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2018版高中数学北师大版必修五课件:第三章 4.3 简单线性规划的应用_图文

第三章 不等式 §4.3 简单线性规划的应用 学习目标 1.掌握简单线性规划解题的基本步骤. 2.了解实际线性规划中的整数解求法. 3.会求一些简单的非线性函数的最值. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 用线性规划解决问题的过程 1.寻找约束条件, 2.建立目标函数, 3.画出可行域, 4.求出最优解. 知识点二 非线性约束条件 思考 类比探究二元一次不等式表示平面区域的方法,画出约束条件 (x-a)2+(y-b)2≤r2的可行域. 答案 梳理 约束条件不是 二元一次 不等式,这样的约束条件称为非线性约束条件. 知识点三 非线性目标函数 思考 ? ?x+y≥6, y-1 ? 在问题“若x、y满足 ?x≤4, 求z= 的最大值”中,你能 x-1 ? ? ?y≤4, y-1 仿照目标函数z=ax+by的几何意义来解释z= 的几何意义吗? x-1 答案 y-1 z= x-1 的几何意义是可行域内的点(x,y)与点(1,1)连线的斜率. 梳理 下表是一些常见的非线性目标函数. 目标函数 目标函数变形 几何意义 最优解求法 z=ax+by (ab≠0) a z y= -bx+b a, 平移直线y= -bx 在y轴上的截距 是 使______________ 在y轴上的截距 z 最大(或最小) _____________ b 令m=(x-a)2+ 点 (x,y) 与点 (a,b) 距离的 (x-a)2+(y-b)2 (y-b)2,则目标 ______ 改变圆(x-a)2+(y- b)2=r2的半径,寻求 可行域最先(或最后) 交点 与圆的____ 函数为( m)2 平方 ____ y-b x-a 点(x,y)与定点 (a,b) 连线的 ______ _____ 斜率 绕定点(a,b)旋转直 线,寻求与可行域最 先(或最后)相交时的 斜率 直线____ 题型探究 类型一 例1 实际生活中的线性规划问题 某企业生产甲、乙两种产品均需用 A, B 两种原料,已知生产 1 吨 每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙 产品可获利润分别为3万元、4万元,求该企业每天可获得的最大利润. 解答 甲 A(吨) 3 乙 2 原料限额 12 B(吨) 1 2 8 跟踪训练1 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子,希 望使桌子和椅子的总数尽可能的多,但椅子数不少于桌子数,且不多 于桌子数的1.5倍,问桌子、椅子各买多少才是最好的选择? 解答 类型二 非线性目标函数的最值问题 命题角度1 斜率型目标函数 例2 y+1 试求z= 的最大值和最小值. 解答 x+1 ? ?2x+y-2≥0, ? 已知实数x,y满足约束条件 ?x-2y+4≥0, ? ? ?3x-y-3≤0. 引申探究 3y+1 1.把目标函数改为z= ,求z的取值范围. 2x+1 解答 2x+y+1 2.把目标函数改为z= ,求z的取值范围. x+1 2?x+1?+y-1 y-1 z= = +2. x+1 x+1 y-1 1 设 k= ,仿例 2 解得-2≤k≤1. x+1 3 ∴z∈[2,3]. 解答 反思与感悟 cx+dy+f 对于形如 的目标函数,可变形为定点到可行域上的动点连线斜 ax+b 率问题. 跟踪训练2 ? ?x≥1, ? y-1 实数x,y满足 ?y≥0, 则z= 的取值范围是 答案 x ? ? ?x-y≥0, 解析 A.[-1,0] C.[-1,+∞) B.(-∞,0] D.[-1,1) 作出可行域,如图所示, y-1 的几何意义是点(x,y)与点(0,1)连线l的斜 x 率kl,当直线l过B(1,0)时kl最小,最小为-1.又 直线l不能与直线x-y=0平行,∴kl<1.综上, k∈[-1,1). 命题角度2 两点间距离型目标函数 ? ?x+y-1≥0, ? 例3 已知x,y满足约束条件 ?x-2y+4≥0, 试求z=x2+y2的最大值和最小值. 解答 ? ? ?3x-y-3≤0, z=x2+y2表示可行域内的点到原点的距离的平方, 结合图形知,原点到点A的距离最大,原点到直线 1 2 1 故 zmax=OA =13,zmin=( ) =2. 2 2 BC的距离最小. 反思与感悟 当斜率k、两点间的距离、点到直线的距离与可行域相结合求最值时, 注意数形结合思想方法的灵活运用. ?x-4y+3≤0, ? 跟踪训练3 变量x、y满足约束条件 ?3x+5y-25≤0, ? ?x≥1. y (1)设z= ,求z的最小值; 解答 x (2)设z=x2+y2,求z的取值范围; 解答 z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方.结合图形可 知,可行域上的点到原点的距离中,dmin=OC= 2 ,dmax=OB= 29 , 即2≤z≤29. (3)设z=x2+y2+6x-4y+13,求z的取值范围. 解答 z=x2+y2+6x-4y+13=(x+3)2+(y-2)2的几何意义是可行域上的点到点 (-3,2)的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到点(-3,2)的距离中, 2 2 ? - 3 - 5 ? + ? 2 - 2 ? dmin=1-(-3)=4,dmax= =8. 所以16≤z≤64. 当堂训练 ? ?x+y≤4, ? 1.已知点P(x,y)的坐标满足约束条件?y≥x, 则x2+y2的最大值为 ? ? ?x≥1, A. 10 B.8 C.16 答案 解析 D.10 √ 1 2 3 4 2. 毕业庆典活动中,某班团支部决定组织班里 48 名同学去水上公园坐 船观赏风景,支部先派一人去了解船只的租金情况,看到的租金价格 116 元. 如下表,那么他们合理设计租船

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