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四川省成都市第七中学2015届高三3月第二周周练(数学)


2

一、选择题(每小题 5 分,共 10 个小题,每题只有一个正确答案)
2 1.已知集合 M ? x x ? 1 ? 1 ,集合 N ? x x ? 2 x ? 3 ,则 M ? CR N ? (

?

?

?

?



A. x 0 ? x ? 2

?

?
? ?

B. x ?? ? x ? 2

?

?

C. x ? 1 ? x ? 0或2 ? x ? 3

?

?

D. ?

2.函数 f ? x ? ? 1n ? x ?

1? ? 的图象是( x?



3.已知等差数列 ?an ? 中, 前 10 项的和等于前 5 项的和.若 am ? a6 ? 0 则 m ?( A.10
7

) B.9
3

C.8

D.2

4.在 ? ax ? 1? 的展开式中, x 项的系数是 x 2 项系数和 x5 项系数的等 比中项,则实数 a 的值为( A. )

25 9

B.

4 5

C.

25 3

D.

5 3


5.执行如下图(左)所示的程序框图,若输出 s 的值为 16,那么输入的 n 值等于( A.5 B.6 C.7 D.8 )

6.某几何体的三视图如下图(右)所示,则该几何体的体积为( A.10 B.20 C.40 D.60

7.已知 ?ABC 的重心为 G,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c , 则 sin A : sin B : sin C ? ( B. 3: 2 3 : 2 C. 3 : 2 :1

若 A.1:1:1



D. 3 :1: 2

? i b (a、b ? R ? | |? z |a | ? | b | , 是虚数单位 i ) z1 , z2 ? C , 定 义 : D( z ) 8. 已 知 z ? a , ,

|

|

D( z1 , z2 ) ?|| z1 ? z2 || .给出下列命题:
(1)对任意 z ? C ,都有 D(z) ? 0 ; (2)若 z 是复数 z 的共轭复数,则 D( z ) ? D(z) 恒成立;

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2

2

(3)若 D(z1 ) ? D(z 2 ) (z1 、 z2 ? C) ,则 z1 ? z2 ; (4) 对任意 z1、z2、z3 ? C , 结论 D(z1 , z3 ) ? D(z1 , z2 ) ? D(z2 , z3 ) 恒成立, 则其中真命题的个数是 ( A.4 9.设双曲线 B.3 C.2 D.1 ) .

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) 的右焦点为 F ,过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两渐近线于 A, B 两 a 2 b2 uu u r uur uu u r 3 点,且与双曲线在第一象限的交点为 P ,设 O 为坐标原点,若 OP ? ?OA ? ?OB(?, ? ? R) ,? ? ? ? ,
16
则双曲线的离心率为( A. ) B.

2 3 3

3 5 5

C.

3 2 2

D.

9 8

10. 已 知 函 数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 在 点 O 、 点 A 处 取 到 极 值 , 其 中 O 是 坐 标 原 点 , A 在 曲 线

? ? 2? ? y ? x 2 sinx ? x cos x x ,?? , 上,则曲线 y ? f ( x) 的切线的斜率的最大值是( ?3 3 ? ?
A.



3 3? 3 ? 4 4

B.

3 3? 3 ? 4 4

C.

3 2

D.

3? 4

二、填空题(每小题 5 分,共 5 个小题,请填入符合要求的答案) 11.已知命题 p : f ? x ? ?

1 ? 2m 2 在区间 (0,+?) 上是减函数; 命题 q: 不等式 ? x ? 1? ? m 的解集为 R.若命 x

题“ p ? q ”为真,命题“ p ? q ”为假,则实数 m 的取值范围是______________. 12. 某 A、B、C 三个社团,现有甲、乙、丙、丁四位同学报名参加,规定每位同学只能报一个社团,三个 社团都要有新人加入,且甲同学不能参加 A 社团.则不同的报名方式种数为______________.

? 2 x ? y ? 2 ? 0, ? 13.设实数 x , y 满足约束条件 ?8 x ? y ? 4 ? 0, ,若目标函数 z ? abx ? y(a ? 0, b ? 0) 的最大值为 8,则 ? x ? 0, y ? 0 ?
a ? b 的最小值为______________.
14.函数 f ( x) ? min 2 x , x ? 2 ,其中 min ?a , b? ? ?

?

?

?a, a ? b ,若动直线 y ? m 与函数 y ? f ( x) 的图 ?b, a ? b

像有三个不同的交点,它们的横坐标分别为 x1 , x2 , x3 ,则 x1 ? x2 ?x 3 是否存在最大值?若存在,在横线处填 写其最大值;若不存在,直接填写“不存在”______________. 15.定 义 一 : 对 于 一 个 函 数 f ( x ) ( x ∈ D ) , 若 存 在 两 条 距 离 为 d 的 直 线 y = kx + m 1 和 y = kx
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2

+ m 2 ,使 得 在 x ∈ D 时 , kx + m 1 ≤ f( x ) ≤kx + m 2 恒 成 立 ,则 称 函 数 f( x )在 D 内 有 一 个 宽 度 为 d 的通道. 定 义 二 : 若 一 个 函 数 f( x ) , 对 于 任 意 给 定 的 正 数 ? , 都 存 在 一 个 实 数 x 0 , 使 得 函 数 f( x ) 在 [x 0 , + ∞ ) 内 有 一 个 宽 度 为 ? 的 通 道 , 则 称 f ( x ) 在 正 无 穷 处 有 永 恒 通 道 . 下 列 函 数 : ① f ( x ) = lgx ; ② f ( x ) =

| s i nx | ; ③ f( x ) = - x

x 2 ?1 ; ④ f ( x ) =

x ; ⑤ f( x) = 2x;

⑥ f ( x ) = 3x - 1 .其 中 在 正 无 穷 处 有 永 恒 通 道 的 所 有 函 数 的 序 号 是 ______________. x

(2)设 ? 为这 3 个数中两数相邻的组数(例如:若取出的数为 1,2,3,则有两组相邻的数 1,2 和 2,3, 此时 ? 的值是 2 ) .求随机变量 ? 的分布列及其数学期望 E? .

17.(本小题满分 12 分)如图 1,在 Rt ?ABC 中, ?C ? 90? , BC ? 2 , AC ? 4 . DE / / BC ,将 ?ADE 沿 DE 折起到 ?A1 DE 的位置,使 A1D ? CD ,如图 2. (Ⅰ)求证: BC ? 平面 A1DC ; A D C D E B 图1 E B 图2 C A1

(Ⅱ)若 CD ? 2 ,求平面 A1 BE 与平面 A1 BC 所成二面角的大小.

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2

2

18. (本小题满分 12 分) 如图, 在海岸线 EF 一侧有一休闲游乐场, 游乐场的前一部分边界为曲线段 FGBC , 该 曲 线 段 是 函 数 y ? Asin( ? x ? ? ) (A ? 0 ? , ? 0? , ? (0, ? , )) x ?[?4, 0] 的 图像 , 图 像 的 最 高 点为

EF .游乐场的后一部分边界是以 O 为圆心 B(?1, 2) .边界的中间部分为长1千米的直线段 CD ,且 CD∥
的一段圆弧 .

(1)求曲线段 FGBC 的函数表达式; (2)曲线段 FGBC 上的入口 G 距海岸线 EF 最近距离为 1千米,现准备从入口 G 修一条笔直的景观路到

O ,求景观路 GO 长;
(3)如图,在扇形 ODE 区域内建一个平行四边形休闲区 OMPQ ,平行四边形的一边在海岸线 EF 上, 一边在半径 OD 上,另外一个顶点 P 在圆弧 最大值及此时 ? 的值. 上,且 ?POE ? ? ,求平行四边形休闲区 OMPQ 面积的

19. (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 满足: a1 ? 1 , 2an?1 ? 2an ?1 ? 0, n ? N? .数列 {bn } 的前 n 项和为

?1? S n , Sn ? 9 ? ? ? ? 3?

n?2

, n ? N? .

(Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ? anbn , n ? N .求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn .
?

y
20 . (本小题满分 13 分)在平面直角坐标系中,已知动点 M ( x, y) ,点 点 N 与点 M 关于直线 y ? x 对称,且 G A(0,1),B (0, ? 1), D (1, 0),
AN ? BN ? 1 2 .直线 l 是过点 D 的任意一条直线. x 2

B C

2 Q

D P M E x

F(- 4,0)

-1 O

(1)求动点 M 所在曲线 C 的轨迹方程;
第 4 页(共 21 页) 2

2

(2)设直线 l 与曲线 C 交于 G、H 两点,且 | GH |?

3 2 ,求直线 l 的方程; 2

(3) 设直线 l 与曲线 C 交于 G、H 两点,求以 | GH | 为直径且经过坐标原点 O 的圆的方程.

21. (本小题满分 14 分)设 f ( x ) 是定义在 ?1, ?? ? 上函数,其导数为 f / ( x) .如果存在实数 a 和函数 h( x) ,
/ 2 (其中 h( x) 对任意的 x ? ?1, ?? ? 都有 h( x) ? 0 ) ,使得 f ( x ) ? h( x ) x ? ax ? 1 ,则称函数 f ( x ) 具有性

?

?

质 P( a ). (I)设函数 f ( x) ? ln x ?

b?2 ( x ? 1) ,其中 b 为实数. x ?1

(1)求证:函数 f ( x ) 具有性质 P(b) ; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间. (II)已知函数 g ( x) 具有性质 P(2).给定 x1 , x2 ? ?1, ??? , x1 ? x2 ,设 m 为实数, ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ,

? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ,且 ? , ? ? ?1, ??? ,若 | g (? ) ? g (? ) |?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | ,求 m 的取值范围.

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2

2

成都七中高 2015 届数学第二周周末作业 参考答案 一、选择题
2 1.已知集合 M ? x x ? 1 ? 1 ,集合 N ? x x ? 2 x ? 3 ,则 M ? CR N ? (

?

?

?

?



A. x 0 ? x ? 2 【答案】 D

?

?

B. x ?? ? x ? 2

?

?

C. x ? 1 ? x ? 0或2 ? x ? 3

?

?

D. ?

M ? ?x | x ? 1 ? 1? ? ?x | ?1 ? x ? 1 ? 1? ? ?x | 0 ? x ? 2? , N ? ?x | x 2 ? 2x ? 3 ? 0? ? ?x | ?1 ? x ? 3?,

则 C R N ? ?? ?,?1? ? ?3,???, M ? (C R N ) ? ? . 考点:集合的运算. 2.函数 f ? x ? ? 1n ? x ?

? ?

1? ? 的图象是( x?



【答案】B

1? 1 ? ? ? f ( x) ? ln? x ? ? 的定义域为 ? x | x ? ? 0? ? ?? 1,0? ? (1,??) ,所以排除 A,D;当 x ? 1 x? x ? ? ? ? ? 1? ? 为增函数,所以排除 D,故选 B. x?

时, f ( x) ? ln? x ?

考点:函数的图像与性质. 3.已知等差数列 ?an ? 中,前 10 项的和等于前 5 项的和.若 am ? a6 ? 0 则 m ? ( A.10 【答案】A B.9 C.8 D.2 )

由已知得 S10 ? S5 ? a6 ? a7 ? a8 ? a9 ? a10 ? 0 ,可得 a1 ? ?7d ;

又由 am ? ?a6 ? a7 ? a8 ? a9 ? a10 ? 4a1 ? 30d ? a1 ? (m ? 1)d , 从而有 (m ? 1)d ? 9d ,当时 d ? 0 时,m 可为任意正整数值与题意不合; 当 d ? 0 时,得 m=10。故选 A. 考点:等差数列.
第 6 页(共 21 页) 2

2

4.在 ? ax ? 1? 的展开式中, x 3 项的系数是 x 2 项系数和 x5 项系数的等比中项,则实数 a 的值为(
7



A.

25 9

B.

4 5

C.

25 3
7

D.

5 3

【答案】 A

? ax ? 1?

k k 7 ?k 7 ? k 的展开式的通项为 Tk ?1 ? C7 (ax) 7?k ? C7 a x ,分别令 k ? 5,4,2 ,得到

x 2 , x 3 , x 5 的系数依次为 21a 2 ,35a 3 ,21a 5 ,由题意,得 (35a 3 ) 2 ? 21? 21a 7 ,解得 a ?
5.执行如图所示的程序框图,若输出 s 的值为16,那么输入的 n 值等于( ) A.5 【答案】C B.6 C.7 D.8

25 . 9

初始条件:i=1,s=1,n;

第 1 次运行:1<n 是,s=1+(1-1)=1,i=1+1=2; 第 2 次运行:2<n 是,s=1+(2-1)=2,i=2+1=3; 第 3 次运行:3<n 是,s=2+(3-1)=4,i=3+1=4; 第 4 次运行:4<n 是,s=4+(4-1)=7,i=4+1=5; 第 5 次运行:5<n 是,s=7+(5-1)=11,i=5+1=6; 第 6 次运行:6<n 是,s=11+(6-1)=16,i=6+1=7; 第 7 次运行:7<n 否,输出 s=16; 故知输入的 n=7;故选 C. 考点:算法与程序框图. 6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A.10 【答案】B B.20 C.40 D.60 )

由三视图可知该几何体直观如图所示:

且三角形 ABC 是以角 A 为直角的直角三角形,AB=4,AC=3,从而 BC=5; 又 BD=5,且 BD ? 平面 ABC,故知四边形 BCED 是边长为 5 的正方形, 过 A 作 AH ? BC 于 H, 则易知 AH ? 平面 BCED, 在直角三角形 ABC 易求得 AH= 从而 V ? V A? BCED ?

12 , 5

1 1 12 ? S 正方形 BCED ? AH ? ? 5 ? 5 ? ? 20 ;故选 B. 3 3 5
E D

考点:三视图及几何体体积. 7. 已 知 ?ABC 的 重 心 为 G , 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 若 则 sin A : sin B : sin C ? (



C H B

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2

A

2

A.1:1:1 【答案】B

B. 3: 2 3 : 2

C. 3 : 2 :1

D. 3 :1: 2

因为 G 是 ?ABC 的重心,则 GA ? GB ? GC ? 0 ,又 2aGA ? 3bGB ? 3cGC ? 0 ,则

?2a ? 3c ? 0 , 2aGA ? 3bGB ? 3c(GA ? GB) ? 0 ,即 (2a ? 3c)GA ? ( 3b ? 3c)GB ? 0 ,则 ? ? 3b ? 3c ? 0
即 a : b : c ? 3 : 2 3 : 2 ;由正弦定理,得 sin A : sin B : sin C ? 3 : 2 3 : 2 . 考点:平面向量的线性运算、正弦定理. 8 . 已 知 z ? a? ib (a、b ? R , , 是虚数单位 i ) z1 , z2 ? C , 定 义 : D( z ) ?|| z ||?| a | ? | b | ,

D( z1 , z2 ) ?|| z1 ? z2 || .给出下列命题:
(1)对任意 z ? C ,都有 D(z) ? 0 ; (2)若 z 是复数 z 的共轭复数,则 D( z ) ? D(z) 恒成立;

z2 ? C) ,则 z1 ? z2 ; (3)若 D(z1 ) ? D(z 2 ) (z1 、
(4) 对任意 z1、z2、z3 ? C , 结论 D(z1 , z3 ) ? D(z1 , z2 ) ? D(z2 , z3 ) 恒成立, 则其中真命题的个数是 ( A.4 【答案】C B.3 C.2 D.1 ) .

对于(1) ,由定义当 z=0 时,D(z)=0,故(1)错误;对于(2)由于共轭复数的实部相等

而虚部互为相反数,所以 D( z ) ? D(z) 恒成立,故(2)正确;对于(3)两个复数的实部与虚部的绝对值 和相等并不能得到实部与虚部分别相等,所以两个复数也不一定相等,故(3)错误; (4)正确.从而应选 C. 考点:1.创新题;2.复数的概念.

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) 的右焦点为 F , 过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两渐近线于 A, B 两 a 2 b2 uu u r uur uu u r 3 点,且与双曲线在第一象限的交点为 P ,设 O 为坐标原点,若 OP ? ?OA ? ?OB(?, ? ? R) ,? ? ? ? ,
9.设双曲线

16

则双曲线的离心率为( A.

) B.

2 3 3

3 5 5

C.

3 2 2

D.

9 8

【答案】A

直线 l 的方程为 x ? c ,与双曲线渐近线 y ? ?

b bc bc x 的交点为 A( c, ), B ( c, ? ) ,与双曲 a a a

线 在 第 一 象 限 的 交 点 为 P ( c,

b2 b2 bc bc ) , 所 以 OP ? ( c, ) , OA ? (c, ), OB ? ( c, ? ) , 由 a a a a
2

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2

? ?c ? ? c ? ?c ? 2 uu r uu r uu r 2 3 bc bc ?b ,解之得 c ? 2b, ,所以 a ? 3b , e ? ,故选 OP ? ?OA ? ?OB(?, ? ? R) 得 ? ? ? ? ? ? ? 3 a a a ? 3 ? ?? ? ? 16 ?
A. 10 .已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 在点 O 、点 A 处取到极值,其中 O 是坐标原点, A 在曲线 则曲线 y ? f ( x ) 的切线的斜率的最大值是( )

A.

3 3? 3 ? 4 4

B.

3 3? 3 ? 4 4

C.

3 2

D.

3? 4

【答案】D.根据题意由函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d , f (0) ? 0 ? d ? 0 ,则 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ,

设 又有 0 ? p ? ?

由 f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c, f ?(0) ? f ?( p) ? 0 ? c ? 0,? f ( x) ? ax3 ? bx2 ,

2b 2b , p ? ? 即2b ? ?3ap , 3a 3a

? f ?( x) ? 3ax2 ? 3apx ,
又 其

q ? p 2 sin p ? p cos p ? p p 2 ? 1sin( p ? ? ) ,


t

??

1 3 ? a ? n p ? 2?

, ?? ?

3? [ 4

, ,



]



(
)

p ?? ?(

7? 1

?

1 1 , ? ? ? p ?) 即 , ? 2 1 2

q, s f ( x) 分别在 i f x ? 0, n p 处取得极小值和 ( f 所以 x? p

极大值,则 a ? 0, b ? 0 ,

bp ? psinp ? cos p , 3 p bp 3 ? 2? ? ( p sin p ? cos p), p ? [ , ] , 令 ?bp ? 3( p sin p ? cos p) , f ?( x) ? 3ax 2 ? 3apx ? f ?( ) ? 2 2 2 3 3 ? ? ? ,由 g ( x) ? p s i n p? c o sp ? , g ( x ?) p c o s p g ?( x) ?0 得 p ? ,? g ( x), f ?( x)在[ , ] 上单调递增,在 2 3 2 ? 2? ? [ , ] 上单调递减,所以 g ( x), f ?( x)在x ? 处取得唯一极大值,即最大值, 2 3 2 p 3 3 3 ? 3 ? ? ? 3? 所以 f ?( x) ? f ?( ) ? ( p sin p ? cos p) ? g ( x) ? g ( ) ? ( sin ? cos ) ? .故选 D. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 q ? f ( p) ? ap 3 ? bp 2 ? p 2 sin p ? p cos p, ? ap 2 ? bp ?
二、填空题
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2

11.已知命题 p : f ? x ? ?

1 ? 2m 2 在区间 (0,+?) 上是减函数; 命题 q: 不等式 ? x ? 1? ? m 的解集为 R.若命 x 1 ? 2m 在 区 间 (0,+?) 上 是 减 函 数 , 所 以 得 x

题“ p ? q ”为真,命题“ p ? q ”为假,则实数 m 的取值范围是________. 【 答 案 】 0?m?

1 2

因 为 p : f ? x? ?

1? 2 m? 0 ?m?

1 2 ,因为不等式 ? x ? 1? ? m 的解集为R,所以得 m ? 0 ,要保证命题“ p ? q ”为真,命 2 1 1 0 ? m ? .. .故答案为: 2 2

题“ p ? q ”为假, 则需要两个命题中只有一个正确, 而另一个不正确, 解得 0 ? m ?

12.某 A、B、C 三个社团,现有甲、乙、丙、丁四位同学报名参加,规定每位同学只能报一个社团,三个 社团都要有新人加入,且甲同学不能参加 A 社团.则不同的报名方式种数为______________. 答案:24

? 2 x ? y ? 2 ? 0, ? 13.设实数 x , y 满足约束条件 ?8 x ? y ? 4 ? 0, ,若目标函数 z ? abx ? y(a ? 0, b ? 0) 的最大值为 8,则 ? x ? 0, y ? 0 ?
a ? b 的最小值为_____________.
答案: 4 满足约束条件的平面区域如图,由 z ? abx ? y ,得 y ? ?abx ? z ,由

A( 1 ,
2 ?1

4

知 ?ab ? 0 , 所以, 当直线 y ? ?abx ? z 经过点 A(1, 4) 时, a ? 0, b ? 0, z ? abx ? y 取得最大值,这时 ab ? 4 ? 8 ,即 ab ? 4 ,所以

1 2

a ? b ≥ 2 ab ? 2 4 ? 4 ,
当且仅当 a ? b ? 2 时,上式等号成立.所以 a ? b 的最小值为 4. 14.函数 f ( x) ? min 2 x , x ? 2 ,其中 min ?a, b? ? ?

2x ? y ? 2 ?

8x ? y ? 4 ? 0 ?4

?

?

?a, a ? b ,若动直线 y ? m 与 ?b, a ? b

函数 y ? f ( x) 的图像有三个不同的交点,它们的横坐标分别为 x1 , x2 , x3 ,则 x1 ? x2 ? x 3 是否存在最大值? 若存在,在横线处填写其最大值;若不存在,直接填写“不存在”______________. 【答案】 1. 作出函数的图象(如图所示). 由?

? y?2 x ? 得 A(4 ? 2 3, 2 3 ? 2) ,由函数的图象可知,当直线 y ? m ? ? y ?| x ? 2 |

与函数 y ? f ( x) 的图像有三个不同的交点时, m 满足 0 ? m ? 2 3 ? 2 . 不 妨 设 0 ? x1 ? x 2 ?2? x , 则 由 2 x1 ? m 得 x1 ? 3

m2 , 由 4
2

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2

| x2 ? 2 |? 2 ? x2 ? m 得 x2 ? 2 ? m ,由 | x3 ? 2 |? x3 ? 2 ? m 得 x3 ? ?2 ,且 2 ? m ? 0, m ? 2 ? 0,
所以 x1 ? x2 ? x3 ?

m2 1 1 m2 ? (4 ? m2 ) 2 ? (2 ? m) ? (2 ? m) ? m2 (4 ? m2 ) ? [ ] ? 1 ,故答案为 1. 4 4 4 2

15.定 义 一 : 对 于 一 个 函 数 f ( x ) ( x ∈ D ) , 若 存 在 两 条 距 离 为 d 的 直 线 y = kx + m 1 和 y = kx + m 2 ,使 得 在 x ∈ D 时 , kx + m 1 ≤ f( x ) ≤kx + m 2 恒 成 立 ,则 称 函 数 f( x )在 D 内 有 一 个 宽 度 为 d 的通道. 定 义 二 : 若 一 个 函 数 f( x ) , 对 于 任 意 给 定 的 正 数 ? , 都 存 在 一 个 实 数 x 0 , 使 得 函 数 f( x) 在 [x 0 , + ∞ ) 内 有 一 个 宽 度 为 ? 的 通 道 , 则 称 f ( x ) 在 正 无 穷 处 有 永 恒 通 道 . 下 列 函 数 : ② f ( x ) = lgx ,② f( x )=

| s i nx | ,③ f( x ) = - x

x 2 ?1 , ④ f ( x )=

x , ⑤ f( x ) = 2 x , ⑥ f

( x ) = 3x - 1 .其 中 在 正 无 穷 处 有 永 恒 通 道 的 所 有 函 数 的 序 号 是 ___________ . x 【答案】②③⑥. ① f( x )= lgx ,随 着 x 的 增 大 ,函 数 值 也 在 增 大 ,无 渐 近 线 ,故 不 存 在 一 个 实 数 x 0 ,使 得 函 数 f( x )在 [x 0 ,+ ∞ )内 有 一 个 宽 度 为 ? 的 通 道 ,故 f( x )在 正 无 穷 处 无 永 恒 通 道; ② f( x )=

| sin x | ,随 着 x 的 增 大 ,函 数 值 趋 近 于 0 ,对 于 任 意 给 定 的 正 数 ? ,都 存 在 一 个 实 数 x

x 0 ,使 得 函 数 f( x )在 [x 0 ,+ ∞ )内 有 一 个 宽 度 为 ? 的 通 道 ,故 f( x )在 正 无 穷 处 有 永 恒 通 道 ; ③ f( x) = -
x 2 ?1 , 随 着 x 的 增 大 , 函 数 值 在 减 小 , 有 一 条 渐 近 线 y = - x , 对 于 任 意 给 定 的

正 数 ? ,都 存 在 一 个 实 数 x 0 ,使 得 函 数 f( x )在 [x 0 ,+ ∞ )内 有 一 个 宽 度 为 ? 的 通 道 ,故 f( x ) 在正无穷处有永恒通道; ④ f( x )=
x ,随 着 x 的 增 大 ,函 数 值 也 在 增 大 ,无 渐 近 线 ,故 不 存 在 一 个 实 数 x 0 ,使 得 函 数

f ( x ) 在 [x 0 , + ∞ ) 内 有 一 个 宽 度 为 ? 的 通 道 , 故 f ( x ) 在 正 无 穷 处 无 永 恒 通 道 ; ⑤ f( x) = ex, 随 着 x 的 增 大 , 函 数 值 无 线 增 大 , 没 有 渐 近 线 , 在 正 无 穷 处 没 有 永 恒 通 道 ; ⑥f ( x ) = 3x - 1 , 随 着 x 的 增 大 , 函 数 值 也 在 增 大 , 存 在 渐 近 线 为 y = 3x 对 于 任 意 给 定 的 正 x 数 ? , 都 存 在 一 个 实 数 x 0 , 使 得 函 数 f ( x ) 在 [x 0 , + ∞ ) 内 有 一 个 宽 度 为 ? 的 通 道 , 故 f ( x ) 在正无穷处有永恒通道.故答案为:②③⑥

三、解答题 16. (理科) (本小题满分 12 分)在 1,2,?,7 这 7 个自然数中,任取 3 个不同的数. (1)求这 3 个数中至少有 1 个是偶数的概率; (2)设 ? 为这 3 个数中两数相邻的组数(例如:若取出的数为 1,2,3,则有两组相邻的数 1,2 和 2,3,
第 11 页(共 21 页) 2

2

此时 ? 的值是 2 ) .求随机变量 ? 的分布列及其数学期望 E? .
31 【答案】 (1) 35

(2)

?
P

0
2 7 6

1
4 7

2
1 7

E? = 7

【解析】 (1) 7 个自然数中, 任取 3 个不同的数共有 C7 种基本事件,其中这 3 个数中都不是偶数的包含 C4 种
1?
3 C4 31 ? 3 C7 35

3

3

基本事件,由对立事件概率和为 1 得:这 3 个数中至少有1 个是偶数的概率为

(2)先确定随机

变量的取法:0,1,2 ,其中 ? =2 表示三个相邻的数,有 5 种基本事件; ? =1 表示仅有两个相邻的数,基 本事件为(1,2,*)4 个; (2,3,*)3 个; (3,4,*)3 个; (4,5,*)3 个, (5,6,*)3 个, (6,7,*)4 个共 20 种基本事件;从而 ? =0 包含 10 种基本事件;最后根据数学期望定义求解.
1?
3 C4 31 ? 3 C7 35

解: (Ⅰ)P=

(Ⅱ) ? 的取值为 0,1,2
5 1 ? 3 C7 7 20 4 ? 3 C7 7

P( ? =2)= 分布列为

P( ? =1)=

1? ? ? P( ? =0)= 7 7 7

1

4

2

?
P

0
2 7

1
4 7

2
1 7

E? = 7

6

考点:古典概型概率,概率分布列,数学期望 17. (本小题满分 12 分)如图 1,在 Rt ?ABC 中,?C ? 90? , BC ? 2 , AC ? 4 . DE / / BC ,将 ?ADE 沿 DE 折起到 ?A1 DE 的位置,使 A1D ? CD ,如图 2.
第 12 页(共 21 页) 2

2

(Ⅰ)求证: BC ? 平面 A1DC ; (Ⅱ)若 CD ? 2 ,求平面 A1 BE 与平面 A1 BC 所成二面角的大小. 【答案】 (1)见解析; (2) 90 ? .

DE ? 平面 A1DC ,又 BC // DE ,可证; 【解析】 (1)由折起过程可知 DE ? DC, DE ? A (2) 1D ,所以
建立空间直角坐标系,由空间向量直接计算二面角的大小即可. 试题解析: (Ⅰ)证明: 在△ ABC 中, ?C ? 90?, DE // BC,? AD ? DE

? A1D ? DE .又 A1D ? CD, CD ? DE ? D,? A1D ? 面BCDE .
由 BC ? 面BCDE,? A 1D ? BC.

BC ? CD, CD ? BC ? C,? BC ? 面A1DC .

5分

(Ⅱ)如图,以 D 为坐标原点,建立空间直角坐标系 D ? xyz .取 A1C 的中点 F,连 DF, 则 D(0,0,0) , C(0,2,0) , E (1,0,0) , B(2,2,0) , A 1 (0,0,2) F (0,1,1)

? AD ? DC ? 4 ,

? DF ? A1C

由(1)可知, DF ? BC , 从而 DF ? 平面A 1BC

? DF 为平面 A1BC 的法向量, DF ? (0,1,1)
又 A ,?2,0) 1B ? (2,2,?2) , BE ? (?1 设平面 A1BE 的法向量为 n ? ( x, y,1) 由 ?

?n ? A1B ? 0

? x?2 ? ? ? y ? ?1 ? n ? BE ? 0

? n ? (2,?1,1)

n ? DF ? 0
? 平面 A1BE 与平面 A1 BC 所成锐二面角的余弦值为 900
12 分

18. 如图,在海岸线 EF 一侧有一休闲游乐场,游乐场的前一部分边界为曲线段 线段是函数 y ? Asin( , x ? [?4, 0] 的 ? x ? ? ) (A ? 0 ,? ? 0 ? , ? (0, ? )) 像,图像的最高点为 B(?1, 2) .边界的中间部分为长 1 千米的直线段

y FGBC , 该曲 B C 2 Q M D P E x


G

CD ,且 CD∥EF .游乐场的后一部分边界是以 O 为圆心的一段 F(- 4,0)
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-1 O
2

2

圆弧



(1)求曲线段 FGBC 的函数表达式; (2)曲线段 FGBC 上的入口 G 距海岸线 EF 最近距离为 1千米, 现准备从入口 G 修一条笔直的景观路到 O ,求景观路 GO 长; (3)如图,在扇形 ODE 区域内建一个平行四边形休闲区 OMPQ , 平行四边形的一边在海岸线 EF 上,一边在半径 OD 上,另外一个顶点 P 在圆弧 求平行四边形休闲区 OMPQ 面积 的最大值及此时 ? 的值. 【答案】 (1) y ? 2 sin? 上,且 ?POE ? ? ,

? 2 3 2? ? ?? (2) 10 ; (3)? ? 时,平行四边形面积最大值为 x? ?, x ? ?? 4,0? ; 6 3 3 ? ?6

【解析】分析: (1)求函数 f ?x ? ? A sin??x ? ? ?? A ? 0, ? ? 0? 的解析式时, A 比较容易得出,困难的是 确定待定系数 ?和? 的值,常用如下方法:一是由 ? ?

2? 即可求出 ? 的值;确定 ? 的值,若能求出离原 T

点最近的右侧图象上升 (或下降) 的 “零点” 横坐标 x 0 , 则令 ?x0 ? ? ? 0(或 ?x0 ? ? ? ? ) , 即可求出 ? ; 二是代入点的坐标,利用一些已知点坐标代入解析式,再结合图形解出 ?和? ,若对 A, ? 的符号或对 ? 的 范围有要求,则可利用诱导公式进行变换使其符合要求; (2)运用公式时要注意审查公式成立的条件,要 注意和差、倍角的相对性,要注意升幂、降幂的灵活运用;重视三角 函数的三变:三变指变角、变名、变式;变角:对角的分拆要尽可能 化成同名、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式 子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等,适当选择公式进 行 变 形 ;( 3 ) 把 形 如
G F(- 4,0) B C y 2 Q D P M P1 E x

y ? a sin x ? b cos x 化 为

-1 O

y ? a2 ? b2 s i?x n ? ? ? ,可进一步研究函数的周期、单调性、最值和对称性.
解: (1)由已知条件,得 A ? 2 , 又∵ 1分 2分

T 2? ? ? 3 ,T ? ? 12 , ?? ? 4 ? 6

又∵当 x ? ?1 时,有 y ? 2sin(?

?

6

? ?) ? 2

???

∴ 曲线段 FBC 的解析式为 y ? 2sin(

?
6

x?

2? ) , x ? [?4, 0] . 1 分 3

2? 3

2分

第 14 页(共 21 页)

2

2

(2)由 y ? 2sin(

?
6

x?

2? ) ?1 得 3
2分

x ? 6k ? (?1)k ? 4 (k ? Z )
又 x ?[?4,0] ? k ? 0 , x ? ?3

?G(?3,1)
1分 1分

2分

OG ? 10
∴ 景观路 GO 长为 10 千米

(3)如图, OC ? 3 , CD ? 1 , ? OD ? 2 , ?COD ? 作 PP 1 ? x 轴于 P1 点,在 Rt?OPP 1 中, 在 ?OMP 中,

?
6

1分 1分

PP 1 ? OP sin ? ? 2 sin ?

OP OM ? 0 sin 120 sin(600 ? ? )

1分

∴ OM ?

OP ? sin(600 ? ? ) 4 2 3 ? ? sin(600 ? ? ) ? 2 cos? ? sin ? 0 sin 120 3 3
2 3 sin ? ) ? 2 sin ? 3

1分

S 平行四边形 OMPQ ? OM ? PP 1 ? (2 cos? ? ? 4 sin ? cos? ?

1分

4 3 2 3 2 3 sin 2 ? ? 2 sin 2? ? cos2? ? 3 3 3

?

4 3 ? 2 3 sin(2? ? ) ? 3 6 3

? ? ? (0, )
3

2分

当 2? ?

?
6

?

?
2

时,即 ? ?

?
6

时,平行四边形面积最大值为

2 3 3

1分

19. (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 满足: a1 ? 1 , 2an?1 ? 2an ?1 ? 0, n ? N? .数列 {bn } 的前 n 项和为

?1? S n , Sn ? 9 ? ? ? ? 3?

n?2

, n ? N? .

(Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ? anbn , n ? N .求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . 【答案】 (Ⅰ) an ?
?

n ?1 2 45 2n ? 5 ? 1 ? , bn ? n ? 2 (Ⅱ) Tn ? ? ? ? 2 3 4 4 ? 3?

n ?2

, n ? N?

【解析】分析: (1)数列的递推关系是给出数列的一种方法,根据给出的初始值和递推关系可以依次写出
第 15 页(共 21 页) 2

2

这个数列的各项,再由递推关系求数列的通项公式,常用方法有:一是求出数列的前几项,再归纳总结出 数列的一个通项公式;二是将已知递推关系式整理、变形,变成等差数列或者等比数列,或用累加法,累 乘法,迭代法求通项.(2)给出 Sn 与 an 的关系,求 an ,常用思路:一是利用 Sn ? Sn?1 ? an ?n ? 2? 转化 为 an 的递推关系,再求其通项公式;二是转化为 Sn 的递推关系,先求出 Sn 与 n 的关系,再求 an ; (3)一 般地,如果数列 ?a n ?是等差数列, ?bn ?是等比数列,求数列 ?an ? bn ?的前 n 项的和时,可采用错位相减法 求和,一般是和式两边同乘以等比数列 ?bn ?的公比,然后做差求解 解: (Ⅰ)由 2an ?1 ? 2an ? 1 得 an?1 ? an ? 所以 {an } 是以 1 为首项,

n ?1 1 ? 为公差的等差数列,则 an ? a1 ? (n ? 1)d ? , n? N . 2 2
1? 2

1 , n ? N? ,又 a1 ? 1 , 2

?1? 当 n ? 1 时, b1 ? S1 ? 9 ? ? ? ? 3?
?1? 当 n ? 2 时, Sn ?1 ? 9 ? ? ? ?3?

?6,

n ?3



? ? 1 ? n ? 2 ? ? ? 1 ? n ?3 ? 2 bn ? Sn ? Sn ?1 ? ?9 ? ? ? ? ? ?9 ? ? ? ? ? n ? 2 , ? ? ?3? ? ? ? ? ? 3? ? ? 3
又 n ?1 时

2 3
n?2

? 6 ? b1 ,所以 bn ?

2 3
n?2

,n? N .
n?2

?

n ?1 2 ?1? ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? , bn ? n?2 , n ? N ,所以 cn ? an bn ? (n ? 1) ? ? 2 3 ? 3?
?1? ?1? ?1? 所以 Tn ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? 3? ? 3? ? 3?
等式两边同乘以
0 ?1 0 1

, n ? N? .

?1? ? (n ? 1) ? ? ? ? 3?

n ?2

(1)

1 得 3
1 2

1 ?1? ?1? ?1? Tn ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? 3 ? 3? ? 3? ? 3?
(1)-(2)得

?1? ? (n ? 1) ? ? ? ? 3?

n ?1

(2)

2 ?1? ?1? ?1? Tn ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ?3? ? 3? ? 3? ?1? 1? ? ? 3 =6+ ? ? 1 1? 3
n ?1

?1

0

1

?1? ?? ? ? 3?

n?2

?1? ? (n+1) ? ? ? 3?

n ?1

?1? ? (n+1) ? ? ?3?

n ?1

第 16 页(共 21 页)

2

2

所以

45 2n ? 5 ? 1 ? Tn ? ? ? ? 4 4 ? 3?

n ?2

, n ? N? .
点 N 与点 M

20. (本小题满分 13 分)在平面直角坐标系中,已知动点 M ( x, y) ,点 A(0,1 ), B (0, 1 ), ? ( 1 D ,0), 关于直线 y ? x 对称,且 AN ? BN ? 1 x 2 .直线 l 是过点 D 的任意一条直线.
2

(1)求动点 M 所在曲线 C 的轨迹方程; (2)设直线 l 与曲线 C 交于 G、H 两点,且 | GH |?

3 2 ,求直线 l 的方程; 2

(3) 设直线 l 与曲线 C 交于 G、H 两点,求以 | GH | 为直径且经过坐标原点 O 的圆的方程.

【答案】 (1) C :

x2 2 4 2 2 18 ? y 2 ? 1 ; (2) l : y ? ? . ( x ? 1) ; (3) ( x ? )2 ? ( y ? ) ? 2 2 5 5 25

【解析】分析: (1)求出 N 的坐标,运用向量的数量积的坐标表示,化简即可得到轨迹方程; (2)设 l:y=k(x-1) ,联立椭圆方程,消去 y,运用韦达定理和弦长公式,即可求得斜率,进而得到直 线方程; (3)由于当直线 l // y 轴时,| GH |?

2 ,点 O 到圆心的距离为 1.即点 O 在圆外,不满足题意.所以满足

? 4k 2 x ? x ? , ? ? 1 2 2k 2 ? 1 x ? 1 ) ,由(2)可得 ? 题意的直线 l 的斜率存在,设为 k ,则 l : y ?k ( ,由点 O 在圆上知: 2 ? x x ? 2k ? 2 . 1 2 ? 2k 2 ? 1 ?

OG ? OH ,从而由向量的数量积可求出 k 的值,进而就可求出半径和圆心坐标,所以就可写出圆的方程.
解: (1)依据题意,可得点 N ( y, x) .

? AN ? ( y, x ?1), BN ? ( y, x ? 1) .
又 AN ? BN ?

1 2 1 x2 x ,? y 2 ? x 2 ? 1 ? x 2 . ? 所求动点 M 的轨迹方程为 C : ? y 2 ? 1 . 2 2 2

(2)

若直线 l // y 轴,则可求得 |GH |= 2 ,这与已知矛盾,因此满足题意的直线 l 不平行于 y 轴.

设直线 l 的斜率为 k ,则 l : y ? k ( x ? 1) .

第 17 页(共 21 页)

2

2

? x2 ? ? y 2 ? 1, 2 2 2 2 由? 2 得 (1 ? 2k ) x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0 . ? y ? k ( x ? 1). ?
? 4k 2 x ? x ? , ? ? 1 2 2k 2 ? 1 设点 H ( x1 , y1 )、G( x2 , y2 ) ,有 ? 且 ? ? 0 恒成立(因点 D 在椭圆内部) . 2 ? x x ? 2k ? 2 1 2 ? 2k 2 ? 1 ?
又 | GH |?

3 2 , 2
2

于是, 1 ? k

3 2 4k 2 2 2k 2 ? 2 3 2 2 ,即 1 ? k ( 2 , ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? ) ?4 2 ? 2 2k ? 1 2k ? 1 2
2

解得 k ? ?

2 2 . 所以,所求直线 l : y ? ? ( x ? 1) . 2 2

(3)

当直线 l // y 轴时, | GH |?

2 ,点 O 到圆心的距离为 1.即点 O 在圆外,不满足题意.

? 满足题意的直线 l 的斜率存在,设为 k ,则 l : y ? k ( x ? 1) .
2k ? 4k 2 ? y1 ? y2 ? ? 2 , x ? x ? , 1 2 ? ? 2 ? 2k ? 1 ? 2k ? 1 设点 H ( x1 , y1 )、G( x2 , y2 ) ,由(2)知, ? 进一步可求得 ? 2 2 ?y y ? ? k ? x x ? 2k ? 2 . . 1 2 1 2 ? ? 2k 2 ? 1 ? 2k 2 ? 1 ?

依据题意,有 OG ? OH ,? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,

2k 2 ? 2 ?k 2 ? ? 0 ,解得 k ? ? 2 . 即 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1
1 3 2 , ? 所求圆的半径 r ? | GH |? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 2 5
圆心为 (

x1 ? x2 y1 ? y2 4 2 , ) ? ( ,? ). 2 2 5 5

4 2 2 18 ) ? . ? 所求圆的方程为: ( x ? )2 ? ( y ? 5 5 25
/ 21. (本小题满分 14 分)设 f ( x ) 是定义在 ?1, ?? ? 上函数,其导数为 f ( x) .如果存在实数 a 和函数 h( x) ,
/ 2 (其中 h( x) 对任意的 x ? ?1, ?? ? 都有 h( x) ? 0 ) ,使得 f ( x ) ? h( x ) x ? ax ? 1 ,则称函数 f ( x ) 具有性

?

?

第 18 页(共 21 页)

2

2

质 P( a ). (I)设函数 f ( x) ? ln x ?

b?2 ( x ? 1) ,其中 b 为实数. x ?1

(1)求证:函数 f ( x ) 具有性质 P(b) ; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间. (II)已知函数 g ( x) 具有性质 P(2).给定 x1 , x2 ? ?1, ??? , x1 ? x2 ,设 m 为实数, ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ,

? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ,且 ? , ? ? ?1, ??? ,若 | g (? ) ? g (? ) |?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | ,求 m 的取值范围.
解: (I) f ( x) ? ln x ? (1) f / ( x) ?

b?2 ( x ? 1) x ?1

1 b?2 1 ? ? x2 ? bx ? 1? , 2 2 ? x ? x ? 1? x( x ? 1)
1 ? 0 恒成立, x( x ? 1) 2

∵当 x>1 时, h( x) ?

∴函数 f ( x ) 具有性质 P(b). (2)设 ? ( x) ? x 2 ? bx ? 1 ? ? x ?

? ?

b? b2 / ? ? 1 ? ( x ? 1) ,则 ? ( x) 与 f ( x) 的符号相同. 2? 4

2

当1 ?

b2 / >0 即-2<b<2 时, ? ( x) >0,故 f ( x) >0 恒成立, 4

∴ f ( x ) 在区间 ?1, ?? ? 上单调递增.

b2 / 当1 ? =0 即 b= ?2 时, ? ( x) >0,故 f ( x) >0 恒成立, 4
∴ f ( x ) 在区间 ?1, ?? ? 上单调递增. 当1 ?

b2 <0 即 b<-2 或 b>2 时,分两种情况讨论: 4
若 b<-2 则对称轴 x=

b ? ?1 ,而 ? (0) ? 1, ?( x) ? 0 ,故 f / ( x) >0 恒成立, 2

∴ f ( x ) 在区间 ?1, ?? ? 上单调递增.
2 2 / (也可以这样答:当 b ? -2 时,对于 x>1,? ( x) ? x ? bx ? 1 ? x ? 2 x ? 1 ? ? x ? 1? ? 0 ,故 f ( x) >0 2

恒成立,

第 19 页(共 21 页)

2

2

∴ f ( x ) 在区间 ?1, ?? ? 上单调递增.) 若 b>2 时, ? ( x) 的图象开口向上,对称轴 x= 方程 ? ( x) =0 的两根为

b ? 1, 2

b ? b2 ? 4 b ? b2 ? 4 2 ? 1, ? ? ? 0,1? (舍去). 2 2 b ? b2 ? 4

? b ? b2 ? 4 ? 当 x ?? 1, ? 时, ? ( x) <0,故 f / ( x) <0 恒成立, ? ? 2 ? ?
∴ f ( x ) 在区间 ?1,

? b ? b2 ? 4 ? ? 上单调递减. ? ? 2 ? ? ? b ? b2 ? 4 ? , ?? ? 上单调递增. ? ? 2 ? ?

同理可得 f ( x ) 在区间 ?

? b ? b2 ? 4 ? 综上所述,当 b ? 2 时, f ( x ) 在区间 ?1, ?? ? 上单调递增;当 b>2 时, f ( x ) 在区间 ?1, ? 上单 ? ? 2 ? ?
调递减,在区间 ?

? b ? b2 ? 4 ? , ?? ? 上单调递增. ? ? 2 ? ?
/

(II)法一:由已知得 g ( x) ? h( x) x ? 2 x ? 1 ? h( x) ? x ? 1? ,
2 2

?

?

∵ h( x) 对任意的 x ? ?1, ?? ? 都有 h( x) ? 0 ,∴对任意的 x ? ?1, ?? ? 都有 g / ( x) >0,∴ g ( x) 在 ?1, ?? ? 上 单调递增. 又 ? ? ? ? x1 ? x2 ,? ? ? ? ? 2m ?1?? x1 ? x2 ? , 当m ?

1 , m ? 1 时, ? ? ? 且 ? ? x1 ? ? m ?1? x1 ? ?1? m? x2 , ? ? x2 ? ?1? m? x1 ? ? m ?1? x2 , 2
2

∴ ?? ? x1 ?? ? ? x2 ? ? ? ? m ? 1? ∵ x1 , x2 ? ?1, ??? , x1 ? x2 ,

? x1 ? x2 ?

2

? 0,

∴ ? ? x1 ? x2 ? ? ,或 x1 ? ? ? ? ? x2 . 若 ? ? x1 ? x2 ? ? ,则 f (? ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (? ) , ∴ | g (? ) ? g (? ) |? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,不合题意,舍去. ∴ x1 ? ? ? ? ? x2 ,即 ?

? x1 ? mx1 ? (1 ? m) x2 ,解得:m<1. ?(1 ? m) x1 ? mx2 ? x2

第 20 页(共 21 页)

2

2



1 ? m ? 1 (这里还说明不可能有 m>1). 2

当 m=1 时, ? ? x1 , x2 ? ? , | g (? ) ? g (? ) |?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | ,不合题意.

1 时, ? ? ? ,0= | g (? ) ? g (? ) |?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | ,符合题意. 2 1 当 m< 时,? ? ? 且 ? ? x2 ? m( x1 ? x2 ), ? ? x1 ? ?m( x1 ? x2 ) ,(? ? x2 )(? ? x1 ) ? ?m2 ( x1 ? x2 )2 ? 0 , 2
当 m= 同理有 x1 ? ? ? ? ? x2 即 ?

? x1 ? (1 ? m) x1 ? mx2 1 ,解得 m>0.故 0<m< . 2 ?mx1 ? (1 ? m) x2 ? x2

综上所述,所求 m 的取值范围为(0,1). 法二:由已知, g ( x) ? h( x) x ? 2 x ? 1 ? h( x) ? x ? 1? ,其中 h( x) 对任意的 x ? ?1, ?? ? 都有 h( x) ? 0 ,
/ 2 2

?

?

故当 x>1 时, g / ( x) ? 0 ,从而 g ( x) 在 ?1, ?? ? 上单调递增. ①当 m ? (0,1) , x1 ? x2 时,有

? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx1 ? (1 ? m) x1 ? x1 ,
? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 ,
故 ? ? ? x1, x2 ? ,同理可得 ? ? ? x1, x2 ? ,所以由 g ( x) 的单调性得: g (? ), g (? ) ? ? g( x1 ), g( x2 ) ? , 从而有: | g (? ) ? g (? ) |?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | . ②当 m ? 0 时,

? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 ,

? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ? (1 ? m) x1 ? mx1 ? x1 ,
于是由 ? ? 1, ? ? 1 及 g ( x) 的单调性得 g (? ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? g (? ) , ∴ | g (? ) ? g (? ) |?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | ,与题设不符,应舍去. ③当 m ? 1 时,同理可得 ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx1 ? (1 ? m) x1 ? x1 ,

? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? x2 ,进而可得: | g (? ) ? g (? ) |?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | ,与题设不符,
舍去. 综上所述,所求 m 的范围为(0,1).

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2


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