:根据全称命题的否定是特称命题,

∴命题的否定是:? x0∈R, 故选:D.

=x0.

3.为了解 1000 名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为 40 的样本,则 分段的间隔为( ) A.50 B.40 C.25 D.20 【考点】系统抽样方法. 【分析】根据系统抽样的定义,即可得到结论. 【解答】解:∵从 1000 名学生中抽取 40 个样本, ∴样本数据间隔为 1000÷40=25. 故选:C.

4.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 T 的值为( )

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A.29 B.30 C.31 D.32 【考点】程序框图. 【分析】根据已知中的流程图,我们模拟程序的运行结果,看变量 T,S 的值是否满足判断 框的条件,当判断框的条件不满足时执行循环,满足时退出循环,即可得到输出结果. 【解答】解:模拟执行程序,可得: T=0,S=0,不满足条件 T>S,执行循环, S=5,n=2,T=2,不满足条件 T>S,执行循环, S=10,n=4,T=6,不满足条件 T>S,执行循环, S=15,n=6,T=12,不满足条件 T>S,执行循环, S=20,n=8,T=20,不满足条件 T>S,执行循环, S=25,n=10,T=30,满足条件 T>S,退出循环, 执行输出语句,输出 T=30. 故选:B.

5.容量为 20 的样本数据,分组后的频数如下表

分组

[10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70)

频数

2

3

4

5

4

2

则样本数据落在区间[10,40]的频率为( )

A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.65

【考点】频率分布表.

【分析】先求出样本数据落在区间[10,40]频数,然后利用频率等于频数除以样本容量求出

频率即可.

【解答】解:由频率分布表知:

样本在[10,40]上的频数为 2+3+4=9,

故样本在[10,40]上的频率为 9÷20=0.45.

故选:B.

6.“1<x<2”是“x<2”成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.

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【分析】设 A={x|1<x<2},B={x|x<2},判断集合 A,B 的包含关系,根据“谁小谁充分, 谁大谁必要”的原则,即可得到答案. 【解答】解:设 A={x|1<x<2},B={x|x<2}, ∵A?B, 故“1<x<2”是“x<2”成立的充分不必要条件. 故选 A.

7.已知双曲线

=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 3x+4y=0,则双曲线离心率

e=( ) A. B. C. D. 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】由双曲线渐近线方程得 b= a,从而可求 c,最后用离心率的公式,可算出该双曲 线的离心率.

【解答】解:∵双曲线

=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 3x+4y=0,

∴b= a,

∴c=

= a,

∴e= = . 故选:A.

8.设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一
组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为 =0.85x﹣85.71,
则下列结论中不正确的是( ) A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心( , ) C.若该大学某女生身高增加 1cm,则其体重约增加 0.85kg D.若该大学某女生身高为 170cm,则可断定其体重必为 58.79kg 【考点】回归分析的初步应用.
【分析】根据回归方程为 =0.85x﹣85.71,0.85>0,可知 A,B,C 均正确,对于 D 回归方
程只能进行预测,但不可断定. 【解答】解:对于 A,0.85>0,所以 y 与 x 具有正的线性相关关系,故正确; 对于 B,回归直线过样本点的中心( , ),故正确;

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对于 C,∵回归方程为 =0.85x﹣85.71,∴该大学某女生身高增加 1cm,则其体重约增加 0.85kg,故正确; 对于 D,x=170cm 时, =0.85×170﹣85.71=58.79,但这是预测值,不可断定其体重为 58.79kg,故不正确 故选 D.

9.函数 f(x)=3x2+lnx﹣2x 的极值点的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.无数个 【考点】函数在某点取得极值的条件. 【分析】先求出导数 f′(x),进而判断其单调性,即可得出答案.

【解答】解:函数定义域为(0,+∞),且 f′(x)=6x+ ﹣2=



由于 x>0,g(x)=6x2﹣2x+1 中△=﹣20<0, ∴g(x)>0 恒成立,故 f′(x)>0 恒成立,即 f(x)在定义域上单调递增,无极值点. 故选 A.

10.下面几种推理是合情推理的是( ) (1)由圆的性质类比出球的有关性质; (2)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是 180°,归纳出所有三角形的内角和 都是 180°; (3)某次考试张军成绩是 100 分,由此推出全班同学成绩都是 100 分; (4)三角形内角和是 180°,四边形内角和是 360°,五边形内角和是 540°,由此得凸多边形 内角和是(n﹣2)?180°. A.(1)(2) B.(1)(3) C.(1)(2)(4) D.(2)(4) 【考点】合情推理的含义与作用. 【分析】本题考查的是合情推理、演绎推理的定义,判断一个推理过程是否是类比推理关键 是看他是否符合类比推理的定义,即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程,类 比推理的是看是否符合类比推理的定义. 【解答】解:(1)为类比推理,在推理过程由圆的性质类比出球的有关性质. (2)为归纳推理,关键是看他直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是 180°推出所 有三角形的内角和都是 180°,符合归纳推理的定义,即是由特殊到一般的推理过程. (3)不是合情推理,是由个别到全体的推理过程. (4)为归纳推理 故选 C.

11.设 F1、F2 是椭圆

的左、右焦点,P 为直线 x= 上一点,△

F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形,则 E 的离心率为( ) A. B. C. D.

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【考点】椭圆的简单性质. 【分析】利用△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形,可得|PF2|=|F2F1|,根据 P 为直线 x= 上一点,可建立方程,由此可求椭圆的离心率. 【解答】解:∵△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形, ∴|PF2|=|F2F1| ∵P 为直线 x= 上一点

∴ 故选 C.

12.设函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数,f(﹣1)=0,当 x>0 时,xf′(x)﹣ f(x)<0,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是( ) A.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) B.(﹣1,0)∪(1,+∞) C.(﹣∞,﹣1)∪(﹣1, 0) D.(0,1)∪(1,+∞) 【考点】函数的单调性与导数的关系.

【分析】由已知当 x>0 时总有 xf′(x)﹣f(x)<0 成立,可判断函数 g(x)=

为减

函数,由已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,可证明 g(x)为(﹣∞,0)∪(0,+∞)上 的偶函数,根据函数 g(x)在(0,+∞)上的单调性和奇偶性,模拟 g(x)的图象,而不 等式 f(x)>0 等价于 x?g(x)>0,数形结合解不等式组即可.

【解答】解:设 g(x)=

,则 g(x)的导数为:g′(x)=



∵当 x>0 时总有 xf′(x)<f(x)成立, 即当 x>0 时,g′(x)恒小于 0,

∴当 x>0 时,函数 g(x)=

为减函数,

又∵g(﹣x)=

=

=

=g(x),

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∴函数 g(x)为定义域上的偶函数

又∵g(﹣1)=

=0,

∴函数 g(x)的图象性质类似如图: 数形结合可得,不等式 f(x)>0?x?g(x)>0

?





?0<x<1 或 x<﹣1. 故选:A.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.曲线 y=x3﹣2x+1 在点(1,0)处的切线方程为 x﹣y﹣1=0 . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】求出函数的导函数,取 x=1 得到函数在 x=1 处的导数,直接代入直线方程的点斜 式得答案. 【解答】解:由 y=x3﹣2x+1,得 y′=3x2﹣2. ∴y′|x=1=1. ∴曲线 y=x3﹣2x+1 在点(1,0)处的切线方程为 y﹣0=1×(x﹣1). 即 x﹣y﹣1=0. 故答案为:x﹣y﹣1=0.

14.在区间[﹣2,3]上随机选取一个数 X,则 X≤1 的概率为



【考点】几何概型. 【分析】利用几何槪型的概率公式,求出对应的区间长度,利用长度比求概率. 【解答】解:在区间[﹣2,3]上随机选取一个数 X, 则﹣2≤X≤3,

则 X≤1 的概率 P=

=,

故答案为: .

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15.已知函数 f(x)= +2ax﹣lnx,若 f(x)在区间

取值范围是 a≥ .

【考点】利用导数研究函数的单调性.

【分析】由题意,(f x)在区间

上是增函数可化为

恒成立,从而再化为最值问题.

【解答】解:∵f(x)在区间

上是增函数,





恒成立,





恒成立,

∵﹣x+ 在

上是减函数,











故答案为:a≥ .

上是增函数,则实数 a 的 在

16.用长为 18m 的钢条围成一个长方体框架,要求长方形的长与宽之比为 2:1,则该长方 体的体积最大值为 3 m3. 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;基本不等式. 【分析】根据题意知,长方体的所有棱长和是 18m,故可设出宽,用宽表示出长和高,将体 积表示成宽的函数,用导数来求其最大值即可.
【解答】解:设该长方体的宽是 x 米,由题意知,其长是 2x 米,高是 ﹣3x 米,(0<x< )
则该长方体的体积 V(x)=x?2x?( ﹣3x)=﹣6x3+9x2, 由 V′(x)=﹣18x2+18x=0,得到 x=1, 当 0<x<1 时,V′(x)>0;当 1<x< 时,V′(x)<0,
即体积函数 V(x)在 x=1 处取得极大值 V(1)=3, 也是函数 V(x)在定义域上的最大值. 所以该长方体体积最大值是 3. 故答案为:3.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.如图:是 y=f(x)= x3﹣2x2+3a2x 的导函数 y=f′(x)的简图,它与 x 轴的交点是(1,
0)和(3,0)
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(1)求 y=f(x)的极小值点和单调减区间; (2)求实数 a 的值.

【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】(1)先利用其导函数 f'(x)图象,判断导函数值的正负来求其单调区间,进而求 得其极值.(注意是在定义域内研究其单调性) (2)由图知,f'(1)=0 且 f'(3)=0,代入导函数解析式得到关于 a 的方程,解出即可. 【解答】解:(1)由 f(x)= x3﹣2x2+3a2x 的导函数 y=f'(x)的图象可知:导函数 f'(x)
小于 0 的解集是(1,3); 函数 f(x)= x3﹣2x2+3a2x 在 x=1,x=3 处取得极值,且在 x=3 的左侧导数为负右侧导数
为正. 即函数在 x=3 处取得极小值,函数的单调减区间为(1,3). (2)由于 f(x)= x3﹣2x2+3a2x 的导函数 f'(x)=ax2﹣4x+3a2,又由(1)知,f'(1)=0
且 f'(3)=0



解得 a=1.

则实数 a 的值为 1.

18.已知命题 p:方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,命题 q:关于 x 的方程

x2+2mx+2m+3=0 无实根,若“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,求实数 m 的取值范围. 【考点】复合命题的真假. 【分析】先将命题 p,q 化简,然后由“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题得出 p,q 恰有一真 一假,分类讨论即可.

【解答】解:∵方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,∴m>2;

∵关于 x 的方程 x2+2mx+2m+3=0 无实根,∴4m2﹣4(2m+3)<0,解得﹣1<m<3, “p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题?p,q 恰有一真一假,

①若“p 真 q 假”,则

,即 m≥3,

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②若“p 假 q 真”,则

,即﹣1<m≤2,

综上,实数 m 的取值范围是(﹣1,2]∪[3,+∞).

19.20 名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频数分布直方图如图所示. (Ⅰ)求频数直方图中 a 的值; (Ⅱ)分别球出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数.

【考点】频率分布直方图. 【分析】(I)根据所有小矩形的面积之和为 1 求 a 的值; (II)根据频率=小矩形的高×组距求得成绩落在[50,60)与[60,70)的频率,再利用频 数=样本容量×频率求得人数. 【解答】解:(I)由频率分布直方图得:(2a+3a+7a+6a+2a)×10=1? a=0.005; (II)成绩落在[50,60)与[60,70)的频率分布为 0.01×10+0.015×10=0.25, ∴成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数为 20×0.25=5(人).

20.已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴上,且抛物线上有一点 P(4,m)到焦点的 距离为 6. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)若抛物线 C 与直线 y=kx﹣2 相交于不同的两点 A、B,且 AB 中点横坐标为 2,求 k 的值. 【考点】抛物线的标准方程;直线与圆锥曲线的关系.
【分析】(Ⅰ)由题意设:抛物线方程为 y2=2px,其准线方程为 x=﹣ ,根据抛物线的大于

可得:4+

,进而得到答案.(Ⅱ)联立直线与抛物线的方程得 k2x2﹣(4k+8)x+4=0,

根据题意可得△=64(k+1)>0 即 k>﹣1 且 k≠0,再结合韦达定理可得 k 的值. 【解答】解:(Ⅰ)由题意设抛物线方程为 y2=2px,其准线方程为 x=﹣ ,

∵P(4,m)到焦点的距离等于 A 到其准线的距离,

∴4+

∴p=4

∴抛物线 C 的方程为 y2=8x

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(Ⅱ)由

消去 y,得 k2x2﹣(4k+8)x+4=0

∵直线 y=kx﹣2 与抛物线相交于不同两点 A、B,则有 k≠0,△=64(k+1)>0,解得 k> ﹣1 且 k≠0,



=2,

解得 k=2,或 k=﹣1(舍去) ∴k 的值为 2.

21.已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,左、右焦点分别为 F1、F2,过 F1
的直线交椭圆于 A、B 两点,△AF1F2 的周长为 6. (1)求椭圆 C 的方程; (2)当直线 AB 的斜率为 1 时,求△F2AB 的面积. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】(1)利用离心率,椭圆的定义,列出方程组,即可求的 a、b 和 c 的值,即可求得 椭圆 C 的方程; (2)求得焦点坐标,求得 AB 的直线方程,代入椭圆方程,求得关于 x 的一元二次方程, 由韦达定理求得 x1+x2,x1?x2,由弦长公式及点到直线的距离公式求得丨 AB 丨和 d,由三 角形面积公式即可求得△F2AB 的面积.
【解答】解:(1)由离心率 e= = ,
a=2c, ∵△AF1F2 的周长为 6, 即 2a+2c=6,即 a+c=3, 即可求得 a=2,c=1, b2=a2﹣c2=3

故椭圆 C 的方程:



(2)由(1)可知焦点 F1(﹣1,0), 直线 AB 的方程:y=x+1, 将直线方程代入椭圆方程得: 7x2+8x﹣8=0,
由 x1+x2=﹣ ,x1?x2=﹣

由弦长公式丨 AB 丨=

?







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=,

F2 到直线的距离为 d=

=,

△F2AB 的面积 S= ×d×丨 AB 丨= × × =



22.已知函数 f(x)=x2﹣ax﹣alnx(a∈R). (1)当 x=1 时,函数 f(x)取得极值,求函数的单调区间; (2)当 x∈[e,+∞)时,f(x)≥0 恒成立,求 a 的取值范围. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的极值. 【分析】(1)求导数,利用函数 f(x)在 x=1 处取得极值,可得 f′(1)=0,即可求 a 的值.

(2)当 x∈[e,+∞),f(x)≥0 恒成立,等价于 a≤

在 x∈[e,+∞)时恒成立,求

最值,即可求 a 的取值范围

【解答】解:(1)f′(x)=2x﹣a﹣ ,

由题意可得 f′(1)=2﹣2a=0,解得 a=1; 经检验,a=1 时 f(x)在 x=1 处取得极值, 所以 a=1. (2)由 x∈[e,+∞)知,x+lnx>0,

所以 f(x)≥0 恒成立等价于 a≤

在 x∈[e,+∞)时恒成立,

令 h(x)=

,x∈[e,+∞),

有 h′(x)=

>0,

所以 h(x)在[e,+∞)上是增函数, 有 h(x)≥h(e)= ,

所以 a≤ .

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